›

Luận văn Định lý thác triển hội tụ đối với các ánh xạ giả chỉnh hình

pdf 44 trang yendo 4230
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Luận văn Định lý thác triển hội tụ đối với các ánh xạ giả chỉnh hình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfluan_van_dinh_ly_thac_trien_hoi_tu_doi_voi_cac_anh_xa_gia_ch.pdf

Nội dung text: Luận văn Định lý thác triển hội tụ đối với các ánh xạ giả chỉnh hình

  1. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————– NGUYỄN THU HUYỀN ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ GIẢ CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS PHẠM VIỆT ĐỨC THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  2. 1 Mục lục Mở đầu 4 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Đa tạp hầu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Cấu trúc phức 6 1.1.2. Nhận xét 6 1.1.3. Ví dụ 7 1.1.4. Cấu trúc hầu phức 8 1.1.5. Đa tạp hầu phức 8 1.2. Không gian các dạng vi phân và ánh xạ đạo hàm . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Định nghĩa 8 1.2.2. Định nghĩa 11 1.2.3. Định lý (Newlander - Nirenberg) . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4. Nhận xét 11 1.3. Hàm đa điều hòa dưới. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Định nghĩa 11 1.3.2. Định nghĩa 11 1.3.3. Mệnh đề 11 1.4. Giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức . . . . . . . . 12 1.4.1. Định nghĩa 12 1.4.2. Bổ đề 13 1.4.3. Bổ đề 13 1.4.4. Định nghĩa 13 1.4.5. Tính chất 14 1.4.6. Hệ quả 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  3. 2 1.4.7. Mệnh đề 15 1.4.8. Định nghĩa 15 1.4.9. Mệnh đề 15 1.4.10. Định nghĩa 15 1.4.11. Định nghĩa 15 1.4.12. Định lý 16 1.4.13. Định nghĩa 16 1.4.14. Định nghĩa 16 1.4.15. Họ đồng liên tục 16 1.4.16. Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5. Giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp hầu phức . . 17 1.5.1. Mệnh đề 17 1.5.2. Định nghĩa 18 1.5.3. Mệnh đề 18 1.5.4. Ví dụ 18 1.5.5. Định nghĩa 19 1.5.6. Nhận xét 19 1.6. Định lý tham số hoá của Brody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2. Một số định lý thác triển hội tụ đối với ánh xạ giả chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1. Tổng quát hoá định lý Picard lớn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1. Quỹ tích suy biến của giả khoảng cách Kobayashi 22 2.1.2. Thác triển các đường cong J-chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3. Sự thác triển trên các đa tạp số chiều cao . . . . . . . . . . . 30 2.2. Một số định lý thác triển hội tụ kiểu Nuguchi . . . . . . . . . . . 32 2.2.1. Định lý 32 2.2.2. Định lý 34 2.2.3. Định lý 36 2.2.4. Bổ đề 37 2.2.5. Bổ đề 38 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  4. 3 2.2.6. Hệ quả 39 2.2.7. Định lý 39 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  5. 4 Mở đầu Một trong những ứng dụng quan trọng của các không gian phức hyperbolic là bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức. Việc mở rộng định lý Picard lớn và nghiên cứu các định lý thác triển hội tụ kiểu Noghuchi đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu trong cả trường hợp đa tạp phức và đa tạp hầu phức. Mục đích của luận văn là trình bày một số kết quả gần đây của F. Haggui và A. Khalfallah[H-K] theo hướng nghiên cứu nói trên. Nội dung của luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc trình bày các kết quả chính của luận văn trong chương 2. Cụ thể là: Đa tạp hầu phức, giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức, giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp hầu phức. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Phần đầu chương trình bày một số kết quả về thác triển các đường cong giả chỉnh hình và một tiêu chuẩn cho tính nhúng hyperbolic của các đa tạp hầu phức. Phần tiếp theo là một số định lý thác triển hội tụ kiểu Noghuchi đối với các ánh xạ giả chỉnh hình giữa các đa tạp hầu phức. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS.TS Phạm Việt Đức. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy của mình, người đã chỉ bảo và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  6. 5 Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy động viên tôi trong suốt thời gian học tập. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Sở GD - ĐT Tuyên Quang, những bạn bè đồng nghiệp và đặc biệt là người thân trong gia đình đã động viên, ủng hộ tôi về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành khóa học của mình. Trong quá trình làm luận văn chắc không thể tránh khỏi những sai sót, rất mong độc giả đóng góp ý kiến. Tôi xin trân trọng cảm ơn. Thái nguyên, tháng 8 năm 2011 TÁC GIẢ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  7. 6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Đa tạp hầu phức 1.1.1. Cấu trúc phức Giả sử V là R-không gian vectơ và J : V −→ V là R-đẳng cấu. J được gọi là một cấu trúc phức trên V nếu J 2 := J ◦ J = −Id. Giả sử J là cấu trúc phức trên R-không gian vectơ V , khi đó ta có thể xây dựng V thành C-không gian vectơ bằng cách đặt (α + iβ)v := αv + βJ(v) = αv + βJv. Giả sử V là C-không gian vectơ có cơ sở là {v1, v2, , vn}. Xem V là R-không gian vectơ VR, xét J : VR −→ VR v 7−→ Jv = iv. Khi đó J là cấu trúc phức trên VR và không gian phức mà nó cảm sinh ra trùng với không gian vectơ phức V ban đầu. 1.1.2. Nhận xét VR có R-cơ sở là {v1, v2, , vn, Jv1, Jv2, , Jvn}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  8. 7 1.1.3. Ví dụ a) n C = {(z1, , zn): zj = xj + iyj ∈ C} ∼ 2n = R = {(x1, y1, x2, y2, , xn, yn)} . 2n 2n J : R → R cho bởi: J((x1, y1, , xn, yn)) = (−y1, x1, , −yn, xn). 