Luận án Về tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương

87 trang yendo 5280

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Luận án Về tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

luan_an_ve_tap_idean_nguyen_to_gan_ket_cua_modun_doi_dong_di.pdf

Nội dung text: Luận án Về tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương

Đại học huế Trường Đại học Sư phạm Trần Đỗ Minh Châu Về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương luận án tiến sĩ toán học Huế - 2014
Đại học Huế Trường Đại học Sư phạm Trần Đỗ Minh Châu Về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 62.46.01.04 luận án tiến sĩ toán học Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn 2. GS.TS. Lê Văn Thuyết Huế - 2014
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác. Tác giả Trần Đỗ Minh Châu
Lời cảm ơn Luận án này chắc chắn không thể hoàn thành được nếu không có sự hướng dẫn nghiêm khắc nhưng vô cùng tận tình và tâm huyết của Cô tôi-PGS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô. Cô đã đưa tôi đến với Đại số giao hoán và truyền đạt cho tôi phương pháp nghiên cứu, từ cách đọc sách, phát hiện và nảy sinh ra những ý tưởng toán học đến cách giải quyết vấn đề. Tôi thực sự thấy mình trưởng thành lên rất nhiều và ngày càng say mê nghiên cứu hơn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy tôi-GS.TS. Lê Văn Thuyết. Thầy luôn tận tình, động viên tôi trong suốt bốn năm nghiên cứu sinh. Sự ân cần của thầy đã giúp tôi vượt qua nhiều khó khăn mỗi khi xa nhà. Thầy luôn là một tấm gương về sự say mê nghiên cứu khoa học cũng như sự cống hiến cho cộng đồng Toán học Việt Nam để tôi học tập. Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của hai người thầy PGS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn và GS.TS. Lê Văn Thuyết. Một lần nữa tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai người thầy của tôi và sẽ phấn đấu hơn nữa để xứng đáng với công lao của thầy, cô, xứng đáng với niềm tin của thầy, cô đã dành cho tôi. Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo Khoa Toán ĐHSP Huế, phòng Sau ĐH đã luôn giúp đỡ, tạo mọi điều kiện để cho tôi học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Chuyên Thái Nguyên đã cho tôi cơ hội được đi học tập và nghiên cứu. Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm
khoa Toán và tổ Đại số Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện và sắp xếp công việc thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian tôi viết luận án. Tôi xin cảm ơn những đồng nghiệp, các anh, chị, em đã và đang công tác tại trường THPT Chuyên, chị Nguyễn Thị Kiều Nga, bạn Trần Nguyên An đã động viên, chia sẻ, giúp đỡ tôi trong suốt bốn năm nghiên cứu sinh. Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong gia đình của mình - những người đã động viên, chia sẻ mọi khó khăn cùng tôi suốt những năm tháng qua để tôi có thể hoàn thành luận án.
2 Mục lục Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 14 1.1 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Môđun đối đồng điều địa phương Artin . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Vành catenary phổ dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Chiều và tính bão hòa nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 2. Môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại 28 2.1 Chuyển iđêan nguyên tố gắn kết qua đầy đủ . . . . . . . . . . 28 2.2 Trường hợp vành catenary phổ dụng với thớ hình thức Cohen- Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Đối địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Chương 3. Môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá tùy ý 56 3.1 Tính bão hòa nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 Đối giá và số bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Kết luận và kiến nghị 76 Các công trình liên quan đến luận án 78 Tài liệu tham khảo 79
3 Mở đầu Vào những năm 1960, A. Grothendieck [18] đã giới thiệu lý thuyết đối đồng điều địa phương dựa trên công trình của J. P. Serre [56] năm 1955 về các bó đại số. Ngay sau đó, lý thuyết này nhanh chóng phát triển và được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm (có thể kể đến một số công trình điển hình như [18], [19], [20], [22], [23], [25], [29], [31], [47], [50], [52], [57], [58]). Ngày nay, lý thuyết đối đồng điều địa phương đã trở thành công cụ không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học như Đại số giao hoán, Hình học đại số, Đại số tổ hợp Một trong những kết quả quan trọng về môđun đối đồng điều địa phương là tính triệt tiêu. Cho M là môđun trên vành giao hoán Noether R. Năm 1967, A. Grothendieck [18] đã chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương i triệt tiêu tại mọi cấp và nếu là vành địa HI(M) i > dim SuppR M (R, m) phương, là hữu hạn sinh thì d trong đó Sau đó, M Hm(M) 6= 0, d = dim M. ông cũng chứng minh được độ sâu của là số bé nhất để i M i Hm(M) 6= 0. Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne ([20], [50]) nổi tiếng còn khẳng định rằng nếu I là iđêan của vành địa phương (R, m) với dim R = n thì n khi và chỉ khi với mọi iđêan nguyên tố HI (R) = 0 dim R/b (IRb + P) ≥ 1 liên kết chiều cao nhất P của vành đầy đủ m-adic R.b Tính chất tiếp theo được rất nhiều người quan tâm là tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phương. Ngay cả khi hữu hạn sinh thì i nhìn chung không hữu hạn M HI(M) sinh. Vì thế người ta đặt ra câu hỏi với điều kiện nào thì môđun i hữu HI(M)
4 hạn sinh. Năm 1978, G. Faltings [57] đã đặc trưng số bé nhất để i i HI(M) không hữu hạn sinh. Ông còn đưa ra nguyên lý địa phương toàn cục về tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phương (xem [58]). Một trong những tính chất rất được chú ý của môđun đối đồng điều địa phương là tính Artin. Cho (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Năm 1971, bằng một chứng minh ngắn gọn, sử dụng giải nội xạ tối tiểu của M và tính Artin của bao nội xạ E(R/m), I. G. Macdonald và R. Y. Sharp [31] đã suy ra được i luôn là Artin với mọi Sau đó, sử dụng Định lý triệt tiêu Hm(M) i ≥ 0. Lichtenbaum-Hartshorne, R. Y. Sharp [50] phát hiện ra lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin thứ hai là d Về sau, L. Melkersson [34] đã HI (M). chứng minh lại hai kết quả về tính Artin này bằng một phương pháp sơ cấp. Nhiều thông tin về hai lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin i Hm(M) và d đã được phản ánh thông qua các công trình của R. Y. Sharp [47], HI (M) M. Brodmann-Sharp ([3], [4], [5]), M. Hochster và C. Huneke [21], K. E. Smith [53], K. Divaani-Aazar và P. Schenzel [17], H. Zăoschinger [61] và các công trình của N. T. Cường cùng các học trò (xem [10], [11], [38], [39]). Theo I. G. Macdonald [30], tập iđêan nguyên tố gắn kết của R-môđun Artin A, kí hiệu là AttR A, có vai trò quan trọng tương tự như tập iđêan nguyên tố liên kết đối với môđun hữu hạn sinh. Mục đích của luận án là nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương cấp bất kì với giá cực đại i và môđun đối đồng điều địa phương cấp Hm(M) cao nhất với giá tùy ý d , từ đó làm rõ cấu trúc của môđun và vành HI (M) M cơ sở R. Đồng thời, các tập iđêan nguyên tố gắn kết này còn được nghiên cứu trong mối liên hệ với số bội, tính bão hòa nguyên tố và đối địa phương hóa của hai lớp môđun đối đồng điều địa phương i và d . Nhắc Hm(M) HI (M) lại rằng một R-môđun Artin A được gọi là thỏa mãn tính bão hòa nguyên
5 tố nếu AnnR(0 :A p) = p với mỗi iđêan nguyên tố p chứa AnnR A. Tính bão hòa nguyên tố được giới thiệu bởi N. T. Cường và L. T. Nhàn [11] nhằm nghiên cứu cấu trúc của môđun Artin. Chú ý rằng các môđun đối đồng điều địa phương i có cấu trúc - Hm(M) Rb môđun Artin nên tập iđêan nguyên tố gắn kết của i trên luôn xác Hm(M) Rb định. Câu hỏi tự nhiên đặt ra là mối quan hệ giữa hai tập i và AttR Hm(M) Att Hi (M) như thế nào. Năm 1975, R. Y. Sharp [47] chứng minh được khi Rb m iđêan nguyên tố P của R chạy trong Att Hi (M) thì tập các iđêan nguyên b Rb m tố chính là i Ông còn đưa thêm một số thông tin về P ∩ R AttR Hm(M). chiều của các iđêan nguyên tố gắn kết của i trên Tuy nhiên, vấn Hm(M) R. đề ngược lại, cho trước tập i , bằng cách nào xác định được tập AttR Hm(M) Att Hi (M) vẫn chưa được giải quyết. Trong luận án này, chúng tôi đưa ra Rb m câu trả lời cho vấn đề đó. Khi R là ảnh đồng cấu của vành Gorenstein, R. Y. Sharp [47] đã chứng minh nguyên lý chuyển dịch địa phương để chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của Hi (M) qua địa phương hóa Hi−dim R/p(M ). ý tưởng này tiếp tục m pRp p được M. Brodmann và R. Y. Sharp [4] sử dụng để nghiên cứu chiều và số bội cho các môđun đối đồng điều địa phương i và mở rộng kết quả đó cho Hm(M) lớp vành catenary phổ dụng có mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Chú ý rằng nguyên lý chuyển dịch địa phương này không đúng trong trường hợp tổng quát. Vì thế bài toán thứ hai được giải quyết trong luận án này là tìm điều kiện của vành cơ sở R để tồn tại một đối địa phương hóa tương thích với mọi môđun i Hm(M). Kết quả của I. G. Macdonald và R. Y. Sharp [31] năm 1971 đã mô tả rất rõ ràng tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều cấp cao nhất với giá cực đại d trên và . Từ Định lý triệt tiêu Lichtenbaum- Hm(M) R Rb Hartshorne, năm 1981, R. Y. Sharp [50] tiếp tục mô tả tập iđêan nguyên tố
6 gắn kết của d trên vành Sau đó, K. Divaani-Aazar và P. Schenzel HI (R) R.b [17] đã mở rộng kết quả này cho môđun. Mặc dù vậy, vấn đề xác định tập iđêan nguyên tố gắn kết của d trên vành vẫn là vấn đề mở. Bài toán HI (M) R thứ ba được giải quyết trong luận án này là mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun d trên vành trong mối liên hệ với tính bão hòa nguyên HI (M) R tố, đối địa phương hóa và công thức bội liên kết của môđun này. Về phương pháp tiếp cận, để nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại, nếu R là thương của vành Gorenstein thì bằng cách sử dụng đối ngẫu địa phương và các tính chất quen biết của môđun hữu hạn sinh ta có thể thu được những thông tin của i một cách nhanh chóng. Tuy nhiên, Hm(M) trên vành tùy ý, chúng tôi phải sử dụng khéo léo tập giả giá giới thiệu bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp [4] và những tính chất đặc thù về chiều của môđun Artin để chứng minh các kết quả. Để nghiên cứu lớp môđun d , chúng HI (M) tôi cần đến những hiểu biết sâu về Định lý phân tích nguyên sơ Noether, tính chất đối hữu hạn của d và một số kết quả đã biết về lớp môđun đối HI (M) đồng điều địa phương này. Luận án được chia làm 3 chương. Chương 1 nhắc lại một số kiến thức cơ sở như biểu diễn thứ cấp, môđun đối đồng điều địa phương Artin, tính catenary phổ dụng của vành, chiều và tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin. Chương 2, được viết dựa theo các bài báo [7] và [41], trình bày các kết quả của luận án về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương cấp tùy ý với giá cực đại. Chương 3 trình bày các kết quả của luận án về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá bất kì dựa theo bài báo [40] . Trong suốt luận án, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d và A là R-môđun Artin.
7 Trong Chương 2, chúng tôi trình bày các kết quả liên quan đến việc chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của i qua đầy đủ -adic. Cụ thể, chúng Hm(M) m tôi đặc trưng vành catenary phổ dụng với các thớ hình thức Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệ giữa các tập Att Hi (M) và Att Hi (M). Chúng R m Rb m tôi cũng đưa ra điều kiện cần của vành cơ sở R để tồn tại một hàm tử đối địa phương hóa tương thích với mọi môđun Artin i Với mỗi -môđun Hm(M). R hữu hạn sinh, công thức sau được suy ra từ [33, Định lý 23.2(ii)] cho ta mối quan hệ giữa tập iđêan nguyên tố liên kết của M và tập iđêan nguyên tố liên kết của Mc [ Ass M = Ass (R/pR). Rb c Rb b b p∈AssR M Tuy nhiên công thức đối ngẫu cho môđun Artin A [ Att A = Ass (R/pR) (1) Rb Rb b b p∈AttR A nhìn chung không đúng thậm chí khi i (xem Ví dụ 2.1.2). Chúng A = Hm(M) tôi chỉ ra rằng công thức (1) đúng cho mọi môđun Artin A khi và chỉ khi ánh xạ cảm sinh f a : Spec(Rb) → Spec(R) là song ánh. Hơn nữa, nếu giả thiết R là vành thương của vành Gorenstein địa phương (R0, m0) chiều n, kí hiệu i là -môđun hữu hạn sinh n−i 0 với mỗi số nguyên K (M) R ExtR0 (M, R ) i ≥ 0. Môđun Ki(M) được gọi là môđun khuyết thứ i của M và K(M) := Kd(M) được gọi là môđun chính tắc của M. Khi đó Định lý Đối ngẫu địa phương cho ta các đẳng cấu i ∼ i với mọi , trong Hm(M) = HomR(K (M),E(R/m)) i đó E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m. Trong trường hợp này, sử dụng các tính chất đã biết của iđêan nguyên tố liên kết của Ki(M) và đối ngẫu địa phương, đối ngẫu Matlis, chúng tôi chứng minh được mối quan hệ sau giữa Att Hi (M) và Att Hi (M) R m Rb m [ Att Hi (M) = Ass (R/pR). (2) Rb m Rb b b i p∈AttR Hm(M)
8 Chú ý rằng tồn tại vành Noether địa phương R không thể viết dưới dạng thương của vành Gorenstein địa phương nhưng công thức (2) vẫn đúng với mọi R-môđun hữu hạn sinh M và với mọi số nguyên i ≥ 0 (xem Ví dụ 2.1.8). Vì thế một câu hỏi tự nhiên là liệu quan hệ (2) còn đúng trong trường hợp tổng quát hơn, khi R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Định lý sau, là kết quả chính đầu tiên của Chương 2, trả lời một phần cho câu hỏi này. ở đây, với mỗi R-môđun Artin A, ta kí hiệu N-dimR A là chiều Noether của A giới thiệu bởi R. N. Roberts [46]. Định lý 2.2.5. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của R là Cohen- Macaulay; [ (ii) min Att Hi (M) = min Ass (R/pR) với mọi R-môđun Rb m Rb b b i p∈AttR Hm(M) hữu hạn sinh M và với mọi số nguyên i ≥ 0; (iii) i i với mọi -môđun hữu dim(R/ AnnR Hm(M)) = N-dimR Hm(M) R hạn sinh M và với mọi số nguyên i ≥ 0. Công cụ chính để chứng minh Định lý 2.2.5 là khái niệm giả giá giới thiệu bởi M. Brodmann và R.Y. Sharp [4]. Với mỗi số nguyên i ≥ 0, giả giá thứ i của , kí hiệu là i , được cho bởi công thức M PsuppR(M) Psuppi (M) = {p ∈ Spec(R): Hi−dim R/p(M ) 6= 0}. R pRp p Chú ý rằng i có vai trò quan trọng trong nghiên cứu chiều và số PsuppR(M) bội cho i (xem [4], [38]) cũng như quỹ tích không Cohen-Macaulay Hm(M) và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M (xem [2], [14], [42]), trong đó vai trò của i đối với môđun Artin i theo nghĩa PsuppR(M) Hm(M) nào đó tương tự như tập giá đối với môđun hữu hạn sinh. Từ Định lý 2.2.5, chúng tôi suy ra một đặc trưng nữa cho lớp vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệ giữa i PsuppR(M)