2n Khi đó J là cấu trúc phức trên R . b) Giả sử M là đa tạp phức m chiều. Khi đó nó cảm sinh ra M0 là đa tạp thực nhẵn 2m chiều. Gọi Tx(M0) là không gian tiếp xúc thực của M0 tại x và gọi Tx(M) là không gian tiếp xúc phức của M tại x. Giả sử (U, h) là một bản đồ địa phương của M quanh x. Ta có 0 m h : U −→ U ⊂ C 2m h = (h1, h2, , hn), cảm sinh ra eh : U −→ R cho bởi eh(x) = (Reh1(x), Imh1(x), , Rehm(x), Imhm(x)). Ta có (U, eh) là một bản đồ địa phương của M0 quanh x. Gọi   ∂ ∂ , , là C-cơ sở của Tx(M). ∂z1 x ∂zn x Nó cảm sinh ra  n ∂ ∂ , là R-cơ sở của Tx(M0). ∂xj x ∂yj x j=1 Xét J : Tx(M0) −→ Tx(M0) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  9. 8 cho bởi ∂ ∂ ∂ ∂ v = α1. + β1. + + αn. + βn. ∈ Tx(M0) ∂x1 x ∂y1 x ∂xn x ∂yn x thì ∂ ∂ ∂ ∂ Jv = (−β1) + α1 + + (−βn) + αn . ∂x1 x ∂y1 x ∂xn x ∂yn x Khi đó J là cấu trúc phức trên Tx(M0). 1.1.4. Cấu trúc hầu phức Giả sử M là đa tạp vi phân 2n chiều. Gọi π : TM → M là phân thớ tiếp xúc thực. Giả sử J : T (M) → T (M) là một tự đẳng cấu của T (M) liên kết với ánh xạ đồng nhất trên M thỏa mãn ∀x ∈ M : Jx = J : Tx(M) → Tx(M) Tx(M) là cấu trúc phức trên R-không gian vectơ Tx(M). Khi đó J được gọi là cấu trúc hầu phức trên M. 1.1.5. Đa tạp hầu phức (M, J) được gọi là một đa tạp hầu phức nếu M là một đa tạp vi phân chẵn 2n chiều được trang bị một cấu trúc hầu phức J. 1.2. Không gian các dạng vi phân và ánh xạ đạo hàm 1.2.1. Định nghĩa Giả sử M là đa tạp vi phân m chiều. Đặt T (M)C = T (M) ⊗R C. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  10. 9 Tương tự ta định nghĩa ∗ ∗ T (M)C = T (M) ⊗R C. Từ đó ta định nghĩa tích ngoài ∗ r r ∗ ΛT (M)C và ε (M)C = ε(M, Λ T (M)C). Gọi εr(M) là không gian các dạng vi phân bậc r với giá trị phức. Tức là với ϕ ∈ εr(M), ta có X 0 ϕ(x) = ϕI(x)dxI |I|=r trong đó ϕI là hàm giá trị phức và X X 0 = . 1≤i1<i2< <ik≤m |I|=r Khi đó ta có dãy ε0(M) −→d ε1(M) −→d −→d εm(M) −→ 0 với d2 = 0. Giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức, khi đó J : Tx(M)C → Tx(M)C là đẳng cấu trên phân thớ vectơ phức T (M)C. Ta đặt T 1,0(M) là phân thớ ứng với giá trị riêng i của J. T 0,1(M) là phân thớ ứng với giá trị riêng −i của J. Xét đẳng cấu liên hợp Q : T (M)C −→ T (M)C được cho trên mỗi thớ bởi Q(vx) = ivx ; vx ∈ TxMC. Khi đó Q cảm sinh ra đẳng cấu từ T 1,0(M) tới T 0,1(M). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  11. 10 Xét T ∗(M)1,0 và T ∗(M)0,1 lần lượt là các phân thớ đối hợp của T 1,0(M), T 0,1(M). Ta có ∗ ∗ 1,0 ∗ 0,1 T (M)C = T (M) ⊕ T (M) và có nhúng tự nhiên ∗ 1,0 ∗ ΛT (M) ,→ ΛT (M)C ∗ 0,1 ∗ ΛT (M) ,→ ΛT (M)C. Đặt εp,q(M) = ε(M, Λp,qT ∗(M)) X εr(M) = εp,q(M). p+q=r Xét phép chiếu tự nhiên r p,q πp,q : ε (M) −→ ε (M); (p + q = r). Xét hạn chế d := d εp,q(M) Ta có X d : εp,q(M) −→ εp+q+1(M) = εr,s(M). r+s=p+q+1 p,q p+1,q Đặt ∂ : ε (M) −→ ε (M) cho bởi ∂ = πp+1,q ◦ d. p,q p,q+1 Đặt ∂ : ε (M) −→ ε (M) cho bởi ∂ = πp,q+1 ◦ d. Thác triển tuyến tính ∂, ∂ lên toàn dim M=m X ε∗(M) = εr(M) r=0 ta được ∂, ∂ : εr(M) −→ εr+1(M). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  12. 11 1.2.2. Định nghĩa Cấu trúc hầu phức J được gọi là khả tích nếu d = ∂ + ∂. 1.2.3. Định lý (Newlander - Nirenberg) Giả sử (X, J) là đa tạp hầu phức. Giả sử J là khả tích thì tồn tại duy nhất một cấu trúc đa tạp phức trên X sao cho nó cảm sinh ra cấu trúc hầu phức J. 1.2.4. Nhận xét Nếu (M, J) là đa tạp phức thì J là cấu trúc hầu phức khả tích. 1.3. Hàm đa điều hòa dưới 1.3.1. Định nghĩa Giả sử r là hàm lớp C2 trên M, khi đó ta định nghĩa dạng Levi của r trên T (M) như sau: LJ (r)(X) := −d(J ∗dr)(X, JX) 1.3.2. Định nghĩa Một hàm nửa liên tục trên u trên (M, J) được gọi là hàm J-đa điều hòa dưới trên M nếu u ◦ f là điều hòa dưới trên ∆, ∀f ∈ OJ (∆,M). Khi đó ta có đặc trưng sau đây về hàm đa điều hòa dưới. 1.3.3. Mệnh đề Giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức. Giả sử u là C2-hàm giá trị thực trên M. Khi đó u là J-đa điều hòa dưới trên M nếu và chỉ nếu : LJ (u)(X) ≥ 0, ∀X ∈ T (M). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  13. 12 2 Chú ý: Ta nói rằng một hàm C -giá trị thực u trên M là J-đa điều hòa dưới chặt trên M nếu LJ (u) xác định dương trên TM. 1.4. Giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức 2n Ký hiệu J0 là cấu trúc hầu phức chuẩn tắc trong R . 1.4.1. Định nghĩa +) Một ánh xạ trơn f :(M, JM ) −→ (N, JN ) giữa hai đa tạp hầu phức được gọi là (JM ,JN )-chỉnh hình nếu các đạo hàm của nó giao hoán với cấu trúc hầu phức, tức là f∗ ◦ JM = JN ◦ f∗ . Ký hiệu O((M, JM ), (N, JN ) hay OJM ,JN (M, N) là tập hợp tất cả các ánh xạ (JM ,JN )-chỉnh hình từ M vào N. n 2n Đặc biệt, nếu M là một miền trong C với JM là J0 trên R , thì tập O((M, JM ), (N, JN )) được ký hiệu đơn giản là O(M, (N, JN )) và mỗi f ∈ O(M, (N, JN )) được gọi một cách đơn giản là J-chỉnh hình. +) Với mỗi r > 0 ta đặt ∆r = {z ∈ C : |z| < r} . Với r = 1 ta kí hiệu ∆ = ∆1 là đĩa đơn vị trong C. P Nếu (M, JM ) = ( ,J0) trong đó J0 là cấu trúc phức chính tắc trên P diện Riemann , thì ánh xạ (J0,JN )-chỉnh hình được gọi là đường cong J-chỉnh hình hay đường cong giả chỉnh hình trên (N, JN ). P Kí hiệu OJ ( ,N) là tập tất cả các đường cong J-chỉnh hình trên N. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  14. 13 1.4.2. Bổ đề Cho (M, J) là một đa tạp hầu phức. Giả sử ∆ là đĩa đơn vị trong C. Khi đó tập tất cả các ánh xạ J-chỉnh hình từ ∆ −→ M là đóng theo tôpô compact mở. Chứng minh Giả sử (fn)n∈N là một dãy các ánh xạ J chỉnh hình từ ∆ vào (M, J) hội tụ đều trên mỗi tập compact của ∆ đến f. Chọn hai tập compact K và K0 của ∆ sao cho K là phần trong của K0. Theo chứng minh của Sikorav [Sk, mệnh đề 2.3.6 (i), tr.171 ] cho thấy rằng nếu K0 đủ nhỏ thì kfnkC2(K) ≤ LkfnkL∞(K0). 