9 và Psuppi (M). Rb c Hệ quả 2.2.8. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của R là Cohen- Macaulay; (ii) Psuppi M = {P ∩ R | P ∈ Psuppi (M)} với mọi R-môđun hữu hạn R Rb c sinh M và với mọi số nguyên i ≥ 0. Với mỗi iđêan nguyên tố p của R, hàm tử địa phương hóa tại p là hàm tử khớp, tuyến tính từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các Rp-môđun thỏa mãn Mp là Rp-môđun Noether và Mp 6= 0 với mọi p ⊇ AnnR M. Hàm tử này đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu môđun Noether. Tuy nhiên, ngay cả khi p ⊇ AnnR A, nếu p 6= m thì Ap = 0. Vì thế, trên nhiều khía cạnh, hàm tử địa phương hóa không hữu ích trong việc nghiên cứu môđun Artin. Do đó chúng ta cần xây dựng với mỗi p ∈ Spec(R) một hàm tử "đối địa phương hóa" từ phạm trù các -môđun đến phạm trù Fp : MR → MRp R các Rp-môđun sao cho Fp tương thích với mọi R-môđun Artin A, nghĩa là Fp có các tính chất sau: (a) Fp là tuyến tính và khớp trên phạm trù các R-môđun Artin; (b) Fp biến các R-môđun Artin thành các Rp-môđun Artin; (c) Fp(A) 6= 0 nếu p ⊇ AnnR A với mỗi R-môđun Artin A. Chúng tôi chỉ ra một điều kiện cần để tồn tại hàm tử đối địa phương hóa như vậy trong định lý sau. Nhắc lại rằng ánh xạ tự nhiên R → Rb được gọi là thỏa mãn tính chất đi lên nếu với bất kì p, q ∈ Spec(R), Q ∈ Spec(Rb) thỏa mãn q ⊆ p và Q ∩ R = q, tồn tại P ∈ Spec(Rb) sao cho Q ⊆ P và P ∩ R = p. Định lý 2.3.8. Giả sử với mỗi p ∈ Spec(R) luôn tồn tại một hàm tử thỏa mãn các tính chất (a), (b), (c). Khi đó ánh xạ Fp : MR → MRp
10 tự nhiên R → Rb thỏa mãn tính chất đi lên. Đặc biệt, mọi thớ hình thức của R đều là vành Artin. Một số tác giả đã xây dựng đối địa phương hóa Fp, với mỗi p ∈ Spec(R) (xem [35], [45], [53] ). Tuy nhiên không một đối địa phương hóa nào thỏa mãn cả ba tính chất (a), (b), (c) ở trên. Cũng trong [4], với giả thiết R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay, M. Brodmann và R.Y. Sharp đã xem vai trò của R -môđun Hi−dim(R/p)(M ) như là đối địa p pRp p phương hóa của môđun đối đồng điều địa phương i để xây dựng thành Hm(M) công công thức bội liên kết của i Câu hỏi đặt ra là với điều kiện nào Hm(M). ta có được một đối địa phương hóa tương thích cho mọi môđun đối đồng điều địa phương i Định lý dưới đây là câu trả lời bộ phận cho câu Hm(M)? hỏi này. Định lý 2.3.11. Giả sử tồn tại, với mỗi p ∈ Spec(R), một hàm tử khớp, tuyến tính trên phạm trù các -môđun sao cho i là Fp : MR → MRp R Fp(Hm(M)) Artin và i với bất kì i , với mọi số nguyên Fp(Hm(M)) 6= 0 p ⊇ AnnR Hm(M) i và với mọi R-môđun hữu hạn sinh M. Khi đó vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của R là Cohen-Macaulay. Phần cuối của Chương 2 đưa ra ví dụ cho thấy đối địa phương hóa tương thích cho mọi môđun Artin nhìn chung không tồn tại ngay cả khi R là thương của vành chính quy Noether địa phương (xem Ví dụ 2.3.9). Trong Chương 3, chúng tôi quan tâm đến tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá bất kì trong mối liên hệ với tính bão hòa nguyên tố và số bội của môđun này. Theo N. T. Cường và L. T. Nhàn [11], một R-môđun A thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nếu AnnR(0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR A. Tính bão hòa nguyên tố nhìn chung không thỏa mãn với mọi môđun đối đồng điều địa phương Artin (xem [11, Ví dụ 4.4]). Trong [10], N. T. Cường - N. T. Dung
11 - L. T. Nhàn đã đặc trưng tính bão hòa nguyên tố cho môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại d thông qua tính catenary Hm(M) của vành d và chỉ ra rằng nếu là miền nguyên không R/ AnnR(Hm(M)) R catenary thì dim R không bão hòa nguyên tố. Với cấp tùy ý, L. T. Hm (R) i Nhàn và T. N. An [38] đã đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của i Hm(M). Họ chứng minh rằng i thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nếu và chỉ Hm(M) nếu i i (xem [38, Định lý 3.1]). Chú ý PsuppR(M) = Var AnnR Hm(M) rằng môđun đối đồng điều địa phương d là Artin và môđun này có HI (M) thể không thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố ngay cả khi R là thương của vành chính quy (xem Ví dụ 3.3.7). Để nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết của d , chúng tôi đặc trưng tính bão hòa nguyên tố cho môđun này HI (M) thông qua tính catenary của vành rồi chuyển nó về môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại của một môđun thương của M. Kí hiệu \ 0 = N(p) là một phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con 0 của p∈AssR M M và p AssR(I,M) = p ∈ AssR M | dim(R/p) = d, I + p = m . \ Đặt N = N(p). Vì mỗi phần tử của AssR(I,M) đều là iđêan p∈AssR(I,M) nguyên tố liên kết tối tiểu của M nên N không phụ thuộc vào sự lựa chọn phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con 0. Định lý 3.1.2. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) d thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố; HI (M) √ (ii) Vành d là catenary và với mọi iđêan nguyên R/ AnnR HI (M) I + p = m tố gắn kết của d p HI (M); (iii) Vành d là catenary và d ∼ d R/ AnnR HI (M) HI (M) = Hm(M/N). Trong [50], từ Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne, R. Y. Sharp đã mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết cho môđun đối đồng điều địa phương
12 dim R trên vành đầy đủ như sau HI (R) Rb q Att Hdim R(R) = {P ∈ Ass(R) | dim(R/P) = dim R, IR + P = mR}. Rb I b b b b Kết quả này đã được K. Divaani-Aazar và P. Schenzel [17] mở rộng cho môđun. Trong luận án này, từ Định lý 3.1.2, chúng tôi mở rộng kết quả trên của R. Y. Sharp cho trường hợp môđun d thỏa mãn tính bão hòa HI (M) nguyên tố. Hệ quả 3.2.2. Nếu d thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố thì HI (M) d p AttR HI (M) = p ∈ AssR M | dim(R/p) = d, I + p = m . Phần cuối của chương dành để nghiên cứu đối giá và số bội cho môđun d Với hàm tử "đối ngẫu với địa phương hóa" định nghĩa bởi K. E. HI (M). Smith [53] Fp(−) = HomR HomR(−,E(R/m)),E(R/p) từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các Rp-môđun, trong đó E(−) là bao nội xạ, ta thấy rằng nếu R đầy đủ thì F (Hd(M)) ∼= Hd−dim R/p(M/N) . p I pRp p Kết quả này gợi ý cho chúng tôi định nghĩa khái niệm tập đối giá của môđun đối đồng điều địa phương d . Tập này được kí hiệu là d HI (M) CosR(HI (M)), và được cho bởi công thức Cos (Hd(M)) = p ∈ Spec(R) | Hd−dim(R/p)(M/N) 6= 0 , R I pRp p trong đó N xác định như trong Định lý 3.1.2. Định lý sau đây đưa ra đặc trưng khác cho tính bão hòa nguyên tố của d thông qua tập đối giá. HI (M) Định lý 3.3.5. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) d thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố; HI (M) (ii) d d CosR(HI (M)) = Var(AnnR HI (M)). Để chứng minh Định lý 3.3.5, chúng tôi cần sử dụng kĩ thuật phân tích nguyên sơ khá phức tạp. Định lý 3.3.5 cũng khẳng định rằng d CosR(HI (M))
13 là tập con đóng của Spec(R) trong tôpô Zariski khi môđun đối đồng điều địa phương d thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Chú ý rằng d HI (M) CosR(HI (M)) có thể không đóng thậm chí khi I = m (xem [4, Ví dụ 3.2]). Chúng tôi cũng đưa ra ví dụ chứng tỏ rằng ngay cả khi R là thương của vành chính quy địa phương và tập d là đóng, d vẫn không thỏa mãn tính bão CosR(HI (M)) HI (M) hòa nguyên tố (xem Ví dụ 3.3.7). Theo D. Kirby [27], nếu q là iđêan của R sao cho (0 :A q) có độ dài hữu n+1 hạn thì `R(0 :A q ) là một đa thức bậc N-dimR A với hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn, ta kí hiệu đa thức này là q . Đặt Ta có biểu diễn ΘA(n) N-dimR A = s. e0(q,A) Θq (n) = ` (0 : qn+1) = ns + đa thức có bậc nhỏ hơn s A R A s! khi n 0, trong đó e0(q,A) là một số nguyên dương. Ta gọi e0(q,A) là số bội của A ứng với q (xem [4], [13]). Trong [4], M. Brodmann và R. Y. Sharp đã giới thiệu khái niệm tập giả giá i để xây dựng thành công công PsuppR(M) thức bội liên kết cho môđun i Kết quả cuối cùng của Chương 3 là sử Hm(M). dụng tập đối giá d để đưa ra công thức liên kết về số bội cho CosR(HI (M)) d khi môđun này thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Chú ý rằng và HI (M) N AssR(I,M) vẫn được kí hiệu như trong Định lý 3.1.2. Hệ quả 3.3.8. Cho là iđêan -nguyên sơ. Nếu d thỏa mãn tính bão q m HI (M) hòa nguyên tố thì X e0(q,Hd(M)) = ` H0 (M/N) e(q, R/p). I Rp pRp p d p∈CosR(HI (M)) dim(R/p)=d Hơn nữa, 0 d X e (q,HI (M)) = e(q, M/N) = `Rp (Mp)e(q, R/p). p∈AssR(I,M)
14 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức đã biết về biểu diễn thứ cấp và tập iđêan nguyên tố gắn kết, môđun đối đồng điều địa phương Artin, chiều và tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin, lớp vành catenary phổ dụng nhằm thuận tiện cho việc theo dõi kết quả trong các chương sau. Trong suốt cả chương, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương, Rb là vành đầy đủ m-adic của R, M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều là d, A là R-môđun Artin và L là một R-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh hay Artin). Ta cũng kí hiệu I là iđêan tùy ý của R và Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I. 1.1 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin Lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho các môđun được giới thiệu bởi I. G. Macdonald [30] có thể xem là đối ngẫu của lý thuyết phân tích nguyên sơ. Trong tiết này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả về biểu diễn thứ cấp. Định nghĩa 1.1.1. (i) Một R-môđun L được gọi là thứ cấp nếu L 6= 0 và với mỗi x ∈ R, phép nhân bởi x trên L là toàn cấu hoặc lũy linh. Trong trường hợp này, tập hợp các phần tử x ∈ R sao cho phép nhân bởi x trên L là lũy
15 linh làm thành một iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p, và ta gọi L là p-thứ cấp. (ii) Cho L là R-môđun. Một biểu diễn L = L1 + + Ln, trong đó mỗi Li là môđun con pi-thứ cấp L, được gọi là một biểu diễn thứ cấp của L. Nếu L = 0 hoặc L có biểu diễn thứ cấp thì ta nói L là biểu diễn được. Biểu diễn này được gọi là tối tiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và mỗi Li là không thừa với mọi i = 1, . . . , n. Chú ý rằng, nếu L1,L2 là các môđun con p thứ cấp của L thì L1 +L2 cũng là môđun con p-thứ cấp của L. Vì thế mọi biểu diễn thứ cấp của L đều có thể đưa được về dạng tối tiểu bằng cách bỏ đi những thành phần thừa và gộp lại những thành phần cùng chung một iđêan nguyên tố. Tập hợp {p1, , pn} là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối tiểu của L và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của L, kí hiệu là AttR L. Các hạng tử Li, với i = 1, . . . , n, được gọi là các thành phần thứ cấp của L. Nếu pi là tối tiểu trong tập AttR L thì pi được gọi là iđêan nguyên tố gắn kết cô lập của L và Li được gọi là thành phần thứ cấp cô lập của L. Mệnh đề 1.1.2. (Xem [30, 4.2]) Giả sử L là một R-môđun biểu diễn được. Khi đó các phát biểu sau là đúng: (i) AttR L 6= ∅ khi và chỉ khi L 6= 0. (ii) min AttR L = min Var(AnnR L). Đặc biệt, dim(R/ AnnR L) = max{dim(R/p) | p ∈ AttR L}. (iii) Cho 0 → L0 → L → L00 → 0 là dãy khớp các R-môđun biểu diễn được. Khi đó ta có 00 0 00 AttR L ⊆ AttR L ⊆ AttR L ∪ AttR L . Định lý sau đây cho ta một lớp các môđun biểu diễn được. Định lý 1.1.3. [30, Định lý 5.2] Mọi môđun Artin đều biểu diễn được.
16 Cho là -môđun Artin và , Gọi là dãy Côsi trong A R rb ∈ Rb u ∈ A. (rn)n∈N đại diện cho lớp Vì có độ dài hữu hạn nên tồn tại số tự nhiên R r.b Ru k k k sao cho m u = 0. Chú ý rằng tồn tại n0 sao cho rn − rm ∈ m với mọi Suy ra với mọi Ta định nghĩa tích vô hướng m, n ≥ n0. rnu = rn0 u n ≥ n0. ru = r u. Khi đó A có cấu trúc tự nhiên như R-môđun. Với cấu trúc này, b n0 b một môđun con của A xét như R-môđun khi và chỉ khi nó là môđun con của A xét như Rb-môđun. Do đó A là Rb-môđun Artin. Nếu xem Rb-môđun A này như là R-môđun xác định bởi đồng cấu tự nhiên R → Rb thì ta được cấu trúc R-môđun ban đầu trên A. Như vậy, tập iđêan nguyên tố gắn kết của A trên R và Rb luôn xác định và ta có mối liên hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắn kết này như sau. Mệnh đề 1.1.4. [50, Bổ đề 2.1] Att A = {P ∩ R | P ∈ Att A}. R Rb Mệnh đề sau đây cho ta mối liên hệ giữa tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin A và độ dài của A. Mệnh đề 1.1.5. [3, Hệ quả 7.2.12] A 6= 0 và `R(A) < ∞ khi và chỉ khi AttR A = {m}. 1.2 Môđun đối đồng điều địa phương Artin Lý thuyết đối đồng điều địa phương được giới thiệu đầu tiên bởi A. Grothendieck [18] vào những năm 1960 và nhanh chóng phát triển, được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm (có thể kể đến một số công trình điển hình như [18], [19], [20], [22], [23], [25], [29], [31], [47], [50], [52], [57], [58]). Ngày nay, lý thuyết đối đồng điều địa phương đã trở thành công cụ không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học như Đại số giao hoán, Hình học đại số, Đại số tổ hợp Một số tính chất rất được chú ý của môđun đối đồng điều địa phương là tính triệt tiêu, tính hữu hạn sinh và tính Artin. Khoảng những năm 1970, I. G. Macdonald và R. Y. Sharp ([31],
17 [50]) đã phát hiện ra các lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin và sử dụng lý thuyết biểu diễn thứ cấp để nghiên cứu các môđun này. Trong tiết này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và tính chất của môđun đối đồng điều địa phương như tính độc lập với vành cơ sở, tính triệt tiêu, tính Artin. Chúng tôi đặc biệt quan tâm đến những tính chất về tập iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun đối đồng điều địa phương Artin. Định nghĩa 1.2.1. (Xem [3, Định nghĩa 1.1.1]) Cho I là iđêan của R. S n 0 Với mỗi R-môđun L, đặt ΓI(L) = (0 :L I ). Nếu f : L → L là n≥0 0 đồng cấu các R-môđun thì f(ΓI(L)) ⊆ ΓI(L )). Do đó ta có đồng cấu 0 ΓI(f):ΓI(L) → ΓI(L ) được xác định bởi ΓI(f)(x) = f(x) với mỗi x ∈ ΓI(L). Khi đó ΓI(−) là hàm tử hiệp biến, khớp trái trên phạm trù các R-môđun và được gọi là hàm tử I-xoắn. Định nghĩa 1.2.2. (Xem [3, Định nghĩa 1.2.1]) Với mỗi số nguyên i ≥ 0, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử ΓI(−) được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ đối với và được kí hiệu là i Kết quả của tác i I HI(−). động i vào -môđun được kí hiệu là i và được gọi là môđun HI(−) R L HI(L) đối đồng điều địa phương thứ i của L ứng với giá I. i 0 ∼ Chú ý rằng hàm tử H (−) là hiệp biến, tuyến tính và H (L) = ΓI(L). I √ √ I Hơn nữa, nếu là các iđêan của sao cho thì i i . I,J R I = J HI(L) = HJ (L) Hai tính chất cơ bản đầu tiên của môđun đối đồng điều địa phương đều liên quan đến đồng cấu vành. Chú ý rằng nếu f : R → R0 là một đồng cấu vành và L0 là R0-môđun thì L0 là R-môđun cảm sinh bởi f, trong đó phép nhân vô hướng r ∈ R với m0 ∈ L0 là f(r)m0. Với phép nhân vô hướng này, ta luôn xác định được các -môđun i 0 và i 0 trong đó 0 là iđêan R HIR0 (L ) HI(L ), IR của R0 sinh bởi f(I). Lúc này việc tính môđun đối đồng điều địa phương thứ i của L0 trên R và trên R0 là như nhau. Đây chính là tính chất cơ bản đầu tiên và được gọi là tính độc lập với vành cơ sở.
18 Định lý 1.2.3. (Xem [3, Định lý 4.2.1]) Cho f : R → R0 là một đồng cấu vành, L0 là R0-môđun và I là một iđêan của R. Khi đó với mọi i ≥ 0 ta có đẳng cấu i 0 ∼ i 0 các -môđun. HIR0 (L ) = HI(L ) R Khi f : R → R0 là đồng cấu phẳng ta có tính chất cơ bản thứ hai của môđun đối đồng điều địa phương (xem [3, Định lý 4.3.2]). Định lý 1.2.4. (Định lý chuyển cơ sở phẳng) Cho f : R → R0 là đồng cấu phẳng. Khi đó ta có 0-đẳng cấu i 0 ∼ i 0 với mọi R HI(L) ⊗R R = HIR0 (L ⊗R R ) i ≥ 0. Một trong những kết quả quan trọng và có nhiều ứng dụng của lý thuyết đối đồng điều địa phương là tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương (xem [3, 6.1.2, 6.1.4]). Định lý 1.2.5. (Định lý triệt tiêu và không triệt tiêu của A. Grothendieck) (i) i với mọi ; HI(L) = 0 i > dim SuppR L (ii) Nếu thì i ; M 6= 0 d = max{i|Hm(M) 6= 0} (iii) Nếu thì i M 6= 0 depth(I,M) = min{i|HI(M) 6= 0}. Ngoài ra, tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương còn liên quan đến các môđun I-xoắn (xem [3, Hệ quả 2.1.7]) và bậc số học của iđêan (xem [3, Hệ quả 3.3.7]). Đặc biệt, Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne cho ta tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương của vành tại cấp cao nhất với giá tùy ý (xem [3, Định lý 8.2.1]). Định lý 1.2.6. Giả sử dim R = n và I là một iđêan của R. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) n ; HI (R) = 0 (ii) Với mỗi iđêan nguyên tố P của Rb thỏa mãn dim R/b P = n ta có dim R/b (IRb + P) > 0.
19 Khoảng những năm 1970, I. G. Macdonald và R. Y. Sharp ([31], [50]) đã phát hiện ra hai lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin, đó là : môđun đối đồng điều địa phương cấp tùy ý với giá cực đại và môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá bất kì (xem [31, Mệnh đề 2.1], [50, Định lý 3.3]). Chú ý rằng môđun đối đồng điều địa phương của môđun hữu hạn sinh nhìn chung không hữu hạn sinh và cũng không Artin (xem [3, Hệ quả 7.3.3]). Vì thế, hai kết quả về tính Artin này của I. G. Macdonald và R. Y. Sharp rất được quan tâm. Định lý 1.2.7. Các phát biểu sau luôn đúng: (i) i là -môđun Artin với mọi số nguyên ; Hm(M) R i ≥ 0 (ii) d là -môđun Artin với mọi iđêan của . HI (M) R I R Lý thuyết biểu diễn thứ cấp của I. G. Macdonald [30] đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các môđun đối đồng điều địa phương Artin. Dưới đây là một số kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun đối đồng điều địa phương Artin được chứng minh bởi I. G. Macdonald và R. Y. Sharp ([31], [50]). Trước hết, tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại được cho bởi công thức sau. Định lý 1.2.8. [31, Định lý 2.2] Cho M 6= 0 với dim M = d. Khi đó d và Hm(M) 6= 0 d AttR(Hm(M)) = {p ∈ AssR M | dim(R/p) = d}. Kết quả sau đây được chứng minh bởi R. Y. Sharp [47, Định lý 4.8] và được gọi là tính chất dịch chuyển địa phương yếu. Định lý 1.2.9. Cho sao cho . Giả sử p ∈ SuppR(M) dim R/p = t i ≥ 0 là một số nguyên và q là iđêan nguyên tố với q ⊆ p sao cho qR ∈ Att (Hi (M )). Khi đó q ∈ Att (Hi+t(M)). p Rp pRp p R m
20 Từ Định lý 1.2.9 ta có hệ quả sau. Hệ quả 1.2.10. [47, Hệ quả 4.9] Cho p ∈ AssR M với dim R/p = t. Khi đó t và t Hm(M) 6= 0 p ∈ AttR Hm(M). Năm 1979, từ Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne, R. Y. Sharp [50] tiếp tục mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết của dim R trên vành Sau HI (R) R.b đó, K. Divaani-Aazar và P. Schenzel [17, Hệ quả 3.3] đã mở rộng kết quả này cho môđun. Mệnh đề 1.2.11. Cho I là iđêan thực sự của R. Khi đó q Att (Hd(M)) = {P ∈ Ass M | dim R/P = d, IR + P = mR}. Rb I Rb c b b b 1.3 Vành catenary phổ dụng Trong tiết này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả của vành catenary phổ dụng sẽ dùng trong luận án. Trước hết, chúng ta nhắc lại khái niệm vành catenary. Chú ý rằng, vì R là vành Noether địa phương nên với mọi cặp iđêan nguyên tố p ⊂ q của R luôn tồn tại dãy các iđêan nguyên tố p = p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn = q bão hòa giữa p và q, nghĩa là với mọi i = 0, . . . , n − 1, không thể chèn thêm iđêan nguyên tố nào giữa pi và pi+1. Khi đó n được gọi là độ dài của dãy các iđêan nguyên tố bão hòa này. Định nghĩa 1.3.1. Vành R được gọi là catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố p ⊂ q của R, mọi dãy iđêan nguyên tố bão hoà giữa p và q đều có chung độ dài. Năm 1937, W. Krull đã chỉ ra lớp vành catenary đầu tiên. Ông chứng minh rằng nếu K là một trường thì mọi K-đại số hữu hạn sinh đều là vành catenary và do đó vành đa thức trên trường K là catenary. Năm 1946, I. Cohen [8] đã chứng minh rằng mọi vành địa phương đầy đủ là catenary. Sau
21 đó, M. Nagata [37] cũng chỉ ra rằng mọi miền nguyên địa phương tựa không trộn lẫn là catenary. Rõ ràng nếu R là vành catenary thì Rp là catenary với mọi p ∈ Spec(R). Ngoài ra, vành catenary còn có tính chất sau. Mệnh đề 1.3.2. (Xem [44]) Các mệnh đề sau là đúng: (i) Nếu R là catenary thì vành thương của R cũng là catenary. (ii) R là catenary khi và chỉ khi dim R/q = dim R/p + ht p/q với mọi iđêan nguyên tố p, q thỏa mãn q ⊆ p. Phần tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm và tính chất của một loại vành catenary đặc biệt, đó là vành catenary phổ dụng. Định nghĩa 1.3.3. (Xem [33]) Vành R được gọi là vành catenary phổ dụng nếu mỗi R-đại số hữu hạn sinh là catenary. Vì mỗi R-đại số sinh bởi n phần tử đều là thương của vành đa thức R[x1, . . . , xn] và thương của vành catenary lại là vành catenary nên vành R là catenary phổ dụng khi và chỉ khi mọi vành đa thức hữu hạn biến trên R là catenary. Định lý sau đây đưa ra điều kiện để một vành là catenary phổ dụng thông qua tính tựa không trộn lẫn và tính Cohen-Macaulay của vành. Chú ý rằng, theo thuật ngữ của M. Nagata [36], vành R được gọi là tựa không trộn lẫn nếu dim R/b P = dim Rb với mọi P ∈ min Ass Rb. Vành R được gọi là vành Cohen-Macaulay địa phương nếu depth R = dim R. Định lý 1.3.4. [33, Định lý 17.9, 31.6] R là catenary phổ dụng nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: (i) R là tựa không trộn lẫn; (ii) R là thương của một vành Cohen-Macaulay. Sau đây là một số đặc trưng của vành catenary phổ dụng.
22 Định lý 1.3.5. [33, Định lý 31.7] Các điều kiện sau là tương đương: (i) R là catenary phổ dụng; (ii) Vành đa thức một biến R[x] là catenary; (iii) R/p là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R). Chú ý rằng, nếu dim R ≤ 2 thì R là catenary. Suy ra, khi dim R ≤ 1 ta có dim R[x] ≤ 2, do đó R[x] là catenary. Vì thế, nếu dim R ≤ 1 thì R là catenary phổ dụng. 1.4 Chiều và tính bão hòa nguyên tố Trong [46], R. N. Roberts đã giới thiệu khái niệm chiều Krull (kí hiệu là Kdim) cho môđun tùy ý và đưa ra một số kết quả về chiều Krull này cho các môđun Artin. Để tránh nhầm lẫn với khái niệm chiều Krull của các môđun hữu hạn sinh, D. Kirby trong [28] đã đổi thuật ngữ của Roberts và đề xuất thành chiều Noether. Sau đây là khái niệm chiều Noether cho môđun Artin theo thuật ngữ của D. Kirby [28]. Định nghĩa 1.4.1. Chiều Noether của R-môđun Artin A, kí hiệu bởi N-dimR A, được định nghĩa như sau: khi A = 0, đặt N-dimR A = −1. Bằng quy nạp, cho một số nguyên d ≥ 0, ta đặt N-dimR A = d nếu N-dimR A n0. Như vậy N-dimR A = 0 khi và chỉ khi A 6= 0 và A là Noether. Trong trường hợp này, A có độ dài hữu hạn. Khi N-dimR A > 0, nếu chỉ dùng Định nghĩa 1.4.1 thì rất khó có thể xác định được N-dimR A. Cần chú ý thêm, với mỗi R-môđun Artin A và mỗi iđêan q của R sao cho `R(0 :A q) < ∞, D. Kirby [27] đã chỉ ra rằng tồn tại một đa thức q với hệ số hữu tỷ sao cho ΘA(n)
23 n+1 q khi Đa thức này, theo một nghĩa nào đó, là `R(0 :A q ) = ΘA(n) n 0. đối ngẫu với đa thức Hilbert - Samuel của môđun hữu hạn sinh và được gọi là đa thức Hilbert-Samuel của môđun Artin A tương ứng với q. Trong [46], R. N. Roberts đưa ra kết quả quan trọng sau về chiều Noether của môđun Artin. n+1 N-dimR A = deg(`R(0 :A q )) = inf{t | ∃x1, . . . , xt ∈ m : `R(0 :A (x1, . . . , xt)R) < ∞}. Kết quả này cho phép chúng ta có thể tính toán được chiều Noether, có thể định nghĩa các khái niệm hệ bội, hệ tham số, phần hệ tham số một cách tự nhiên và từ đó nghiên cứu số bội của môđun Artin. Kết quả này cũng cho ta thấy khái niệm chiều Noether trong nhiều khía cạnh có vai trò quan trọng đối với môđun Artin tương tự như vai trò của chiều Krull đối với môđun hữu hạn sinh. Tuy nhiên, có những kết quả về chiều Noether lại khác biệt so với chiều Krull. Chẳng hạn, chiều Noether của môđun Artin luôn hữu hạn ngay cả khi vành cơ sở R không là vành Noether, trong khi đó tồn tại vành Noether (không địa phương) với chiều Krull vô hạn (xem [36]). Kết quả sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa chiều Noether của môđun Artin A và chiều Krull của vành R/ AnnR A. Mệnh đề 1.4.2. [11, Mệnh đề 2.5, Hệ quả 2.6] Các phát biểu sau là đúng: (i) N-dimR(A) = 0 nếu và chỉ nếu dim R/ AnnR A = 0. Trong trường hợp này A có độ dài hữu hạn và R/ AnnR A là vành Artin. (ii) . N-dimR A 6 dim(R/ AnnR A) Chú ý rằng tồn tại R-môđun Artin A sao cho N-dimR A < dim(R/ AnnR A) (xem [11, Ví dụ 4.1]). Vì vậy một câu hỏi tự nhiên là với điều kiện nào của vành R hoặc của môđun Artin A ta có N-dimR A = dim(R/ AnnR A)?
24 Mệnh đề 1.4.3. [11, Hệ quả 2.6] Nếu R đầy đủ thì N-dimR A = dim(R/ AnnR A). Chú ý rằng A có cấu trúc tự nhiên như Rb-môđun. Với cấu trúc này, mối quan hệ giữa chiều Noether của A trên R và Rb như sau. Mệnh đề 1.4.4. [11, Nhận xét 2.3, Hệ quả 4.8] Ta có N-dim A = dim R/ Ann A = N-dim A. R b Rb Rb Theo Định lý 1.2.7, các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại i là Artin với mọi số nguyên . Vì thế chiều của các môđun này cũng Hm(M) i luôn xác định và có các tính chất đã nêu ở trên. Ngoài ra, chiều của các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại i còn có mối liên hệ Hm(M) với cấp của môđun này. Định lý 1.4.5. [11, Định lý 3.1, Hệ quả 3.6] Các phát biểu sau là đúng: (i) i N-dimR(Hm(M)) ≤ i. (ii) d d N-dimR(Hm(M)) = dim R/ AnnR(Hm(M)) = d. Một trong những tính chất được quan tâm khi nghiên cứu môđun Artin là tính bão hòa nguyên tố, được giới thiệu bởi N. T. Cường và L. T. Nhàn trong [11] với tên gọi là tính chất (*). Ta đã biết AnnR(M/pM) = p với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M và với mỗi iđêan nguyên tố p chứa AnnR M. Xét tính chất tương tự AnnR(0 :A p) = p, với mọi p ⊇ AnnR A, cho môđun Artin A. Tính chất này nhìn chung không đúng (xem [11, Ví dụ 4.6]). Từ đó ta có định nghĩa sau (xem [11, Định nghĩa 4.3]). Định nghĩa 1.4.6. Một R-môđun Artin A được gọi là thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nếu AnnR(0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR A. Rõ ràng AnnR(0 :A p) ⊇ p. Do đó A thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố khi và chỉ khi AnnR(0 :A p) là bé nhất có thể, với mỗi iđêan nguyên tố
25 p ⊇ AnnR A. Mệnh đề sau đây chỉ ra rằng tồn tại những môđun Artin thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Mệnh đề 1.4.7. [11, Bổ đề 4.5] A thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn: (i) R là đầy đủ; (ii) A chứa một môđun con đẳng cấu với bao nội xạ của R/m. Tính bão hòa nguyên tố ngày càng được quan tâm sử dụng nhiều trong việc nghiên cứu môđun Artin, môđun hữu hạn sinh và cấu trúc vành cơ sở (xem [10], [11], [38], [39], [60], [61]). Trước hết là kết quả của N. T. Cường và L. T. Nhàn [11] về mối liên hệ giữa tính bão hòa nguyên tố và chiều của môđun Artin. Mệnh đề 1.4.8. [11, Mệnh đề 4.5] Nếu A thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố thì dim R/ AnnR A = N-dimR A. Trong [11], họ cũng đưa ra ví dụ khẳng định chiều ngược lại của Mệnh đề 1.4.8 là không đúng (xem [11, Ví dụ 4.6]). Sau đó, H. Zăoschinger [61] đã đặc trưng vành cơ sở R để mọi R-môđun Artin đều thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Chú ý rằng ánh xạ tự nhiên R → Rb được gọi là thỏa mãn tính chất đi lên nếu với bất kì p, q ∈ Spec(R), Q ∈ Spec(Rb) thỏa mãn q ⊆ p và Q ∩ R = q, luôn tồn tại P ∈ Spec(Rb) thỏa mãn Q ⊆ P và P ∩ R = p. Định lý 1.4.9. (Xem [61]) Đồng cấu tự nhiên R → Rb thỏa mãn tính chất đi lên khi và chỉ khi tính bão hòa nguyên tố được thỏa mãn cho mọi R-môđun Artin A. N. T. Cường, N. T. Dung và L. T. Nhàn [10] đã chỉ ra mối liên hệ giữa tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá là iđêan cực đại và tính catenary của vành cơ sở. Chú ý rằng, d là Hm(M) R-môđun Artin theo Định lý 1.2.7. Mối liên hệ này được phát biểu như sau.
26 Định lý 1.4.10. (Xem [10]) Các mệnh đề sau là tương đương: (i) d thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố; Hm(M) (ii) Vành d là catenary. R/ AnnR Hm(M) Gần đây, L. T. Nhàn và T. N. An trong [39] đã nghiên cứu tính bão hòa nguyên tố cho các môđun Artin tựa không trộn lẫn trong mối liên hệ với tính catenary của vành cơ sở và chiều của các môđun Artin đó. Theo L. T. Nhàn và T. N. An [39], một R-môđun Artin A là tựa không trộn lẫn nếu dim(R/P) = dim(R/ Ann A) với mọi P ∈ min Att A. Hơn nữa, nếu b b Rb Rb dim(R/P) = dim(R/ Ann A) với mọi P ∈ Att A thì A được gọi là b b Rb Rb không trộn lẫn. Định lý 1.4.11. [39, Định lý 1.1] Giả sử A là tựa không trộn lẫn. Nếu A thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố thì vành R/ AnnR A là catenary và dim(R/ Ann A) = dim(R/ Ann A). R b Rb Chú ý rằng chiều ngược lại của Định lý 1.4.11 là không đúng (xem [39, Ví dụ 3.4]). Thay cho việc nghiên cứu tất cả các môđun Artin không trộn lẫn, L. T. Nhàn và T. N. An đã đặc trưng tính bão hòa nguyên tố cho các môđun đối đồng điều địa phương Artin không trộn lẫn. Định lý 1.4.12. [39, Định lý 1.2] Giả sử i là tựa không trộn lẫn. Khi Hm(M) đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) i thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố ; Hm(M) (ii) i i và i dim(R/ AnnR(Hm(M))) = N-dim(Hm(M)) R/ AnnR(Hm(M)) là vành catenary. Ngoài ra, tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại i còn được đặc trưng thông qua tập giả giá thứ Hm(M) i của M, được định nghĩa bởi Brodmann-Sharp [4]. Giả giá thứ i của M, kí
27 hiệu bởi i , là tập hợp gồm các iđêan nguyên tố của sao cho PsuppR(M) p R Hi−dim(R/p)(M ) 6= 0. Khái niệm và tính chất của giả giá sẽ được trình bày pRp p chi tiết hơn ở Chương 2. Định lý 1.4.13. [38, Định lý 1.2] Cho số nguyên i ≥ 0. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) i thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố; Hm(M) (ii) i i Var(AnnR(Hm(M))) = PsuppR(M).