2 Vì vậy, sự hội tụ đều của (fn)n∈N suy ra tính C -hội tụ cho f, vì thế f thỏa mãn các phương trình Cauchy-Riemann và là J-chỉnh hình. Bổ đề được chứng minh. 1.4.3. Bổ đề 2 Giả sử (M, J) là một đa tạp hầu phức, J ∈ C . Giả sử p và q là hai điểm của M đủ gần nhau. Khi đó tồn tại một đường cong J-chỉnh hình u : ∆ −→ M sao cho p và q nằm trong u(∆). Từ Bổ đề trên cho phép ta định nghĩa được giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức như sau: 1.4.4. Định nghĩa Cho (M, J) là một đa tạp hầu phức, J ∈ C2 và gọi ρ là khoảng cách Bergman-Poincare trên ∆. Metric tương ứng là dz ⊗ dz ρ = 2 . (1 − |z|2) J Ta định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi kM trên (M, J) như sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  15. 14 Cho trước hai điểm p, q ∈ M. Một dây chuyền Kobayashi nối hai điểm p, q trong M là một dãy các đường cong giả chỉnh hình (fk : ∆ → (M, J))1≤k≤m và các điểm zk, wk ∈ ∆ thoả mãn f1(z1) = p; fk(wk) = fk+1(zk+1); fm(wm) = q. Giả khoảng cách Kobayashi của (M, J) từ p tới q được định nghĩa bởi m J X kM (p, q) = inf ρ(zk, wk), k=1 trong đó infimum được lấy theo tất cả các dây chuyền Kobayashi nối p với q. Hàm số J kM : M × M → R thỏa mãn các tiên đề của giả khoảng cách J kM (p, q) ≥ 0 J J kM (p, q) = kM (q, p) J J J kM (p, q) + kM (q, r) ≥ kM (p, r) Tương tự như trong trường hợp phức , ta có tính chất giảm khoảng J cách qua ánh xạ giả chỉnh hình của kM : 1.4.5. Tính chất Cho f :(M, J) −→ (N, J 0) là một ánh xạ (J, J 0)-chỉnh hình. Khi đó ∀(p, q) ∈ M 2 ta có J J 0 kM (p, q) ≥ kN (f(p), f(q)). 1.4.6. Hệ quả kC ≡ 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  16. 15 1.4.7. Mệnh đề J Giả khoảng cách Kobayashi kM là liên tục trên M × M. 1.4.8. Định nghĩa J Đa tạp hầu phức (M, J) được gọi là hyperbolic (Kobayashi) nếu kM thực sự là một khoảng cách. J Nếu đa tạp hầu phức hyperbolic (M, kM ) là đầy theo nghĩa Cauchy thì ta nói rằng (M, J) là hyperbolic đầy. Tương tự như trong trường hợp phức ta có định lý Barth [Ba] sau: 1.4.9. Mệnh đề J Nếu M là đa tạp hầu phức hyperbolic thì kM cảm sinh tôpô tự nhiên của M. 1.4.10. Định nghĩa Giả sử (M, JM ), (N, JN ) là các đa tạp hầu phức. Giả sử F ⊂ O((M, JM ), (N, JN )). i) Một dãy {fi}i≥1 ⊂ F được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi tập compact K ⊂ M và với mỗi tập compact L ⊂ N, có một số dương j0 = j(K, L) sao cho fj(K) ∩ L = ∅, ∀j ≥ j0. ii) F là không phân kỳ compact nếu F không chứa dãy con phân kỳ compact. 1.4.11. Định nghĩa Một đa tạp hầu phức (M, J) được gọi là taut nếu mọi dãy {fn}n≥1 trong O(∆, (M, J)), hoặc tồn tại một dãy con phân kỳ compact hoặc Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  17. 16 một dãy con hội tụ đều trên các tập con compact tới một ánh xạ J-chỉnh hình f : ∆ −→ (M, J). 1.4.12. Định lý Mỗi đa tạp hầu phức taut M là hyperbolic. 1.4.13. Định nghĩa Giả sử Ω là một miền trong C, (M, J) là một đa tạp hầu phức và F ⊂ O(Ω, (M, J)). Họ F được gọi là chuẩn tắc nếu F b O(Ω, (M, J)) trong tôpô compact mở. 1.4.14. Định nghĩa Hàm độ dài E trên đa tạp hầu phức (M, J) là một hàm liên tục không âm, giá trị thực xác định trên phân thớ tiếp xúc TM thoả mãn 1) E(v) = 0 ⇔ v = 0 2) E(av) = |a| E(v), ∀a ∈ R, v ∈ T M. Ký hiệu dE là hàm khoảng cách sinh ra trên M bởi E . Thế thì hàm khoảng cách dE sinh ra tôpô tự nhiên của M (xem [La]). 1.4.15. Họ đồng liên tục Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không gian metric đầy. Và C(X, Y ) là tập các ánh xạ liên tục từ X vào Y với chuẩn sup. Họ F ⊂ C(X, Y ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  18. 17 được gọi là đồng liên tục tại một điểm x0 ∈ X nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X, d(x, x0) < δ thì d(f(x), f(x0)) < ε với mọi f ∈ F. Họ F được gọi là đồng liên tục trên X nếu F là đồng liên tục tại mọi điểm x ∈ X. 1.4.16. Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không gian metric đầy. Giả sử F là tập con của tập các ánh xạ liên tục C(X, Y ). Khi đó, F là compact tương đối trong C(X, Y ) nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thoả mãn (i) F là họ đồng liên tục trên X. (ii) Với mỗi x ∈ X, tập hợp Fx = {f(x) | f ∈ F} là compact tương đối trong Y . 1.5. Giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp hầu phức Trước hết ta có kết quả sau: 1.5.1. Mệnh đề Giả sử (M, J) là một đa tạp hầu phức. Với p ∈ M, tồn tại lân cận V của 0 trong TpM sao cho ∀v ∈ V tồn tại f ∈ O(∆,M) thoả mãn  ∂  f(0) = p, df(0) = v. ∂x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  19. 18 Từ đó ta có thể định nghĩa: 1.5.2. Định nghĩa Giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức. Giả sử p ∈ M, v ∈ TpM. Khi đó ta định nghĩa: K(M,J)(p, v) := inf {α > 0 | tồn tại đĩa J-chỉnh hình f : ∆ → M ∂  v thoả mãn f(0) = p, df(0) ∂x = α . (1) K(M,J) được gọi là giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp hầu phức (M, J). 0 0 Với f ∈ O(J 0,J)(M ,M) và ∀ϕ ∈ OJ (∆,M ) ta có f ◦ ϕ ∈ OJ (∆,M). Do đó ta có mệnh đề sau: 1.5.3. Mệnh đề Giả sử f :(M 0,J 0) → (M, J) là (J, J 0)-chỉnh hình. Khi đó ∀p0 ∈ M 0 0 0 và v ∈ Tp0 M ta có 0 0 0 0 0 0 K(M,J)(f (p ), df(p )(v )) ≤ K(M 0,J 0)(p , v ). (2) 1.5.4. Ví dụ Nếu M ⊂ M 0 và J 0 là một cấu trúc hầu phức trên M 0. Khi đó ta có K(M 0,J 0)(p, v) ≤ K(M,J 0)(p, v) với ∀p ∈ M, v ∈ TpM. (Do phép nhúng M,→ M 0 là (J 0,J)-chỉnh hình). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  20. 19 1.5.5. Định nghĩa Giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức, p, q ∈ M. Gọi Γp,q là tập các đường cong lớp C1 γ : [0, 1] → M sao cho γ(0) = p, γ(1) = q. Ta định nghĩa 1 Z K 0 d(M,J)(p, q) = inf K(M,J)(γ(t), γ (t))dt. γ∈Γp,q 0 1.5.6. Nhận xét +) Tương tự kết quả của Royden [Ro] trong trường hợp phức, trong [Kr], Kruglikov đã chứng minh được K(M,J) là nửa liên tục trên trên phân thớ tiếp xúc TM của M và ông đã chứng minh được J K kM = d(M,J). +) Từ các tính chất của K(M, J) và nhận xét trên ta có thể nhận J lại được các tính chất của kM đã trình bày ở mục 1.3. 