28 Chương 2 Môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại Trong suốt chương này, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương, A là R-môđun Artin và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Với mỗi iđêan I của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I. Kí hiệu Rb và Mc lần lượt là đầy đủ m-adic của R và M. Mục tiêu của chương này là nghiên cứu việc chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại i qua đầy đủ -adic trong Hm(M) m mối liên hệ với tính catenary phổ dụng và các thớ hình thức Cohen-Macaulay của vành cơ sở. Cấu trúc của vành cơ sở còn được phản ánh qua sự tồn tại một đối địa phương hóa tương thích cho mọi môđun Artin i mà chúng Hm(M) tôi nghiên cứu trong phần cuối của chương này. Nội dung của chương này được trình bày dựa theo hai bài báo [7] và [41]. 2.1 Chuyển iđêan nguyên tố gắn kết qua đầy đủ Với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M, mối liên hệ giữa tập các iđêan nguyên tố liên kết của M và tập các iđêan nguyên tố liên kết của Mc được cho bởi hai công thức sau. [ Bổ đề 2.1.1. (i) Ass M = Ass (R/pR); Rb c Rb b b p∈Ass M
29 (ii) Ass M = P ∩ R | P ∈ Ass M . R Rb c Chứng minh. Khẳng định (i) được suy ra ngay từ [33, Định lý 23.2(ii)]. Cho f : R → Rb là đồng cấu tự nhiên và f a : Spec(Rb) → Spec(R) là ánh xạ cảm sinh của f. Vì f là ánh xạ phẳng hoàn toàn nên theo [33, Định lý 7.3(i)], f a là toàn ánh. áp dụng [33, Định lý 23.2(ii)] ta có [ {P ∩ R | P ∈ Ass M} = f a(Ass M) = f a Ass (R/pR) Rb c Rb c Rb b b p∈AssR M [ = f a Ass (R/pR). Rb b b p∈AssR M Theo [33, Định lý 23.2 (i)], f a Ass (R/pR) = {p} với mỗi p ∈ Spec(R). Rb b b Vì thế {P ∩ R | P ∈ Ass M} = Ass M. Rb c R Cho A là R-môđun Artin. Vì A có cấu trúc Rb-môđun Artin nên tập iđêan nguyên tố gắn kết của A trên Rb luôn xác định. Trong [47, Bổ đề 4.6], R. Y. Sharp đã chứng minh mối quan hệ giữa hai tập Att A và Att A được cho R Rb bởi công thức sau Att A = {P ∩ R | P ∈ Att A}. R Rb Công thức này là đối ngẫu với công thức (ii) trong Bổ đề 2.1.1. Tuy nhiên đối ngẫu với công thức (i) trong Bổ đề 2.1.1 [ Att A = Ass (R/pR) (1) Rb Rb b b p∈AttR A nhìn chung không đúng, ngay cả khi A là môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại. Sau đây là một ví dụ. Ví dụ 2.1.2. Cho R là miền nguyên Noether địa phương chiều 2 xây dựng bởi Ferrand và Raynaud [54] có tính chất tồn tại iđêan nguyên tố P ∈ Ass Rb sao
30 cho dim(R/b P) = 1. Khi đó theo Hệ quả 1.2.10 ta có P ∈ Att H1 (Rb). Rb mRb Hơn nữa, P ∩ R ∈ Ass R theo Bổ đề 2.1.1(ii). Vì vành R là miền nguyên nên Do đó . Chú ý rằng theo Định lý 1.2.7, 1 Ass R = {0}. P ∩ R = 0 Hm(R) là -môđun Artin. Suy ra 1 có cấu trúc -môđun Artin. áp dụng Định R Hm(R) Rb lý 1.2.4 ta có các Rb-đẳng cấu 1 ∼ 1 ∼ 1 H (R) = H (R) ⊗R R = H (R). m m b mRb b Vì thế P ∈ Att H1 (R). Suy ra 0 = P ∩ R ∈ Att H1 (R) theo Mệnh đề Rb m R m 1.1.4. Vì dim Rb = dim R = 2 nên tồn tại iđêan nguyên tố Q ∈ Ass Rb sao cho Khi đó theo Bổ đề 2.1.1(ii). Đặt 1 dim(R/b Q) = 2. Q∩R = 0 A = Hm(R) và p = 0. Theo kết quả vừa lập luận ta có p ∈ Att A và Q ∈ Ass (R/pR). R Rb b b Chú ý rằng dim R/ Ann (H1 (R)) = N-dim (H1 (R)) ≤ 1 theo Mệnh đề b Rb m Rb m 1.4.4 và Định lý 1.4.5. Vì thế dim(R/P) ≤ 1 với mỗi P ∈ Att A theo b Rb [ Mệnh đề 1.1.2(ii). Suy ra Q ∈/ Att A. Vậy Att A 6= Ass (R/pR). Rb Rb Rb b b p∈AttR A Sau đây chúng tôi đưa ra đặc trưng của vành cơ sở để công thức (1) đúng với mọi R-môđun Artin A. Mệnh đề 2.1.3. Các mệnh đề sau là tương đương: [ (i) Att A = Ass (R/pR) với mỗi R-môđun Artin A; Rb Rb b b p∈AttR A (ii) ánh xạ cảm sinh f a : Spec(Rb) → Spec(R) là song ánh. Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Vì ánh xạ tự nhiên R → Rb là phẳng hoàn toàn nên theo [33, Định lý 7.3(i)] ánh xạ cảm sinh f a : Spec(Rb) → Spec(R) là toàn ánh. Giả sử tồn tại P1, P2 ∈ Spec(Rb) sao cho P1 ∩ R = P2 ∩ R. Đặt k k := dim(R/b P1) và A := H (R/b P1), môđun đối đồng điều địa phương mRb cấp cao nhất của R/b P1 với giá cực đại. Khi đó A là Rb-môđun Artin theo Định lý 1.2.7(ii) và Att A = P theo Định lý 1.2.8. Chú ý rằng A có cấu Rb 1 trúc R-môđun Artin cảm sinh từ đồng cấu tự nhiên R → R.b Đặt p := P1 ∩R.
31 áp dụng Mệnh đề 1.1.4 ta có Att A = p}. Vì vậy Att A = Ass (R/pR) R Rb Rb b b theo giả thiết (i). Suy ra {P } = Ass (R/pR). Tương tự, bằng cách 1 Rb b b t xét Rb-môđun Artin B := H (R/b P2), trong đó t = dim(R/b P2) ta có mRb P = Ass (R/pR). Suy ra P = P . Do đó ánh xạ Spec(R) → Spec(R) 2 Rb b b 1 2 b là song ánh. (ii) ⇒ (i). Lấy P ∈ Att A. Đặt p := P ∩ R. Khi đó p ∈ Att A theo Mệnh Rb R đề 1.1.4. Lấy Q ∈ Ass (R/pR). Suy ra Q ∩ R = p. Từ giả thiết (ii) ta có Rb b b P = Q và do đó P ∈ Ass (R/pR), trong đó p ∈ Att A. Ngược lại, giả sử Rb b b R p ∈ Att A và P ∈ Ass (R/pR). Theo Mệnh đề 1.1.4, tồn tại Q ∈ Att A R Rb b b Rb sao cho p = Q ∩ R. Vì P ∈ Ass (R/pR) nên P ∩ R = p. Suy ra P = Q Rb b b do giả thiết (ii). Vì thế P ∈ Att A. Rb Nhận xét 2.1.4. Tồn tại vành Noether địa phương (R, m) không đầy đủ sao cho [ Att A = Ass (R/pR) Rb Rb b b p∈AttR A với mọi R-môđun Artin A. Chẳng hạn, nếu R là một vành định giá rời rạc không đầy đủ thì R thỏa mãn điều kiện trong Mệnh đề 2.1.3(ii) và do đó công thức này là đúng. Chú ý rằng R là vành định giá rời rạc nếu và chỉ nếu R là miền nguyên Noether địa phương chiều 1 và iđêan cực đại là iđêan chính (xem [33, Định lý 11.2]). Nếu R là vành định giá rời rạc thì Rb cũng là vành định giá rời rạc, do đó ánh xạ Spec(Rb) → Spec(R) là song ánh. Một ví dụ về vành định giá rời rạc không đầy đủ là địa phương hóa của vành K[x] tại iđêan cực đại (x), trong đó K là một trường và K[x] là vành đa thức một biến x trên K. Ví dụ 2.1.2 đã chứng tỏ rằng công thức (1) nhìn chung không đúng cho các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại. Vì thế ta tiếp tục xem
32 xét mối quan hệ [ Att Hi (M) = Ass (R/pR) Rb m Rb b b i p∈AttR Hm(M) giữa hai tập Att Hi (M) và Att Hi (M). Kết quả sau đây đưa ra một điều R m Rb m kiện đủ để công thức này luôn đúng. Trước hết chúng ta nhắc lại một số kết quả liên quan đến đối ngẫu địa phương và đối ngẫu Matlis. Kí hiệu E(R/m) là bao nội xạ của R-môđun R/m và đặt D(−) := HomR(−,E(R/m)). Khi đó D(N) được gọi là đối ngẫu Matlis của R-môđun N. Trong trường hợp vành R là đầy đủ, đối ngẫu Matlis cho ta một tương đương khá đẹp giữa phạm trù các R-môđun Artin và phạm trù các R-môđun hữu hạn sinh. Cụ thể, nếu M là R-môđun hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin thì D(M) là R-môđun Artin và D(A) là R-môđun hữu hạn sinh. Hơn nữa, D(D(M)) ∼= M và D(D(A)) ∼= A (xem [32, Hệ quả 4.3]). Nếu vành R không đầy đủ thì D(D(M)) ∼= Mc và D(M) là R-môđun Artin. Đồng thời AttR D(M) = AssR M (xem [47, Định lý 2.3]). Hơn nữa, vì A có cấu trúc R-môđun Artin nên D(A) là R-môđun hữu hạn sinh và D (A) ∼ D (A) b b R = Rb (xem [3, Định lý 10.2.19]). Một câu hỏi tự nhiên là, khi vành R đầy đủ, R-môđun hữu hạn sinh nào tương ứng với -môđun Artin i ? Định lý đối ngẫu địa phương không R Hm(M) chỉ trả lời cho câu hỏi này cho trường hợp vành đầy đủ mà còn cho một lớp vành rộng hơn: vành thương của vành Gorenstein. Đồng thời, đối ngẫu địa phương cung cấp một công cụ cơ bản để nghiên cứu các môđun đối đồng điều địa phương ứng với giá cực đại. Nhắc lại rằng, vành R được gọi là vành Gorenstein địa phương nếu R có chiều nội xạ hữu hạn, tức là R có một giải nội xạ trong đó chỉ có hữu hạn môđun nội xạ khác 0. Bổ đề 2.1.5. (Xem [47, Hệ quả 3.5]) Giả sử R là thương của một vành Gorenstein địa phương (R0, m0) với dim R0 = n0 và f : R0 → R là toàn cấu
33 vành. Khi đó i 0 là -môđun hữu hạn sinh và ta có -đẳng cấu ExtR0 (M, R ) R R i ∼ n0−i 0 với mọi Hm(M) = D(ExtR0 (M, R )) i ≥ 0. Ta kí hiệu i i n0−i 0 với mỗi K (M) = KR(M) := ExtR0 (M, R ) i ≥ 0. Theo P. Schenzel [51], Ki(M) được gọi là môđun khuyết thứ i của M và K(M) := Kd(M) được gọi là môđun chính tắc của M. Định lý 2.1.5 suy ra kết quả sau về các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương i Hm(M). Bổ đề 2.1.6. [47, Hệ quả 3.8] Giả sử R là thương của một vành Gorenstein địa phương. Cho là số nguyên sao cho i Với mỗi i i Hm(M) 6= 0. p ∈ AttR Hm(M) ta có dim R/p ≤ i. Mệnh đề sau đây là kết quả chính của tiết này. Mệnh đề 2.1.7. Giả sử R là thương của một vành Gorenstein địa phương. Khi đó với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M và với mỗi số nguyên i ≥ 0 ta có [ Att Hi (M) = Ass (R/pR). (2) Rb m Rb b b i p∈AttR Hm(M) Chứng minh. Giả sử (R0, m0) là vành Gorenstein địa phương có chiều là n sao cho vành là thương của 0. Khi đó i ∼ i theo Bổ đề R R Hm(M) = D(K (M)) 2.1.5. Vì Ki(M) là R-môđun hữu hạn sinh nên theo [47, Định lý 2.3] ta có i i i AttR Hm(M) = AttR D(K (M)) = AssR K (M). Kí hiệu K\i(M) là đầy đủ m-adic của Ki(M). Khi đó đối ngẫu Matlis cho ta đẳng cấu giữa các Rb-môđun i ∼ i ∼ i D(Hm(M)) = D(D(K (M))) = K\(M). Suy ra i ∼ i ∼ i Vì i là -môđun Hm(M) = D(D(Hm(M))) = D(K\(M)). K\(M) Rb
34 hữu hạn sinh nên cũng theo [47, Định lý 2.3] và Bổ đề 2.1.1 ta có Att Hi (M) = Att D(K\i(M)) = Ass (K\i(M)) Rb m Rb Rb [ = Ass (R/pR). Rb b b i p∈AssR K (M) Vì i i nên ta có AssR K (M) = AttR Hm(M) [ Att Hi (M) = Ass (R/pR). Rb m Rb b b i p∈AttR Hm(M) Chú ý rằng tồn tại vành Noether địa phương (R, m) sao cho công thức (2) luôn đúng với mọi -môđun i nhưng không là thương của một R Hm(M) R vành Gorenstein địa phương. Sau đây là một ví dụ. Ví dụ 2.1.8. Cho (R, m) là miền nguyên Noether địa phương có chiều là 1 sao cho R không thể viết dưới dạng thương của một vành Gorenstein địa phương (tồn tại miền nguyên như vậy theo D. Ferrand và M. Raynaud [54]). Khi đó công thức (2) đúng cho mọi i . Thật vậy, nếu i thì Hm(M) Hm(M) = 0 Att Hi (M) = ∅ và Att Hi (M) = ∅ theo Mệnh đề 1.1.2(i), do đó công Rb m R m thức (2) đúng cho Hi (M). Giả sử H0 (M) 6= 0. Vì ` (H0 (M)) < ∞ nên m m Rb m theo Bổ đề 1.1.5 ta có Att H0 (M) = {mR}. Tương tự, Att H0 (M) = Rb m b R m Suy ra công thức (2) đúng cho 0 . Nếu 1 thì theo Định {m}. Hm(M) Hm(M) 6= 0 lý 1.2.8 ta có dim M = dim Mc = 1. Vì R là miền nguyên nên Ass R = {0}. Do nên ta có 1 theo Định lý dim M = 1 AttR Hm(M) = {0} = min AssR M 1.2.8. Vì min Ass (M) và Ass(R) chỉ gồm những iđêan nguyên tố chiều 1 Rb c b nên theo Định lý 1.2.8 và Bổ đề 2.1.1(i) ta có [ Att H1 (M) = min Ass M = Ass (R/pR) Rb m Rb c Rb b b p∈min AssR M [ = Ass (R/pR). Rb b b 1 p∈AttR Hm(M)
35 Do đó công thức (2) đúng cho 1 . Hm(M) 2.2 Trường hợp vành catenary phổ dụng với thớ hình thức Cohen- Macaulay Như chúng ta đã biết, nếu R là thương của vành Gorenstein địa phương thì R là thương của vành Cohen-Macaulay, nhưng điều ngược lại không đúng, chẳng hạn khi R là miền nguyên chiều 1 trong Ví dụ 2.1.8 là vành Cohen- Macaulay nhưng không là thương của vành Gorenstein. Nói cách khác, lớp vành là thương của vành Gorenstein địa phương thực sự nằm trong lớp vành là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương. Trong [26, Hệ quả 1.2], T. Kawasaki đã chứng minh được R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương khi và chỉ khi R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Nhắc lại rằng, với mỗi p ∈ Spec(R) và P ∈ Spec(Rb) sao cho P ∩ R = p, đồng cấu tự nhiên R → Rb cảm sinh ra đồng cấu địa phương ∼ f : Rp → RbP. Khi đó vành thớ RbP ⊗ (Rp/pRp) = RbP/pRbP của đồng cấu f trên iđêan cực đại pRp của Rp được gọi là thớ hình thức của R ứng với p và P. Kết quả này của T. Kawasaki là khá thú vị vì nó liên hệ một tính chất trên vành với một tính chất trên các thớ hình thức của vành. Gần đây, N. T. Cường và Đ. T. Cường [9, Định lý 5.2] đưa ra một số đặc trưng khác của lớp vành là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương thông qua sự tồn tại hệ tham số p-chuẩn tắc. Một câu hỏi tự nhiên là công thức (2) còn đúng khi xét trên lớp vành mở rộng hơn như lớp vành catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức Cohen-Macaulay? Mục tiêu của tiết này là trả lời một phần cho câu hỏi đó. Cụ thể, chúng tôi đưa ra một đặc trưng cho lớp vành catenary phổ dụng có mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắn kết tối tiểu của i trên và Công Hm(M) R R.b cụ chủ yếu mà chúng tôi sử dụng để chứng minh kết quả chính của tiết này
36 là khái niệm giả giá thứ i của M, được giới thiệu bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp trong [4]. Khái niệm này được định nghĩa như sau. Định nghĩa 2.2.1. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Giả giá thứ i của M, kí hiệu là i , được cho bởi công thức PsuppR(M) Psuppi (M) = {p ∈ Spec(R) | Hi−dim(R/p)(M ) 6= 0}. R pRp p Khái niệm giả giá là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu chiều và số bội cho môđun đối đồng điều địa phương i (xem [4], [38]), Hm(M) nghiên cứu cấu trúc của môđun chính tắc của M (xem [2]) cũng như quỹ tích không Cohen-Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của (xem [14], [42]). Vai trò của i đối với các -môđun đối M PsuppR(M) R đồng điều địa phương Artin i theo một nghĩa nào đó là quan trọng Hm(M) như vai trò của tập giá đối với môđun hữu hạn sinh. Sau đây là một số tính chất của tập giả giá. Chú ý rằng, tập con T của Spec(R) được gọi là tập đóng dưới phép đặc biệt hóa nếu với hai iđêan nguyên tố bất kì p, q của R thỏa mãn p ⊆ q và p ∈ T ta luôn có q ∈ T . Bổ đề 2.2.2. [4, Bổ đề 2.2] Giả sử R là catenary. Cho số nguyên i ≥ 0. Khi đó i là tập đóng dưới phép đặc biệt hóa. PsuppR(M) Tập giả giá khi chuyển qua đầy đủ có tính chất sau. Bổ đề 2.2.3. [4, Định lý 2.4] Giả sử vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Cho p ∈ Spec(R) và P ∈ Spec(Rb) là iđêan tối tiểu của pRb. Khi đó p là phần tử tối tiểu của i nếu và chỉ nếu là phần tử tối tiểu của PsuppR(M) P Psuppi (M). Rb c Với mọi số nguyên ta luôn có i i i ≥ 0 PsuppR(M) ⊆ Var(AnnR Hm(M)) (xem [14, Bổ đề 2.3]). Hơn nữa, các ví dụ [4, 3.1, 3.2] cũng chỉ ra rằng
37 tập i không đóng đối với tôpô Zariski. Vì vậy, nhìn chung ta PsuppR(M) có i i . Khi là catenary thì i PsuppR(M) 6= Var(AnnR Hm(M)) R PsuppR(M) luôn đóng với phép đặc biệt hóa, nhưng tính chất này không đúng trong trường hợp tổng quát. Chẳng hạn, từ chứng minh của [38, Hệ quả 3.4] ta thấy nếu R không là catenary thì Psuppm(R) không đóng dưới phép đặc biệt hóa, trong đó m = dim R. Bổ đề sau cho ta điều kiện cần để i i . PsuppR(M) = Var(AnnR Hm(M)) Bổ đề 2.2.4. [4, Mệnh đề 2.5]. Nếu vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay thì i i PsuppR(M) = Var(AnnR Hm(M)) với mọi số nguyên i ≥ 0. Định lý sau đây là kết quả chính của tiết này. Định lý 2.2.5. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay; [ (ii) min Att Hi (M) = min Ass (R/pR) với mọi R-môđun Rb m Rb b b i p∈AttR Hm(M) hữu hạn sinh M và với mọi số nguyên i ≥ 0; (iii) i i với mọi -môđun hữu dim(R/ AnnR Hm(M)) = N-dimR Hm(M) R hạn sinh M và với mọi số nguyên i ≥ 0. Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử P ∈ min S Ass (R/pR). Khi Rb b b i p∈AttR Hm(M) đó tồn tại p ∈ Att Hi (M) sao cho P ∈ Ass (R/p R). Theo Bổ 0 R m Rb b 0 b đề 2.1.1(ii), ta có . Lấy i sao cho P ∩ R = p0 p1 ∈ min AttR Hm(M) p ⊆ p . Khi đó P ⊇ p R. Suy ra tồn tại P ∈ min Ass (R/p R) 1 0 1 b 1 Rb b 1 b sao cho P ⊆ P. Hơn nữa, ta có P ∈ S Ass (R/pR) vì 1 1 Rb b b i p∈AttR Hm(M) i Suy ra do tính chất tối tiểu của trong p1 ∈ AttR Hm(M). P1 = P P tập S Ass (R/pR). Vì thế p = P ∩ R = P ∩ R = p . Suy Rb b b 0 1 1 i p∈AttR Hm(M)
38 ra P ∈ min Ass (R/p R) và p ∈ min Att Hi (M). Theo Mệnh đề Rb b 0 b 0 R m 1.1.2(ii) ta có i . Vì vành là catenary phổ p0 ∈ min Var(AnnR Hm(M)) R dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay nên theo Bổ đề 2.2.4 ta có p ∈ min Psuppi (M). Vì P ∈ min Ass (R/p R) nên từ giả thiết (i) và Bổ 0 R Rb b 0 b đề 2.2.3 suy ra P ∈ min Psuppi (M). Vì vậy P ∈ min Var(Ann (Hi (M)) Rb c Rb m theo Bổ đề 2.2.4. Do đó P ∈ min Att Hi (M) theo Mệnh đề 1.1.2(ii). Suy Rb m ra [ min Att Hi (M) ⊇ min Ass (R/pR). Rb m Rb b b i p∈AttR Hm(M) Ngược lại, lấy P ∈ min Att (Hi (M)). Đặt p = P ∩ R. Khi đó theo Rb m 0 Mệnh đề 1.1.4 ta có i . Lấy i p0 ∈ AttR Hm(M) p1 ∈ min AttR Hm(M) sao cho p1 ⊆ p0. Vì đồng cấu tự nhiên R → Rb là phẳng hoàn toàn nên nó thỏa mãn Định lý đi xuống (xem [33, Định lý 9.5]), nghĩa là tồn tại iđêan nguyên tố P1 ⊆ P sao cho P1 ∩ R = p1. Suy ra tồn tại P2 ∈ min Var(p1Rb) sao cho P2 ⊆ P1. Rõ ràng P2 ∩ R = p1 theo Bổ đề 2.1.1(ii). Vì i nên theo Mệnh đề 1.1.2(ii) ta p1 ∈ min AttR Hm(M) có i Do đó từ giả thiết (i) và Bổ đề 2.2.4 p1 ∈ min Var(AnnR Hm(M)). suy ra i . Vì nên áp dụng p1 ∈ min PsuppR(M) P2 ∈ min Var(p1Rb) i giả thiết (i) và Bổ đề 2.2.3 ta có P2 ∈ min Psupp (M). Do đó P2 ∈ Rb c min Var(Ann (Hi (M)) theo Bổ đề 2.2.4 và theo Mệnh đề 1.1.2(ii) ta suy Rb m ra P ∈ min Att Hi (M). Vì P ∈ min Att Hi (M) và P ⊆ P nên ta có 2 Rb m Rb m 2 P = P. Do đó P ∈ min Ass (R/p R). Hơn nữa, do p ∈ Att Hi (M) 2 Rb b 1 b 1 R m [ nên ta có P ∈ Ass (R/pR). Giả sử Q là phần tử tối tiểu trong Rb b b i p∈AttR Hm(M) [ tập Ass (R/pR) sao cho Q ⊆ P. Chú ý rằng, theo chứng minh Rb b b i p∈AttR H (M) trên ta có m [ min Att Hi (M) ⊇ min Ass (R/pR). Rb m Rb b b i p∈AttR Hm(M)
39 Do đó Q ∈ min Att (Hi (M)). Suy ra P = Q do tính chất tối Rb m tiểu của P trong Att Hi (M). Vì vậy P là phần tử tối tiểu của tập Rb m [ Ass (R/pR). Do đó ta có Rb b b i p∈AttR Hm(M) [ min Att Hi (M) = min Ass (R/pR). Rb m Rb b b i p∈AttR Hm(M) (ii) (iii). Cho . Đặt i Theo Mệnh đề 1.4.4 ⇒ i ≥ 0 t = N-dimR Hm(M). t = dim(R/ Ann Hi (M)). Khi đó tồn tại iđêan nguyên tố P của R b Rb m b chứa Ann Hi (M) sao cho dim(R/P) = t. Đặt p := P ∩ R. Rõ ràng Rb m b p ⊇ Ann Hi (M) ∩ R ⊇ Ann Hi (M). Do đó Rb m R m i t = dim(R/b P) ≤ dim(R/p) ≤ dim(R/ AnnR Hm(M)). Đặt i Theo Mệnh đề 1.1.2(ii) tồn tại iđêan nguyên k = dim(R/ AnnR Hm(M). tố i sao cho Lấy iđêan nguyên tố p0 ∈ min AttR Hm(M) dim(R/p0) = k. P ∈ min Ass (R/p R) sao cho dim(R/P) = dim(R/p ) = k. Khi đó ta có Rb b 0 b b 0 P∩R = p và P ∈ S Ass (R/pR). Gọi P là phần tử tối tiểu của 0 Rb b b 1 i p∈AttR Hm(M) tập S Ass (R/pR) sao cho P ⊆ P. Suy ra P ∈ Ass (R/p R) Rb b b 1 1 Rb b 1 b i p∈AttR Hm(M) với nào đó thuộc i . Vì thế Do p1 AttR Hm(M) p0 = P ∩ R ⊇ P1 ∩ R = p1. tính chất tối tiểu của trong tập i nên Suy ra cả và p0 AttR Hm(M) p1 = p0. P P đều là các phần tử của tập Ass (R/p R). Vì P ∈ min Ass (R/p R) và 1 Rb b 0 b Rb b 0 b P ⊇ P nên ta có P = P . Suy ra P ∈ min S Ass (R/pR). Từ 1 1 Rb b b i p∈AttR Hm(M) giả thiết (ii) suy ra P ∈ min Att Hi (M). Do đó theo Mệnh đề 1.1.2(ii) ta Rb m có dim(R/P) ≤ dim(R/ Ann Hi (M)). Suy ra k ≤ t. Vậy b b Rb m i i dim(R/ AnnR Hm(M)) = N-dimR Hm(M). (iii) ⇒ (i). Theo M. Hochster và C. Huneke [21], một phần tử x ∈ R được gọi là triệt tiêu đều đối đồng điều địa phương của M nếu x∈ / p với mọi và i với mọi . Theo [16, Hệ p ∈ min AssR M xHm(M) = 0 i ≤ dim M − 1
40 quả 4.3], để chứng minh (i), ta cần chỉ ra rằng R/p có phần tử triệt tiêu đều đối đồng điều địa phương với mọi p ∈ Spec(R). Cho p ∈ Spec(R) và đặt Kí hiệu i với s = dim(R/p). ai = AnnR(Hm(R/p)) i = 0, 1, . . . , s − 1 và đặt Qs−1 Theo giả thiết (iii), với mỗi số nguyên , ta có a = i=0 ai. i dim(R/a ) = dim(R/ Ann Hi (R/p)). Vì đồng cấu tự nhiên R → R là i b Rb m b phẳng nên theo Định lý 1.2.4 ta có Rb-đẳng cấu Hi (R/p) ∼= Hi (R/b pRb). m mRb Do đó theo Mệnh đề 1.1.2 (ii) suy ra i dim(R/ai) = dim(R/ Ann (H (R/pR))) b Rb mRb b b = max dim(R/P) | P ∈ Att Hi (R/pR) . b Rb mRb b b Vì Rb là đầy đủ nên Rb là ảnh đồng cấu của vành Gorenstein địa phương. Do đó với mỗi P ∈ Att Hi (R/b pRb) ta có dim(R/b P) ≤ i theo Bổ đề 2.1.6. Rb mRb Vì vậy dim(R/ai) ≤ i với mọi số nguyên i. Từ đó suy ra dim(R/a) < s và do đó Vì thế tồn tại phần tử Suy ra i với a 6⊆ p. x ∈ a \ p. xHm(R/p) = 0 mọi i < s, nghĩa là R/p có phần tử triệt tiêu đều đối đồng điều địa phương. Do đó, theo [16, Hệ quả 4.3], vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Gần đây, L. T. Nhàn và P. H. Quý [43] đã chứng minh rằng R là catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức Cohen-Macaulay khi và chỉ khi công thức (2) đúng cho mọi môđun M và mọi số nguyên i ≥ 0. Kết quả này là một mở rộng không tầm thường của Định lý 2.2.5. Từ định lý trên, chúng tôi tiếp tục đặc trưng cấu trúc của vành cơ sở R thông qua mối quan hệ giữa các tập giả giá thứ i của M và Mc. Với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M, tập giá của M có tính chất sau Supp (M) = {P ∩ R | P ∈ Supp (M)}. R Rb c Tuy nhiên, một quan hệ tương tự giữa các tập giả giá i và PsuppR(M) Psuppi (M) nhìn chung không đúng. Sau đây là một ví dụ. Rb c
41 Ví dụ 2.2.6. Cho (R, m) là miền nguyên Noether địa phương không catenary phổ dụng (tồn tại miền nguyên như vậy theo M. Brodmann và R. Y. Sharp [4]). Khi đó tồn tại R-môđun hữu hạn sinh M và số nguyên k ≥ 0 sao cho Psuppk (M) 6= {P ∩ R | P ∈ Psuppk (M)}. R Rb c Thật vậy, theo [33, Định lý 31.7] tồn tại iđêan nguyên tố p của R sao cho R/p là trộn lẫn. Do đó tồn tại iđêan nguyên tố P ∈ Ass (R/pR) thỏa Rb b b mãn dim(R/b P) k, nên Hk−dim(R/p)(M ) = 0. Suy ra p ∈/ Psuppk (M). pRp p R Nhìn chung, ta có mối quan hệ sau giữa hai tập i và PsuppR(M) Psuppi (M). Rb c Bổ đề 2.2.7. Với mỗi số nguyên i ≥ 0, ta có Psuppi (M) ⊆ {P ∩ R | P ∈ Psuppi (M)}. R Rb c Chứng minh. Cho i ≥ 0 và p ∈ Psuppi (M). Khi đó Hi−dim(R/p)(M ) 6= 0. R pRp p Lấy P ∈ Ass (R/pR) sao cho dim(R/P) = dim(R/p). Suy ra P ∩ R = p. Rb b b b Khi đó ánh xạ f : R → Rb cảm sinh ra ánh xạ Rp → RbP, biến mỗi phần tử a/s của Rp thành phần tử f(a)/f(s) của RbP, trong đó a, s ∈ R, s∈ / p. Chú ý rằng ánh xạ cảm sinh này xác định vì quy tắc trên không phụ thuộc vào phần tử đại diện của lớp a/s và f(s) ∈/ P. Vì đồng cấu Rp → RbP là hoàn toàn phẳng nên theo Định lý 1.2.4 ta có i−dim(R/p) ∼ i−dim(R/p) H (Mp ⊗Rp RbP) = HpR (Mp) ⊗Rp RbP 6= 0. pRbP p
42 Chú ý rằng ta có các đẳng cấu sau ∼ ∼ Mp ⊗Rp RbP = (M ⊗R Rp) ⊗Rp RbP = M ⊗R (Rp ⊗Rp RbP) ∼ M ⊗ R ∼ M ⊗ (R ⊗ R ) = R bP = R b Rb bP ∼ (M ⊗ R) ⊗ R ∼ M ⊗ R ∼ M . = R b Rb bP = c Rb bP = cP Mặt khác vì dim R/b P = dim R/b pRb nên P ∈ min Var(pRb). Suy ra PRbP ∈ min Var(pRbP). Do đó Rad(pRbP) = PRbP. Vì thế i−dim(R/p) ∼ i−dim(R/b P) ∼ i−dim(R/b P) H (Mp ⊗Rp RbP) = H (McP) = H (McP). pRbP Rad(pRbP) PRbP i−dim(R/b P) i Suy ra H (McP) 6= 0 và do đó P ∈ Psupp (Mc). Bổ đề được chứng PRbP Rb minh xong. Sau đây, chúng tôi đưa ra một đặc trưng khác của vành catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay thông qua tập giả giá thứ i của M. Hệ quả 2.2.8. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay; (ii) Psuppi (M) = {P ∩ R | P ∈ Psuppi (M)} với mọi R-môđun hữu R Rb c hạn sinh M và với mọi số nguyên i ≥ 0. Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Theo Bổ đề 2.2.7, ta chỉ cần chứng minh Psuppi (M) ⊇ {P ∩ R | P ∈ Psuppi (M)}. R Rb c Lấy P ∈ Psuppi (M). Chọn Q ∈ min Psuppi (M) sao cho Q ⊆ P. Khi đó Rb c Rb c từ Bổ đề 2.2.4 và Mệnh đề 1.1.2(ii) ta suy ra Q ∈ min Var(Ann Hi (M)) = min Att Hi (M). Rb mRb c Rb mRb c Do đồng cấu là phẳng và i có cấu trúc -môđun nên theo R → Rb Hm(M) Rb Định lý 1.2.4 ta có Hi (M) ∼= Hi (M). mRb c m