1.6. Định lý tham số hoá của Brody Giả sử (M, J) là một đa tạp hầu phức, f : ∆r → M là một đường cong J-chỉnh hình thoả mãn |f 0(0)| ≥ c ≥ 0. Khi đó tồn tại đường cong J-chỉnh hình fe : ∆r → M sao cho ! r2 − |z|2 sup f 0(z) = f 0(0) = c. e 2 e z∈∆r r Chứng minh Trước hết ta chứng tỏ có dấu bằng, sau đó chứng minh supremum đạt được tại gốc 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  21. 20 Với t ∈ [0, 1], gọi ft : ∆r → M là ánh xạ xác định bởi z 7→ f(tz). Đặt 2 2 ! 0 r − |z| s(t) = sup |f t(z)| 2 . z∈∆r r Khi đó với bất kỳ t < 1, 0 0 0 sup |f t(z)| ≤ sup |f (z)| ≤ sup |f (z)| < ∞. z∈∆r z∈t∆r z∈∆tr Vì f là liên tục trên ∆tr và r2 − |z|2 ≤ 1. r2 nên ta có s(t) < ∞ với t < 1. Lại do ánh xạ t 7→ sup |f 0(z)| là liên tục z∈∆tr nên s cũng là liên tục. Từ s(0) = 0 và lim s(t) ≥ c t→1 ta suy ra rằng tồn tại một số t0 ∈ [0, 1] sao cho s(t0) = c. *Trường hợp 1: t0 = 1 2 2 ! 0 r − |z| c = s(1) = sup |f (z)| 2 . z∈∆r r Trong khi đó với z = 0 thì r2 |f 0(0)| ≥ c, r2 vì thế supremum xảy ra tại z = 0. Chỉ việc lấy fe = f, ta có điều phải chứng minh. *Trường hợp 2: t0 < 1 Supremum chỉ đạt tại điểm z0 bên trong ∆r. Gọi L là ánh xạ tự đẳng cấu bảo giác của ∆r biến 0 vào z0. Ký hiệu fe = ft0 ◦ L. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  22. 21 Do đại lượng 2 2 ! 0 r − |z| f (z) t0 r2 đo đạo hàm tương ứng với ρr nên nó bất biến qua L. Ta được điều phải chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  23. 22 Chương 2 Một số định lý thác triển hội tụ đối với ánh xạ giả chỉnh hình 2.1. Tổng quát hoá định lý Picard lớn Định lý Picard lớn phát biểu rằng: Mỗi ánh xạ chỉnh hình f từ ∗ đĩa thủng ∆ vào C\{0, 1} có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f : ∆ → P1(C). Mục đích của phần này nhằm nghiên cứu sự thác triển của ánh xạ giả chỉnh hình giữa các đa tạp hầu phức. 2.1.1. Quỹ tích suy biến của giả khoảng cách Kobayashi Giả sử (N, J) là một đa tạp hầu phức được trang bị một hàm độ dài G, giả sử (M, J) là một đa tạp con hầu phức compact tương đối của J (N, J). Như trong [A-S] ta mở rộng dM lên bao đóng M của M trong N như sau: ∀p, q ∈ M, ta định nghĩa J J 0 0 0 0 d (p, q) = lim inf dM (p , q ), p , q ∈ M. M p0→p q0→q Khi đó ta có định nghĩa sau. 2.1.1.1. Định nghĩa Ta gọi là một điểm suy biến của J nếu tồn tại một điểm p ∈ M dM sao cho J . Kí hiệu J là tập tất cả các điểm q ∈ M\{p} dM (p, q) = 0 SM (N) suy biến của J . dM Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  24. 23 2.1.1.2. Ví dụ Giả sử (N, J) = (P1(C),J0) là mặt cầu Riemann được trang bị cấu J0 trúc phức chuẩn J0 và M = C\{0}. Vì dM = 0 (xem Kobayashi [Ko], Ví dụ 3.1.21, tr.56), ta có SJ0 ( ( )) = ( ), C\{0} P1 C P1 C tức là tất cả các điểm của ( ) đều là các điểm suy biến của dJ0 . P1 C M 2.1.1.3. Định nghĩa Cho (N, J) là một đa tạp hầu phức được trang bị một hàm độ dài G, (M, J) là đa tạp con của N. Một điểm p ∈ M được gọi là điểm J-hyperbolic đối với M nếu tồn tại một lân cận U của p trong N và một J hằng số dương c sao cho KM ≥ c.G trên U ∩ M. 2.1.1.4. Nhận xét Tương tự tiêu chuẩn của Royden [Ro] ta có (M, J) là hyperbolic nếu và chỉ nếu mỗi điểm p ∈ M đều là điểm J-hyperbolic đối với M. Tiếp theo ta có mệnh đề sau: 2.1.1.5. Mệnh đề Cho (N, J) là một đa tạp hầu phức và (M, J) là một đa tạp con hầu phức của (N, J). Với mỗi điểm p ∈ M, khi đó các mệnh đề sau là tương đương: J (i) p∈ / SM (N). (ii) p là điểm J-hyperbolic đối với M. Để chứng minh mệnh đề trên ta cần sử dụng bổ đề (xem [Si] Mệnh đề 2.3.6, tr. 171). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  25. 24 2.1.1.6. Bổ đề n Cho D là một miền trong C . Có một hằng số dương δ0 sao cho với mỗi cấu trúc hầu phức J trong một lân cận của D thoả mãn kJ − J0kC2(D) ≤ δ0, khi đó ta có kfk 1 ≤ ckfk 0 , C (∆r) C (∆) với mỗi f ∈ OJ (∆,D) và 0 < r < 1, trong đó c là hằng số dương chỉ n phụ thuộc vào r và δ0, J0 là cấu trúc phức chuẩn tắc trên C . Chứng minh Mệnh đề 2.1.1.5 (i) ⇒ (ii): Giả sử p không là điểm J-hyperbolic đối với M. Khi đó với mỗi n ≥ 1, tồn tại pn ∈ M và ξn ∈ Tpn M sao cho dãy (pn) hội tụ J tới p, |ξn| = 1 và KM (ξn) → 0. Do đó, tồn tại dãy (fn) ⊂ OJ (∆,M) 0 sao cho limfn(0) = p, nhưng lim|fn(0)| = ∞. Giả sử W là một lân cận compact tương đối đủ nhỏ trong bản đồ địa phương quanh p. Nếu tồn tại r ∈ (0, 1) sao chofn(∆r) ⊂ W , theo 0 Bổ đề 2.1.1.6 ta suy ra tồn tại một hằng số dương c sao cho |fn(0)| ≤ 0 0 c||fn||C (∆r) và điều này mâu thuẫn với |fn(0)| → +∞. Do đó, với mỗi số 1 nguyên dương k có zk ∈ ∆ và nk ∈ Z sao cho |zk| < k và fnk (zk) ∈ ∂W . Bằng cách lấy một dãy con, ta có thể giả sử rằng fnk (zk) → q ∈ ∂W . Khi đó J J d (p, q) = lim dM (fnk (0), fnk (zk)) ≤ lim d∆(0, zk) = 0, M k→∞ k→∞ nên là điểm suy biến của J . p dM Giả sử rằng là điểm suy biến của J . Khi đó tồn tại (ii) ⇒ (i): p dM điểm sao cho J . Theo giả thiết, tồn tại lân cận q ∈ M\{p} dM (p, q) = 0 J U của p sao cho q∈ / U và KM ≥ cG trên U ∩ M, trong đó c là một hằng số dương và G là một hàm độ dài trên N. Lấy V, W lần lượt là lân cận của p, q trong N, sao cho V b U và W ∩ U = ∅. Lấy r ∈ V ∩ M và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  26. 25 s ∈ W ∩ M là hai điểm tuỳ ý. Gọi γ(t) là đường cong trơn từng khúc trên M sao cho γ(0) = r và γ(1) = s. Khi đó Z 1 Z J J 0 0 dM (r, s) = inf KM (γ(t), γ (t))dt ≥ inf c |γ (t)|Gdt ≥ c.dist(∂U, ∂V ), γ 0 γ t∈E trong đó E = {t ∈ [0, 1]; γ(t) ∈ U}. Tức là dM (p, q) ≥ c.dist(∂U, ∂V ) > 0. Điều này là mâu thuẫn. Vậy ta có điều phải chứng minh. 2.1.1.7. Nhận xét J Từ chứng minh trên, ta có thể thấy ngay rằng p∈ / SM (N) nếu và chỉ nếu p thoả mãn: với mỗi lân cận W của p, đều tồn tại một hằng số dương R sao cho sup {|f 0(0)|, f(0) ∈ W } ≤ R. f∈OJ (∆,M) Từ Mệnh đề 2.1.1.5 ta có hệ quả sau. 2.1.1.8. Hệ quả Giả sử (N, J) là đa tạp hầu phức và (M, J) là đa tạp con của N. Khi J đó (M, J) là nhúng hyperbolic trong (N, J) nếu và chỉ nếu SM (N) = ∅. 