43 Do đó Q ∈ min Att Hi (M). áp dụng giả thiết (i) và Định lý 2.2.5(i)⇒(ii) Rb m suy ra Q ∈ Ass (R/qR) với iđêan q nào đó nằm trong Att Hi (M). Theo Rb b b R m Mệnh đề 1.1.2(ii), và i . Do là catenary Q ∩ R = q q ∈ Var(Ann(Hm(M))) R phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay nên theo Bổ đề 2.2.4 ta có i . Hơn nữa, vì vành là catenary nên theo Bổ đề 2.2.2 ta có q ∈ PsuppR(M) R i là đóng dưới phép đặc biệt hóa. Vì thế i . PsuppR(M) P ∩ R ∈ PsuppR(M) Suy ra Psuppi (M) ⊇ {P ∩ R | P ∈ Psuppi (M)}. R Rb c (ii) ⇒ (i). Theo Định lý 2.2.5, (iii)⇒(i), ta chỉ cần chứng minh dim(R/ Ann Hi (M)) = dim(R/ Ann Hi (M)) R m b Rb m với mọi R-môđun hữu hạn sinh M và với mọi số nguyên i ≥ 0. Cho là một số nguyên. Đặt i và i ≥ 0 t := dim(R/ AnnR Hm(M)) k := dim(R/ Ann Hi (M)). Theo chứng minh (ii)⇒(iii) của Định lý 2.2.5, ta b Rb m luôn có t ≥ k. Ngược lại, cho i sao cho p ∈ min Var(AnnR Hm(M)) dim(R/p) = t. Khi đó theo Mệnh đề 1.1.2 ta có i . Vì thế theo p ∈ min AttR Hm(M) Mệnh đề 1.1.4(ii) tồn tại iđêan nguyên tố P ∈ Att Hi (M) thỏa mãn Rb m p = P ∩ R. áp dụng Mệnh đề 1.1.2(ii) ta suy ra P ∈ Var(Ann Hi (M)). Rb m Từ Rb-đẳng cấu Hi (Mc) ∼= Hi (M) ta có P ∈ Var(Ann Hi (Mc)). Vì mRb m Rb mRb thế theo Bổ đề 2.2.4 ta có P ∈ Psuppi (M). Vì p = P ∩ R nên áp Rb c dụng giả thiết (ii) ta có i Lấy sao cho p ∈ PsuppR(M). Q ∈ Ass(R/b pRb) dim(R/b Q) = dim(R/p) = t. Vì ánh xạ cảm sinh Rp → RbQ là phẳng nên lập luận tương tự trong chứng minh (iii)⇒(i) của Định lý 2.2.5 ta có Hi−dim(R/b Q)(M ) ∼= Hi−dim(R/p)(M ) ⊗ R 6= 0. QRQ cQ pRp p bQ Suy ra Q ∈ Psuppi (M). Do đó Rb c Q ∈ Var(Ann Hi (M)) = Var(Ann Hi (M)). Rb mRb c Rb m
44 Vì thế t = dim(R/Q) ≤ dim(R/ Ann Hi (M)) = k. Vậy t = k. b b Rb m 2.3 Đối địa phương hóa Khi R là ảnh đồng cấu của vành Gorenstein, năm 1975, R. Y. Sharp [47] đã chứng minh nguyên lý chuyển dịch địa phương để chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của Hi (M) qua địa phương hóa Hi−dim R/p(M ). Trong m pRp p [59], P. Schenzel cũng xem Hi−dim R/p(M ) như là "địa phương hóa" của pRp p i tại iđêan nguyên tố để nghiên cứu các môđun hữu hạn sinh trên Hm(M) p vành địa phương. ý tưởng này tiếp tục được M. Brodmann và R. Y. Sharp [4] sử dụng để nghiên cứu chiều và số bội cho các môđun đối đồng điều địa phương i và mở rộng kết quả đó trên lớp vành catenary phổ dụng và Hm(M) mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Vấn đề ở đây là nguyên lý chuyển dịch địa phương này không đúng trong trường hợp tổng quát. Mục tiêu của tiết này là tìm điều kiện của vành cơ sở R để tồn tại một đối địa phương hóa tương thích cho mọi môđun i Hm(M). Với mỗi iđêan nguyên tố p của R, địa phương hóa tại p là một hàm tử khớp, tuyến tính từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các Rp-môđun sao cho Mp là Rp-môđun Noether và Mp 6= 0 với mọi p ⊇ AnnR M. Hàm tử này đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu môđun Noether. Tuy nhiên, đối với -môđun Artin , nếu thì , do đó Như vậy, R A p 6= m Ap = 0 SuppR A ⊆ {m}. hàm tử địa phương hóa không hữu hiệu trong việc nghiên cứu môđun Artin. Vì thế chúng ta cần xây dựng với mỗi p ∈ Spec(R) một hàm tử "đối địa phương hóa" sao cho tương thích với mọi -môđun Fp : MR → MRp Fp R Artin A, nghĩa là Fp có các tính chất sau: (a) Fp là tuyến tính và khớp trên phạm trù các R-môđun Artin; (b) Fp biến các R-môđun Artin thành các Rp-môđun Artin; (c) Fp(A) 6= 0 nếu p ⊇ AnnR A với mỗi R-môđun Artin A.
45 Một số tác giả đã xây dựng đối địa phương hóa Fp, với mỗi p ∈ Spec(R). Tuy nhiên không một đối địa phương hóa nào thỏa mãn cả ba tính chất (a), (b), (c) ở trên. Đầu tiên, L. Melkersson và P. Schenzel [35] đã định nghĩa đối địa phương hóa của A tại p là môđun HomR(Rp,A). Hàm tử đối địa phương hóa này là khớp trên phạm trù các R-môđun Artin và HomR(Rp,A) 6= 0 nếu p ⊇ AnnR A. Tuy nhiên, ngay cả khi vành R là đầy đủ, HomR(Rp,A) nhìn chung không Artin. Thật vậy, nếu dim R > 2 và p 6= m là iđêan nguyên tố có độ cao lớn hơn 1 thì HomR(Rp,E(R/m)) không là Artin (xem [12, Ví dụ 3.8]). K. E. Smith trong [53] đã nghiên cứu một hàm tử có tên là "đối ngẫu với địa phương hóa" Fp(−) = HomR HomR(−,E(R/m)),E(R/p) với mỗi p ∈ Spec R, trong đó E(−) là bao nội xạ của R/m. A. S. Richardson [45] cũng định nghĩa đối địa phương hóa của A tại p là Do có cấu trúc - HomRp (HomR(A, E(R/m)))p,E(Rp/pRp) . E(R/p) Rp ∼ môđun nên ta có Rp-đẳng cấu E(R/p) = E(Rp/pRp). Vì thế hai hàm tử đối địa phương hóa định nghĩa bởi A. S. Richardson và K. E. Smith thực chất chính là một. Hàm tử Fp(−) này là khớp, tuyến tính và Fp(A) 6= 0 nếu p ⊇ AnnR A, và khi vành R là đầy đủ thì Fp(A) là Rp-môđun Artin. Tuy nhiên, nếu R không đầy đủ thì Fp(A) nhìn chung không là Rp-môđun Artin (xem Định lý 2.3.8). Trong tiết này, chúng tôi đưa ra một điều kiện cần để tồn tại đối địa phương thỏa mãn các tính chất (a), (b), (c) và từ đó cho thấy một đối địa phương hóa như thế nhìn chung không tồn tại. Trước hết chúng tôi trình bày một số bổ đề chuẩn bị cho chứng minh kết quả chính. Bổ đề 2.3.1. Nếu p ∈ AttR A thì AnnR(0 :A p) = p. Chứng minh. Vì p ∈ AttR A nên theo Mệnh đề 1.1.4 tồn tại iđêan nguyên tố P ∈ Att A sao cho P ∩ R = p. Chú ý rằng A có cấu trúc R-môđun Rb b và P ⊇ Ann A theo Mệnh đề 1.1.2. Theo đối ngẫu Matlis ta có D(A) là Rb
46 R-môđun hữu hạn sinh và Ann A = Ann D(A). Suy ra b Rb Rb Ann (0 : P) = Ann D(0 : P) = Ann (D(A)/PD(A)) = P. Rb A Rb A Rb Vì thế p ⊆ AnnR(0 :A p) ⊆ AnnR(0 :A P) = Ann (0 : P) ∩ R = P ∩ R = p. Rb A Do đó AnnR(0 :A p) = p. Theo D. Kirby [27, Mệnh đề 5], có một công thức tương tự cho môđun Artin như Định lý giao Krull và Bổ đề Nakayama của môđun hữu hạn sinh. [ n Bổ đề 2.3.2. Cho A là R-môđun Artin. Khi đó A = (0 :A m ). Đặc biệt n≥1 A 6= 0 nếu và chỉ nếu (0 :A m) 6= 0. Bổ đề 2.3.3. Cho A = A1 + + An là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A, trong đó Ai là pi-thứ cấp. Cho r là số nguyên sao cho 0 < r < n. Đặt B = A1 + + Ar. Khi đó AttR(A/B) = {pr+1, , pn}. Chứng minh. Do thành phần thứ cấp Ai không thừa trong biểu diễn tối tiểu của A nên ta có (Ai + B)/B 6= 0 với mỗi i = r + 1, . . . , n. Vì ∼ (Ai + B)/B = Ai/Ai ∩ B nên (Ai + B)/B là pi-thứ cấp. Suy ra A/B = (Ar+1 + B)/B + + (An + B)/B là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A/B. Do đó AttR(A/B) = {pr+1, , pn}. Với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M và p ∈ Spec(R), ta đã biết tính chất p 6⊇ AnnR M khi và chỉ khi Mp = 0. Nếu Fp là một hàm tử đối địa phương
47 hóa tuyến tính của môđun Artin thì ta cũng có một tính chất tương tự như sau. Bổ đề 2.3.4. Cho p ∈ Spec(R). Giả sử rằng p 6⊇ AnnR A. Khi đó Fp(A) = 0 với mỗi hàm tử tuyến tính . Fp : MR → MRp Chứng minh. Vì p 6⊇ AnnR A nên tồn tại phần tử x ∈ (AnnR A) \ p. Khi đó Do nên là khả nghịch trong Vì 0 = Fp(x.IdA) = x.IdFp(A). x∈ / p x/1 Rp. thế và do đó . IdFp(A) = 0 Fp(A) = 0 Nhận xét 2.3.5. Rõ ràng nếu p, q ∈ Spec(R) với q ⊆ p thì ánh xạ cho tương ứng mỗi phần tử thành phần tử Mq → (Mp)qRp m/s ∈ Mq , trong đó là một đẳng cấu. (m/1)/(s/1) ∈ (Mp)qRp m ∈ M, s ∈ R \ q, Vì thế nếu Mq 6= 0 thì Mp 6= 0. Tính chất tương tự như vậy cũng đúng cho đối địa phương hóa. Thật vậy, giả sử tồn tại với mỗi p ∈ Spec(R) một hàm tử thỏa mãn các tính chất (a), (b), (c) nói đến ở trên. Khi Fp : MR → MRp đó theo Bổ đề 2.3.4 ta có Var(AnnR A) = {p ∈ Spec(R) | Fp(A) 6= 0}, là tập con đóng của Spec(R) trong tôpô Zariski. Vì thế với bất kì p, q ∈ Spec(R) thỏa mãn q ⊆ p, nếu Fq(A) 6= 0 thì Fp(A) 6= 0. Bổ đề 2.3.6. Cho Giả sử là một hàm tử p ∈ Spec(R). Fp : MR → MRp tuyến tính và khớp trên phạm trù các R-môđun Artin. Cho A là R-môđun Artin sao cho Fp(A) là Rp-môđun Artin khác 0. Khi đó AnnR(0 :A p) = p. Chứng minh. Trước hết ta xét trường hợp Fp là hiệp biến. Vì vành R là Noether nên p là iđêan hữu hạn sinh. Giả sử p = (x1, . . . , xt)R. Ta sẽ dùng quy nạp theo i ≤ t để chứng minh Fp(0 :A (x1, . . . , xi)R) là Rp-môđun Artin khác 0. Cho i = 1. Ta có dãy khớp các R-môđun Artin .x1 0 → (0 :A x1) → A → A.
48 Vì hàm tử Fp là khớp và hiệp biến nên ta có dãy khớp các Rp-môđun Fp(.x1) 0 → Fp(0 :A x1) → Fp(A) → Fp(A). Do Fp tuyến tính nên ánh xạ Fp(.x1) là phép nhân bởi x1/1 trên Fp(A), trong đó x1/1 là ảnh của x1 trong Rp. Suy ra ta có đẳng cấu các Rp-môđun ∼ . Do là -môđun Artin theo giả thiết nên Fp(0 :A x1) = (0 :Fp(A) x1) Fp(A) Rp cũng là -môđun Artin. Vì giả thiết là -môđun Artin (0 :Fp(A) x1) Rp Fp(A) Rp khác nên theo Bổ đề 2.3.2 ta suy ra . Do nên ta 0 (0 :Fp(A) pRp) 6= 0 x1 ∈ p có là môđun con của do đó . Từ (0 :Fp(A) pRp) (0 :Fp(A) x1), (0 :Fp(A) x1) 6= 0 đẳng cấu trên ta suy ra Fp(0 :A x1) là Rp-môđun Artin khác 0. Vì thế khẳng định đúng với i = 1. Cho i > 1 và giả sử Fp(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) là Rp-môđun Artin khác 0. Từ dãy khớp các R-môđun Artin .xi 0 → (0 :A (x1, , xi)R) → (0 :A (x1, . . . , xi−1)R) → (0 :A (x1, . . . , xi−1)R) và lập luận tương tự trên ta được Fp(0 :A (x1, . . . , xi)R) là Rp-môđun Artin khác 0, do đó khẳng định được chứng minh. Như vậy ta đã chứng minh được Fp(0 :A (x1, . . . , xt)R) 6= 0 hay Fp(0 :A p) 6= 0. Suy ra p ⊇ AnnR(0 :A p) theo Bổ đề 2.3.4. Do đó AnnR(0 :A p) = p. Giả sử hàm tử Fp là phản biến. Để suy ra AnnR(0 :A p) = p ta chứng minh p ∈ AttR A. Thật vậy, giả sử p ∈/ AttR A và ta cần chỉ ra mâu thuẫn. Cho A = A1 + + An là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A, trong đó các Ai là pi-thứ cấp với i = 1, . . . , n. Khi đó AttR A = {p1, , pn}. Không mất tính chất tổng quát ta có thể giả sử p ⊇ pi với i = 1, . . . , r và p 6⊇ pi với i = r + 1, . . . , n. Vì p ⊇ AnnR A nên theo Mệnh đề 1.1.2 tồn tại k ∈ {1, . . . , n} sao cho p chứa pk. Do đó r > 0. Vì p ∈/ AttR A nên p 6= pi với mọi i = 1, . . . , n. Suy ra p 6⊆ pi với mọi i = 1, . . . , r. Theo
49 định lý tránh nguyên tố tồn tại Sr Đặt x ∈ p \ i=1 pi. B = A1 + + Ar. Do x∈ / pi với mọi i = 1, . . . , r nên ta có xB = B. Vì thế ta có dãy khớp .x B → B → 0. Do Fp là hàm tử phản biến, khớp và tuyến tính nên ta có dãy khớp .x/1 Suy ra Mặt khác, từ dãy khớp 0 → Fp(B) → Fp(B). (0 :Fp(B) x) = 0. 0 → B → A → A/B → 0 ta có dãy khớp các Rp-môđun 0 → Fp(A/B) → Fp(A) → Fp(B) → 0. Do giả thiết Fp(A) là Rp-môđun Artin nên Fp(B) và Fp(A/B) cũng là Rp- môđun Artin. Ta khẳng định Fp(A/B) = 0. Thật vậy, nếu A = B thì Fp(A/B) = 0. Giả sử B 6= A. Khi đó AttR(A/B) = {pr+1, , pn} theo Bổ đề 2.3.3. Vì p 6= pi với mọi i = r + 1, . . . , n nên từ Mệnh đề 1.1.2 ta có p 6⊇ AnnR(A/B). Suy ra Fp(A/B) = 0 theo Bổ đề 2.3.4, khẳng định được chứng minh. Vì Fp(A) 6= 0 theo giả thiết nên từ dãy khớp trên suy ra Fp(B) 6= 0 . Do Fp(B) là Rp-môđun Artin khác 0 nên từ Bổ đề 2.3.2 ta có Vì nên suy ra Điều này là mâu 0 :Fp(B) pRp 6= 0. x ∈ p 0 :Fp(B) x 6= 0. thuẫn. Do đó p ∈ AttR A. Suy ra AnnR(0 :A p) = p theo Bổ đề 2.3.1. Theo N. T. Cường và L. T. Nhàn [11], với mỗi R-môđun Artin A ta có N-dimR A ≤ dim(R/ AnnR A). Hơn nữa, tồn tại R-môđun Artin A sao cho N-dimR A < dim(R/ AnnR A) (xem [11, Ví dụ 4.1]). Mệnh đề sau đây đưa ra một số đặc trưng để đẳng thức xảy ra, trong đó chú ý rằng mệnh đề tương đương giữa (i) và (iii) đã được chứng minh bởi H. Zăoschinger trong [61]. Mệnh đề 2.3.7. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) dim(R/ AnnR A) = N-dimR A với mỗi R-môđun Artin A; (ii) dim(R/ AnnR A) = N-dimR A với mỗi môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất A = Hk (R/b P), trong đó P ∈ Spec(Rb) và k = dim(R/b P); mRb (iii) dim(R/b P) = dim(R/(P ∩ R)) với mọi P ∈ Spec(Rb).
50 Chứng minh. Chứng minh của (i)⇒(ii) là hiển nhiên. (ii)⇒(iii). Cho P ∈ Spec(Rb). Đặt p = P ∩ R và k = dim(R/b P). Ta cũng đặt A = Hk (R/b P)-môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất mRb của R/b P. Khi đó A là Rb-môđun Artin và theo Định lý 1.2.8 ta có Att A = {Q ∈ Ass (R/P) : dim R/Q = dim R/P} = {P}. Rb Rb b b b Do A là Rb-môđun Artin nên A cũng là R-môđun xác định bởi đồng cấu tự nhiên R → Rb. Hơn nữa, A còn là R-môđun Artin. Khi đó theo Mệnh đề 1.1.4 ta có AttR A = {P ∩ R} = {p}. Vì thế theo Mệnh đề 1.1.2(ii) ta có dim(R/ Ann A) = dim(R/p) và dim(R/ Ann A) = dim(R/P). R b Rb b Nếu ta xem R-môđun Artin A này như là Rb-môđun Artin bởi đồng cấu tự nhiên R → Rb thì ta lại được cấu trúc Rb-môđun ban đầu trên A. Vì vậy theo Mệnh đề 1.4.4 ta có N-dim A = dim R/ Ann A. Từ giả thiết (ii) ta được R b Rb dim(R/b P) = dim(R/p). (iii)⇒(i). Cho A là R-môđun Artin. Theo Mệnh đề 1.1.2(ii) tồn tại p ∈ AttR A sao cho dim(R/ AnnR A) = dim(R/p). Theo Mệnh đề 1.1.4 tồn tại P ∈ Att A sao cho P ∩ R = p. Vì thế từ giả thiết (iii) và Mệnh đề Rb 1.1.2 suy ra dim(R/ Ann A) ≥ dim(R/P) = dim(R/p) = dim(R/ Ann A). b Rb b R Vậy khẳng định (i) được chứng minh. Định lý sau đây chỉ ra điều kiện cần để tồn tại một đối địa phương hóa tương thích với mọi môđun Artin (nghĩa là thỏa mãn các tính chất (a), (b), (c) đã nói đến ở trên). Định lý 2.3.8. Giả sử rằng tồn tại, với mỗi p ∈ Spec(R), một hàm tử thỏa mãn các tính chất (a), (b), (c). Khi đó ánh xạ Fp : MR → MRp tự nhiên R → Rb thỏa mãn tính chất đi lên. Đặc biệt, mọi thớ hình thức của R đều là vành Artin.
51 Chứng minh. Vì Fp thỏa mãn các tính chất (a), (b), (c) nên theo Bổ đề 2.3.6 ta có AnnR(0 :A p) = p với mỗi R-môđun Artin A và với mỗi p ∈ Var(AnnR A). Vì thế ánh xạ tự nhiên R → Rb thỏa mãn tính chất đi lên theo Định lý 1.4.9. Hơn nữa, ta có N-dimR A = dim(R/ AnnR A) theo Mệnh đề 1.4.8, với mỗi R-môđun Artin A. Do đó từ Mệnh đề 2.3.7 kéo theo dim(R/b P) = dim(R/(P ∩ R)) với mọi P ∈ Spec(Rb) thỏa mãn P ∩ R = p. Vì thế P ∈ min Var(pR) và do đó Ass RP/pRP = {PRP}. b RbP b b b Suy ra thớ hình thức RbP/pRbP có độ dài hữu hạn với mọi p ∈ Spec(R) và P ∈ Spec(Rb) thỏa mãn P ∩ R = p. Vậy mọi thớ hình thức của R là vành Artin. Ví dụ sau đây chỉ ra rằng đối địa phương hóa cho các môđun Artin thỏa mãn các tính chất (a), (b), (c) nhìn chung không tồn tại ngay cả khi R là thương của vành chính quy Noether địa phương. Chú ý rằng, vành R được gọi là vành chính quy địa phương nếu iđêan cực đại m có một hệ sinh gồm n phần tử, trong đó n = dim R. Ví dụ 2.3.9. Cho K là một trường có đặc số 0 và S = K[X1,X2,X3] là vành các đa thức trên . Đặt 2 2 3 và Cho K b = (X2 − X1 − X1 ) n = (X1,X2,X3). R = (S/b)n/b và ta kí hiệu xi là ảnh của Xi trong vành thương S/b. Cho 2 p = (x1 + x2 − x2x3)R + ((x3 − 1) (x1 + 1) − 1)R. Khi đó ta có (i) R là miền nguyên Noether địa phương và là thương của miền nguyên chính quy địa phương; (ii) dim R = 2 và p là iđêan nguyên tố của R với dim(R/p) = 1; (iii) 2 không là -môđun hữu hạn sinh; Hp (R) R (iv) 2 là -môđun Artin, chứa linh hóa tử của 2 và ta có Hp (R) R p Hp (R) Ann 0 : 2 p 6= p. R Hp (R) Trong trường hợp này, ánh xạ R → Rb không thỏa mãn tính chất đi lên và
52 không tồn tại đối địa phương hóa tương thích với mọi R-môđun Artin (nghĩa là thỏa mãn các tính chất (a), (b), (c) nói đến trong Định lý 2.3.8). Chứng minh. Các tính chất (i), (ii), (iii) đã được chứng minh trong [3, 8.2.9]. Ta chứng minh khẳng định (iv). Vì nên 2 là -môđun dim R = 2 Hp (R) R Artin theo Định lý 1.2.7(ii). Do đó (0 : 2 p) là R-môđun Artin. Theo [15, Hp (R) Định lý 3] ta có 2 là -đối hữu hạn, tức là 2 nằm trong Hp (R) p SuppR Hp (R) và j 2 là -môđun hữu hạn sinh với mọi số nguyên Var(p) ExtR(R/p,Hp (R)) R j ≥ 0. Do đó (0 : 2 p) là hữu hạn sinh. Vì thế ` (0 : 2 p) < ∞. Hp (R) R Hp (R) Suy ra Ann (0 : 2 p) là iđêan m-nguyên sơ. Do dim(R/p) = 1 nên R Hp (R) Ann (0 : 2 p) 6= p. Vì R là miền nguyên nên theo [3, 8.2.6(i)] ta có R Hp (R) 2 Chú ý rằng 2 theo Định lý 1.2.5. Suy ra AttR Hp (R) ⊆ {0}. Hp (R) 6= 0 2 theo Mệnh đề 1.1.2(i). Vì thế 2 và do AttR Hp (R) 6= ∅ AttR Hp (R) = {0} đó 2 theo Mệnh đề 1.1.2(ii). Vì thế 2 . AnnR(Hp (R)) = 0 p ⊇ AnnR(Hp (R)) Theo Định lý 1.4.9, vành R không thỏa mãn tính chất đi lên. Do đó, theo Định lý 2.3.8 không tồn tại đối địa phương hóa tương thích với mọi R-môđun Artin. Đối với môđun đối đồng điều địa phương Artin i , nhìn chung ta Hm(M) cũng có i i Hơn nữa tồn tại vành N-dimR(Hm(M)) ≤ dim(R/ AnnR Hm(M)). địa phương sao cho 1 1 (xem (R, m) N-dimR(Hm(R)) < dim(R/ AnnR Hm(R)) [11, Ví dụ 4.1]). Theo Mệnh đề 1.4.8, tại mỗi cấp , nếu i thỏa mãn i Hm(M) tính bão hòa nguyên tố thì i i , N-dimR(Hm(M)) = dim(R/ AnnR Hm(M)) nghĩa là tính bão hòa nguyên tố mạnh hơn, suy ra được đẳng thức về chiều. Kết quả sau đây không những đưa ra một vài đặc trưng để đẳng thức i i đúng với mọi môđun đối N-dimR(Hm(M)) = dim(R/ AnnR Hm(M)) đồng điều địa phương Artin i mà còn cho thấy khi đẳng thức về chiều Hm(M) này thỏa mãn cho mọi môđun M, tại mọi cấp i thì nó tương đương với tính bão hòa nguyên tố.
53 Mệnh đề 2.3.10. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) i i với mọi số nguyên và dim(R/ AnnR Hm(M)) = N-dimR(Hm(M)) i với mọi R-môđun hữu hạn sinh M; (ii) i thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố với mọi số nguyên , với mọi Hm(M) i R-môđun hữu hạn sinh M; (iii) Vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen- Macaulay. Chứng minh. Khẳng định (iii)⇒(ii) được suy ra từ [38, Hệ quả 3.2]. Theo Định lý 2.2.5, ta có (i)⇒(iii). Khẳng định (ii)⇒(i) là kết quả của Bổ đề 1.4.8. Do đó ta có điều phải chứng minh. Với mỗi p ∈ Spec(R), cho Fp là đối địa phương hóa định nghĩa bởi A. S. Richardson [45]. Nếu vành cơ sở R là đầy đủ thì từ đối ngẫu địa phương suy ra F (Hi (M)) = Hi−dim(R/p)(M ) (xem [45, Định lý 2.6]). Với giả p m pRp p thiết vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay, M. Brodmann và R. Y. Sharp [4, Định lý 2.4] đã xem vai trò của Rp-môđun Hi−dim(R/p)(M ) như là "đối địa phương hóa" của môđun đối đồng điều địa pRp p phương Artin i nhằm xây dựng thành công công thức liên kết cho số Hm(M) bội của i . Vì thế vấn đề ở đây là tìm điều kiện để tồn tại một đối Hm(M) địa phương hóa tương thích với mọi môđun đối đồng điều địa phương Artin i . Trong phần này chúng tôi sẽ đưa ra điều kiện cần để tồn tại một Hm(M) đối địa phương hóa như vậy cho i . Hm(M) Định lý 2.3.11. Giả sử tồn tại, với mỗi p ∈ Spec(R), một hàm tử khớp, tuyến tính trên phạm trù các -môđun, i là Artin và Fp : MR → MRp R Fp(Hm(M)) i với bất kì i , với mọi số nguyên và với Fp(Hm(M)) 6= 0 p ⊇ AnnR Hm(M) i mọi R-môđun hữu hạn sinh M. Khi đó vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay.
54 Chứng minh. Vì i với bất kì i nên theo Fp(Hm(M)) 6= 0 p ⊇ AnnR Hm(M) Bổ đề 2.3.6 ta có i thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố với mọi số Hm(M) nguyên i và với mọi R-môđun hữu hạn sinh M. Theo Mệnh đề 1.4.8 ta có i i . áp dụng Mệnh đề 2.3.10 N-dimR(Hm(M)) = dim(R/ AnnR Hm(M) (i)⇒(iii) suy ra R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen- Macaulay. Nhận xét 2.3.12. Từ Định lý 2.3.11 ta suy ra không tồn tại đối địa phương hóa tương thích với mọi môđun đối đồng điều địa phương Artin i Hm(M) trong các trường hợp sau: (i) R là miền nguyên Noether địa phương và không catenary với chiều d ≥ 3 (những miền như vậy luôn tồn tại, xem [1]); (ii) R là miền nguyên Noether địa phương catenary phổ dụng nhưng có thớ hình thức không là Cohen-Macaulay (những miền như vậy luôn tồn tại, xem [4, Ví dụ 3.1]); (iii) R là miền nguyên Noether địa phương catenary và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay, nhưng R không là catenary phổ dụng (những miền như vậy luôn tồn tại, xem [24, Ví dụ 28]). Nếu vành R là đầy đủ thì đối địa phương hóa được định nghĩa bởi A. S. Richardson [45] luôn thỏa mãn các tính chất (a), (b), (c) trong phát biểu của Định lý 2.3.8 cho mọi môđun Artin. Tuy nhiên, chúng tôi vẫn chưa tìm ra được lớp các vành địa phương không đầy đủ mà có đối địa phương hóa thỏa mãn các tính chất đó. Vì thế chúng tôi xin kết thúc chương này bằng câu hỏi sau. Câu hỏi 2.3.13. Giả sử rằng ánh xạ tự nhiên R → Rb thỏa mãn tính chất đi lên. Có tồn tại hay không một hàm tử đối địa phương hóa Fp tương thích với mọi R-môđun Artin với mỗi p ∈ Spec(R)?
55 Kết luận chương II Tóm lại, trong chương này chúng tôi đã thu được các kết quả sau đây: - Đặc trưng vành cơ sở để công thức chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết qua đầy đủ thỏa mãn với mọi R-môđun Artin. - Chứng minh công thức chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của i Hm(M) qua đầy đủ khi vành cơ sở là thương của vành Gorenstein. - Đưa ra một số đặc trưng của vành catenary phổ dụng với các thớ hình thức Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệ giữa các tập Att Hi (M) và Rb m i ; mối quan hệ giữa i và i . AttR Hm(M) Psupp (M) Psupp (Mc) - Chỉ ra một điều kiện cần trên vành cơ sở R để tồn tại đối địa phương hóa tương thích với mọi R-môđun Artin. - Đưa ra một tiêu chuẩn của vành cơ sở để tồn tại đối địa phương hóa tương thích với mọi môđun đối đồng điều địa phương i Hm(M).
56 Chương 3 Môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá tùy ý Trong suốt chương này, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương với iđêan cực đại duy nhất m, M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d và A là R-môđun Artin. Với mỗi iđêan I của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I. Kí hiệu Rb và Mc lần lượt là đầy đủ m-adic của R và M. Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều cấp cao nhất với giá cực đại d trên và đã được I. G. Macdonald và R. Y. Sharp mô tả rõ Hm(M) R Rb ràng trong [31]. Từ Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne, R. Y. Sharp [50] tiếp tục mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết của dim R trên vành HI (R) R.b Sau đó, K. Divaani-Aazar và P. Schenzel [17] đã mở rộng kết quả này cho môđun. Mục tiêu của chương này là mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun d trên vành trong mối liên hệ với tính bão hòa nguyên tố, HI (M) R đối địa phương hóa và công thức bội liên kết của môđun d . Để nghiên HI (M) cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết của d , chúng tôi đặc trưng tính bão HI (M) hòa nguyên tố cho môđun này thông qua tính catenary của vành rồi chuyển nó về môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại của một môđun thương của M. Nội dung của chương này được trình bày dựa trên bài báo [40].
57 3.1 Tính bão hòa nguyên tố Theo N. T. Cường và L. T. Nhàn [11], một R-môđun A thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nếu AnnR(0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR A. Khi R là vành đầy đủ, mọi môđun đối đồng điều địa phương Artin đều thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. Tuy nhiên, nhìn chung các môđun đối đồng điều địa phương Artin không có tính chất này (xem [11, Ví dụ 4.3]). Tính bão hòa nguyên tố đã được đặc trưng cho các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại (xem [10], [38], [39]). Trong tiết này, chúng tôi tiếp tục đặc trưng tính bão hòa nguyên tố cho lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin cấp cao nhất ứng với giá bất kì d thông qua tính catenary của vành rồi HI (M) chuyển nó về môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại của một môđun thương của M. Trước hết, chúng tôi đưa ra một số kí hiệu liên quan đến phân tích nguyên sơ của môđun con 0 của M. Kí hiệu này được sử dụng trong toàn bộ Chương 3. \ Kí hiệu 3.1.1. Cho 0 = N(p) là một phân tích nguyên sơ thu gọn p∈AssR M của môđun con 0 của M. Kí hiệu p AssR(I,M) = p ∈ AssR M | dim(R/p) = d, I + p = m . \ Đặt N = N(p). Vì mỗi phần tử của AssR(I,M) đều là iđêan p∈AssR(I,M) nguyên tố liên kết tối tiểu của M nên R-môđun N không phụ thuộc vào sự lựa chọn phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con 0. Sau đây là đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương d trong mối liên hệ với tính catenary của vành cơ sở và tập HI (M) các iđêan nguyên tố gắn kết của d . HI (M) Định lý 3.1.2. Cho R-môđun N xác định như trong Kí hiệu 3.1.1. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
58 (i) d thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố; HI (M) √ (ii) d là vành catenary và với mọi iđêan R/ AnnR HI (M) I + p = m nguyên tố gắn kết của d p HI (M); (iii) d là vành catenary và d ∼ d R/ AnnR HI (M) HI (M) = Hm(M/N). Chứng minh. Nếu d thì d Giả sử tồn tại HI (M) = 0 AttR HI (M) = ∅. √ b p ∈ AssR(I,M). Vì p ∈ AssR M và I + p = m nên theo Bổ đề 2.1.1, q tồn tại P ∈ Ass M sao cho dim R/P = d và IR + P = mR. Theo Định Rb c b b lý 1.2.11 ta có P ∈ Att Hd(M) và vì thế Hd(M) 6= 0. Điều này là mâu Rb I I thuẫn. Suy ra và do đó Suy ra d và AssR(I,M) = ∅ N = M. Hm(M/N) = 0 hiển nhiên cả ba mệnh đề của Định lý 3.1.2 đều đúng. Vì thế ta có thể giả sử d HI (M) 6= 0. (i)⇒(ii). Theo Mệnh đề 1.2.11, mỗi phần tử của Att Hd(M) đều là iđêan Rb I nguyên tố tối tiểu chiều d của Ass M. Hơn nữa theo Mệnh đề 1.1.2, các Rb c phần tử tối tiểu của Att Hd(M) và Var Ann Hd(M) là như nhau. Do Rb I Rb I đó dim R/ Ann Hd(M) = d và Hd(M) là R-môđun Artin không trộn b Rb I I lẫn. Vì d thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nên theo Định lý 1.4.11, HI (M) vành d là catenary. R/ AnnR HI (M) d Vì I + AnnR H (M) ⊆ AnnR(0 : d I) nên ta có I HI (M) d Rad AnnR(0 : d I) ⊇ Rad I + AnnR H (M) . HI (M) I Lấy sao cho d Do d thỏa mãn tính q ∈ Spec(R) q ⊇ I + AnnR HI (M). HI (M) bão hòa nguyên tố nên AnnR(0 : d I) ⊆ AnnR(0 : d q) = q. Suy ra HI (M) HI (M) \ d Rad AnnR(0 : d I) ⊆ q = Rad I + AnnR H (M) . HI (M) I q∈Spec(R) d q⊇I+AnnR HI (M) d d Vì thế Rad AnnR(0 : d I) = Rad I + AnnR H (M) . Do H (M) là HI (M) I I R-môđun Artin nên (0 : d I) là Artin. Mặt khác, theo [15, Định lý 3], HI (M)
59 d H (M) là I-đối hữu hạn. Suy ra (0 : d I) là R-môđun hữu hạn sinh. Do I HI (M) đó `R(0 : d I) < ∞. Vì thế AnnR(0 : d I) là iđêan m-nguyên sơ của HI (M) HI (M) và do đó d là -nguyên sơ. Lấy d Khi R I + AnnR HI (M) m p ∈ AttR HI (M). đó d theo Mệnh đề 1.1.2(ii). Suy ra cũng là iđêan p ⊇ AnnR HI (M) I + p √ -nguyên sơ hay với mọi d m I + p = m p ∈ AttR HI (M). \ (ii)⇒(iii). Như trong Kí hiệu 3.1.1, cho 0 = N(p) là một phân tích p∈AssR M \ nguyên sơ thu gọn của môđun con 0 của M và đặt N = N(p), p∈AssR(I,M) trong đó p AssR(I,M) = p ∈ AssR M | dim(R/p) = d, I + p = m . Theo tính chất của phân tích nguyên sơ ta có AssR(M/N) = AssR(I,M). Lấy q ∈ AssR M sao cho q ∈/ AssR(I,M). Do phân tích nguyên sơ của N là thu gọn nên N + N(q)/N(q) 6= 0. Vì N + N(q)/N(q) ∼= N/N ∩ N(q) nên ta có ∅= 6 AssR(N/N ∩ N(q)) ⊆ AssR(M/N(q)) = {q}. Suy ra AssR(N/N ∩ N(q)) = {q} và N ∩ N(q) là môđun con nguyên sơ của N. Vì các thành phần N(q) là không thừa trong phân tích nguyên sơ của môđun con 0 của M nên \ 0 = (N ∩ N(p)) p∈AssR M\AssR(I,M) là một phân tích nguyên sơ của môđun con 0 của N. Điều này dẫn đến AssR N = AssR M \ AssR(I,M). Từ dãy khớp 0 → N → M → M/N → 0 ta suy ra dãy khớp d d d HI (N) → HI (M) → HI (M/N) → 0.
60 Ta chứng minh d . Giả sử ngược lại d . Theo Định HI (N) = 0 HI (N) 6= 0 lý 1.2.5 ta có Lấy d Theo Mệnh đề 1.2.11, dim N = d. P ∈ Att HI (N). q Rb P ∈ Ass N, dim(R/P) = d và IR + P = mR. Vì Ass N ⊆ Ass M Rb b b b b Rb b Rb c nên P ∈ Ass M. Do đó P ∈ Att Hd(M) theo Mệnh đề 1.2.11. Đặt Rb c Rb I Khi đó d theo Mệnh đề 1.1.4. Mặt khác do giả p = P ∩ R. p ∈ AttR HI (M) √ thiết (ii) ta có I + p = m. Vì P ∈ Ass M và dim(R/P) = d nên theo Rb c b Bổ đề 2.1.1(i) ta có p ∈ AssR M và dim(R/p) = d. Suy ra p ∈ AssR(I,M). Mặt khác vì P ∈ Ass N nên p ∈ Ass N theo Bổ đề 2.1.1(i) và do đó Rb b R p ∈ AssR M \ AssR(I,M) theo chứng minh trên. Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vì thế d và từ dãy khớp trên suy ra d ∼ d . HI (N) = 0 HI (M) = HI (M/N) T Lấy q ∈ Spec(R) sao cho q ⊇ I + p. Do AssR(I,M) là tập hữu p∈AssR(I,M) √ hạn nên q ⊇ I và q ⊇ p0 với p0 ∈ AssR(I,M). Vì thế q ⊇ I + p0 = m và ta có Rad(I + T p) = m. Do đó I + T p là m-nguyên sơ. Vì p∈AssR(I,M) p∈AssR(I,M) AssR(M/N) = AssR(I,M) nên \ Rad(AnnR(M/N)) = p. p∈AssR(I,M) Suy ra I + AnnR(M/N) là m-nguyên sơ. Vì thế, theo Định lý 1.2.3, ta có Hd(M/N) ∼ Hd (M/N) ∼ Hd (M/N). I = I+AnnR(M/N) = m (iii) (i). Vì d ∼ d nên ta có ⇒ HI (M) = Hm(M/N) d d AnnR(HI (M)) = AnnR(Hm(M/N)). Do vành d là catenary nên vành d cũng R/ AnnR HI (M) R/ AnnR Hm(M/N) là catenary. Theo Định lý 1.4.10, d thỏa mãn tính bão hòa nguyên Hm(M/N) tố và do đó d cũng thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố. HI (M) Nhận xét 3.1.3. Nếu thì 1 thỏa mãn tính bão hòa nguyên dim R ≤ 1 HI (M) tố, bởi vì là catenary và 1 ∼ 1 ∼ 1 , trong đó R HI (M) = HI (M1) = Hm(M1) [ n M1 = M/ (0 :M I ). Chú ý rằng R không nhất thiết đầy đủ khi n≥1
61 dim R = 1. Hơn nữa, theo D. Ferrand and M. Raynaud [54], tồn tại miền nguyên Noether địa phương chiều 1 không thể viết dưới dạng thương của một vành Gorenstein địa phương. 3.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết Trong tiết này chúng tôi mở rộng kết quả của K. Divaani-Aazar và P. Schenzel [17] từ trường hợp đầy đủ sang trường hợp môđun d thỏa R HI (M) mãn tính bão hòa nguyên tố. Chú ý rằng tồn tại miền nguyên Noether địa phương không đầy đủ và một iđêan của sao cho d khác và R I R HI (M) 0 thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố (xem Nhận xét 3.1.3). Trước hết, từ Định lý 3.1.2, chúng ta có hệ quả sau về mối liên hệ giữa tập AssR(I,M) và d . AttR HI (M) Hệ quả 3.2.1. Cho AssR(I,M) như trong Kí hiệu 3.1.1. Khi đó ta có (i) d Đặc biệt, nếu thì AssR(I,M) ⊆ AttR HI (M). AssR(I,M) 6= ∅ d HI (M) 6= 0. (ii) Giả sử rằng . Khi đó d thỏa mãn tính bão hòa AssR(I,M) = ∅ HI (M) nguyên tố khi và chỉ khi d . HI (M) = 0 Chứng minh. (i) Lấy p ∈ AssR(I,M). Khi đó p ∈ AssR M, dim(R/p) = d √ và I + p = m. Lấy P ∈ Ass (R/pR) sao cho dim(R/P) = d. Suy ra Rb b b b P ∩ R = p. Theo Bổ đề 2.1.1(i), P ∈ Ass M. Lấy Q ∈ Spec(R) sao cho Rb c b Q ⊇ IRb + P. Khi đó Q ∩ R ⊇ I + p. Do đó Q ⊇ mR.b Suy ra q \ IRb + P = Q = mR.b Q⊇IRb+P Vì thế P ∈ Att Hd(M) theo Mệnh đề 1.2.11. Suy ra p ∈ Att Hd(M) Rb I R I theo Mệnh đề 1.1.4. Do đó d Khẳng định còn lại AssR(I,M) ⊆ AttR HI (M). được suy ra ngay từ Mệnh đề 1.1.2(i).
62 (ii) Giả sử Rõ ràng nếu d thì d thỏa mãn AssR(I,M) = ∅. HI (M) = 0 HI (M) tính bão hòa nguyên tố. Giả sử d . Khi đó tồn tại d HI (M) 6= 0 p ∈ AttR HI (M) theo Mệnh đề 1.1.2(i). Vì thế, theo Mệnh đề 1.1.4, tồn tại P ∈ Att Hd(M) Rb I sao cho P ∩ R = p. Suy ra P ∈ Ass M và dim R/P = d theo Mệnh đề Rb c b 1.2.11. Do đó và Nếu d thỏa mãn tính bão p ∈ AssR M dim R/p = d. HI (M) √ hòa nguyên tố thì I + p = m theo Định lý 3.1.2, do đó p ∈ AssR(I,M). Điều này là không thể. Vậy khẳng định (ii) được chứng minh. Hệ quả sau đây là kết quả chính của tiết này. Hệ quả 3.2.2. Nếu d thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố thì HI (M) d p AttR HI (M) = p ∈ AssR M | dim(R/p) = d, I + p = m . Chứng minh. Cho AssR(I,M) được xác định như trong Kí hiệu 3.1.1. Khi đó d theo Hệ quả 3.2.1(i). Lấy d Ass(I,M) ⊆ AttR HI (M) p ∈ AttR HI (M). Khi đó và . Vì d thỏa mãn tính bão hòa p ∈ AssR M dim(R/p) = d HI (M) √ nguyên tố nên I + p = m theo Định lý 3.1.2. Vì thế p ∈ Ass(I,M). Do đó d AttR HI (M) = AssR(I,M) p = p ∈ AssR M | dim(R/p) = d, I + p = m . ở chương trước, chúng ta đã nghiên cứu vấn đề chuyển iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương cấp tùy ý với giá cực đại i qua đầy đủ -adic. Sau đây, chúng ta tiếp tục nghiên cứu vấn đề đó Hm(M) m cho các môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá tùy ý trong mối liên hệ với tính bão hòa nguyên tố và tính không trộn lẫn của vành. Chú ý rằng, vành R được gọi là không trộn lẫn nếu dim R/b P = dim Rb với mọi P ∈ Ass Rb.
63 Mệnh đề 3.2.3. Cho AssR(I,M) được xác định như trong Kí hiệu 3.1.1. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: [ (i) Att Hd(M) = Ass (R/pR); Rb I Rb b b d p∈AttR HI (M) (ii) d thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố và không trộn lẫn với HI (M) R/p mọi p ∈ AssR(I,M). Chứng minh. (i) (ii). Lấy d Theo Mệnh đề 1.1.2(ii) ⇒ q ∈ Var(AnnR HI (M)). tồn tại d sao cho Lấy sao cho p ∈ AttR HI (M) p ⊆ q. Q ∈ Ass(R/b qRb) Q ∩ R = q. Vì ánh xạ tự nhiên R → Rb thỏa mãn Định lý đi xuống nên tồn tại P ∈ Spec(Rb) sao cho P ⊆ Q và P ∩ R = p. Do P ⊇ pRb nên tồn tại P0 ∈ min Ass (R/pR) sao cho P0 ⊆ P. Vì p ∈ Att Hd(M) nên áp Rb b b R I dụng giả thiết (i) ta có P0 ∈ Att Hd(M). Suy ra P0 ⊇ Ann Hd(M) theo Rb I Rb I Mệnh đề 1.1.2(ii) và do đó Q ⊇ Ann Hd(M). Vì R-môđun Hd(M) thỏa Rb I b I mãn tính bão hòa nguyên tố nên ta có Ann (0 : d Q) = Q. Do vậy Rb HI (M) q ⊆ AnnR(0 : d q) ⊆ Ann (0 : d Q) ∩ R = Q ∩ R = q. HI (M) Rb HI (M) d Suy ra AnnR(0 : d q) = q. Do đó H (M) thỏa mãn tính bão hòa nguyên HI (M) I tố. Lấy Khi đó d theo Hệ quả 3.2.1(i). p ∈ AssR(I,M). p ∈ AttR HI (M) Lấy P ∈ Ass (R/pR). Theo giả thiết (i), ta có P ∈ Att Hd(M). Suy ra Rb b b Rb I dim(R/b P) = d theo Mệnh đề 1.2.11. Vì thế R/p là không trộn lẫn. (ii)⇒(i). Lấy P ∈ Att Hd(M). Đặt p = P ∩ R. Khi đó p ∈ Att Hd(M) Rb I R I theo Mệnh đề 1.1.4 và dim(R/b P) = d theo Mệnh đề 1.2.11. Từ đó suy ra dim(R/p) = d. Do đó P ∈ Ass (R/pR). Rb b b Ngược lại, lấy p ∈ Att Hd(M) và P ∈ Ass (R/pR). Vì Hd(M) R I Rb b b I thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nên ta có p ∈ AssR(I,M) theo Hệ √ quả 3.2.2. Vì thế p ∈ AssR M, dim(R/p) = d và I + p = m. Suy ra
64 theo Bổ đề 2.1.1(i). Vì không trộn lẫn theo giả thiết (ii) P ∈ AssR Mc R/p b √ q nên dim(R/b P) = dim(R/p) = d. Do I + p = m nên P + IRb = mR.b Vì thế P ∈ Att Hd(M) theo Mệnh đề 1.2.11. Rb I 3.3 Đối giá và số bội Cho p ∈ Spec(R). Trong [53], K. E. Smith đã nghiên cứu hàm tử "đối ngẫu với địa phương hóa" Fp(−) = HomR HomR(−,E(R/m)),E(R/p) từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các Rp-môđun, trong đó E(−) là bao nội xạ . Chú ý rằng hàm tử Fp là khớp, tuyến tính, Fp(A) 6= 0 khi và chỉ khi p ⊇ AnnR A, và khi R là đầy đủ thì Fp(A) là Artin với bất kì R-môđun Artin A. Mệnh đề 3.3.1. Cho p ∈ Spec(R) và Fp(−) là hàm tử đối ngẫu với địa phương hóa ở trên. Cho N xác định như trong Kí hiệu 3.1.1. Giả sử rằng R là đầy đủ. Khi đó F (Hd(M)) ∼= Hd−dim(R/p)(M/N) . p I pRp p Chứng minh. Vì vành là đầy đủ nên theo Mệnh đề 1.4.7, d thỏa mãn R HI (M) tính bão hòa nguyên tố. Vì thế theo Hệ quả 3.2.2 ta có d AttR HI (M) = AssR(I,M) = AssR(M/N). Nếu d thì và do đó đẳng cấu trên luôn thỏa mãn. Giả HI (M) = 0 M/N = 0 sử d Khi đó HI (M) 6= 0. dim M/N = d. Nếu d thì d theo Bổ đề 2.3.4 và p 6⊇ AnnR HI (M) Fp(HI (M)) = 0 (M/N)p = 0. Vì thế đẳng cấu trong Mệnh đề 3.3.1 luôn thỏa mãn. Xét trường hợp d Kí hiệu d p ⊇ AnnR(HI (M)). K(M/N) := K (M/N) (xem Bổ đề 2.1.5). áp dụng đối ngẫu Matlis và Định lý 2.1.5, với chú ý rằng