2.1.1.9. Hệ quả J SM (N) là tập con đóng trong N. Chứng minh J Giả sử (pn) là một dãy trong SM (N) hội tụ tới p ∈ M. Khi đó theo Mệnh đề 2.1.1.5, tồn tại một lân cận compact tương đối W của p và sao cho J . Bằng cách lấy một dãy con, ta có qn ∈ ∂W ∩ M dM (pn, qn) = 0 thể giả sử rằng , khi đó J . Hệ quả được chứng qn → q ∈ ∂W dM (p, q) = 0 minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  27. 26 2.1.2. Thác triển các đường cong J-chỉnh hình Các kết quả sau là tổng quát hoá của Định lý Adachi [Ad] 2.1.2.1. Định lý Cho (M, J) là một đa tạp con hầu phức compact tương đối trong một ∗ đa tạp hầu phức (N, J) và fk : ∆ → (M, J) là dãy các đường cong giả ∗ chỉnh hình. Gọi (zk) và (wk) là hai dãy trong ∆ hội tụ tới 0 sao cho J dãy (fk(wk)) hội tụ đến q∈ / SM (N). Khi đó dãy (fk(zk)) hội tụ đến q. Nhận xét J Điều kiện q∈ / SM (N) là cần thiết trong Định lý 2.1.2.1. Thật vậy, với mỗi q ∈ C\{0} và k nguyên dương, xét dãy đường cong ∗ q chỉnh hình fk : ∆ → C\{0} được xác định bởi fk(z) = kz . Ta có 1 1 fk(k ) = q và fk(2k ) = 2q. Do đó fk(zk) không hội tụ được đến q. Để chứng minh Định lý 2.1.2.1 ta cần bổ đề về tính đơn điệu sau của Gromov (xem [Mu], Bổ đề 4.2.1, tr.223). 2.1.2.2. Bổ đề Giả sử (M, J) là một đa tạp hầu phức compact được trang bị hàm độ dài G. Gọi B(x, ε) là hình cầu bán kính ε tâm x trong M. Tồn tại các hằng số dương ε0 và c sao cho với mọi ε ≤ ε0 và mọi đường cong giả chỉnh hình S ta có 2 AreaG(S ∩ B(x, ε)) ≥ cε , với mọi x ∈ S và S ∩ B(x, ε) là một mặt compact với biên được chứa trong ∂B(x, ε). AreaG là diện tích ứng với metric G. Giả thiết về tính compact của M có nghĩa là tất cả các hằng số mà ta đề cập đến không phụ thuộc vào cách chọn điểm x. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  28. 27 Chứng minh Định lý 2.1.2.1 ∗ Ta chỉ ra rằng sẽ là vô lý nếu có một dãy (zk) trong ∆ hội tụ đến 0 sao 0 cho fk(zk) → q 6= q. (i) Bằng cách lấy dãy con và đánh lại ký hiệu ta có thể giả sử |wk| < |zk|. it Đặt ρk(t) = wke với t ∈ [0, 2π]. Ta chứng tỏ rằng fk(ρk) → q. (1) Thật vậy, với mỗi αk ∈ ρk, ta có J J lim inf d (fk(αk), q) ≤ lim inf dM (fk(αk), fk(wk)) ≤ lim inf d∆∗ (αk, wk). k→∞ M k→∞ k→∞ 1 J Vì d∆∗ (αk, wk) = O( ) và q∈ / S (N), nên ta có fk(αk) → q. log|wk| M Giả sử G là hàm độ dài trên N. Theo Hệ quả 2.1.1.9 và Mệnh đề 2.1.1.5, tồn tại các lân cận compact tương đối địa phương U, W của q n sao cho U ⊂ W , U là vi phôi với hình cầu đơn vị B(q, 1) ⊂ C và một hằng số dương c sao cho J 0 W ∩ SM (N) = ∅ và q ∈/ W. (2) J KM ≥ c.G trên W ∩ M. (3) 0 Vì fk(ρk) → q và fk(zk) → q , với k đủ lớn ta có fk(ρk) ⊂ U và fk(zk) ∈/ 0 ∗ 0 0 W . Do đó, tồn tại zk ∈ ∆ sao cho |wk| < |zk| < |zk| và fk(zk) ∈ ∂U. 0 Bằng cách lấy dãy con nếu cần, ta giả sử rằng fk(zk) → p ∈ ∂U. Từ (2) J ta có p∈ / SM (N). Gọi R là vành khuyên mở lớn nhất chứa ρk và fk(Rk) ⊂ U. (4) 0 0 Vì fk(zk) → p ∈ ∂U, khi đó tồn tại ak ≥ 0 và bk < |zk| sao cho Rk = {z ∈ C, ak < |z| < bk}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  29. 28 0 ∗ 0 Lấy Rek = {z ∈ C, |wk| < |z| < |zk|} và σk = {z ∈ ∆ , |z| = |zk|}. Ta có fk(ρk) → q và cũng giống như trong chứng minh fk(σk) → p ∈ ∂U. Khi đó với k đủ lớn ta có  1 f (ρ ) ⊂ B q, , k k 4  3 f (σ ) ⊂ W \B q, . k k 4 Khi đó tồn tại các điểm ck ∈ Rek, sao cho  1 f (c ) ∈ ∂B q, . k k 2 Theo Bổ đề về tính đơn điệu của Gromov, tồn tại các hằng số dương ε0 1 và α sao cho với ε ∈ (0, inf(ε0, 4)), ta có 2 AreaG(fk(Rek)) ≥ AreaG(fk(Rek) ∩ B(fk(ck), ε)) ≥ αε . Mặt khác, ta kí hiệu Area∆∗ (Rek) là diện tích của Rek đối với metric Poincaré trên ∆∗. Khi đó ta có  1 1  Area∆∗ (Rek) = 2π 0 − → 0. log(|zk|) log(|wk|) Từ (3) và (4) ta có 1 AreaG(fk(Rek)) ≤ .Area∆∗ (Rek) → 0, c điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vậy ta có điều phải chứng minh. (ii) Bằng cách lấy dãy con và đánh số lại, ta có thể giả sử |zk| < |wk|. 0 ∗ Như trong trường hợp (i) tồn tại một dãy (zk) trong ∆ hội tụ tới 0 sao 0 0 cho |zk| < |zk| < |wk| và fk(zk) → p ∈ ∂U. Bằng cách xét vành khuyên 0 Rek = z ∈ C, |zk| < |z| < |wk|, ta có thể đưa về như trường hợp (i), suy ra điều phải chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  30. 29 2.1.2.3. Hệ quả Giả sử (M, J) là đa tạp con hầu phức compact trong đa tạp hầu phức (N, J) và f : ∆∗ → (M, J) là một đường cong giả chỉnh hình. Nếu có ∗ J dãy (zk) ⊂ ∆ , zk → 0 sao cho f(zk) → q∈ / SM (N), thì f có thể thác triển thành đường cong giả chỉnh hình fe : ∆ → (N, J). Chứng minh Giả sử f : ∆∗ → M là ánh xạ giả chỉnh hình. Theo Định lý 2.1.2.1, f thác triển liên tục từ ∆ vào N và nếu f là liên tục, khả vi và giả chỉnh hình ngoại trừ một tập con rời rạc, thì f là khả vi và giả chỉnh hình trên ∆, (xem [Si], tr.169). 2.1.2.4. Hệ quả Giả sử (M, J) là một đa tạp con hầu phức compact tương đối hyper- bolic trong một đa tạp hầu phức (N, J) và f : ∆∗ → (M, J) là đường ∗ cong giả chỉnh hình. Nếu có một dãy (zk) trong ∆ hội tụ tới 0 sao cho f(zk) hội tụ tới q ∈ M. Khi đó f có thể thác triển được thành đường cong giả chỉnh hình fe : ∆ → (M, J). Đây là Hệ quả trực tiếp từ Hệ quả 2.1.2.3, vì nếu M là hyperbolic thì mọi điểm của M đều không là điểm suy biến. 2.1.2.5. Hệ quả ∗ Giả sử fk : ∆ → M là dãy các đường cong chỉnh hình. Giả sử với mỗi fk có thể thác triển thành đường cong chỉnh hình fek : ∆ → N. ∗ Nếu có dãy (zk) trong ∆ hội tụ tới 0 sao cho dãy (fk(zk)) hội tụ tới J p∈ / SM (N), thì fek(0) hội tụ tới p. Chứng minh Nếu fek(0) 9 q thì do tính compact, ta có thể giả sử fek(0) → p 6= q. ∗ Vì mỗi fek là liên tục, nên tồn tại dãy (zk) ⊂ ∆ sao cho zk → 0 và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  31. 30 fk(zk) → q. Điều này mẫu thuẫn theo Định lý 2.1.2.1. Hệ quả được chứng minh. 2.1.2.6. Định lý Giả sử (M, J) là đa tạp con hầu phức, compact tương đối, nhúng ∗ hyperbolic trong đa tạp hầu phức (N, J). Khi đó OJ (∆ ,M) là compact tương đối trong OJ (∆,N). Chứng minh ∗ Giả sử OJ (∆ ,M) không là compact tương đối trong OJ (∆,N). Khi ∗ đó theo Ascoli, OJ (∆ ,M) không đồng liên tục tại 0 và p ∈ N, tức ∗ ∗ là tồn tại một lân cận mở U của p, (zn) ⊂ ∆ , và (fn) ⊂ OJ (∆ ,M) sao cho fen(0) → p và fn(zn) ∈/ U với mỗi n. Theo tính compact, ta có thể giả sử dãy (fn(zn)) → q∈ / U. Khi đó, theo Hệ quả 2.1.2.5, ta có (fen(0)) → q. Từ đó nhận được mâu thuẫn và ta có điều phải chứng minh. 2.1.3. Sự thác triển trên các đa tạp số chiều cao Trong phần này, ta nghiên cứu sự thác triển của ánh xạ giả chỉnh hình vào các đa tạp hầu phức nhúng hyperbolic. 2.1.3.1. Định lý Giả sử C là một đường cong trơn giả chỉnh hình trong một đa tạp hầu phức (S, J 0) có số chiều 4 và (M, J) là một đa tạp con hầu phức, compact tương đối, nhúng hyperbolic trong một đa tạp hầu phức (N, J). Khi đó mỗi ánh xạ giả chỉnh hình f :(S\C, J 0) −→ (M, J) đều thác triển được lên một ánh xạ (J 0,J)- chỉnh hình từ S tới N. Việc chứng minh định lý này dựa trên Bổ đề sau (xem [Jo]). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  32. 31 2.1.3.2. Bổ đề Giả sử A là một tập con mỏng của một đa tạp hầu phức X,(M, J) là đa tạp con hầu phức, compact tương đối của một đa tạp hầu phức (N, J). Giả sử f : X\A −→ (M, J) là một ánh xạ giả chỉnh hình. Nếu f thác triển liên tục tới fe : X −→ N thì fe là ánh xạ giả chỉnh hình. Như trong [Jo], một tập con đóng A của X được gọi là tập con mỏng nếu tồn tại một phép chia lớp địa phương h của X xác định bởi các đĩa giả chỉnh hình quanh p, với mỗi p thuộc A, mà thỏa mãn các tính chất sau: 0 1. Tồn tại hằng số dương r < 1 sao choAz0 = {w ∈ ∆ : h(z , w) ∈ C} 0 n−1 là tập điểm hữu hạn được chứa trong đĩa ∆r với mỗi z ∈ ∆ . 2. Tồn tại các dãy (rj) và (sj) gồm các số thực nhỏ hơn 1 sao cho 0 0 rj −→ 0 và các mặt trụ {(z , w): |w| = rj, |z | < sj} không giao −1 với h (A) với mọi j ∈ N. Chứng minh Định lý 2.1.3.1 Với điểm p bất kỳ thuộc C, chọn một phép chia lớp địa phương h : ∆ × ∆ −→ X thỏa mãn các điều kiện sau: (a) h là vi phôi lên một lận cận của p và h(0, 0) = p. (b) h(., z0) : ∆ −→ X là phép nhúng giả chỉnh hình với mỗi z0 ∈ ∆. 0 0 (c) Với mỗi z ∈ ∆, ta có {w ∈ ∆; h(w, z ) ∈ C} = {0}. Ta ký hiệu fw là ánh xạ f ◦ h(., w) với w ∈ ∆. Vì với mỗi w ∈ ∆, ∗ fw : ∆ −→ (M, J) là đường cong giả chỉnh hình xác định trên đĩa ∆∗, nên nó có thể được thác triển thành đường cong giả chỉnh hình từ đĩa đơn vị ∆ tới N. Ta Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  33. 32 ∗ ký hiệu fw : ∆ −→ (N, J) là ánh xạ thác triển. Giả sử (wk) là dãy trong ∆, và wk → w0 ∈ ∆. Ta chỉ cần chứng minh fewk hội tụ đều đến few0 trong lân cận của 0. Vì (M, J) là nhúng hyperbolic trong (N, J), theo Định lý 2.1.2.6, bằng cách lấy dãy con nếu cần, ta có thể giả sử dãy các đường cong giả chỉnh hình fewk hội tụ đều trên các tập con compact của ∆ tới một đường cong giả chỉnh hình ϕ : ∆ −→ (N, J). Khi đó, theo điều kiện (c) nhận được ∗ ϕ(z) = lim fwk (z) = fw0 (z) = few0 (z) với z ∈ ∆ . Do đó, few0 trùng với ϕ trên đĩa đơn vị và (fewk ) hội tụ đều trên mỗi tập con compact của ∆. Suy ra f ◦ h là liên tục trong lân cận của (0, w0) và f có thể thác triển liên tục lên X, kí hiệu là fe. Theo Bổ đề 2.1.3.2 ta có fe là ánh xạ giả chỉnh hình. Định lý được chứng minh. 2.2. Một số định lý thác triển hội tụ kiểu Nuguchi Trước hết ta chứng minh một định lý thác triển hội tụ đối với các đường cong giả chỉnh hình mà được chứng minh trong trường hợp phức bởi Joseph-Kwack [J-K], tương tự định lý thác triển hội tụ đã được chứng minh bởi Noguchi [No]. 2.2.1. Định lý Giả sử (M, J) là đa tạp con hầu phức compact tương đối trong đa ∗ ∗ tạp hầu phức (N, J). Giả sử fn : ∆ −→ (M, J) và f : ∆ −→ (M, J) ∗ là các đường cong giả chỉnh hình. Giả sử tồn tại một dãy (zn) trong ∆ J hội tụ tới 0 sao cho dãy (fn(zn)) hội tụ tới p∈ / SM (N). Khi đó f và fn thác triển được lên ∆ và nếu dãy (fn) hội tụ đều tới f trên các tập ∗ con compact của ∆ thế thì dãy (fen) hội tụ tới fe đều trên các tập con Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  34. 33 compact của ∆, trong đó fen và fe là các thác triển lên ∆ của fn và f tương ứng. Chứng minh J Vì p∈ / SM (N) nên tồn tại một lân cận compact tương đối W của p J sao cho W ∩ SM (N) = ∅. Ta có khẳng định sau: Với mỗi lân cận V của p chứa trong W , tồn tại r > 0 và n0 ∈ N, sao cho ∗ fn(∆r) ⊂ V ∩ M, ∀n ≥ n0. (5) Thật vậy, nếu (5) không xảy ra thì với mỗi số nguyên dương k, tồn ∗ 1 tại wk ∈ ∆ và nk ∈ Z sao cho |wk| 0 và n0 ∈ N sao cho fn(∆r) ⊂ U ∩ M. Ta có 0 1 ∗ |f (z)| ≤ K ∗ , với mọi z ∈ ∆ . n G c ∆ (z) r Do đó, Z Z 1 0 2 1 2 E(f ∗ ) = |f (z)| ≤ K ∗ (z) < ∞. n∆r n G 2 ∆r 2 ∗ 2c ∗ ∆r ∆r Ta kí hiệu fen là thác triển của fn lên ∆. Theo (5) ta có fen(∆r) ⊂ V ∩ M, ∀n ≥ n0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  35. 34 0 Chọn V đủ nhỏ, thì tồn tại một hằng số dương α sao cho |fn(z)| ≤ α trong ∆r. Do tính compact, tồn tại một dãy con (fϕ(n)) mà hội tụ đều tới đường cong J-chỉnh hình g. Vì fn −→ f đều trên các tập con compact ∗ của ∆ nên g là thác triển của f. Cuối cùng, ta chứng minh dãy (fen) hội tụ đều tới g trong lân cận của 0. Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại ∗ dãy (xn) ⊂ ∆r hội tụ tới 0 sao cho |fen(xn) − g(xn)|euc 9 0, m trong đó |.|euc là chuẩn Euclide trên R . Theo Định lý 2.1.2.1, ta có fen(xn) −→ p và f(xn) −→ g(0) = p, điều này mâu thuẫn. Suy ra điều phải chứng minh. Tiếp theo ta chứng minh một dạng khác của định lý thác triển hội tụ của Noguchi đối với các ánh xạ giả chỉnh hình xác định trên S\C tới một đa tạp con nhúng hyperbolic, trong đó C là đường cong trơn, giả chỉnh hình trong một đa tạp hầu phức S có số chiều thực bằng 4. 2.2.2. Định lý Giả sử C là đường cong trơn, giả chỉnh hình trong một đa tạp hầu phức (S, J 0) có số chiều thực bằng 4 và (M, J) là đa tạp con hầu phức compact tương đối, nhúng hyperbolic trong một đa tạp hầu phức (N, J). Giả sử 0 0 fn :(S\C, J ) −→ (M, J) và f :(S\C, J ) −→ (M, J) 0 là các ánh xạ (J, J )-chỉnh hình. Nếu dãy (fn) hội tụ đều tới f trên các tập con compact của S\C, thì dãy e(fn) hội tụ đều tới fe trên các tập con 0 compact của S, trong đó fen và fe là các thác triển (J ,J)-chỉnh hình lên S của fn và f tương ứng. Chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  36. 35 Theo Định lý 2.1.3.1, mỗi fn và f thác triển được thành các ánh xạ 0 (J ,J)-chỉnh hình fen : X −→ N và fe : X −→ N tương ứng. Ta chỉ cần xét tính hội tụ trong lân cận của một điểm p ∈ C. Chọn một phép chia lớp địa phương h : ∆ × ∆ −→ X thỏa mãn các điều kiện sau: (a) h là một vi phôi lên một lân cận p và h(0, 0) = p. (b) h(., z0) : ∆ −→ X là phép nhúng giả chỉnh hình với mỗi z0 ∈ ∆. (c) Với mỗi z0 ∈ ∆, ta có {w ∈ ∆ : h(w, z0) ∈ C} = {0}. Kí hiệu ∗ ϕn := fn ◦ h : ∆ × ∆ −→ (M, J) và ϕen := fen ◦ h : ∆ × ∆ −→ (M, J). Với mỗi r ∈ (0, 1), đặt Sr = {z ∈ ∆; |z| = r}. Giả sử fe ◦ h(0) = p, giả sử dãy (ϕen) không hội tụ đều trên một lân cận nào đó của 0, khi đó ta có thể chọn một lân cận compact tương đối W của p, vi phôi với m B(1) là hình cầu đơn vị trong C , sao cho với mỗi số nguyên dương k và r ∈ (0, 1) có hữu hạn n thỏa mãn ϕen(∆1/k × ∆r) 6⊂ W. Tồn tại k0 và r0 sao cho 1 ϕ(∆ ) × ∆ ) ⊂ B( ). e 1/k0 r 8 Vì dãy (ϕn) hội tụ đều trên S1/k ×∆r0 , nên tồn tại một dãy con (ϕnk ) 0 của (ϕn) và một dãy (zk) trong ∆r0 hội tụ tới 0 sao cho 1 ϕ (S , z0 ) ⊂ B( ) nk 1/k k 4 và ϕ (∆ , z0 ) 6⊂ B(1). enk 1/k k Do đó, với mỗi k ≥ k0, có điểm zk ∈ ∆1/k sao cho g (z ) := ϕ (z , z0 ) ∈ S , nk k enk k k 1/2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  37. 36 trong đó g là đường cong giả chỉnh hình xác định bởi g = ϕ (., z0 ). nk nk enk k Theo Bổ đề về tính đơn điệu của Gromov, tồn tại các hằng số dương ε0 1 và α sao cho với ε ∈ (0, inf(ε0, 8)) ta có 2 AreaG(gnk (∆1/k)) ≥ AreaG(gnk (∆1/k) ∩ B(gnk (zk), ε)) ≥ αε , trong đó G là hàm độ dài trong N. Mặt khác, vì (M, J) là nhúng hyperbolic trong (N, J) nên tồn tại một hằng số dương c sao cho M KJ ≥ c.G. ∗ Hạn chế gnk trên ∆ là một đường cong giả chỉnh hình, khi đó ∗ 1 ∗ J 1 g (G) ≤ g (K ) ≤ K∆∗ . nk c nk M c Từ đó, ∗ 1 ∗ Area (g (∆ )) = Area (g (∆ )) ≤ .Area ∗ (∆ ) → 0. G nk 1/k G nk 1/k c ∆ 1/k Do đó ta nhận được mâu thuẫn. Vậy ta có điều phải chứng minh. Khi M là hyperbolic compact, ta có thể làm mạnh định lý trên bởi định lý sau. 2.2.3. Định lý Giả sử A là một tập con mỏng trong một đa tạp hầu phức (X, J 0), (M, J) là một đa tạp hầu phức, hyperbolic compact và (Jn) là dãy các cấu trúc hầu phức trên M hội tụ tới J đối với tôpô C∞. Giả sử 0 fn :(X\A, J ) −→ (M, Jn) và f :(X\A, J 0) −→ (M, J) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  38. 37 là các ánh xạ giả chỉnh hình. Nếu (fn) hội tụ đều tới f trên các tập con compact của X\A, thì (fen) hội tụ đều tới fe trên các tập con compact của X, trong đó fen : 0 0 (X, J ) −→ (M, Jn) và fe :(X, J ) −→ (M, J) là các thác triển tới X của fn và f tương ứng. Việc chứng minh định lý trên dựa vào hai bổ đề sau: 2.2.4. Bổ đề Giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức, hyperbolic compact và G là hàm độ dài trên M. Khi đó, tồn tại một lân cận mở U của J và hằng số dương c sao cho J 0 0 KM ≥ c.G, với mỗi J ∈ U. Chứng minh Ta giả sử rằng không tồn tại số c và lân cận U như vậy. Khi đó tồn tại một dãy các vectơ tiếp xúc (ξk) trong TM và một dãy các cấu trúc hầu phức (Jk) hội tụ tới J sao cho Jk |ξk|G = 1 và KM (ξk) → 0. Jk Bằng cách lấy dãy con, ta có thể giả sử rằng dãy (KM (ξk)) là đơn điệu giảm. Do đó, tồn tại một dãy đơn điệu tăng (rk) gồm các số dương dần đến +∞ và một họ các đường cong giả chỉnh hình 0 fk : ∆rk −→ (M, Jk) sao cho fk(0) = ξk. Áp dụng định lý về tham số hóa của Brody trong Chương 1 ta có, với mỗi fk ta thu được một dãy các đường cong giả chỉnh hình ϕ : ∆rk −→ (M, Jk) sao cho 0 2 2 2 |ϕk(z)|G ≤ rk/(rk − |z| ) trên ∆rk Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  39. 38 và dấu bằng xảy ra tại 0. Theo định lý về tính compact, ta có thể trích ra một dãy con của (ϕk) mà hội tụ đều trên các tập compact tới đường cong giả chỉnh hình ϕ : C −→ (M, J). Ánh xạ ϕ không là hằng vì 0 0 0 |ϕ (0)|G = lim |ϕk(0)|G = 1 và |ϕ (z)|G ≤ 1, ∀z ∈ C. Điều này mẫu thuẫn với tính hyperbolic của M. Bổ đề được chứng minh. Bổ đề sau là của Gaussier - Sukhov [G-S]: 2.2.5. Bổ đề Giả sử (M, J) (tương ứng (M 0,J 0)) là một đa tạp hầu phức nhẵn. 0 Giả sử (Jn) (tương ứng (Jn)) là dãy các cấu trúc hầu phức trên M (tương ứng trên M 0) hội tụ trong tôpô C∞(M) (tương ứng C∞(M 0)) 0 0 tới J (tương ứng J ). Với mọi n, giả sử f ∈ O 0 (M ,M). Giả sử n (Jn,Jn) (fn) hội tụ đều trên các tập con compact của M tới ánh xạ f. Khi đó 0 f ∈ O(J 0,J)(M ,M). Chứng minh Định lý 2.2.3 Với mỗi ánh xạ chỉnh hình g : X\A −→ M thác triển tới ánh xạ chỉnh hình ge : X −→ M (xem [Jo]). Do đó, mỗi fn thác triển tới một 0 ánh xạ giả chỉnh hình fen :(X, J ) −→ (M, Jn). Giả sử G là hàm độ dài trên M. Theo Bổ đề 2.2.4, tồn tại hằng số Jn dương c và số nguyên dương n0 sao cho KM ≥ c.G, ∀n ≥ n0. Do đó Jn dc.G(fen(z), fen(w)) ≤ dM (fen(z), fen(w)) với mỗi z, w ∈ X. 0 Giả sử (feϕ(n)) là dãy con bất kì của (fen). Vì feϕ(n) là ánh xạ (J ,Jϕ(n))-giả chỉnh hình từ X vào M, nên ta có với n ≥ n0 J 0 dc.G(feϕ(n)(z), feϕ(n)(w)) ≤ dX (z, w) với mỗi z, w ∈ X. Theo Ascoli, ta có họ (feϕ(n)) là đồng liên tục và ta có thể trích ra một dãy con feϕ◦ψ(n) hội tụ tới ánh xạ g. Theo Bổ đề 2.2.5, ta có ánh xạ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  40. 39 g là (J 0,J)-chỉnh hình và trùng với f trên X\A. Do đó, fe = g và cuối cùng ta có dãy (fen) hội tụ đều trên mỗi tập con compact của X tới fe. Định lý được chứng minh. Đặc biệt, nếu A là một đương cong nhúng trong một mặt cầu hầu phức, thì ta có 2.2.6. Hệ quả Giả sử C là một đường cong trơn giả chỉnh hình trong một đa tạp hầu phức (S, J 0) có số chiều thực 4, giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức, hyperbolic compact và (Jn) là dãy các cấu trúc hầu phức trên M hội tụ tới J trong tôpô C∞. Giả sử 0 fn :(S\C, J ) −→ (M, Jn) là các ánh xạ giả chỉnh hình. Nếu (fn) hội tụ tới f đều trên các tập con compact của S\C, thì (fen) hội tụ tới fe đều trên các tập con compact của S, trong đó fen : 0 0 (S, J ) −→ (M, Jn) và fe :(S, J ) −→ (M, J) là các thác triển lên S của fn và f tương ứng. Cuối cùng, ta chứng minh một dạng khác của định lý thác triển hội tụ Noguchi đối với các đường cong J-chỉnh hình. 2.2.7. Định lý Giả sử (M, J) là một đa tạp con hầu phức, hyperbolic, compact tương đối trong một đa tạp hầu phức (N, J). Giả sử có một lân cận U của ∂M, biên của M trong N, sao cho U ∩ M là siêu lồi. Khi đó, mỗi đường cong giả chỉnh hình f : ∆∗ −→ M đều thác triển tới một đường cong giả chỉnh hình fe : ∆ −→ M. ∗ Hơn nữa, nếu (fn : ∆ −→ (M, J)) là dãy các đường cong giả chỉnh hình hội tụ đều trên các tập con compact của ∆∗ tới đường cong giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  41. 40 ∗ chỉnh hình f : ∆ −→ (M, J), thì dãy (fen) hội tụ đều trên các tập con compact của ∆ tới fe, trong đó fen và fe là các thác triển lên ∆ của fn và f tương ứng. Chứng minh ∗ Theo Hệ quả 2.1.2.4, ta cần chỉ ra tồn tại một dãy (zn) trong ∆ , hội tụ tới 0 sao cho dãy (f(zn)) hội tụ tới một điểm của M. ∗ Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại r ∈ (0, 1) sao cho f(∆r) ⊂ U. Giả sử ϕ là một hàm đa điều hòa dưới của U ∩ M. Khi đó hàm g = ϕ ◦ f là ∗ hàm điều hòa dưới trên ∆r. Theo giả thiết g thác triển liên tục tới một ∗ hàm ge mà vẫn là điều hòa dưới trên ∆r. Ta có ge(z) < 0 với mỗi z ∈ ∆r và ge(0) = 0. Do vậy ge đạt giá trị lớn nhất của nó tại gốc 0. Điều này mẫu thuẫn với nguyên lý cực đại. Đối với điều khẳng định thứ hai, giả sử (fϕ(n)) là một dãy con tùy ý của (fen). Vì fϕ(n) là đường cong giả chỉnh hình từ ∆ tới M, ta có J dM (feϕ(n)(z), feϕ(n)(w)) ≤ d∆(z, w) với mọi z, w ∈ ∆. Do đó, họ (feϕ(n)) là đồng liên tục, và theo Ascoli, ta có thể trích ra một dãy con feϕ◦ψ(n) hội tụ tới một ánh xạ chỉnh hình g. Nhưng ánh xạ ∗ g trùng với f trên ∆ , do đó fe = g và ta có dãy (fen) hội tụ đều tới fe trên mỗi tập con compact của ∆. Định lý được chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  42. 41 Kết luận Với mục đích tìm hiểu một số định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với các ánh xạ giả chỉnh hình giữa các đa tạp hầu phức, luận văn đã trình bày được một số kết quả chính sau: 1. Mở rộng Định lý Picard lớn trong các đa tạp hầu phức. Cụ thể là một số định lý thác triển của ánh xạ giả chỉnh hình (Hệ quả 2.1.2.3, Hệ quả 2.1.2.4, Định lý 2.1.3.1). 2. Trình bày một tiêu chuẩn về tính nhúng hyperbolic của các đa tạp hầu phức tương tự như tiêu chuẩn của Kiernan cho tính nhúng hyperbolic của các đa tạp phức (Định lý 2.1.2.6). 3. Trình bày một số định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với các ánh xạ giả chỉnh hình (Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.3). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  43. 42 Tài liệu tham khảo [Ad] Y.Adachi, A generalization of the big Picard Theorem, Kodai Math. J. 18 (1995), 408-424. [A-S] Y.Adachi and M.SuZuki, Degeneracy points of the Kobayashi pseudodistance on complex manifolds, Proc. Symp. Pure Math. Amer. Math. Soc. 52 (1991), 41-51. [D] R. Dabalme, Kobayashi hyperbolicity of almost complex manifolds, Pul. Irma, Lille, 1999. [G-S] H. Gaussier and A. Sukhov, Wong- Rosay theorem in almost com- plex manifolds, ar Xiv: math. CV/0307335 V1. [H-K] F. Haggui and A. Khalfallah, Extension and convergence theo- rems of pseudoholomorphic maps, Osaka J. Math. 46 (2009), 821- 844. [Jo] J.-C. Joo, Generalized big Picard theorem for pseudoholomorphic maps, J. Math. Anal. Appl. 323(2006), 1333-1347. [J-K] J. E. Joseph and M. H. Kwack, Hyperbolic imbedding and spaces of continuous extensions of holomorphic maps, J. Geom. Anal. 4(1994), 361-378. [Ko] S. Kobayashi, Hyperbolic Complex Spaces, Springer, Berlin, 1998. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
  44. 43 [Mu] M.-P. Muller, Gromov’s Schwarz lemma as an estimate of the gra- dient for holomorphic curves, in Holomorphic Curves in Symplectic Geometry, Prog. Math. 117, Birkhauser, Basel, 1994, 217-231. [No] J. Noguchi, Moduli spaces of holomorphic mappings into hyper- bolically imbedded complex spaces and locally symmetric spaces, Invent. Math. 93(1988), 15-34. [Ro] H. L. Royden, Remarks on the Kobayashi metric, in Serveral com- plex Variables, II, Lecture Notes in Math. 185, Springer, Berlin, 1971, 125-137. [Si] J.-C. Sikorav, Some properties of holomorphic curves in almost com- plex manifolds, in Holomorphic Curves in Symplectic Geometry, Birkhauser, Basel, 1994, 165-189. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên