Luận án Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc

116 trang yendo 5170

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Luận án Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

luan_an_he_nhan_tu_trong_nhom_pham_tru_phan_bac.pdf

Nội dung text: Luận án Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc

Đại học huế Trường đại học sư phạm phạm thị cúc Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc luận án tiến sĩ toán học Huế - 2014
Đại học huế Trường đại học sư phạm phạm thị cúc Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 62. 46. 05. 01 luận án tiến sĩ toán học Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang 2. GS. TS. Lê Văn Thuyết Huế, 2014
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết chung với các đồng tác giả. Những kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các số liệu, kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Phạm Thị Cúc 1
Lời cảm ơn Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang và GS. TS. Lê Văn Thuyết. Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến các Thầy. Các Thầy không chỉ truyền cho em niềm đam mê nghiên cứu khoa học, tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em về mọi mặt, mà còn dành cho em sự cổ vũ và động viên trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của mình. Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán, Phòng Sau đại học - Trường Đại học sư phạm - Đại học Huế, Ban đào tạo sau đại học - Đại học Huế và các thầy cô trong Bộ môn Đại số, Khoa Khoa học tự nhiên - Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập, nghiên cứu và hoàn thành chương trình nghiên cứu của mình. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Thạc sỹ Nguyễn Thu Thủy vì những sự giúp đỡ chân thành. Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi vì những sự đồng cảm, động viên và chia sẻ những khó khăn trong suốt thời gian tôi làm nghiên cứu sinh và hoàn thành luận án này. Phạm Thị Cúc 2
Mục lục 1 Một số kiến thức chuẩn bị 16 1.1 Nhóm phạm trù (bện) phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.1 Nhóm phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.2 Nhóm phạm trù thu gọn và các tương đương chính tắc . . . . . . . . . 17 1.1.3 Nhóm phạm trù phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.4 Nhóm phạm trù bện phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.5 Hàm tử monoidal, tương đương tự nhiên monoidal . . . . . . . . . . . 19 1.2 Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.1 Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.2 Ann-hàm tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.3 Ann-phạm trù thu gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Phân lớp các hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f) và ứng dụng 25 2.1 Phân lớp đối đồng điều các hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f) . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Phân lớp các nhóm phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Phân lớp các nhóm phạm trù bện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4 Phân lớp các nhóm phạm trù bện phân bậc bởi hệ nhân tử . . . . . . . . . . . 37 2.5 áp dụng vào bài toán mở rộng nhóm cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5.1 Nhóm phạm trù của một hạt nhân trừu tượng . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5.2 Hàm tử monoidal và bài toán mở rộng nhóm . . . . . . . . . . . . . . 49 3 Nhóm phạm trù chặt chẽ và mở rộng nhóm kiểu môđun chéo 53 3.1 Nhóm phạm trù liên kết với một môđun chéo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Phân lớp các môđun chéo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3 Bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo: lý thuyết cản trở và định lý phân lớp 58 4 Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ và mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo 65 4.1 Lý thuyết đối đồng điều nhóm đẳng biến của Cegarra . . . . . . . . . . . . . 65 3
4.2 Nhóm phạm trù phân bậc thu gọn và hàm tử monoidal phân bậc kiểu (ϕ, f) . 66 4.2.1 Xây dựng nhóm phạm trù phân bậc thu gọn thông qua phạm trù khung 67 4.2.2 Xây dựng nhóm phạm trù phân bậc thu gọn bằng phương pháp hệ nhân tử 69 4.2.3 Phân lớp các hàm tử monoidal phân bậc kiểu (ϕ, f) . . . . . . . . . . 72 4.3 Γ-môđun chéo và nhóm phạm trù phân bậc liên kết . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4 Phân lớp các Γ-môđun chéo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.5 Bài toán mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo: lý thuyết cản trở và định lý phân lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5 Ann-phạm trù chặt chẽ và mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui 88 5.1 Lý thuyết đối đồng điều vành của Mac Lane và Shukla . . . . . . . . . . . . 88 5.2 Song môđun chéo và E-hệ chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.3 Phân lớp các E-hệ chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.4 Mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4
Bảng ký hiệu Ký hiệu Nghĩa ObG tập các vật của phạm trù G MorG tập các mũi tên của phạm trù G (0, g, d) ràng buộc đơn vị của phép cộng (1, l, r) ràng buộc đơn vị (của phép nhân) tập các lớp vật đẳng cấu của Π = π0G G tập các tự đẳng cấu của vật đơn vị A = π1G I phạm trù thu gọn của phạm trù SG G 0 tập các lớp đồng luân các hàm tử kiểu Hom(ϕ,f)[S, S ] (ϕ, f) từ S đến S0 (Π,A), (Π, A, k) nhóm phạm trù kiểu (Π,A) R nhóm phạm trù -phân bậc kiểu Γ(Π, A, h) Γ (Π,A) (F, Fe) hàm tử monoidal (Γ-phân bậc) (F, F,˘ Fe) Ann-hàm tử (H, He), (G, Ge) các tương đương monoidal chính tắc (HΓ, HeΓ), (GΓ, GeΓ) các tương đương monoidal Γ-phân bậc chính tắc (R, M), (R, M, h) Ann-phạm trù kiểu (R, M) Hi(Π,A) các nhóm đối đồng điều nhóm i các nhóm đối đồng điều nhóm đẳng biến HΓ(Π,A) i các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane HMacL(R, M) i các nhóm đối đồng điều vành của Shukla HShu(R, M) MA vành các song tích của vành A Ext(Π, A, ψ) tập các lớp tương đương các mở rộng nhóm M, (B, D, d, θ),B →d D (Γ-)môđun chéo, E-hệ ExtB→D(Q, B, ψ) tập các lớp tương đương các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo Γ tập các lớp tương đương các mở rộng nhóm ExtB→D(Q, B, ψ) đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo 5
Bảng thuật ngữ Thuật ngữ Tiếng Anh Ann-phạm trù Ann-category Ann-phạm trù chặt chẽ strict Ann-category Ann-phạm trù chính qui regular Ann-category Ann-phạm trù thu gọn reduced Ann-category Ann-hàm tử Ann-functor Ann-hàm tử đơn single Ann-functor Ann-mũi tên Ann-morphism Ann-tương đương Ann-equivalence Ann-tương đương chính tắc canonical Ann-equivalence cản trở obstruction đính stick điều kiện khớp coherence condition E-hệ E-system E-hệ chính qui regular E-system hàm tử monoidal monoidal functor hàm tử monoidal chính qui regular monoidal functor hàm tử monoidal đối xứng symmetric monoidal functor hàm tử monoidal phân bậc graded monoidal functor hàm tử monoidal phân bậc chính qui regular graded monoidal functor hạt nhân trừu tượng abstract kernel hệ nhân tử factor set hệ nhân tử chính qui regular factor set giả hàm tử pseudo-functor môđun chéo crossed module môđun chéo đẳng biến equivariant crossed module mở rộng nhóm đẳng biến equivariant group extension mở rộng tích chéo crossed product extension nhóm phạm trù categorical group nhóm phạm trù chặt chẽ strict categorical group nhóm phạm trù bện braided categorical group nhóm phạm trù bện phân bậc graded braided categorical group 6
nhóm phạm trù phân bậc graded categorical group nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ strict graded categorical group nhóm pham trù rời rạc discrete categorical group nhóm phạm trù thu gọn reduced categorical group phạm trù khung skeletal category phạm trù monoidal monoidal category phạm trù monoidal đối xứng symmetric monoidal category phạm trù Picard Picard category phân bậc graded ràng buộc constraint ràng buộc bện braided constraint ràng buộc đơn vị unit constraint ràng buộc giao hoán commutativity constraint ràng buộc kết hợp associativity constraint song môđun chéo crossed bimodule song tích bimultiplication song tích giao hoán permutable bimultiplication sự tương thích compatibility tiền đính pre-stick tương đương phạm trù categorical equivalence tương đương tự nhiên monoidal monoidal natural equivalence vật object 7
sơ đồ mối liên hệ giữa các khái niệm, thuật ngữ Nhóm phạm trù Ann-phạm trù phân bậc @@ @ @ @ Nhóm phạm trù 1. Nhóm phạm trù ⊃ Nhóm phạm trù - Môđun chéo chặt chẽ @ @ @ @@ Mở rộng nhóm ⊃ Mở rộng nhóm kiểu môđun chéo 2. Nhóm phạm trù ⊃ Nhóm phạm trù - Γ-môđun chéo phân bậc phân bậc chặt chẽ @ @ @ @ Mở rộng nhóm ⊃ Mở rộng nhóm đẳng biến đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo 3. Ann-phạm trù ⊃ Ann-phạm trù - E-hệ chính qui chặt chẽ @ @ @ @@ Mở rộng vành ⊃ Mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui 8
Mở đầu Khái niệm phạm trù monoidal (hay phạm trù tensơ) được đề xuất bởi Bénabou [44], S. Mac Lane [26], G. M. Kelly [23], vào đầu những năm 60 của thế kỷ trước. Đó là một phạm trù C được trang bị một song hàm tử ⊗ : C ì C → C có tính kết hợp (sai khác một đẳng cấu tự nhiên) và một vật I vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải đối với phép toán ⊗ (cũng sai khác một đẳng cấu tự nhiên). Các đẳng cấu tự nhiên kết hợp và đơn vị phải thỏa mãn những điều kiện khớp nhất định để đảm bảo rằng tất cả các biểu đồ phù hợp là giao hoán. Nếu các đẳng cấu này đều là đồng nhất thì ta nói các ràng buộc là chặt chẽ, và phạm trù đang xét là phạm trù monoidal chặt chẽ. Mỗi phạm trù monoidal đều tương đương với một phạm trù monoidal chặt chẽ. Phép toán tensơ thông thường làm cho các không gian vectơ, các nhóm aben, các R-môđun hoặc các R-đại số trở thành phạm trù monoidal. Do đó, phạm trù monoidal có thể được xem như tổng quát hóa của các khái niệm này và nhiều ví dụ khác. Phạm trù monoidal được "mịn hóa" để trở thành phạm trù với cấu trúc nhóm khi bổ sung thêm khái niệm vật khả nghịch. Trong trường hợp phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọi mũi tên trong phạm trù đều là đẳng cấu) thì ta thu được một lớp phạm trù quan trọng, đó là nhóm phạm trù. Một nhóm phạm trù (hay Gr-phạm trù theo cách gọi của H. X. Sính [50]) là một phạm trù monoidal trong đó mọi mũi tên đều khả nghịch và mọi vật đều có nghịch đảo yếu (ở đây nghịch đảo yếu của một vật X là một vật Y sao cho X ⊗Y và Y ⊗X đều đẳng cấu với vật đơn vị I). Đặc biệt, một nhóm phạm trù chặt chẽ (theo cách gọi của A. Joyal và R. Street [22]) là một phạm trù monoidal chặt chẽ trong đó mọi mũi tên đều khả nghịch và mọi vật đều có nghịch đảo chặt chẽ (X ⊗ Y = I = Y ⊗ X). Khái niệm này còn được gọi là G-groupoid theo R. Brown và C. Spencer [8], hay 2-nhóm theo B. Noohi [29], hay 2-nhóm chặt chẽ theo J. C. Baez và A. D. Lauda [3], hay Gr-phạm trù chặt chẽ theo H. X. Sính [51]. Nhóm phạm trù bện là một nhóm phạm trù được trang bị thêm ràng buộc bện. Trong trường hợp ràng buộc bện là đối xứng thì ta thu được khái niệm nhóm phạm trù đối xứng (hay phạm trù Picard, Pic-phạm trù theo [50]) hay 2-nhóm đối xứng. Những tác giả đầu tiên nghiên cứu về nhóm phạm trù mà ta có thể kể đến là N. Saavedra Rivano [49], H. X. Sính [50], M. L. Laplaza [24], Trong luận án của mình năm 1975 [50], H. X. Sính đã mô tả cấu trúc của nhóm phạm trù và phạm trù Picard và phân lớp chúng bởi nhóm đối đồng điều chiều 3 của các nhóm. Do trong lớp phạm trù này mọi mũi tên đều là đẳng cấu nên các bất biến đặc trưng của mỗi phạm trù thuộc lớp này đều được xác định. Theo đó, mỗi nhóm phạm trù xác định hoàn toàn ba bất biến: nhóm các lớp G Π = π0G vật đẳng cấu của , -môđun các tự đẳng cấu của vật đơn vị của và một lớp G Π A = π1G G 9
đối đồng điều chuẩn tắc chiều 3 của nhóm Π với các hệ tử trong Π-môđun A. Hơn nữa, mỗi nhóm phạm trù đều tương đương với một nhóm phạm trù kiểu (Π,A) qua các tương đương chính tắc được xây dựng nhờ khái niệm đính. Do đó, sự phân lớp các nhóm phạm trù hoàn toàn có thể được thực hiện một cách đơn giản hơn trên lớp các phạm trù loại này (các nhóm phạm trù tiền đính kiểu (Π,A)). Kết quả này đã cho phép xác lập mối liên hệ giữa lý thuyết nhóm phạm trù, đối đồng điều nhóm và bài toán mở rộng nhóm cổ điển của Schreier - Eilenberg - Mac Lane [51]. Sau đó, lý thuyết nhóm phạm trù với tính khái quát của nó ngày càng có nhiều ứng dụng. Luận án của H. X. Sính [50] có thể xem như là đã trình bày một cách đầy đủ các vấn đề cơ bản liên quan đến nhóm phạm trù, nhưng công trình này không được xuất bản và cũng rất khó tìm. J. C. Baez và A. D. Lauda [3] sau đó đã có một tổng kết khá tỉ mỉ cho các nhóm phạm trù, tuy nhiên các tác giả này lại không đề cập tới bài toán phân lớp. Các nhóm phạm trù Γ-phân bậc được giới thiệu lần đầu tiên trong [20] bởi A. Frohlich và C. T. C. Wall. Gần đây, nhiều ví dụ thú vị khác về nhóm phạm trù phân bậc cũng xuất hiện trong tôpô đại số và lý thuyết vành (xem [14, 16]). Trong [14], A. M. Cegarra và các đồng tác giả đã chứng định lý phân lớp chính xác cho các nhóm phạm trù phân bậc và các hàm tử monoidal phân bậc bởi nhóm đối đồng điều đẳng biến chiều thứ 3 theo nghĩa trong [15]. Sau đó, các kết quả này đã được áp dụng để đưa ra lời giải thích hợp cho bài toán mở rộng đẳng biến của nhóm với hạt nhân không aben trong [14]. Đây là một dạng khái quát của bài toán mở rộng nhóm cổ điển, mà ở đây nó xuất hiện như là một trường hợp đặc biệt ứng với Γ = 1. Kết quả này cho ta thấy mối liên hệ giữa bộ ba: lý thuyết nhóm phạm trù phân bậc, mở rộng nhóm đẳng biến và đối đồng điều đẳng biến. Nhóm phạm trù bện được xét tới lần đầu trong [22] bởi A. Joyal và R. Street như một mở rộng của phạm trù Picard, trong đó các nhóm phạm trù bện đã được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều aben 3 . Tình huống tổng quát hơn đối với các nhóm phạm trù Picard Hab(M, N) được đưa ra bởi A. Frohlich và C. T. C. Wall với tên gọi nhóm phạm trù phân bậc [20] (sau này, A. M. Cegarra và E. Khmaladze [18] gọi là phạm trù Picard phân bậc). Các định lý phân lớp đồng luân cho phạm trù các nhóm phạm trù bện phân bậc, và trường hợp riêng của nó là phạm trù các phạm trù Picard phân bậc đã được trình bày theo thứ tự trong [17] và [18]. Trong phép chứng minh các định lý phân lớp này, phần thú vị nhất và cũng là phức tạp nhất là phép dựng 3-đối chu trình được cảm sinh bởi một nhóm phạm trù bện phân bậc (hoặc phạm trù Picard phân bậc) qua phạm trù khung mà mỗi lớp tương đương của các phạm trù cùng loại là tương ứng với một lớp đối đồng điều chiều 3. Trong bài báo [34], N. T. Quang đã giới thiệu một cách tiếp cận khác cho bài toán phân lớp phạm trù các nhóm phạm trù Γ-phân bậc dựa trên phương pháp hệ nhân tử (hay giả hàm tử theo nghĩa của A. Grothendieck [47]). Phương pháp này dựa trên ý tưởng sau. Mỗi nhóm 10
phạm trù Γ-phân bậc được xem như mở rộng của một nhóm phạm trù bởi nhóm Γ. Do mỗi nhóm phạm trù là tương đương với một nhóm phạm trù kiểu (Π,A) nên 3-đối chu trình cảm sinh có thể được xác định từ một hệ nhân tử tương tự như cách xác định cái cản trở của bài toán mở rộng nhóm. Phương pháp này có nhiều triển vọng trong việc áp dụng cho phạm trù các nhóm phạm trù bện Γ-phân bậc. Nếu như nhóm phạm trù được xem như là một phiên bản phạm trù của cấu trúc nhóm thì vào năm 1988 N. T. Quang [1] đã đưa ra khái niệm Ann-phạm trù, xem như một phạm trù hóa của khái niệm vành, với những đòi hỏi về tính khả nghịch của các vật và của các mũi tên trong phạm trù nền. Cũng trong [1], N. T. Quang đã xác định được các bất biến đặc trưng của một Ann-phạm trù bao gồm một vành R, một R-song môđun M và một phần tử thuộc nhóm đối đồng điều Mac Lane 3 theo nghĩa trong [48]. Từ đó xác HMacL(R, M) lập được một song ánh giữa tập các lớp tương đương của các Ann-phạm trù tiền đính kiểu (R, M) với tập các lớp đối đồng điều các cấu trúc của Ann-phạm trù kiểu (R, M) (Định lý 3.4, Chương IV [1]). Sau đó, bài toán phân lớp các Ann-hàm tử đã được N. T. Quang và D. D. Hanh giải quyết trong [35] nhờ các nhóm đối đồng điều chiều thấp của đối đồng điều vành Mac Lane. Cũng trong bài báo này, các tác giả đã chỉ ra mối liên hệ giữa bài toán mở rộng vành và lý thuyết cản trở của các Ann-hàm tử. Lớp các Ann-phạm trù chính qui (ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện cX,X = id đối với mọi vật X), nảy sinh từ bài toán mở rộng vành, đã được phân lớp trong [1] bởi nhóm đối đồng điều của đại số kết hợp 3 theo nghĩa của Shukla trong [52]. Gần đây HShu(R, M) nhất, bài toán phân lớp các Ann-phạm trù trong trường hợp tổng quát đã được N. T. Quang giải quyết trọn vẹn trong [37]. Môđun chéo của các nhóm được J. H. C. Whitehead đưa ra vào năm 1949 trong công trình nghiên cứu của ông về biểu diễn 2-dạng đồng luân [43] mà không có sự trợ giúp của lý thuyết phạm trù. Trong bài báo được xuất bản năm 1976 [8], R. Brown và C. Spencer đã chỉ ra rằng mỗi môđun chéo đều xác định một G-groupoid (nghĩa là, một nhóm phạm trù chặt chẽ) và ngược lại, do đó môđun chéo có thể được nghiên cứu bởi lý thuyết phạm trù. Kết quả này cho phép xác lập mối liên hệ giữa lý thuyết nhóm phạm trù với môđun chéo, một khái niệm cơ bản và có nguồn gốc từ tôpô đại số. Một cách chính xác, R. Brown và C. Spencer đã chứng minh rằng (Định lý 1, [8]) phạm trù các môđun chéo là tương đương với phạm trù các G-groupoid (trong phạm trù thứ nhất các mũi tên là các đồng cấu môđun chéo, còn trong phạm trù thứ hai mũi tên là các hàm tử bảo toàn phép toán nhóm). Trước đó, kết quả này đã được tìm ra một cách độc lập bởi J. -L. Verdier vào năm 1965 trong một công trình của ông nhưng không được công bố. Sau đó, kết quả này đã được sử dụng và trích dẫn trong khá nhiều nghiên cứu của các tác giả khác có liên quan tới môđun chéo hoặc nhóm phạm trù. Một dạng khái quát hóa của Định lý 1 trong [8] cho các môđun chéo trong nhóm 11
với phép toán và các phạm trù trong đã được T. Porter giới thiệu trong [32]. Như vậy, có thể xem như R. Brown và C. Spencer là những tác giả đầu tiên đã đưa ra được một tương đương phạm trù giữa một bên là phạm trù các môđun chéo và một bên là phạm trù của một loại đại số phạm trù. Tuy nhiên, trong tương đương này, ngoài việc xây dựng được tương ứng giữa các vật của hai phạm trù, các tác giả mới chỉ xây dựng được tương ứng trên một lớp các mũi tên và các hàm tử rất đặc biệt. Do đó, tương đương này chưa phản ánh được bản chất của tenxơ phạm trù, đó là mối liên hệ với đối đồng điều nhóm. Mối liên hệ giữa nhóm phạm trù chặt chẽ, môđun chéo và đối đồng điều nhóm đã được A. Joyal và R. Street chỉ ra trong bản thảo bài báo năm 1986 [21], nhưng sau đó lại bị bỏ đi trong phiên bản cuối cùng [22]. Bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo được giới thiệu trong [42] và [46] đã được R. Brown và các cộng sự nghiên cứu trong các công trình [7], [9], [10]. Trong đó, các tác giả đã giải thích định lý về sự tồn tại và phân lớp các mở rộng loại này bằng cách sử dụng phương pháp phức chéo, tương tự như phương pháp phức xích trong đại số đồng điều. Các kết quả về bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo đã được biểu diễn (thể hiện) qua đối đồng điều nhóm, tương tự như kết quả cổ điển của Eilenberg - Mac Lane (Mệnh đề 8.3, Chương IV [27]). Trong [51], H. X. Sính cũng đã sử dụng nhóm phạm trù chặt chẽ để tìm lại Định lý 9.2, Chương IV, [27] về sự thể hiện một 3-đối chu trình nhóm như là cái cản trở của bài toán mở rộng nhóm. Điều này gợi ý cho các nghiên cứu về việc thể hiện những khái niệm liên quan đến môđun chéo qua ngôn ngữ nhóm phạm trù, và từ đó ứng dụng trở lại các kết quả của lý thuyết nhóm phạm trù cho các bài toán về môđun chéo. Khái niệm môđun chéo của J. H. C. Whitehead [43] đã được tổng quát hóa theo nhiều cách khác nhau dựa trên các quan điểm khác nhau khi xem chúng là 1-môđun chéo hay môđun chéo trên các nhóm. Môđun chéo (hay 1-môđun chéo) mô tả các 2-dạng đồng luân liên thông và do đó chúng đóng vai trò quan trọng trong đại số đồng điều. Năm 1984, D. Conduché [45] đã đưa ra khái niệm 2-môđun chéo và mô tả chúng như là các 3-dạng liên thông. Sau đó, vào năm 2009 Z. Arvasi và các đồng tác giả đã giới thiệu khái niệm tổng quát hơn, 3-môđun chéo, và mô tả chúng như là các 4-dạng đồng luân đại số [2]. Như đã nói ở trên, mỗi môđun chéo trên các nhóm được xem như một nhóm phạm trù chặt chẽ, và chúng thường được nghiên cứu nhiều nhất dưới dạng này. Sau đó, H. -J. Baues [4] đã giới thiệu khái niệm môđun chéo trên các k-đại số (k là trường). Các môđun chéo trên các k-đại số và là k-chẻ ra có cùng hạt nhân M và đối hạt nhân B đã được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều Hochschild 3 [5]. Trong [6] các tác giả thay thế trường HHoch(B, M) k bởi vành giao hoán K và gọi các môđun chéo trên các K-đại số là song môđun chéo. Đặc biệt, với K = Z thì chúng tôi thu được khái niệm song môđun chéo trên vành. Khái niệm môđun chéo trên các nhóm có thể được xác định trên vành theo một cách 12
khác, mà chúng tôi gọi là E-hệ. Trường hợp đặc biệt của E-hệ, E-hệ chính qui, trùng với khái niệm song môđun chéo trên vành, và do đó khái niệm E-hệ là yếu hơn khái niệm song môđun chéo trên vành. Tương tự như môđun chéo trên các nhóm, khái niệm E-hệ chính qui mà chúng tôi đưa ra nhằm mục đích kết nối với khái niệm Ann-phạm trù chặt chẽ (mọi ràng buộc trong nó đều là chặt chẽ) thông qua một tương đương phạm trù, là mở rộng của tương đương phạm trù đã được thiết lập bởi R. Brown và C. Spencer. Nằm trong chuỗi các bài toán mở rộng kiểu môđun chéo, chúng tôi đưa ra và giải quyết bài toán mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui, xem như là một ứng dụng của khái niệm E-hệ cũng như của lý thuyết Ann-phạm trù. Một phiên bản khác của khái niệm môđun chéo trên các nhóm là khái niệm môđun chéo trên các Γ-nhóm, thường được gọi là môđun chéo Γ-đẳng biến (hay đơn giản là Γ-môđun chéo). Khái niệm này đã được B. Noohi giới thiệu trong [30] khi so sánh các phương pháp khác nhau để định nghĩa đối đồng điều nhóm với các hệ tử trong một môđun chéo. Do đó, vấn đề tìm ra một lớp phạm trù phù hợp để biểu diễn các Γ-môđun chéo, từ đó phân lớp các Γ-môđun chéo, đang còn là vấn đề mở. Như vậy, bên cạnh những kết quả đã có về mối liên hệ giữa môđun chéo, nhóm phạm trù chặt chẽ, đối đồng điều nhóm và bài toán mở rộng nhóm cổ điển; mối liên hệ giữa nhóm phạm trù phân bậc, lý thuyết đối đồng điều đẳng biến và bài toán mở rộng đẳng biến; mối liên hệ giữa lý thuyết Ann-phạm trù, đối đồng điều vành và bài toán mở rộng vành, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu một cách có hệ thống mối các liên hệ này và các phiên bản tổng quát hóa của chúng. Kỹ thuật hệ nhân tử đã được sử dụng xuyên suốt cả đề tài nghiên cứu để giải quyết nhiều vấn đề. Do đó, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang và GS. TS. Lê Văn Thuyết, chúng tôi chọn đề tài "Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc" để giải quyết các vấn đề nêu trên. Mục đích của luận án trước hết là nghiên cứu về lớp hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù kiểu (Π,A), để từ đó phân lớp phạm trù các nhóm phạm trù và phạm trù các nhóm phạm trù bện. Hai là, phân lớp các nhóm phạm trù bện phân bậc bởi các hệ nhân tử. Ba là, nghiên cứu một số phiên bản của môđun chéo trên các nhóm của J. H. C. Whitehead, bao gồm: sự biểu diễn của chúng qua các lớp phạm trù nào đó (gọi là phạm trù liên kết), mối liên hệ giữa các đồng cấu môđun chéo loại đó với các hàm tử giữa các phạm trù liên kết tương ứng, và sử dụng các kết quả của lý thuyết phạm trù cùng loại để giải quyết bài toán mở rộng kiểu môđun chéo tương ứng, xem như là một ứng dụng của lý thuyết chung. Đối tượng nghiên cứu của luận án trước hết là một số lớp phạm trù với cấu trúc và ứng dụng của chúng, bao gồm: nhóm phạm trù, nhóm phạm trù bện, nhóm phạm trù phân bậc, nhóm phạm trù bện phân bậc, và Ann-phạm trù. Đối tượng tiếp theo mà luận án quan tâm nghiên cứu đó là môđun chéo và các phiên bản của nó, các đồng cấu môđun chéo và các 13
hàm tử giữa các phạm trù liên kết và bài toán mở rộng kiểu môđun chéo tương ứng. Đề tài nghiên cứu được cấu trúc thành 5 chương, không kể các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và danh mục từ khóa. Chương 1, Một số kiến thức chuẩn bị, trình bày một số khái niệm và kết quả đã biết về lý thuyết nhóm phạm trù và Ann-phạm trù được sử dụng cho các chương sau. Chương 2, Phân lớp các hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f) và ứng dụng, bao gồm một số nội dung sau. TTrước hết, chúng tôi mô tả về các hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù kiểu (Π,A) (hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f)), trình bày lý thuyết cản trở và định lý phân lớp cho các hàm tử loại này (Định lý 2.6). Kết quả phân lớp này không những được sử dụng để chứng minh định lý phân lớp cho phạm trù các nhóm phạm trù (Định lý 2.7) và phạm trù các nhóm phạm trù bện (Định lý 2.10), mà còn được nâng lên cho những cấu trúc phức tạp hơn để sử dụng trong các chương sau. Đồng thời chúng tôi giới thiệu một ứng dụng đại số của lý thuyết cản trở của các hàm tử monoidal liên quan đến một trong những bài toán cổ điển của lý thuyết nhóm là bài toán mở rộng nhóm (Định lý 2.18). Cũng trong Chương 2 này, chúng tôi chứng minh định lý phân lớp cho phạm trù các nhóm phạm trù bện phân bậc bằng phương pháp hệ nhân tử. Chương 3, Nhóm phạm trù chặt chẽ và mở rộng nhóm kiểu môđun chéo, nghiên cứu về mối liên hệ giữa môđun chéo, nhóm phạm trù chặt chẽ và bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo. Chúng tôi xây dựng mối liên hệ giữa các đồng cấu môđun chéo với các hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù chặt chẽ liên kết, từ đó thu được một tương đương phạm trù (Định lý 3.4) mà tương đương phạm trù của R. Brown và C. Spencer trong [8] chỉ là trường hợp riêng. Đồng thời, chúng tôi sử dụng các nhóm phạm trù chặt chẽ và kết quả về các hàm tử monoidal đã nói ở Chương 2 để thu lại kết quả của bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo của R. Brown và các cộng sự [9], xem như một ứng dụng của lý thuyết nhóm phạm trù có liên quan tới môđun chéo. Chương 4, Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ và mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo, trình bày một khái quát chung cho cả hai lý thuyết mở rộng nhóm kiểu môđun chéo và lý thuyết mở rộng nhóm đẳng biến. Đó là lý thuyết mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo. Trước hết, chúng tôi đưa ra khái niệm nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ để kết nối với khái niệm Γ-môđun chéo của B. Noohi thông qua một tương đương phạm trù (Định lý 4.9. Kết quả này là mở rộng của Định lý 3.4 ở Chương 3 (ứng với Γ = 1), và do đó là mở rộng của Định lý 1 của R. Brown và C. Spencer trong [8]. Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày lý thuyết Schreier đối với các mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo nhờ các Γ-hàm tử monoidal (Định lý 4.11 và Định lý 4.13), từ đó thu lại được Định lý phân lớp các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo của R. Brown và O. Mucuk (Định lý 5.2 [9]) và Định lý phân lớp các mở rộng của các Γ-nhóm của A. M. Cegarra và các đồng tác 14
giả (Định lý 4.1 [14]) như những trường hợp riêng. Trường hợp thứ nhất ứng với Γ = 1 và môđun chéo tùy ý, trường hợp thứ hai ứng với môđun chéo các tự đẳng cấu của một nhóm và Γ tùy ý. Điều đặc biệt hơn nữa là khi cả hai trường hợp này đồng thời xảy ra (nghĩa là Γ = 1 và môđun chéo là môđun chéo các tự đẳng cấu của một nhóm) thì ta thu được bài toán mở rộng nhóm cổ điển. Chương 5, Ann-phạm trù chặt chẽ và mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui, nghiên cứu về E-hệ, mối liên hệ của chúng với một số khái niệm liên quan đã biết và tìm kiếm ứng dụng liên quan đến bài toán mở rộng. Khái niệm E-hệ mà chúng tôi đưa ra được xem như một phiên bản của môđun chéo trên các nhóm cho vành. Trường hợp đặc biệt, khái niệm E-hệ chính qui là trùng với khái niệm song môđun chéo trên vành. Nhờ việc biểu diễn các E-hệ chính qui thông qua các Ann-phạm trù chặt chẽ (còn gọi là 2-vành chặt chẽ) và những nghiên cứu về mối liên hệ giữa các đồng cấu E-hệ chính qui với các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù chặt chẽ liên kết mà chúng tôi thu được kết quả phân lớp phạm trù các E-hệ chính qui (Định lý 5.7). Cuối cùng, chúng tôi đưa ra và giải quyết bài toán mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui (Định lý 5.10), xem như là một ứng dụng của khái niệm E-hệ cũng như của lý thuyết Ann-phạm trù. 15
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Sau khi khái niệm phạm trù monoidal được giới thiệu bởi J. Bénabou trong [44], S. Mac Lane trong [26], G. M. Kelly trong [23], vào đầu những năm 60 của thế kỷ trước, nó đã được nhiều người quan tâm nghiên cứu và phát triển khá nhanh. Những nghiên cứu liên quan tới một số lớp phạm trù monoidal đặc biệt như nhóm phạm trù, Ann-phạm trù, đã đạt được những kết quả sâu sắc nhờ những phát hiện, nảy sinh một cách tự nhiên, về mối liên kết tương ứng với lý thuyết đối đồng điều nhóm, đối đồng điều vành, Vì vậy, trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản liên quan đến: nhóm phạm trù dựa theo tài liệu [50], nhóm phạm trù phân bậc dựa theo tài liệu [14], nhóm phạm trù bện phân bậc dựa theo tài liệu [17] và Ann-phạm trù dựa theo tài liệu [1]. Trong toàn bộ luận án này, để cho tiện, đôi khi chúng tôi ký hiệu XY hoặc X.Y thay cho tích tenxơ X ⊗ Y của hai vật. 1.1 Nhóm phạm trù (bện) phân bậc 1.1.1 Nhóm phạm trù Một phạm trù monoidal (G, ⊗,I, a, l, r) là một phạm trù G cùng với một song hàm tử ⊗ : G ì G → G, một vật cố định I gọi là vật đơn vị của phạm trù và các đẳng cấu tự nhiên aX,Y,Z : X ⊗ (Y ⊗ Z) → (X ⊗ Y ) ⊗ Z, lX : I ⊗ X → X, rX : X ⊗ I → X, tương ứng gọi là ràng buộc kết hợp, ràng buộc đơn vị trái và ràng buộc đơn vị phải. Các ràng buộc này phải thoả mãn các điều kiện khớp, lần lượt gọi là tiên đề ngũ giác và tiên đề tam giác (aX,Y,Z ⊗ idT ) aX,Y ⊗Z,T (idX ⊗ aY,Z,T ) = aX⊗Y,Z,T aX,Y,Z⊗T , (1.1) idX ⊗ lY = (rX ⊗ idY )aX,I,Y . (1.2) 16
Một phạm trù monoidal được gọi là chặt chẽ nếu ràng buộc kết hợp a và các ràng buộc đơn vị l, r đều là các phép đồng nhất. Một nhóm phạm trù G là một phạm trù monoidal mà tất cả các vật đều khả nghịch và phạm trù nền là một groupoid, nghĩa là tất cả các mũi tên đều là đẳng cấu. 1.1.2 Nhóm phạm trù thu gọn và các tương đương chính tắc Cho là một nhóm phạm trù. Khi đó tập các lớp vật đẳng cấu của là một nhóm, G π0G G trong đó luật hợp thành, ký hiệu là phép nhân, được cảm sinh bởi phép toán ⊗, phần tử đơn vị 1 là lớp các vật đẳng cấu với vật đơn vị . Tập các tự đẳng cấu của vật I π1G = Aut(I) đơn vị I là một nhóm giao hoán với phép toán nhóm, ký hiệu là phép cộng, chính là phép hợp thành hợp thành. Hơn nữa, là một -môđun trái với tác động được cho bởi: π1G π0G −1 su = γX δX (u),X ∈ s, s ∈ π0G, u ∈ π1G, trong đó γX , δX lần lượt được cho bởi biểu đồ giao hoán sau: γX (u) δX (u) XXXX- - 6 6 6 6 lX lX rX rX u⊗id id⊗u I ⊗ XI- ⊗ XX ⊗ IX- ⊗ I. Ràng buộc kết hợp của cảm sinh một 3-đối chu trình nhóm 3 G k ∈ Z (π0G, π1G). Với các dữ kiện này, ta xây dựng được một phạm trù có các vật là các phần tử của SG nhóm và các mũi tên là những tự đẳng cấu . Phép π0G (s, u): s → s, s ∈ π0G, u ∈ π1G hợp thành của hai mũi tên được cảm sinh bởi phép cộng trong , π1G (s, u) ◦ (s, v) = (s, u + v). Phạm trù tương đương với phạm trù nhờ các tương đương chính tắc được xây dựng SG G như sau. Với mỗi ta chọn một đại diện sao cho và với mỗi s = [X] ∈ π0G Xs ∈ G X1 = I ta chọn một mũi tên đẳng cấu sao cho . Họ được X ∈ s iX : Xs → X iXs = id (Xs, iX ) gọi là một đính của nhóm phạm trù G nếu iI⊗Xs = lXs , iXs⊗I = rXs . Với mỗi đính (Xs, iX ) chúng ta thu được hai hàm tử   G : G → SG H : SG → G   G(X) = [X] = s H(s) = Xs  f  G(X → Y ) = (s, γ−1(i−1fi )) H(s, u) = γ (u). Xs Y X Xs 17
Hai hàm tử G và H là những tương đương phạm trù bởi các phép biến đổi tự nhiên α = (i ): HG ∼= id , β = id : GH ∼= id . X G SG Chúng được gọi là những tương đương chính tắc. Bởi phép chuyển cấu trúc nhờ bộ bốn , phạm trù trở thành một nhóm (G, H, α, β) SG phạm trù với phép toán được xác định như sau: s ⊗ t = s.t, s, t ∈ π0G, (s, u) ⊗ (t, v) = (st, u + sv), u, v ∈ π1G. Nhóm phạm trù có ràng buộc đơn vị là chặt chẽ và có ràng buộc kết hợp SG as,r,t = , với 3 (srt, k(s, r, t)) k ∈ Z (π0G, π1G). Hơn nữa, các tương đương G và H trở thành các tương đương monoidal cùng với các đẳng cấu tự nhiên G = G(i ⊗ i ) , H = i−1 : X X → X . (1.3) eX,Y X Y es,t Xs⊗Xt s t st Nhóm phạm trù được gọi là một thu gọn của nhóm phạm trù . Chúng ta có thể nói SG G có kiểu , hoặc đơn giản là kiểu , khi ta thay thế bởi các nhóm SG (Π, A, k) (Π,A) π0G, π1G Π và Π-môđun A một cách tương ứng. 1.1.3 Nhóm phạm trù phân bậc Trong luận án này, ký hiệu Γ là một nhóm cố định. Ta nhắc lại rằng một Γ-nhóm Π là một nhóm Π được trang bị thêm một Γ-tác động trái bởi các tự đẳng cấu, và một Π-môđun (trái) Γ-đẳng biến là một Γ-nhóm aben A được trang bị một cấu trúc Π-môđun sao cho σ(xa) = (σx)(σa), với mọi σ ∈ Γ, x ∈ Π và a ∈ A. Một Γ-đồng cấu f :Π → Π0 giữa các Γ-nhóm là một đồng cấu nhóm thỏa mãn f(σx) = σf(x), σ ∈ Γ, x ∈ Π. Nhóm Γ được xem như một phạm trù với đúng một vật ký hiệu là ∗, mũi tên là các phần tử của Γ và phép hợp thành là phép toán nhóm. Hơn nữa, Γ là một nhóm phạm trù, gọi là nhóm phạm trù rời rạc. Phạm trù G được gọi là Γ-phân bậc nếu có một hàm tử gr : G → Γ. Phân bậc được gọi là ổn định nếu với mỗi X ∈ Ob G và mỗi σ ∈ Γ tồn tại một mũi tên f trong G với đối miền X sao cho gr(f) = σ. Một phạm trù monoidal Γ-phân bậc G = (G, gr, ⊗,I, a, l, r) bao gồm: i) một phạm trù -phân bậc ổn định , các hàm tử -phân bậc Γ (G, gr) Γ ⊗ : G ìΓ G → G và I :Γ → G, ∼ ∼ ii) các đẳng cấu tự nhiên bậc 1 aX,Y,Z :(X ⊗ Y ) ⊗ Z → X ⊗ (Y ⊗ Z), lX : I ⊗ X → ∼ X, rX : X ⊗ I → X thỏa mãn hai điều kiện khớp (1.1) và (1.2). 18
Một nhóm phạm trù phân bậc là một phạm trù monoidal phân bậc G trong đó mọi vật đều khả nghịch và mọi mũi tên đều là đẳng cấu. Trong trường hợp này, phạm trù con KerG bao gồm các vật của G và các mũi tên bậc 1 trong G là một nhóm phạm trù. 1.1.4 Nhóm phạm trù bện phân bậc Một nhóm phạm trù G được gọi là nhóm phạm trù bện nếu có một ràng buộc bện c, nghĩa là một đẳng cấu tự nhiên c = (cX,Y ): X ⊗ Y → Y ⊗ X, tương thích với a, l, r theo nghĩa thỏa mãn các điều kiện khớp sau (idY ⊗ cX,Z )aY,X,Z (cX,Y ⊗ idZ ) = aY,Z,X cX,Y ⊗Z aX,Y,Z , (1.4) −1 −1 −1 (1.5) (cX,Z ⊗ idY )aX,Z,Y (idX ⊗ cY,Z ) = aZ,X,Y cX⊗Y,Z aX,Y,Z . Nếu bện c thỏa mãn điều kiện cX,Y ◦ cY,X = idY ⊗X thì nhóm phạm trù bện được gọi là nhóm phạm trù đối xứng hay phạm trù Picard. Khi đó hệ thức (1.4) trùng với hệ thức (1.5). Một phạm trù monoidal Γ-phân bậc bện bao gồm: một phạm trù Γ-phân bậc ổn định , các hàm tử -phân bậc và , các đẳng cấu tự nhiên (G, gr) Γ ⊗ : G ìΓ G → G I :Γ → G ∼ ∼ ∼ bậc 1 aX,Y,Z :(X ⊗ Y ) ⊗ Z → X ⊗ (Y ⊗ Z), lX : I ⊗ X → X, rX : X ⊗ I → X và ∼ cX,Y : X ⊗ Y → Y ⊗ X, với I = I(∗), thỏa mãn các điều kiện khớp (1.1), (1.2), (1.4) và (1.5). Khi KerG là một nhóm phạm trù bện thì ta nói G là một nhóm phạm trù bện Γ-phân bậc. 1.1.5 Hàm tử monoidal, tương đương tự nhiên monoidal Giả sử G = (G, ⊗,I, a, l, r) và G0 = (G0, ⊗,I0, a0, l0, r0) là những phạm trù monoidal. Một hàm tử monoidal từ đến 0 là một bộ ba trong đó 0 là một hàm G G (F, F,Fe ∗) F : G → G 0 tử, F∗ là một đẳng cấu từ I đến FI và đẳng cấu tự nhiên FeX,Y : FX ⊗ FY → F (X ⊗ Y ) thỏa mãn 0 F (aX,Y,Z ) ◦ FeX,Y Z ◦ (idFX ⊗ FeY,Z ) = FeX⊗Y,Z ◦ (FeX,Y ⊗ idFZ ) ◦ a F X,F Y,F Z , (1.6) 0 0 (1.7) rFX = F (rX ) ◦ FeX,I ◦ (idFX ⊗ F∗), lFX = F (lX ) ◦ FeI,X ◦ (F∗ ⊗ idFX ). Một tương đương tự nhiên monoidal, hay một đồng luân 0 0 0 α :(F, F,Fe ∗) → (F , Fe ,F∗) giữa những hàm tử monoidal từ G đến G0 là một đẳng cấu tự nhiên α : F → F 0 sao cho 0 và F∗ = αI ◦ F∗ 0 (1.8) αX⊗Y ◦ FeX,Y = FeX,Y ◦ (αX ⊗ αY ). 19
Một tương đương monoidal giữa các phạm trù monoidal là một hàm tử monoidal F : G → G0 sao cho tồn tại một hàm tử monoidal F 0 : G0 → G và các đồng luân α : F 0 ◦ F → , 0 . là một tương đương monoidal khi và chỉ khi là một idG β : F ◦ F → idG0 (F, F,Fe ∗) F tương đương. Nếu G, G0 là hai phạm trù monoidal Γ-phân bậc, thì một hàm tử monoidal Γ-phân bậc 0 bao gồm một hàm tử -phân bậc 0, các đẳng cấu tự nhiên (F, F,Fe ∗): G → G Γ F : G → G 0 bậc 1 FeX,Y : FX ⊗ FY → F (X ⊗ Y ), và một đẳng cấu bậc 1 F∗ : I → FI thỏa mãn các điều kiện khớp (1.6) và (1.7). Giả sử 0 0 0 là hai hàm tử monoidal -phân bậc. Một tương đương tự (F, F,Fe ∗), (F , Fe ,F∗) Γ nhiên monoidal Γ-phân bậc α : F →∼ F 0 là một tương đương tự nhiên monoidal α : F →∼ F 0 0 của các hàm tử monoidal sao cho tất cả các đẳng cấu αX : FX → F X đều có bậc 1. Nếu (G, c), (G0, c0) là những nhóm phạm trù bện thì một hàm tử monoidal bện (F, Fe): G → G0 là một hàm tử monoidal tương thích với các bện c, c0 theo nghĩa thỏa mãn điều kiện 0 (1.9) FeY,X cF X,F Y = F (cX,Y )FeX,Y . Giả sử (G, gr) và (G0, gr0) là hai phạm trù monoidal bện Γ-phân bậc. Một hàm tử monoidal bện -phân bậc từ đến 0 0 là một bộ ba , trong đó Γ (G, gr) (G , gr ) (F, F,Fe ∗) F : 0 0 là một hàm tử -phân bậc, là những (G, gr) → (G , gr ) Γ FeX,Y : FX ⊗ FY → F (X ⊗ Y ) 0 mũi tên tự nhiên bậc 1 và F∗ : I → FI là một đẳng cấu bậc 1, sao cho các điều kiện khớp (1.6), (1.7), (1.9) đúng. Giả sử 0 0 0 là hai hàm tử monoidal bện -phân bậc. Một tương đương (F, F,Fe ∗), (F , Fe ,F∗) Γ tự nhiên monoidal Γ-phân bậc bện α : F →∼ F 0 chính là một tương đương tự nhiên monoidal. 1.2 Ann-phạm trù Các khái niệm và kết quả trong phần này được trình bày theo [1]. 1.2.1 Ann-phạm trù Định nghĩa. Một Ann-phạm trù gồm: (i) Phạm trù A cùng với hai song hàm tử ⊕, ⊗ : A ì A → A; (ii) Vật cố định 0 ∈ Ob A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a+, c, g, d sao cho (A, ⊕, a+, c, (0, g, d)) là một phạm trù Picard; (iii) Vật cố định 1 ∈ Ob A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a, l, r sao cho (A, ⊗, a, (1, l, r)) là một phạm trù monoidal; 20
(iv) Các đẳng cấu tự nhiên L, R LA,X,Y : A ⊗ (X ⊕ Y ) −→ (A ⊗ X) ⊕ (A ⊗ Y ) RX,Y,A :(X ⊕ Y ) ⊗ A −→ (X ⊗ A) ⊕ (Y ⊗ A) sao cho các điều kiện sau được thoả mãn: (Ann - 1) Đối với mỗi vật A ∈ Ob A, các cặp (LA, L˘A), (RA, R˘A) xác định bởi các hệ thức: LA = A ⊗ − RA = − ⊗ A ˘A ˘A LX,Y = LA,X,Y RX,Y = RX,Y,A là những ⊕-hàm tử tương thích với a+ và với c. (Ann - 2) Đối với mọi A, B, X, Y ∈ Ob A, các biểu đồ sau giao hoán: ˘B aA,B,X⊕Y idA⊗L (AB)(X ⊕ Y ) A(B(X ⊕ Y )) - A(BX ⊕ BY ) L˘AB L˘A ? ? aA,B,X ⊕aA,B,Y (AB)X ⊕ (AB)YA (BX) ⊕ A(BY ) ˘B aX⊕Y,B,A R ⊗idA (X ⊕ Y )(BA)- ((X ⊕ Y )B)A - (XB ⊕ YB)A R˘BA R˘A ? ? aX,B,A⊕aY,B,A X(BA) ⊕ Y (BA)(- XB)A ⊕ (YB)A ˘B aA,X⊕Y,B idA⊗R (A(X ⊕ Y )BA ((X ⊕ Y )B) - A(XB ⊕ YB) ˘A A L ⊗idB L˘ ? ? R˘B a⊕a (AX ⊕ AY )B - (AX)B ⊕ (AY )BA (XB) ⊕ A(YB) L˘A⊕B R˘X⊕Y (A ⊕ B)X ⊕ (A ⊕ B)Y (A ⊕ B)(X ⊕ Y ) - A(X ⊕ Y ) ⊕ B(X ⊕ Y ) R˘X ⊕R˘Y L˘A⊕L˘B ? ? v (AX ⊕ BX) ⊕ (AY ⊕ BY )(- AX ⊕ AY ) ⊕ (BX ⊕ BY ) trong đó v = vU,V,Z,T :(U ⊕ V ) ⊕ (Z ⊕ T ) −→ (U ⊕ Z) ⊕ (V ⊕ T ) là mũi tên duy nhất được xây dựng từ ⊕, a+, c, id trong phạm trù monoidal đối xứng (A, ⊕). (Ann - 3) Đối với vật đơn vị 1 ∈ Ob A của phép toán ⊗, các biểu đồ sau giao hoán: L˘1 R˘1 1(X ⊕ Y ) - 1X ⊕ 1Y (X ⊕ Y )1 - X1 ⊕ Y 1 Q Q Q r Q lX⊕Y QQs + lX ⊕lY X⊕Y QQs + rX ⊕rY X ⊕ YX ⊕ Y. Ann-phạm trù A được gọi là chính qui nếu ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện cX,X = id, và được gọi là chặt chẽ nếu mọi ràng buộc trong nó đều chặt chẽ. 21
1.2.2 Ann-hàm tử Định nghĩa. Cho A và A0 là những Ann-phạm trù. Một Ann-hàm tử từ A đến A0 là một bộ bốn ˘ , trong đó 0 là một hàm tử, (F, F, F,Fe ∗) F : A → A ˘ FX,Y : F (X ⊕ Y ) → F (X) ⊕ F (Y ); FeX,Y : F (X ⊗ Y ) → F (X) ⊗ F (Y ) 0 ˘ là những phép biến đổi tự nhiên, và F∗ : F (1) → 1 là một mũi tên sao cho (F, F ) là một hàm tử monodial đối xứng đối với phép toán ⊕, (F, F,Fe ∗) là một hàm tử monoidal đối với phép toán ⊗ và thỏa mãn hai biểu đồ giao hoán sau: Fe id⊕Fe F (X(Y ⊕ Z)) - F X.F (Y ⊕ Z) - FX(FY ⊕ FZ) F (L) L0 ? ? F˘ Fe⊕Fe F (XY ⊕ XZ) - F (XY ) ⊕ F (XZ) - F X.F Y ⊕ F X.F Z, ˘ Fe F ⊗id F ((X ⊕ Y )Z) - F (X ⊕ Y ).F Z - (FX ⊕ FY )FZ F (R) R0 ? ? F˘ Fe⊕Fe F (XZ ⊕ YZ) - F (XZ) ⊕ F (YZ) - F X.F Z ⊕ F Y.F Z. Các biểu đồ giao hoán này còn được gọi là sự tương thích của hàm tử F với các ràng buộc phân phối. Một Ann-mũi tên (hay một đồng luân) ˘ 0 ˘0 0 0 giữa các α :(F, F, F,Fe ∗) → (F , F , Fe ,F∗) Ann-hàm tử là một ⊕-mũi tên, đồng thời là ⊗-mũi tên. Trong trường hợp tồn tại một Ann-hàm tử 0 ˘0 0 0 0 và các Ann-mũi tên (F , F , Fe ,F∗): A → A 0 ∼ 0 ∼ , ta nói ˘ là một Ann-tương đương và là Ann-tương F F → idA,FF → idA0 (F, F, F,Fe ∗) A đương với A0. 1.2.3 Ann-phạm trù thu gọn Cho là một Ann-phạm trù. Tập các lớp vật đẳng cấu của là một vành đối A R = π0A A với hai phép toán được cảm sinh bởi các luật trên , còn tập +, ì ⊕, ⊗ A M = π1A = Aut(0) các tự đẳng cấu của vật 0 là một nhóm aben mà luật hợp thành trong nó được ký hiệu bởi dấu +. Hơn nữa, M là một R-song môđun. Ann-phạm trù thu gọn của được xây dựng nhờ phép chuyển cấu trúc (chi tiết xem SA A [37]) có các vật là các phần tử của , các mũi tên là những tự đẳng cấu, π0A (s, u): s → . Hợp thành của hai mũi tên được xác định bởi s, s ∈ π0A, u ∈ π1A (s, u) ◦ (s, v) = (s, u + v). 22
Với mỗi ta chọn một vật , sao cho , và một họ các đẳng s ∈ π0A Xs ∈ Ob A X0 = 0,X1 = 1 cấu thoả mãn . Một đính trong gồm một hệ đại diện iX : X → Xs iXs = idXs A (Xs, iX ) sao cho i0⊕Xs = gXs , iXs⊕0 = dXs , Xs Xs i1⊗Xs = lXs , iXs⊗1 = rXs , i0⊗Xs = Rb , iXs⊗0 = Lb . Phạm trù tương đương với phạm trù nhờ các hàm tử A SA   G : A → SA H : SA → A   G(X) = [X] = s H(s) = Xs  f  G(X → Y ) = (s, γ−1(i fi−1)) H(s, u) = γ (u) Xs Y X Xs với X, Y ∈ s và f : X → Y , còn γX : Aut(0) → Aut(X) là ánh xạ được xác định bởi −1 (1.10) γX (u) = gX ◦ (u ⊕ id) ◦ gX . Hai phép toán trên được xác định bởi: SA s ⊕ t = G(H(s) ⊕ H(t)) = s + t, s ⊗ t = G(H(s) ⊗ H(t)) = st, (s, u) ⊕ (t, v) = G(H(s, u) ⊕ H(t, v)) = (s + t, u + v), (s, u) ⊗ (t, v) = G(H(su) ⊗ H(t, v)) = (st, sv + ut), với , . Các ràng buộc đơn vị trong được chọn tương ứng là s, t ∈ π0A u, v ∈ π1A A (0, id, id) và (1, id, id). Họ các ràng buộc còn lại h = (ξ, η, α, λ, ρ) được xác định nhờ tính tương thích với các ràng buộc a+, c, a, L, R của A qua hàm tử H và các đẳng cấu hàm tử H˘ = i−1 , H = i−1 . (1.11) Xs⊕Xt e Xs⊗Xt Khi đó ˘ là một Ann-tương đương. Đồng thời, hàm tử (H, H, He): SA → A G : A → SA cùng với các đẳng cấu hàm tử ˘ GX,Y = G(iX ⊕ iY ), GeX,Y = G(iX ⊗ iY ) cũng là một Ann-tương đương. Ta gọi là một Ann-phạm trù kiểu và gọi ˘ , ˘ là các Ann- SA (R, M), (H, H, He) (G, G, Ge) tương đương chính tắc. Họ các ràng buộc của được gọi là một cấu h = (ξ, η, α, λ, ρ) SA trúc của Ann-phạm trù kiểu (R, M), hay đơn giản là một cấu trúc trên (R, M). Các nhóm đối đồng điều Mac Lane [28], Shukla [52] tại các chiều thấp đã được sử dụng để phân lớp các Ann-phạm trù [37], các Ann-phạm trù chính qui [1]. Một cấu trúc h của Ann-phạm trù là một phần tử thuộc nhóm các 3-đối chu trình Mac Lane 3 SA ZMacL(R, M). Trong trường hợp chính qui thì 3 A h ∈ ZShu(R, M). 23
Mệnh đề 1.1. [Mệnh đề 3 [37]] Cho A và A0 là hai Ann-phạm trù. Khi đó: mỗi Ann-hàm tử ˘ 0 cảm sinh một Ann-hàm tử kiểu i) (F, F, Fe): A → A SF : SA → SA0 (p, q), trong đó 0 p = F0 : π0A / π0A , [X] 7→ [FX], 0 −1 q = F1 : π1A / π1A , u 7→ γF 0 (F u), với γ là ánh xạ cho bởi công thức (1.10). ii) F là một tương đương khi và chỉ khi F0,F1 là những đẳng cấu, iii) Ann-hàm tử SF thoả mãn hệ thức 0 SF = G ◦ F ◦ H, với H, G0 là những Ann-tương đương chính tắc. Giả sử 0 0 0 0 là những Ann-phạm trù. Bởi vì ˘ S = (R, M, h), S = (R ,M , h ) Fx,y = ˘ (•, τ(x, y)), Fex,y = (•, ν(x, y)), nên ta sẽ gọi gF = (τ, ν) là cặp hàm liên kết với (F, Fe), và ta có thể xem một Ann-hàm tử 0 là một bộ ba Do tính tương thích F : S → S (p, q, gF ). của F với các ràng buộc ta suy ra ∗ 0 q∗h − p h = ∂(gF ), ∗ trong đó p , q∗ là các đồng cấu chính tắc ∗ 3 q∗ 3 0 p 3 0 0 ZMacL(R, M) −→ ZMacL(R, M ) ←− ZMacL(R ,M ). 0 0 Hơn nữa, hai Ann-hàm tử (F, gF ), (F , gF 0 ) đồng luân khi và chỉ khi F = F , nghĩa là chúng 0 có cùng kiểu (p, q), và có một hàm t : R → M , thoả mãn gF 0 = gF + ∂t. Nếu F : S → S0 là một Ann-hàm tử kiểu (p, q), thì hàm ∗ 0 3 0 k = q∗h − p h ∈ ZMacL(R, M ) được gọi là một cản trở của Ann-hàm tử F . Định lý 1.2 (Định lý 4.4, 4.5 [35]). Hàm tử F : S → S0 kiểu (p, q) là một Ann-hàm tử nếu và chỉ nếu cái cản trở triệt tiêu trong 3 0 . Khi đó tồn tại song ánh: k HMacL(R, M ) Ann 0 2 0 2 0 Hom(p,q)[S, S ] ↔ HMacL(R, M )(= HShu(R, M )), trong đó Ann 0 là tập các lớp đồng luân của các Ann-hàm tử kiểu từ đến Hom(p,q)[S, S ] (p, q) S S0. 24
Chương 2 Phân lớp các hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f) và ứng dụng Trong chương này, trước hết chúng tôi chỉ ra rằng mỗi hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù thu gọn là một hàm tử kiểu (ϕ, f) (Mệnh đề 2.5). Từ đó, đưa ra khái niệm cản trở của một hàm tử kiểu (ϕ, f) và phân lớp đối đồng điều các hàm tử monoidal kiểu này (Định lý 2.6). Sau đó, kết quả này sẽ được sử dụng như một kỹ thuật chung để chứng minh định lý phân lớp cho phạm trù các nhóm phạm trù (Định lý 2.7) và phạm trù các nhóm phạm trù bện (Định lý 2.10). Đồng thời, chúng tôi trình bày hai ứng dụng của lý thuyết cản trở của hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù. Thứ nhất, chúng tôi xây dựng nhóm phạm trù của một hạt nhân trừu tượng, và điều này dẫn đến một kết quả thú vị: có thể đưa một nhóm phạm trù về một nhóm phạm trù chặt chẽ. Hai là, sử dụng nhóm phạm trù của một hạt nhân trừu tượng để phân lớp các mở rộng nhóm nhờ các hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đưa ra một cách tiếp cận khác cho bài toán phân lớp các nhóm phạm trù bện phân bậc bằng phương pháp hệ nhân tử, tương tự như cách tiếp cận của N. T. Quang đối với bài toán phân lớp các nhóm phạm trù phân bậc trong [34]. Các kết quả của chương này được viết dựa theo [36, 41]. 2.1 Phân lớp đối đồng điều các hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f) 0 Trong mục này chúng tôi sẽ chỉ ra rằng mỗi hàm tử monoidal (F, Fe): G → G cảm sinh một hàm tử monoidal SF trên các nhóm phạm trù thu gọn của chúng. Điều đó cho phép nghiên cứu bài toán tồn tại hàm tử monoidal và phân lớp chúng trên các nhóm phạm trù kiểu (Π,A). Mệnh đề sau được nhắc tới trong khá nhiều công trình có liên quan tới nhóm phạm trù. Mệnh đề 2.1. (Định lý 1, trang 196, [50]) Giả sử (F, Fe): G → G0 là một hàm tử monoidal. 25
Khi đó (F, Fe) cảm sinh cặp đồng cấu nhóm 0 F0 : π0G → π0G , [X] 7→ [FX], 0 −1 F1 : π1G → π1G , u 7→ γFI (F u), thoả mãn điều kiện F1(su) = F0(s)F1(u), trong đó đẳng cấu γX (u) được cho bởi: −1 γX (u) = lX ◦ (u ⊗ id) ◦ lX . Kết quả đầu tiên của chúng tôi là làm mạnh Mệnh đề 2.1 bởi Mệnh đề 2.4 khi khẳng định rằng mỗi hàm tử monoidal 0 cảm sinh một hàm tử monoidal (F, Fe): G → G SG → SG0 . Trước hết, chúng tôi cần tới hai bổ đề sau: Bổ đề 2.2. Cho hai ⊗-phạm trù G, G0 với các ràng buộc tương ứng là (I, l, r) và (I0, l0, r0). Giả sử 0 là một -hàm tử tương thích với các ràng buộc đơn vị. Khi đó (F, F,Fe ∗): G → G ⊗ hình vuông dưới đây là giao hoán γ (u) FIFIFI - 6 6 F∗ F∗ u I0 - I0. Từ đó suy ra −1 −1 γFI (F (u)) = F∗ F (u)F∗. Chứng minh. Rõ ràng . Hơn nữa, họ 0 0 là một tự mũi tên γI0 (u) = u (γX0 (u)),X ∈ Ob G , của hàm tử đồng nhất . Vì vậy hình vuông trên là giao hoán. idG0 Kết luận cuối cùng suy ra từ hình vuông giao hoán trên khi thay bởi −1 u γFI (F (u)). Bổ đề 2.3. Với các giả thiết đã cho như trong Bổ đề 2.2, ta có F γ (u) = γ (γ−1F (u)). X FX FI Chứng minh. Xét biểu đồ dưới đây l0 (4) F∗⊗id F (lX ) I0 ⊗ FXFXFI/ FI ⊗ FXFXF/ F (I ⊗ X) / FX Fe −1 γFI F u⊗id (1)F u⊗id (2)F (u⊗id) (3) F γX (u) F I0 ⊗ FXFIFX / FI ⊗ FXFXFe / F (I ⊗ X) / FX F∗⊗id F (lX ) O (5) l0 26
Trong biểu đồ này, các miền (4), (5) giao hoán nhờ sự tương thích của hàm tử (F, Fe) với các ràng buộc đơn vị. Miền (3) giao hoán nhờ định nghĩa của γX (lấy ảnh qua F ), miền (1) giao hoán theo Bổ đề 2.2. Miền (2) giao hoán nhờ tính chất tự nhiên của mũi tên đẳng cấu . Từ đó, miền ngoài là giao hoán, nghĩa là −1 Fe F γX (u) = γFX γFI F (u) . Cho S, S0 lần lượt là các nhóm phạm trù kiểu (Π, A, h) và (Π, A, h0). Một hàm tử F : S → S0 được gọi là hàm tử kiểu (ϕ, f) nếu F (x) = ϕ(x),F (x, a) = (ϕ(x), f(a)), trong đó ϕ :Π → Π0, f : A → A0 là một cặp đồng cấu nhóm thỏa mãn f(xa) = ϕ(x)f(a), với x ∈ Π, a ∈ A. Trong phép chứng minh Định lý 1, Chương II [50], H. X. Sính có đề cập đén hàm tử 0 SF được cảm sinh từ các đẳng cấu F0 và F1 và nhận xét rằng SF = G FH, nhưng không mô tả cụ thể hàm tử này. Dưới đây, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng mọi hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù thu gọn là có kiểu (ϕ, f), sau đó xác định hàm tử cảm sinh và chứng minh 0 hệ thức SF = G FH. Mệnh đề 2.4. Mỗi hàm tử monoidal (F, Fe): G → G0 cảm sinh một hàm tử monoidal kiểu , với . Hơn nữa, SF : SG → SG0 (ϕ, f) ϕ = F0, f = F1 0 SF = G F H, với H, G0 là những tương đương chính tắc. Chứng minh. Đặt K là hàm tử monoidal hợp thành G0FH, chúng ta dễ dàng thử lại rằng , với . Bây giờ ta chứng minh với mỗi mũi K(s) = F0(s) s ∈ π0G K(s, u) = (F0(s),F1(u)) tên u : I → I. Ta có 0 0 K(s, u) = G FH(s, u) = G (F γXs (u)). Bởi vì 0 0 nhờ tương đương tự nhiên 0 nên biểu đồ sau là giao hoán H G ' idG0 β = (iX0 ) (chú ý rằng 0 0 0 ): Xs0 = H G FXs 0 0 i Xs0 −−−→ FXs   H0G0F γ (u) F γ (u) Xs y y Xs 0 0 i Xs0 −−−→ FXs. Theo Bổ đề 2.3 ta có −1 F γXs (u) = γFXs (γFI F (u)). 27
Mặt khác, do họ là tương đương tự nhiên của hàm tử đồng nhất nên hình (γX0 ) idG0 vuông dưới đây giao hoán 0 0 i Xs0 −−−→ FXs   −1 −1 γ 0 (γ F (u)) γ (γ F (u)) Xs FI y y FXs FI 0 0 i Xs0 −−−→ FXs. 0 0 −1 0 Từ đó 0 . Từ định nghĩa của ta được H G F γXs (u) = γXs γFI F (u) H 0 −1 G F γXs (u) = (F0s, γFI F (u)) = (F0s, F1(u)). Điều đó có nghĩa là K = SF . Bây giờ chúng ta mô tả các hàm tử monoidal trên các nhóm phạm trù kiểu (Π,A). Mệnh đề 2.5. Mỗi hàm tử monoidal từ (F, Fe): S → S0 là một hàm tử kiểu (ϕ, f). Chứng minh. Với , là một mũi tên trong 0. Từ x, y ∈ Π Fex,y : F (x) ⊗ F (y) → F (x ⊗ y) S đó F (x).F (y) = F (xy), bởi vậy nếu ta đặt ϕ(x) = F (x) thì ϕ :Π → Π0 là một đồng cấu nhóm. Giả sử F (x, a) = (ϕ(x), fx(a)). Do F là một hàm tử nên ta có F ((x, a) ◦ (x, b)) = F (x, a) ◦ F (x, b). Từ đó suy ra fx(a + b) = fx(a) + fx(b). 0 Vậy fx : A → A là một đồng cấu nhóm với mỗi x ∈ Π. Mặt khác, do (F, Fe) là một ⊗-hàm tử nên biểu đồ sau là giao hoán F (x).F (y) −−−→Fe F (xy)   F (u)⊗F (v) F (u⊗v) y y F (x).F (y) −−−→Fe F (xy), với mọi u = (x, a), v = (y, b). Bởi vậy ta có F (u ⊗ v) = F u ⊗ F v ⇔ fxy(a + xb) = fx(a) + ϕ(x).fy(b) ⇔ fxy(a) + fxy(xb) = fx(a) + ϕ(x).fy(b). (2.1) Trong (2.1), thay x = 1 ta được fy(a) = f1(a). Từ đó, fy = f1 với mọi y ∈ Π. Đặt fy = f và sử dụng (2.1) ta được f(xb) = ϕ(x).f(b). 28
Lưu ý rằng, nếu ta xem Π0-môđun A0 như là một Π-môđun bởi tác động xa0 = ϕ(x).a0 0 thì f : A → A là một đồng cấu giữa các Π-môđun. Bởi vì Fex,y = (F (xy), gF (x, y)) : 2 0 F (x).F (y) → F (xy), với hàm gF :Π → A nên ta sẽ gọi gF là hàm liên kết với F.e Tính tương thích của (F, Fe) với các ràng buộc kết hợp của hai phạm trù S và S0 dẫn tới hệ thức ∗ 0 ϕ h − f∗h = ∂(gF ), trong đó (f∗h)(x, y, z) = f(h(x, y, z)), (ϕ∗h0)(x, y, z) = h0(ϕx, ϕy, ϕz). Dễ thấy rằng, hai hàm tử monoidal (F, Fe), (F 0, Fe0): S → S0 là đồng luân khi và chỉ khi 0 0 F = F , nghĩa là có cùng kiểu (ϕ, f), và có một hàm t :Π → A sao cho gF 0 = gF + ∂t. Ký hiệu Hom 0 là tập các lớp đồng luân của các hàm tử monoidal kiểu . (ϕ,f)[S, S ] (ϕ, f) Để tìm điều kiện đủ cho một hàm tử kiểu (ϕ, f) trở thành một hàm tử monoidal, chúng tôi nêu khái niệm cản trở như sau. Nếu h, h0 là các ràng buộc kết hợp tương ứng của S, S0 và F : S → S0 là một hàm tử kiểu (ϕ, f) thì hàm ∗ 0 k = ϕ h − f∗h (2.2) được gọi là một cản trở của hàm tử F . Mệnh đề dưới đây cho ta điều kiện cần và đủ để một hàm tử kiểu (ϕ, f) là một hàm tử monoidal. Định lý 2.6. Hàm tử F : S → S0 kiểu (ϕ, f) là một hàm tử monoidal nếu và chỉ nếu cái cản trở k triệt tiêu trong H3(Π,A0). Khi đó tồn tại các song ánh: 0 2 0 i) Hom(ϕ,f)[S, S ] ↔ H (Π,A ), ii) Aut(F ) ↔ Z1(Π,A0). Chứng minh. Nếu 0 là một hàm tử monoidal thì , với (F, Fe): S → S (F, Fe) = (ϕ, f, gF ) ∗ 0 3 0 ϕ h − f∗h = ∂(gF ) ∈ B (Π,A ). ∗ 0 3 0 Từ đó ϕ h − f∗h = 0 trong H (Π,A ). ∗ 0 Ngược lại, từ đẳng thức ϕ h − f∗h = 0 suy ra tồn tại một 2-đối dây chuyền g ∈ 2 0 ∗ 0 Z (Π,A ) thỏa mãn ϕ h − f∗h = ∂g. Lấy Fe liên kết với g, ta có (F, Fe) là một hàm tử monoidal. i) Giả sử 0 là một hàm tử monoidal, khi đó . Chúng (F, Fe): S → S F = (ϕ, f, gF ) ta cố định . Bây giờ nếu 0 là một hàm tử monoidal kiểu thì gF (K, Ke): S → S (ϕ, f) ∗ 0 ∂(gF ) = ϕ h − f∗h = ∂(gK ). Từ đó suy ra gF − gK là một 2- đối chu trình. Xét tương ứng: Φ : [(K, Ke)] 7→ (gF − gK ) 29
giữa tập hợp các lớp tương đẳng của các hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f) từ S đến S0 và nhóm H2(Π,A0). Trước hết chúng ta chỉ ra rằng tương ứng trên là một ánh xạ. Thật vậy, giả sử có hàm tử monoidal 0 0 0 (K , Ke ): S → S 0 0 và K, K là đồng luân. Thế thì K, K là cùng kiểu (ϕ, f) và gK0 = gK + ∂t với gK , gK0 theo 0 2 0 thứ tự là các hàm liên kết với K,e Ke , nghĩa là (gF − gK0 ) = (gF − gK ) ∈ H (Π,A ). Hơn nữa, Φ là một đơn ánh. Cuối cùng chúng ta chỉ ra tương ứng Φ là một toàn ánh. Thật vậy giả sử g là một 2-đối chu trình bất kỳ. Ta có: ∗ 0 ∂(gF − g) = ∂gF − ∂g = ∂g = ϕ h − f∗h. Khi đó tồn tại hàm tử monoidal 0 (K, Ke): S → S kiểu (ϕ, f), với đẳng cấu hàm tử Ke = (•, gF − g). Vậy Φ là một toàn ánh. ii) Lấy F = (F, Fe): S → S0 là một hàm tử monoidal và t ∈ Aut(F ). Khi đó, từ đẳng 1 0 thức gF = gF + ∂t ta suy ra ∂t = 0, nghĩa là t ∈ Z (Π,A ). 2.2 Phân lớp các nhóm phạm trù Trong mục này, chúng tôi sẽ sử dụng Định lý 2.6 để chứng minh định lý phân lớp cho phạm trù các nhóm phạm trù. Với mỗi nhóm phạm trù , nhóm và -môđun là hai bất biến đầu tiên của G π0G π0G π1G nó. Tập các nhóm phạm trù có chung hai bất biến đầu tiên đã được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều 3 (xem Mệnh đề 13, trang 105 [50]). Bây giờ chúng ta sẽ trình bày H (π0G, π1G) định lý phân lớp chính xác cho các nhóm phạm trù và các hàm tử monoidal giữa chúng. Ký hiệu CG là phạm trù có vật là các nhóm phạm trù, các mũi tên là các hàm tử monoidal giữa chúng. Chúng ta xác định phạm trù 3 có vật là bộ ba , trong đó là một HGr (Π, A, h) Π nhóm, A là một Π-môđun và h ∈ H3(Π,A). Mũi tên (ϕ, f) : (Π, A, h) → (Π0,A0, h0) trong 3 là cặp sao cho tồn tại 2 0 để là một hàm tử monoidal HGr (ϕ, f) g :Π → A (ϕ, f, g) 0 0 0 , nghĩa là ∗ 0 3 0 . Hợp thành trong 3 được cho (Π, A, h) → (Π ,A , h ) ϕ h = f∗h ∈ H (Π,A ) HGr bởi (ϕ0, f 0) ◦ (ϕ, f) = (ϕ0 ◦ ϕ, f 0 ◦ f). Ta có nhận xét rằng, hai hàm tử monoidal F, F 0 : G → G0 là đồng luân khi và chỉ khi 0 và . Ký hiệu tập các lớp đồng luân của các hàm tử monoidal Fi = Fi , i = 0, 1 gF = gF 0 30
G → G0 cùng cảm sinh cặp (ϕ, f) là Hom 0 (ϕ,f)[G, G ], ta đưa ra một phiên bản của Mệnh đề 8 [21]. Trong [21], khái niệm nhóm phạm trù được gọi là "compact monoidal groupoid", và các tác giả đã chỉ ra được rằng có một song tương đương 3 . Tuy nhiên, hàm tử trong định lý dưới đây không chỉ đơn giản là T : HGr → CG d "ngược" của hàm tử phân lớp T mà nó cho ta những thông tin đầy đủ hơn trong sự phân lớp này. Định lý 2.7 (Định lý phân lớp). Tồn tại một hàm tử phân lớp: 3 d : CG → HGr G 7→ (π0G, π1G, hG) (F, Fe) 7→ (F0,F1) có các tính chất sau: i) dF là một đẳng cấu khi và chỉ khi F là một tương đương. ii) d là một toàn ánh trên tập các vật. iii) d là đầy đủ nhưng không trung thành. Với (ϕ, f): dG → dG0 thì có một song ánh Hom 0 2 0 (2.3) d : (ϕ,f)[G, G ] → H (π0G, π1G ). Chứng minh. Trong nhóm phạm trù , với mỗi đính ta có thể xây dựng được một G (Xs, iX ) nhóm phạm trù thu gọn . Khi thay đổi cách chọn đính thì 3-đối chu trình (π0G, π1G, h) h được thay thế bởi 3-đối chu trình h0 cùng lớp đối đồng điều với h. Bởi vậy G xác định duy nhất một phần tử 3 . Điều này chứng tỏ là một ánh xạ trên tập các vật. h ∈ H (π0G, π1G) d 0 Đối với các hàm tử monoidal F 0 F 00 dễ thấy 0 0 . Do 0 là G → G → G , (F F )0 = F0F0 (F F )∗ cái hợp thành F 0 F 0(F ) I00 →∗ F 0I0 →∗ F 0FI, nên với u ∈ Aut(I) ta có: 0 0 −1 0 0 (F F )1(u) = (F F )∗ (F F )(u)(F F )∗ 0−1 0 −1 0 0 0 = F∗ F (F∗ )F F (u)F (F∗)F∗ 0−1 0 0 0 = F∗ F (F1(u))F∗ = F1(F1(u)). Nghĩa là d(F 0 ◦ F ) = (dF 0) ◦ (dF ). Dễ thấy . Bởi vậy là một hàm tử. d(idG) = iddG d i) Do Mệnh đề 2.1. 31
ii) Nếu là một vật của 3 thì là một nhóm phạm trù kiểu (Π, A, h) HGr S = (Π, A, h) (Π,A) và hiển nhiên dS = (Π, A, h) . 0 2 iii) Giả sử (ϕ, f) là một mũi tên trong Hom 3 (d , d ), thì tồn tại hàm g :(π0 ) → HGr G G G 0 sao cho π1G ∗ ϕ hG0 = f∗hG + ∂g. Thế thì theo Định lý 2.6 ta có hàm tử monoidal 0 0 K = (ϕ, f, g):(π0G, π1G, hG) → (π0G , π1G , hG0 ). Khi đó, hàm tử monoidal hợp thành F = H0KG : G → H cảm sinh dF = (ϕ, f). Điều này chứng tỏ hàm tử d là đầy đủ. Để chứng minh song ánh (2.3) ta chứng minh tương ứng Hom 0 Hom (2.4) Ω: (ϕ,f)[G, G ]→ (ϕ,f)[SG,SG0 ] [F ] 7→ [SF ] là một song ánh. Rõ ràng nếu 0 0 đồng luân thì các hàm tử monoidal cảm sinh F, F : G → G SF ,SF 0 : là đồng luân. Ngược lại, nếu 0 có là đồng luân thì các hợp thành SG → SG0 F, F SF ,SF 0 0 0 0 0 E = H (SF )G và E = H (SF 0 )G đồng luân, với H ,G là các tương đương monoidal chính tắc. Các hàm tử monoidal E, E0 lần lượt đồng luân với F, F 0. Bởi vậy, F và F 0 đồng luân. Điều này chứng tỏ Ω là một đơn ánh. Nếu là một hàm tử monoidal thì cái hợp thành K = (ϕ, f, g): SG → SG0 0 0 F = H KG : G → G là hàm tử monoidal có SF = K, nghĩa là Ω là toàn ánh. Bây giờ, song ánh (2.3) là hợp thành của song ánh i) (Định lý 2.6) và song ánh (2.4). Do Định lý 2.7 ta có thể đơn giản hóa bài toán phân lớp tương đương các nhóm phạm trù bằng việc phân lớp các nhóm phạm trù có chung (theo nghĩa sai khác một đẳng cấu) hai bất biến đầu tiên. Điều này đã được thực hiện bởi H. X. Sính trong [50]. Tuy nhiên, ở đây chúng tôi trình bày chi tiết kết quả này dựa theo các kết quả vừa nêu trên. Cho nhóm Π và Π-môđun A. Ta nói nhóm phạm trù G có tiền đính kiểu (Π,A) nếu tồn tại cặp đẳng cấu nhóm tương thích với tác động của môđun p :Π → π0G, q : A → π1G q(su) = p(s)q(u), với s ∈ Π, u ∈ A. Cặp = (p, q) được gọi là một tiền đính kiểu (Π,A) đối với nhóm phạm trù G. 32
Một mũi tên giữa hai nhóm phạm trù G, G0 có tiền đính kiểu (Π,A) (với các tiền đính = (p, q), 0 = (p0, q0) tương ứng) là một hàm tử monoidal (F, Fe): G → G0 sao cho các tam giác sau giao hoán F0 - 0 F1 - 0 π0G π0G π1G π1G @I@ @I@ p @ p0 q @ q0 Π A trong đó F0,F1 là hai đồng cấu cảm sinh từ (F, Fe). Rõ ràng, từ định nghĩa ta suy ra ngay rằng F0,F1 là những đẳng cấu và do đó F là một tương đương. Ký hiệu CG[Π,A] là tập các lớp tương đương của các nhóm phạm trù tiền đính kiểu (Π,A). Định lý 2.8. (Định lý 1, trang 196 [50]) Tồn tại một song ánh: Γ: CG[Π,A] → H3(Π,A), −1 ∗ [G] 7→ q∗ p hG. Chứng minh. Theo Định lý 2.7 mỗi nhóm phạm trù G xác định duy nhất một phần tử 3 , và do đó xác định một phần tử hG ∈ H (π0G, π1G) −1 ∗ 3 εhG = q∗ p hG ∈ H (Π,A). Bây giờ, nếu F : G → G0 là một mũi tên giữa hai nhóm phạm trù tiền đính kiểu (Π,A) thì hàm tử monoidal cảm sinh SF = (ϕ, f, gF ) thỏa mãn điều kiện ∗ ϕ hG0 = f∗hG. Khi đó dễ dàng suy ra 0 ε hG0 = εhG. Điều này chứng tỏ Γ là một ánh xạ. Hơn nữa, nó là một đơn ánh. Thật vậy, nếu có 0 thì 0 Do đó tồn tại hàm tử monoidal kiểu từ Γ[G] = Γ[G ] ε (hG0 ) − ε(hG) = ∂g. J (id, id) đến 0 0 . Cái hợp thành J = (Π, A, ε(hG)) J = (Π, A, ε (hG0 )) −1 0 0 G ε J 0 ε H 0 G → SG → J → J → SG0 → G chứng tỏ [G] = [G0], và Γ là đơn ánh. Hiển nhiên Γ là toàn ánh. 33
2.3 Phân lớp các nhóm phạm trù bện Trong mục này, chúng tôi sẽ sử dụng Định lý 2.6 để chứng minh định lý phân lớp cho phạm trù các nhóm phạm trù bện. Cho nhóm phạm trù bện . Khi đó tập các lớp vật đẳng B = (B, ⊗,I, a, l, r, c) M = π0B cấu của là một nhóm aben với phép toán cảm sinh bởi tích , và tập các tự B ⊗ N = π1B đẳng cấu của vật đơn vị I là một nhóm aben với phép hợp thành (xem [21]). Ta xây dựng phạm trù có các vật là các phần tử của nhóm và các mũi tên là những tự đẳng cấu SB π0B , trong đó . Hợp thành của hai mũi tên được cảm sinh bởi (x, a): x → x x ∈ π0B, a ∈ π1B phép cộng trong Phép toán được xác định như sau π1B :(x, a) ◦ (x, b) = (x, a + b). ⊗ x ⊗ y = x.y, x, y ∈ π0B, (x, a) ⊗ (y, b) = (xy, a + b), a, b ∈ π1B. Các ràng buộc đơn vị trong là chặt chẽ. Các ràng buộc kết hợp và bện của có dạng SB SB tương ứng là ax,y,z = (xyz, h(x, y, z)) và cx,y = (xy, η(x, y)), trong đó bện cảm sinh (•, η) được cho bởi biểu đồ giao hoán sau (trong đó (Xx, iX ) là một đính của nhóm phạm trù bện theo nghĩa ở mục 1.1.2) B i Xx⊗X-y Xx ⊗ Xy Xxy γ (η(x,y)) c Xxy ? i ? Xy⊗X-x Xy ⊗ Xx Xyx. Do các điều kiện khớp (1.1), (1.4), (1.5) của một phạm trù monoidal bện nên cặp (h, η) như vậy thỏa mãn các hệ thức: h(y, z, t) − h(x + y, z, t) + h(x, y + z, t) − h(x, y, z + t) + h(x, y, z) = 0, h(x, y, z) − h(y, x, z) + h(y, z, x) + η(x, y + z) − η(x, y) − η(x, z) = 0, h(x, y, z) − h(x, z, y) + h(z, x, y) − η(x + y, z) + η(y, z) + η(x, z) = 0. Do tính tương thích của ràng buộc kết hợp với ràng buộc đơn vị chặt chẽ trong nên hàm SB h thỏa mãn điều kiện chuẩn tắc: h(1, y, z) = h(x, 1, z) = h(x, y, 1) = 0, nghĩa là cặp là một 3-đối chu trình aben của nhóm lấy hệ tử trong theo nghĩa (h, η) π0B π1B trong [25]. Ta ký hiệu và gọi là một thu gọn của nhóm phạm trù bện . SB = (M, N, h, η) B Hơn nữa, khi đó (H, He), (G, Ge) xác định bởi (1.3) là những tương đương monoidal bện. 34
Giả sử S = (M, N, h, η), S0 = (M 0,N 0, h0, η0) là những nhóm phạm trù bện. Từ Mệnh đề 2.5 suy ra mỗi hàm tử F : S → S0 là một hàm tử kiểu (ϕ, f), nghĩa là có cặp đồng cấu nhóm ϕ : M → M 0, f : N → N 0 thỏa mãn F (x) = ϕ(x),F (x, a) = (ϕ(x), f(a)). Nếu trong ta chọn đính 0 0 thay cho đính thì 3-đối chu trình tương ứng B (Xx, iX ) (Xx, iX ) (h0, η0) thỏa mãn điều kiện (h0, η0) − (h, η) = δg, với 3-đối bờ δg được xác định bởi δg(x, y, z) = g(y, z) − g(x + y, z) + g(x, y + z) − g(x, y), δg(x, y) = g(x, y) − g(y, x). Điều này chứng tỏ mỗi nhóm phạm trù bện xác định duy nhất phần tử 3 . B (h, η) ∈ Hab(π0B, π1B) Từ Mệnh đề 2.4 dễ dàng suy ra. Hệ quả 2.9. Mỗi hàm tử monoidal bện (F, Fe): S → S0 là một bộ ba (ϕ, f, g), trong đó ∗ 0 0 ϕ (h , η ) − f∗(h, η) = ∂ab(g). Với những chuẩn bị trên, bây giờ chúng ta có thể xác định phạm trù 3 HBGr mà vật của nó là các bộ ba , với 3 . Mũi tên (M, N, (h, η)) (h, η) ∈ Hab(M, N) (ϕ, f): 0 0 0 0 trong 3 là cặp sao cho tồn tại 2 (M, N, (h, η)) → (M ,N , (h , η )) HBGr (ϕ, f) g : M → N 0 để (ϕ, f, g) là một hàm tử monoidal bện (M, N, (h, η)) → (M 0,N 0, (h0, η0)), nghĩa là ∗ 0 0 3 0 . ϕ (h , η ) = f∗(h, η) ∈ Hab(M, N ) Ký hiệu BCG là phạm trù có vật là các nhóm phạm trù bện và mũi tên là các hàm tử monoidal bện, chúng tôi phát biểu định lý phân lớp dưới đây, mà phép chứng minh của nó thu được từ Hệ quả 2.9 và từ phép chứng minh các Định lý 2.7, Định lý 2.8 với những điều chỉnh thích hợp. Định lý này là một phiên bản của Mệnh đề 14 [21], với những thay đổi tương tự như Định lý 2.7. Định lý 2.10. [Định lý phân lớp] Tồn tại một hàm tử phân lớp 3 d : BCG → HBGr B 7→ (π0B, π1B, (h, η)B) (F, Fe) 7→ (F0,F1) có các tính chất sau: i) dF là một đẳng cấu khi và chỉ khi F là một tương đương. ii) d là một toàn ánh trên tập các vật. iii) d là đầy đủ nhưng không trung thành. Với (ϕ, f): dB → dB0 thì 35
HomBr 0 ∼ 2 0 (ϕ,f)[B, B ] = Hab(π0B, π1B ), trong đó HomBr 0 là tập các lớp đồng luân của các hàm tử monoidal bện từ đến (ϕ,f)[B, B ] B B0 cảm sinh cặp (ϕ, f) . Ký hiệu BCG[M, N] là tập các lớp tương đương của các nhóm phạm trù bện tiền đính kiểu (M, N). Khi đó, sử dụng Hệ quả 2.9 ta có thể chứng minh được kết quả tương tự như Định lý 2.8. Định lý 2.11. Tồn tại một song ánh 3 Γ: BCG[M, N] → Hab(M, N), −1 ∗ [B] 7→ q∗ p (h, η)B. ở đây, chúng tôi bàn luận về một kết quả phân lớp khác của A. Joyal và R. Street. Trong [22] các tác giả đã phân lớp các nhóm phạm trù bện bởi các ánh xạ toàn phương mà ta có thể nói tóm tắt như sau. ánh xạ ν : M → N giữa hai nhóm aben được gọi là ánh xạ toàn phương theo nghĩa: hàm h(x, y) = ν(x) + ν(y) − ν(x + y) là song tuyến tính và ν(−x) = ν(x). Vết của một 3-đối chu trình aben 3 là ánh xạ (h, η) ∈ Zab(M, N) tη : M → N, tη(x) = η(x, x). Nó là một ánh xạ toàn phương, và S. Eilenberg - S. MacLane [19, 25] đã chứng minh rằng vết xác định một đẳng cấu 3 ∼ (2.5) Hab(M, N) = Quad(M, N), [(h, η)] 7→ tη, trong đó Quad(M, N) là nhóm aben các ánh xạ toàn phương từ M vào N. Kết quả này đóng vai trò cơ bản trong phép chứng minh Định lý phân lớp (Định lý 3.3 [22]) của A. Joyal và R. Street. Họ đã chỉ ra rằng, mỗi nhóm phạm trù bện B xác định một hàm toàn phương , và từ đó gọi là phạm trù có các vật là , trong qB : π0B → π1B Quad (M, N, t) đó t là các ánh xạ toàn phương t : M → N giữa hai nhóm aben M, N và các mũi tên (ϕ, f):(M, N, t) → (M 0,N 0, t0) bao gồm các đồng cấu ϕ, f thoả mãn hình vuông giao hoán ϕ M - M 0 t t0 ? ? f N - N 0. 36
Định lý 2.12 (Định lý 3.3 [22] ). Hàm tử T : BCG → Quad B 7→ (π0B, π1B, qB) có các tính chất sau: ∼ i) Với mỗi vật Q của Quad, tồn tại một vật B của BCG và một đẳng cấu T (B) = Q; ∼ ii) Với bất kỳ đẳng cấu ρ : T (B) → T (B0) của Quad, tồn tại một tương đương F : B → B0 sao cho T (F ) = ρ, và iii) T (F ) là đẳng cấu nếu và chỉ nếu F là tương đương. Chúng ta thấy rằng đẳng cấu (2.5) cảm sinh một đẳng cấu giữa các nhóm phạm trù bện 3 V : HBGr → Quad (M, N, (h, η)) 7→ (M, N, tη) (ϕ, f) 7→ (ϕ, f) và T chính là cái hợp thành d 3 V BCG → HBGr → Quad. 2.4 Phân lớp các nhóm phạm trù bện phân bậc bởi hệ nhân tử Bài toán phân lớp cho các nhóm phạm trù phân bậc, nhóm phạm trù bện phân bậc, và trường hợp riêng của nó là các phạm trù Picard phân bậc đã được giải quyết trọn vẹn lần lượt trong [14], [17], [18] bởi A. M. Cegarra và các đồng tác giả. Trong mỗi trường hợp, các tác giả trên đã xây dựng một lý thuyết đối đồng điều Γ-toán tử thích hợp và phân lớp các phạm trù đang xét bởi các 3-đối chu trình tương ứng. Trong [34], N. T. Quang đã giới thiệu một cách tiếp cận khác cho bài toán phân lớp phạm trù các nhóm phạm trù Γ-phân bậc dựa trên phương pháp hệ nhân tử. Theo [13], mỗi nhóm phạm trù Γ-phân bậc được xem như một mở rộng của một nhóm phạm trù bởi nhóm Γ. Do mỗi nhóm phạm trù là tương đương với một nhóm phạm trù kiểu (Π,A) nên nảy sinh một câu hỏi tự nhiên là: mỗi nhóm phạm trù Γ-phân bậc có tương đương với một Γ-mở rộng của một nhóm phạm trù kiểu (Π,A) hay không? Nếu câu trả lời là khẳng định thì bài toán phân lớp có thể được thực hiện một cách đơn giản hơn trên các nhóm phạm trù Γ-phân bậc kiểu này. Trong phần này chúng tôi áp dụng phương pháp nói trên cho phạm trù các nhóm phạm trù bện Γ-phân bậc. Chúng tôi đã chứng tỏ được rằng có một đẳng cấu giữa phạm trù các 37
nhóm phạm trù bện Γ-phân bậc và phạm trù các hệ nhân tử trên Γ, lấy hệ tử trong phạm trù các nhóm phạm trù bện kiểu (M, N). Trước hết, chúng tôi nhắc lại theo A. M. Cegarra [13] rằng: Một hệ nhân tử (chuẩn tắc) F trên Γ với các hệ tử trong một phạm trù monoidal C (hay một giả hàm tử từ Γ tới phạm trù các phạm trù monoidal theo nghĩa của A. Grothendieck [47]) bao gồm một họ các tự tương đương monoidal F σ : C → C, σ ∈ Γ, và các đẳng cấu hàm tử monoidal ησ,τ : F σF τ → F στ , σ, τ ∈ Γ, thỏa mãn các điều kiện: i) 1 , F = idC 1,σ σ,1 ii) η = idF σ = η , σ ∈ Γ, iii) với mọi σ, τ, γ ∈ Γ, biểu đồ sau giao hoán ησ,τ F γ F σF τ F γ −−−−→ F στ F γ   F σητ,γ  ηστ,γ. (2.6) y y ησ,τγ F σF τγ −−−→ F στγ. Ta viết F = (C,F σ, ησ,τ ). Với mỗi nhóm Γ và một phạm trù C, ta gọi Psd(Γ, C) là phạm trù của các hệ nhân tử (chuẩn tắc) từ Γ đến C. Chúng ta mô tả chi tiết phạm trù Psd(Γ, BCG). Các vật của nó là các hệ nhân tử F :Γ → BCG từ Γ tới phạm trù các nhóm phạm trù bện. Hệ nhân tử F biến vật duy nhất ∗ của thành một nhóm phạm trù bện . Với mỗi thì σ σ σ là Γ B σ ∈ Γ F = (F , Fe , Fbσ): B → B một tự tương đương monoidal bện. Với mỗi σ, τ ∈ Γ thì ησ,τ : F σF τ → F στ là một đẳng cấu giữa các hàm tử monoidal bện thỏa mãn các điều kiện i), ii), iii) ở trên. Nếu F = (B,F σ, ησ,τ ), F 0 = (B0,F 0σ, η0σ,τ ) là hai hệ nhân tử của các nhóm phạm trù bện thì một phép biến đổi bện (T, ψ): F → F 0 giữa các hệ nhân tử gồm hàm tử monoidal bện 0 và họ đẳng cấu σ 0σ sao cho: T : B → B ψσ : TF → F T (σ ∈ Γ) i) ψ1 = idT , ii) với mỗi cặp σ, τ ∈ Γ, biểu đồ sau giao hoán T ησ,τ TF σF τ - TF στ τ ψσF ψστ (2.7) ? 0σ 0σ,τ ? F ψτ η T F 0σTF τ - F 0σF 0τ TF- 0στ T. Ký hiệu ΓBCG là phạm trù các nhóm phạm trù bện Γ-phân bậc. Để phát biểu và chứng minh định lý phân lớp cho phạm trù các nhóm phạm trù bện Γ-phân bậc bởi các hệ nhân tử, 38
ta nhắc lại rằng một hàm tử Φ: C → C0 được gọi là một đẳng cấu phạm trù nếu Φ là một song ánh trên tập các vật và tập các mũi tên. Định lý 2.13. Với mỗi nhóm Γ, tồn tại một đẳng cấu Ω: ΓBCG ' Psd(Γ, BCG). Chứng minh. Bước 1. Với mỗi nhóm phạm trù bện Γ-phân bậc (B, gr), ta xây dựng hệ nhân tử như sau. FB :Γ → BCG biến vật duy nhất của thành nhóm phạm trù bện Ker . Với mỗi Ker , do FB ∗ Γ B X ∈ B phân bậc là ổn định nên tồn tại mũi tên đẳng cấu bậc , σ ∼ σ . Đặc biệt, gr σ ΥX : X → F (X) 1 và 1 . Vì vậy, ta có hàm tử σ trong đó với mỗi mũi F (X) = X ΥX = idX F : KerB → KerB, tên f : X → Y của KerB thì F σ(f) được xác định duy nhất bởi biểu đồ giao hoán sau Υσ X −−−→X F σ(X)   f F σ(f) (2.8) y y Υσ Y −−−→Y F σ(Y ). Đẳng cấu tự nhiên σ σ σ ∼ σ được xác định duy nhất FeX,Y : F (X) ⊗ F (Y ) −→ F (X ⊗ Y ) bởi tính giao hoán của các biểu đồ: Feσ F σ(X) ⊗ F σ(Y ) X,Y - F σ(X ⊗ Y ) HY ă* HH ăă (2.9) σ σ H ă σ ΥX ⊗ΥY H ă ΥX⊗Y X ⊗ Y. Hơn nữa, với mỗi cặp σ, τ ∈ Γ, đẳng cấu giữa các hàm tử monoidal ησ,τ : F σF τ −→∼ F στ được xác định bởi tính giao hoán của biểu đồ sau, với mọi X ∈ Ob B Υτ X −−−→X F τ (X)   στ σ Υ  Υ τ (2.10) X y y F (X) ησ,τ F στ (X) ←−−−X F σF τ (X). 1,σ σ,1 Dễ thấy η = idF σ = η . Tính tương thích của (F σ, Feσ) với các ràng buộc kết hợp a và bện c lần lượt được suy 39
ra từ tính giao hoán của vòng ngoài cùng các biểu đồ sau. σ Ffσ⊗F σ(Z) F σ((XY )Z) Ff F σ(XY )F σ(Z)( F σ(X)F σ(Y ))F σ(Z) HY ă* HH 6 ăă HH (2.9) (2.9) ăă H Υ⊗Υ ă Υ H ă (Υ⊗Υ)⊗Υ HH ăă H ă (XY )Z F σ(a) (2.8) a (∗) a ? X(YZ) ăă HH ă H Υ ă H Υ⊗(Υ⊗Υ) ă Υ⊗Υ H ă (2.9) (2.9) H ăă HH ? ăă ? HHj ? F σ(X(YZ)) F σ(X)F σ(YZ) F σ(X)(F σ(Y )F σ(Z)), Ffσ F σ(X)⊗Ffσ F σ(X)F σ(Y ) c - F σ(Y )F σ(X) HY Υ⊗Υ(∗∗) Υ⊗Υ ă* HH ăă H ă c - Ffσ (2.9) XYYX (2.9) Ffσ ăă HH ? ăă Υ (2.8) Υ HHj ? F σ(XY ) - F σ(YX), F σ(c) trong đó, các miền (*), ( ) giao hoán lần lượt do tính tự nhiên của a và c. Từ (2.8) và (2.10) ta có các đẳng thức sau (στ)γ στ,γ σ,τ γ σ τ γ Υ = (η .η F ).ΥF τ F γ .ΥF γ .Υ , σ(τγ) σ,τγ σ τ,γ σ τ γ Υ = (η .F η ).ΥF τ F γ .ΥF γ .Υ . Vì (στ)γ σ(τγ), σ là các đẳng cấu nên ta suy ra: στ,γ σ,τ γ σ,τγ σ τ,γ. Do Υ = Υ ΥX η .η F = η .F η vậy, là một hệ nhân tử. FB Bước 2. Xây dựng nhóm phạm trù bện -phân bậc liên kết với hệ nhân tử Γ BF F = (B,F σ, ησ,τ ):Γ → BCG. Vật của là vật của . Mũi tên trong là cặp , trong đó σ a BF B X → Y BF (a, σ) F X → Y (a,σ) (b,τ) là mũi tên trong B. Với σ, τ ∈ Γ thì hợp thành X → Y → Z là mũi tên (c, τσ): X → Z, với c được xác định một cách tự nhiên theo biểu đồ giao hoán sau: F τ (a) F τ F σ(X) −−−→ F τ (Y )   ητ,σ  X y yb F τσ(X) −−−→c Z, nghĩa là, τ σ,τ −1 (b, τ) ◦ (a, σ) = (b ◦ F (a) ◦ (η )X , τσ). 40
Từ các điều kiện chuẩn tắc và điều kiện đối chu trình ta suy ra được phép hợp thành của các mũi tên trong có tính kết hợp và đơn vị. BF Hàm tử phân bậc cho bởi gr : BF → Γ (a,σ) X 7→ ∗, (X → Y ) 7→ σ. Tích tenxơ giữa các vật trong chính là tích tenxơ trong , tích tenxơ giữa các mũi tên BF B trong được cho bởi BF (a,σ) (b,σ) (d,σ) (X → X0) ⊗ (Y → Y 0) = (X ⊗ Y → X0 ⊗ Y 0), trong đó d là hợp thành (F σ)−1 d : F σ(X ⊗ Y ) e→ F σX ⊗ F σY a→⊗b X0 ⊗ Y 0. Hàm tử đơn vị Γ-phân bậc I :Γ → BF ∗ 7→ I (F σ,1) σ 7→ (I b→ F σ(I)). Các ràng buộc kết hợp, bện Γ-phân bậc a, c lần lượt được cho bởi aX,Y,Z = (aX,Y,Z , 1) : (XY )Z → X(YZ), cX,Y = (cX,Y , 1) : XY → Y X, trong đó lần lượt là các đẳng cấu kết hợp, bện trong . aX,Y,Z , cX,Y B Các ràng buộc đơn vị Γ-phân bậc l, r cho bởi lX = (lX , 1) : I ⊗ X → X, rX = (rX , 1) : X ⊗ I → X, trong đó là các ràng buộc đơn vị trong . lX , rX B Bước 3. Xây dựng hàm tử monoidal bện phân bậc (K, Ke): B → B0 cảm sinh bởi phép biến đổi bện giữa các hệ nhân tử, trong đó σ σ,τ (T, ψ): FB → FB0 FB = (B,F , η ), FB0 = (B0,F 0σ, η0σ,τ ). Ta đặt F (X) = T (X) và F (f) = T (f) với mọi X ∈ ObB và mọi mũi tên f bậc 1 trong B. Với mũi tên f : X → Y bậc σ trong B thì ta có một mũi tên bậc 1, Y → F σ(X), được xác định bởi biểu đồ giao hoán sau: f XY- σ @ ΥX @ @@R â F σ(X). 41
σ −1 ΥX ◦f K(f) Vì vậy Y −→ F σ(X) là mũi tên bậc 1 trong B. Khi đó, mũi tên K(X) −−−→ K(Y ) được xác định duy nhất bởi biểu đồ giao hoán sau K(f) K(X) - K(Y ) Υ0σ σ −1 K(X) K(ΥX ◦f ) (2.11) ? ? F 0σK(X) KF σ(X). ψσ(X) K được xác định như trên là một hàm tử monoidal bện phân bậc. Bước 4. Với mỗi hàm tử monoidal bện phân bậc K :(B, gr) → (B0, gr0), ta xây dựng phép biến đổi bện giữa các hệ nhân tử như sau. (T, ψ): FB → FB0 Lấy T : KerB → KerB0 là thu hẹp của K trên KerB. Thế thì T là một hàm tử monoidal σ 0σ bện. Với mỗi σ ∈ Γ, đẳng cấu ψσ : TF → F T được xác định nhờ tính giao hoán của biểu đồ sau ψ (X) TF σ(X) σ - F 0σT (X) QkQ 3 (2.12) σ Q 0σ T (ΥX ) Q ΥT (X) T (X). Khi đó, tính tự nhiên của ψσ được suy ra từ biểu đồ giao hoán sau. TF σ(f) TF σ(X) - TF σ(Y ) T (Υσ ) (2.8) T (Υσ ) QkQ X Y 3 Q Q T (f-) ψσ(X) (2.12) T (X) T (Y ) (2.12) ψσ(Y ) Q Q 0σ 0σ Q ? + ΥT (X) (2.8) ΥT (Y ) Qs ? F 0σT (X) - F 0σT (Y ). F 0σT (f) Ta có ψ1(X) = idT (X) nên ψ1 = idT . 42
Mặt khác, vòng ngoài của biểu đồ sau giao hoán T ησ,τ TF σF τ (Z) Z - TF στ (Z) Qk 3 Q T (Υσ ) στ Q F τ (Z) (2.10) T (Υ ) Q Z Q Q (2.12) Q T (Υτ ) TF τ (Z) Z T (Z) S (2.12) τ S ψσ(F (Z)) (2.12) ψτ (Z) ψστ (Z) Υ0τ S T (Z) S 0σ ? + 0στ ΥTF τ (Z) S ΥT (Z) F 0τ T (Z) S (2.10) S S 0σ (2.9) Υ 0τ S F T (Z) S 0σ,τ S ?/ 0σ ? Sw ? F ψ (Z) ηT (Z) F 0σTF τ (Z) τ- F 0σF 0τ T (Z) - F 0στ T (Z), nghĩa là (T, ψ) thỏa mãn điều kiện (2.7). Cuối cùng, mọi ψσ đều là monoidal do tính giao hoán của các biểu đồ sau. TF σ (X⊗Y ) TF σ(X) ⊗ TF σ(Y ) - TF σ(X ⊗ Y ) : XX σ @I XX TeF σ (X),F σ (Y ) (∗) T FgX,Y XXX @ XX σ σ XXz @ T (ΥX )⊗T (ΥY ) (2.9) T (F σ(X) ⊗ F σ(Y )) @ σ T ΥX⊗Y @ HYH T (Υσ ⊗Υσ ) @ HH X Y @ (∗∗) HH TeX,Y ψσ (X)⊗ψσ (Y ) (2.12) T (X) ⊗ T (Y ) - T (X ⊗ Y ) (2.12) ψσ (X⊗Y ) H Υ0σ H T (X)⊗T (Y ) @ HH @ Υ0σ ⊗Υ0σ Hj Υ0σ T (X) T (Y ) @ T (X⊗Y ) F 0σ(T (X) ⊗ T (Y )) (2.9) (2.9) @ : XX @ XX XXX @ F 0σ (∗) 0σ X ? â g T (X),T (Y ) F TeX,Y XXXz @R ? F 0σT (X) ⊗ F 0σT (Y ) - F 0σT (X ⊗ Y ), 0σ F^T X,Y I @ σ (*) Tb @ Fc0 = Υ0σ @ â @R T (I) (2.9) F 0σ(I) @ (*) σ σ @ σ 0σ 0σ TF[ T Fc @Υ F Tb F\T (2.12) @ ? @ ? @R - TF σ(I) ψσ(I) - F 0σT (I) 43
trong đó, miền (*) giao hoán do định nghĩa của hợp thành hai hàm tử monoidal bện, miền ( ) giao hoán do tính hàm tử của phép toán ⊗. Suy ra, (T, ψ) là một phép biến đổi bện giữa các hệ nhân tử. Như vậy, ta đã xây dựng được hàm tử Ω: ΓBCG → Psd(Γ, BCG). (2.13) Hàm tử (2.13) là trung thành và đơn ánh trên tập các vật. Thật vậy, giả sử K, K0 : (B, gr) → (B0, gr0) là hai hàm tử monoidal bện Γ-phân bậc sao cho ΩK = ΩK0 : KerB → Ker 0, nghĩa là (T, ψ) = (T 0, ψ0). Do T = K ,T 0 = K0 nên ta có K = B KerB KerB KerB K0 . Với f : X → Y là mũi tên (có bậc σ) bất kỳ trong thì K(f) = K0(f) do biểu KerB B đồ (2.11) giao hoán. Vì vậy K = K0, và do đó Ω là trung thành. Hàm tử (2.13) là đơn ánh trên tập các vật được suy ra từ Bước 1 và Bước 2. Hàm tử (2.13) là đầy đủ được suy từ Bước 3. Cuối cùng, theo Bước 2, với mỗi vật F của phạm trù Psd(Γ, BCG) đều tồn tại một vật của phạm trù sao cho . BF ΓBCG ΩBF = F Định lý được chứng minh hoàn toàn. Nhận xét 2.14. Chúng ta có thể mô tả chi tiết nhóm phạm trù bện -phân bậc liên kết Γ SF với giả hàm tử F từ Γ tới phạm trù các nhóm phạm trù bện kiểu (M, N) như sau. Giả sử hệ nhân tử F biến vật duy nhất ∗ của Γ thành nhóm phạm trù bện S kiểu (M, N). Vật của chính là các phần tử . Với mũi tên trong là mũi SF x ∈ M x, y ∈ M x → y SF tên (a, y): F σx → y trong S, hay có thể viết là bộ ba (a, y, σ), trong đó a tùy ý thuộc N, σ ∈ Γ sao cho y = σx. Hợp thành của hai mũi tên (a, y, σ): x → y, (b, z, τ): y → z được xác định bởi (b, z, τ) ◦ (a, y, σ) = (b + τa − t(x, τ, σ), z, τσ), trong đó t là hàm liên kết với ητ,σ. Tính kết hợp của phép hợp thành suy ra từ định nghĩa của hệ nhân tử. Dễ thấy là phạm trù -phân bậc bởi hàm tử , SF Γ gr : SF → Γ gr(x) = ∗, gr(a, y, σ) = σ. Đối với hai mũi tên (a, y, σ): x → y, (a0, y0, σ): x0 → y0, tích tenxơ phân bậc là mũi tên được định nghĩa bởi (a, y, σ) ⊗ (a0, y0, σ) = (a + y(a0) − f(x, x0, σ), yy0, σ), 44
trong đó f là hàm liên kết với Feσ. Các mũi tên đẳng cấu kết hợp, bện là ax,y,z = (ξ(x, y, z), xyz, 1), cx,y = (η(x, y), xy, 1). -hàm tử đơn vị được xác định bởi: Do vậy là một Γ I :Γ → SF σ 7→ (0, 0, σ). (SF , gr) -phạm trù bện có Γ π0(SF ) = M, π1(SF ) = N. 2.5 áp dụng vào bài toán mở rộng nhóm cổ điển Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày hai ứng dụng của lý thuyết cản trở của các hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù. Trước hết, chúng tôi định nghĩa nhóm phạm trù của một hạt nhân trừu tượng và chỉ ra nhóm phạm trù thu gọn của nó. Từ đó chứng minh được rằng mỗi nhóm phạm trù là tương đương với một nhóm pham trù chặt chẽ. Sau đó, vẫn sử dụng nhóm phạm trù của một hạt nhân trừu tượng, chúng tôi tìm lại được kết quả của bài toán mở rộng nhóm cổ điển. 2.5.1 Nhóm phạm trù của một hạt nhân trừu tượng Khái niệm hạt nhân trừu tượng được biết tới trong [27]. Đó là một bộ ba (Π, G, ψ), với ψ :Π → AutG/InG là một đồng cấu nhóm. Trong phần này chúng ta sẽ mô tả cấu trúc nhóm phạm trù của một hạt nhân trừu tượng và ứng dụng nó vào phép chặt chẽ hóa các ràng buộc của một nhóm phạm trù. Phép toán trong G được ký hiệu bởi dấu +. Tâm của G, ký hiệu bởi ZG, gồm các phần tử c ∈ G sao cho c + a = a + c với mọi a ∈ G. Chúng ta nhắc lại rằng cái cản trở của (Π, G, ψ) là một phần tử k ∈ H3(Π,ZG), được xác định như sau. Với mỗi x ∈ Π chọn ϕ(x) ∈ ψ(x) thỏa mãn ϕ(1) = idG, thì có một hàm f :Π2 → G sao cho ϕ(x)ϕ(y) = àf(x,y)ϕ(xy). (2.14) trong đó àc là tự đẳng cấu trong của nhóm G, sinh bởi c ∈ G. Khi đó cặp (ϕ, f) cảm sinh một phần tử k ∈ Z3(Π,ZG), xác định bởi hệ thức ϕ(x)[f(y, z)] + f(x, yz) = k(x, y, z) + f(x, y) + f(xy, z). (2.15) Với mỗi nhóm G, ta có thể xây dựng được một phạm trù, ký hiệu bởi AutG, mà các vật là các phần tử của nhóm các tự đẳng cấu AutG. Với hai phần tử α, β của AutG, ta đặt Hom(α, β) = {c ∈ G|α = àc ◦ β}, 45
Với hai mũi tên c : α → β; d : β → γ của AutG, phép hợp thành của chúng được định nghĩa bởi d ◦ c = c + d (phép cộng trong G). Phạm trù AutG là một nhóm phạm trù chặt chẽ với tích tenxơ được xác định bởi α ⊗ β = α ◦ β và c+α0(d) (α →c α0) ⊗ (β →d β0) = α ⊗ β −−−−→ α0 ⊗ β0. (2.16) Mệnh đề sau mô tả nhóm phạm trù thu gọn của AutG. Mệnh đề 2.15. Cho hạt nhân trừu tượng (Π, G, ψ) với k ∈ H3(Π,ZG) là cản trở của nó. Giả sử nhóm phạm trù thu gọn của nhóm phạm trù chặt chẽ là 0 , thì: AutG S = (Π , C, h) 0 i) Π = π0(AutG) = Aut G/InG, C = π1(AutG) = ZG, ii) ψ∗h cùng lớp đối đồng điều với k. Chứng minh. i) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa của phạm trù AutG và phạm trù thu gọn. ii) Giả sử là tương đương monoidal chính tắc từ đến . Khi đó biểu đồ (H, He) S AutG Hr(HsHt) −−−→id⊗He HrH(st) −−−→He H(r(st))  H(•,h(r,s,t)) (2.17) y H(r,s)⊗id (HrHs)Ht −−−−−→e H(rs)Ht −−−→He H((rs)t) 0 giao hoán với mọi r, s, t ∈ Π . Bởi vì AutG là một nhóm phạm trù chặt chẽ nên ta có γα(u) = u, ∀α ∈ AutG, ∀u ∈ ZG = C. Kết hợp với định nghĩa của H ta được H(•, c) = c, ∀c ∈ C. Từ biểu đồ giao hoán (2.17) và từ hệ thức (2.16) ta có Hr[g(s, t)] + g(r, st) = g(r, s) + g(rs, t) − h(r, s, t), (2.18) 0 0 trong đó g = gH :Π ì Π → G là hàm liên kết với He. Với hạt nhân trừu tượng (Π, G, ψ) ta chọn hàm ϕ = H ◦ ψ :Π →AutG. Rõ ràng ϕ(1) = idG. Hơn nữa, do Heψ(x),ψ(y) : Hψ(x)Hψ(y) → Hψ(xy) là một mũi tên trong AutG, nên với mọi x, y ∈ Π ta có ϕ(x)ϕ(y) = Hψ(x)Hψ(y) = àf(x,y)Hψ(xy) = àf(x,y)ϕ(xy), trong đó f(x, y) = Heψ(x),ψ(y). Bởi vậy cặp (ϕ, f) thỏa mãn (2.14) và do đó là một hệ nhân tử của hạt nhân trừu tượng (Π, G, ψ). Nó cảm sinh một cản trở k(x, y, z) ∈ Z3(Π,ZG) thỏa 46
mãn hệ thức (2.15). Bây giờ với r = ψ(x), s = ψ(y), t = ψ(z) thì đẳng thức (2.18) trở thành ϕ(x)[f(y, z)] + f(x, yz) = +f(x, y) + f(xy, z) − (ψ∗h)(x, y, z). So sánh với hệ thức (2.15) ta có ψ∗h = k. Dưới đây, chúng ta sẽ sử dụng Mệnh đề 2.15 và Định lý về sự thể hiện của cản trở trong bài toán mở rộng nhóm (Định lý 9.2, Chương IV [27]) để chỉ ra rằng mỗi nhóm phạm trù đều tương đương với một nhóm phạm trù chặt chẽ (Mệnh đề 2.17). Trước hết chúng tôi cần chứng minh bổ đề sau đây. Bổ đề 2.16. Giả sử là một nhóm phạm trù chặt chẽ và là nhóm phạm trù H SH = (Π, C, h) thu gọn của nó. Cho đồng cấu nhóm ψ :Π0 → Π. Khi đó tồn tại một nhóm phạm trù chặt chẽ G, tương đương monoidal với nhóm phạm trù J = (Π0, C, h0), trong đó C được xem là Π0-môđun với toán tử xc = ψ(x)c, và h0 cùng lớp đối đồng điều với ψ∗h. Chứng minh. Chúng ta xây dựng nhóm phạm trù chặt chẽ G như sau: 0 Ob(G) = {(x, X)| x ∈ Π ,X ∈ ψ(x)}, Hom Hom ((x, X), (x, Y )) = {x} ì H(X, Y ). Tích tenxơ trên các vật và trên các mũi tên của G được định nghĩa như sau: (x, X) ⊗ (y, Y ) = (xy, X ⊗ Y ), (x, u) ⊗ (y, v) = (xy, u ⊗ v). Đơn vị của G là (1,I) trong đó I là đơn vị của H. Chúng ta dễ thử lại rằng G là một nhóm phạm trù chặt chẽ. Hơn nữa, ta có các đẳng cấu: 0 λ : π0G → Π , f : π1G → π1H = C, [(x, X)] 7→ x (1, c) 7→ c và một hàm tử monoidal (F, Fe): G → H được cho bởi: F (x, X) = X, F (x, u) = u, Fe = id. Gọi là hàm tử monoidal cảm sinh bởi trên các phạm trù thu SF = (φ, φe): SG → SH (F, Fe) gọn, ta có φ(x, X) = F0(x, X) = [F (x, X)] = [X] = ψ(x), φ(1, u) = F1(1, u) = γF (1,I)F (1, u) = γI (u) = u, 47
với là mũi tên trong . Nghĩa là và , hay là hàm tử kiểu u G F0 = ψλ F1 = f SF (ψλ, f). Bây giờ giả sử là ràng buộc kết hợp của . Theo Định lý 2.6 cái cản trở của cặp hG SG phải triệt tiêu trong 3 3 , nghĩa là (ψλ, f) H (π0G, π1H) = H (π0G,C) ∗ (ψλ) h = f∗hG + δφ.e Bây giờ nếu ta đặt 0 thì cặp với , là một hàm tử monoidal h = f∗hG (J, Je) J = (λ, f), Je = id từ tới 0 0 Khi đó cái hợp thành SG J = (Π , C, h ). (G,Ge) (J,Je) G −→ SG −→ J là một tương đương monoidal từ G tới J = (Π0, C, h0). Cuối cùng ta chứng tỏ rằng h0 là cùng lớp đối đồng điều với ψ∗h. Gọi K = (λ−1, f −1): 0 0 . Thế thì cùng với là một hàm tử monoidal, và cái hợp thành (Π , C, h ) → SG K Ke = id 0 0 (φ, φe) ◦ (K, Ke) : (Π , C, h ) → SH là một hàm tử monoidal, làm biểu đồ sau giao hoán φ - SG SH QkQ 3 Q Q K Q φ◦K 0 0 J = (Π , C, h ). Rõ ràng φ ◦ K là hàm tử monoidal kiểu (ψ, id) và bởi vậy cái cản trở của nó triệt tiêu. Theo (2.2) ta có ψ∗h − h0 = ∂g, nghĩa là h0 cùng lớp đối đồng điều với ψ∗h. Mệnh đề 2.17. Mỗi nhóm phạm trù đều tương đương monoidal với một nhóm phạm trù chặt chẽ. Chứng minh. Giả sử là một nhóm phạm trù và 0 là nhóm phạm trù thu gọn C SC = (Π , C, k) của nó. Theo định lý về sự thể hiện cản trở (Định lý 9.2 [27]), 3-đối chu trình k ∈ H3(Π0,C) có thể hiện là nhóm G với tâm ZG = C cùng đồng cấu nhóm ψ :Π0 → AutG/InG sao cho ψ cảm sinh cấu trúc Π0-môđun trong C và hạt nhân trừu tượng (Π0, G, ψ) có cản trở là k. Theo Mệnh đề 2.15, nhóm phạm trù chặt chẽ AutG có nhóm phạm trù thu gọn (Aut In trong đó ∗ SAutG = G/ G, C, h), ψ h = k. áp dụng Bổ đề 2.16 với , đồng cấu 0 Aut In xác định một nhóm H = AutG ψ :Π → G/ G phạm trù chặt chẽ G, tương đương monoidal với nhóm phạm trù chặt chẽ J = (Π0, C, h0). Các cấu trúc 0-môđun của trong và trong là trùng nhau. Hơn nữa, ∗ 0 Từ Π C SC J ψ h = h . đó suy ra h0 = k. Bởi vậy tồn tại hàm g :Π0 ì Π0 → C sao cho h0 − k = ∂g. Khi đó, theo Định lý 2.6, (K, Ke) = (idΠ0 , idC , g): SC → J là một tương đương monoidal. Suy ra C tương đương với nhóm phạm trù chặt chẽ G. 48
Một cách chứng minh khác của Mệnh đề 2.17 có thể được tìm thấy trong [51]. 2.5.2 Hàm tử monoidal và bài toán mở rộng nhóm Trong tiểu mục này chúng tôi áp dụng Định lý 2.7 để thu lại được Định lý cổ điển Schreier về mở rộng nhóm [53]. Ký hiệu Ext(Π,G) là tập các lớp tương đương các mở rộng của G bởi Π, ta phát biểu định lý sau đây. Định lý 2.18. Cho các nhóm G và Π. Khi đó: i) Tồn tại một phân hoạch chính tắc Ext(Π,G) = `Ext(Π, G, ψ), ψ trong đó, với mỗi đồng cấu ψ :Π → AutG/InG thì Ext(Π, G, ψ) là tập các lớp tương đương của các mở rộng nhóm E : G → B → Π của G bởi Π cảm sinh ψ. ii) Mỗi hạt nhân trừu tượng (Π, G, ψ) xác định một lớp đối đồng điều (chuẩn tắc) chiều 3, Obs(Π, G, ψ) ∈ H3(Π,ZG) (với cấu trúc Π-môđun trên ZG thu được qua ψ), gọi là cái cản trở của (Π, G, ψ). Hạt nhân trừu tượng có mở rộng khi và chỉ khi cản trở của nó triệt tiêu. Khi đó, có một song ánh Ext(Π, G, ψ) ↔ H2(Π,ZG). Dưới đây, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng mỗi hệ nhân tử (ϕ, f) của một mở rộng nhóm có thể nâng lên thành một hàm tử monoidal F : DisΠ → AutG, trong đó Dis Π là nhóm phạm trù kiểu (Π, 0, 0), và do đó có thể phân lớp các mở rộng nhóm bằng phương pháp sử dụng các hàm tử monoidal. Ký hiệu Hom(ψ,0)[DisΠ, AutG] là tập các lớp đồng luân của các hàm tử monoidal từ DisΠ tới AutG cảm sinh cặp đồng cấu (ψ, 0), ta có: Định lý 2.19. (Lý thuyết Schreier cho các mở rộng nhóm) Tồn tại một song ánh ∆ : Hom(ψ,0)[Dis Π, AutG] → Ext(Π, G, ψ). Chứng minh. Bước 1: Xây dựng mở rộng nhóm EF của G bởi Π được cảm sinh bởi hàm tử monoidal F : Dis Π → AutG. Cho hàm tử monoidal (F, Fe): DisΠ → AutG. Thế thì Fex,y = f(x, y) là một hàm Π2 → G thỏa mãn F (x) ◦ F (y) = àf(x,y) ◦ F (xy). (2.19) Tính tương thích của (F, Fe) với các ràng buộc kết hợp, đơn vị cho các hệ thức F (x)[f(y, z)] + f(x, yz) = f(x, y) + f(xy, z), (2.20) 49
f(x, 1) = f(1, y) = 0. (2.21) Dựng nhóm BF = {(a, x)|a ∈ G, x ∈ Π} với phép toán (a, x) + (b, y) = (a + F (x)(b) + f(x, y), xy). Khi đó, BF là mở rộng của G bởi Π, i p EF : 0 → G → BF → Π → 1, với i(a) = (a, 1), p(a, x) = x. Do các hệ thức (2.19), (2.20) suy ra tính kết hợp của phép toán trong BF . Do (2.21) phần tử đơn vị của phép cộng trong BF là (0, 1), và phần tử đối −1 −1 của (a, x) ∈ BF là (b, x ) ∈ BF , với b là phần tử sao cho F (x)(b) = −a + f(x, x ). Đồng cấu liên hợp ψ :Π → AutG/InG được xác định bởi ψ(x) = [à(0,x)]. Bằng phép tính đơn giản ta có à(0,x)(a, 1) = (F (x)(a), 1). Đồng nhất G với ảnh iG ta được ψ(x) = [F (x)]. 0 Bước 2: F và F đồng luân khi và chỉ khi EF và EF 0 tương đẳng. 0 0 Giả sử F, F : Dis Π → AutG là hai hàm tử monoidal với đồng luân α : F → F . Khi đó, theo định nghĩa của mũi tên monoidal, biểu đồ sau giao hoán F (x) ⊗ F (y) Fe - F (xy) αx⊗αy αxy ? ? 0 F 0(x) ⊗ F 0(y) Fe - F 0(xy). Nghĩa là 0 Fex,y + αxy = αx ⊗ αy + Fex,y, hay 0 0 f(x, y) + αxy = αx + F (x)(αy) + f (x, y). (2.22) Bây giờ, ta đặt β : BF → BF 0 , (a, x) 7→ (a + αx, x). Lưu ý rằng 0 , và áp dụng (2.22) ta chứng minh được là một đồng cấu. F (x) = àαx ◦ F (x) β Hơn nữa, nó là một đẳng cấu làm cho biểu đồ sau giao hoán i p EF : 0 / G / BF / Π / 1 β i0 p0 EF 0 : 0 / G / BF 0 / Π / 1, 50
nghĩa là EF và EF 0 tương đẳng. Chiều ngược lại của mệnh đề có thể thu được theo lập luận ngược lại từng bước. Với Bước 2 này, dễ thấy tương ứng ∆ : [F ] 7→ [EF ] là một đơn ánh. Bước 3: Chứng minh ∆ là toàn ánh. Giả sử ta có một mở rộng nhóm p E : 0 → G →i B → Π → 1, liên hợp với đồng cấu ψ :Π → AutG/InG. Với mỗi x ∈ Π, ta chọn một đại diện ux trong B, nghĩa là p(ux) = x. Đặc biệt, chọn u1 = 0. Khi đó, các phần tử của B được biểu diễn duy nhất dưới dạng a + ux, với a ∈ G, x ∈ Π, và ux + a = àux (a) + ux. Vì tổng ux + uy nằm trong cùng một lớp với uxy, nên tồn tại duy nhất phần tử f(x, y) ∈ G sao cho ux + uy = f(x, y) + uxy. Hàm f chính là một hệ nhân tử của mở rộng E. Nó thỏa mãn các hệ thức: (2.23) àux [f(y, z)] + f(x, yz) = f(x, y) + f(xy, z), x, y, z ∈ Π. f(x, 1) = f(1, y) = 0. (2.24) Ta xây dựng một hàm tử monoidal : Dis bằng cách đặt , F = (F, Fe) Π → AutG F (x) = àux Fex,y = f(x, y). Rõ ràng, các hệ thức (2.23), (2.24) chứng tỏ rằng (F, Fe) là một hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù. Bây giờ ta chứng minh Định lý 2.18. Cho hạt nhân trừu tượng (Π, G, ψ). Với mỗi x ∈ Π ta chọn ϕ(x) ∈ ψ(x) thỏa mãn 2 ϕ(1) = idG. Họ các ϕ(x) cảm sinh hàm f :Π → G thỏa mãn hệ thức (2.14). Cặp (ϕ, f) cảm sinh một cản trở k ∈ Z3(Π,ZG) bởi hệ thức (2.15). Đặt F (x) = ϕ(x) ta được một hàm tử DisΠ → AutG. Gọi Aut In là nhóm phạm trù thu gọn của . Thế thì cảm sinh S = ( G/ G, ZG, h) AutG F cặp đồng cấu nhóm (ψ, 0) : (Π, 0) → (AutG/InG, ZG), và theo (2.2) thì một cản trở của hàm tử F là ψ∗h. Theo Mệnh đề 2.15, ψ∗h = k, nghĩa là cái cản trở của hạt nhân trừu tượng (Π, G, ψ) trùng với cái cản trở của hàm tử F . Từ đó, theo Định lý 2.6, (Π, G, ψ) có mở rộng khi và chỉ khi cái cản trở của nó triệt tiêu. Theo Định lý 2.7 tồn tại song ánh 2 Hom(ψ,0)[DisΠ, AutG] ↔ H (Π,ZG), 51
do π0(DisΠ) = Π, π1(AutG) = ZG. Cùng với Định lý 2.19 ta có: Ext(Π, G, ψ) ↔ H2(Π,ZG). Định lý 2.18 được chứng minh. Kết luận của Chương 2 Trong chương này chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây: • Mô tả và phân lớp các hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f) giữa các nhóm phạm trù kiểu (Π,A). • Phân lớp các nhóm phạm trù, nhóm phạm trù bện nhờ các kết quả về các hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f). • Phân lớp các nhóm phạm trù bện phân bậc bằng phương pháp hệ nhân tử. • Chứng minh mỗi nhóm phạm trù tương đương với một nhóm phạm trù chặt chẽ và giải bài toán mở rộng nhóm cổ điển nhờ các kết quả về các hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f). 52
Chương 3 Nhóm phạm trù chặt chẽ và mở rộng nhóm kiểu môđun chéo R. Brown và C. Spencer đã chỉ ra rằng phạm trù các môđun chéo là tương đương với phạm trù các G-groupoid (Định lý 1 [8]). Trong chương này, chúng tôi không chỉ biểu diễn kết quả trên bằng ngôn ngữ của lý thuyết nhóm phạm trù mà còn nghiên cứu mối liên hệ giữa các đồng cấu môđun chéo và các hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù chặt chẽ liên kết (các Bổ đề 3.2, 3.3). Từ đó, thu được định lý phân lớp các môđun chéo (Định lý 3.4), là mở rộng của Định lý 1 [8]. Hơn nữa, bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo được giải quyết bởi R. Brown và các cộng sự trong [9, 10] nhờ phương pháp phức chéo đã được chúng tôi chứng minh bằng một phương pháp khác, sử dụng lý thuyết cản trở của của hàm tử monoidal và được xem như là một ứng dụng của lý thuyết nhóm phạm trù (các Định lý 3.6, 3.7). Với cách tiếp cận này, chúng tôi không chỉ thu lại được kết quả của bài toán mở rộng nhóm mà còn có thể áp dụng được cho một số loại bài toán mở rộng khác (xem Chương 4, Chương 5). Các kết quả của chương này được viết dựa theo [40]. 3.1 Nhóm phạm trù liên kết với một môđun chéo Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa môđun chéo trên các nhóm của J. H. C. White- head [43]. Tuy nhiên, ở đây chúng tôi đã thay đổi cách phát biểu để phù hợp cho việc sử dụng trong các tính toán về sau. Định nghĩa [43]. Một môđun chéo là một bộ bốn M = (B, D, d, θ) trong đó d : B → D, θ : D → AutB là các đồng cấu nhóm thỏa mãn các hệ thức sau: C1. θd = à, C2. d(θx(b)) = àx(d(b)), x ∈ D, b ∈ B, 53
trong đó àx là tự đẳng cấu trong sinh bởi x. Để cho tiện, môđun chéo (B, D, d, θ) đôi khi còn được ký hiệu bởi B →d D, hoặc đơn giản là B → D và ta sẽ ký hiệu các phép toán trong B là phép cộng, phép toán trong D là phép nhân. Một số ví dụ điển hình về môđun chéo có thể kể đến là: i) (B, D, i, θ0), trong đó i : B → D là đồng cấu bao hàm của một nhóm con chuẩn tắc, θ0 được cho bởi liên hợp. ii) (B, D, 0, θ), trong đó 0 : B → D là đồng cấu không, B là D-môđun và θ là tác động môđun. iii) (B, Aut B, à, id), với à : A → AutB là ánh xạ tự đẳng cấu trong của nhóm B. Mô đun chéo này được gọi là môđun chéo các tự đẳng cấu của nhóm B. iv) (B, D, p, θ0), trong đó p : B → D là toàn cấu nhóm với hạt nhân chứa trong tâm của B, θ0 được cho bởi liên hợp. Các tính chất sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của môđun chéo. Mệnh đề 3.1. Cho môđun chéo M = (B, D, d, θ). Khi đó: i) Kerd ⊂ Z(B), ii) Imd là nhóm con chuẩn tắc trong D, iii) đồng cấu θ cảm sinh đồng cấu ϕ : D → Aut(Kerd) cho bởi ϕx = θx|Kerd, iv) Kerd là Cokerd-môđun trái với tác động sa = ϕx(a), a ∈ Kerd, x ∈ s ∈ Cokerd. Theo R. Brown và C. Spencer, mỗi môđun chéo có thể được xem như một G-groupoid (chính là nhóm phạm trù chặt chẽ) [8]. Đây cũng chính là nhận xét của A. Joyal và R. Street trong [22]. Để tiện sử dụng cho những phần sau, chúng tôi trình bày chi tiết kết quả này theo ngôn ngữ của nhóm phạm trù. Nghĩa là, nếu cho trước một môđun chéo thì có thể xây dựng được một nhóm phạm trù chặt chẽ, và ngược lại. Với mỗi môđun chéo (B, D, d, θ) ta có thể xây dựng được một nhóm phạm trù chặt chẽ , gọi là nhóm phạm trù liên kết với môđun chéo , như sau. PB→D := P B → D ObP = D, Hom(x, y) = {b ∈ B/x = d(b)y}, với hai vật x, y ∈ D. Hợp thành của các mũi tên được cho bởi (x →b y →c z) = (x b→+c z). 54
Phép toán tenxơ trên các vật được cho bởi phép nhân trong nhóm D, và với hai mũi tên 0 (x →b y), (x0 →b y0) thì 0 b+θ b0 (x →b y) ⊗ (x0 →b y0) = (xx0 −→y yy0). (3.1) Từ định nghĩa của môđun chéo có thể kiểm tra rằng với cách xác định này P là một nhóm phạm trù với các ràng buộc được xác định đều là chặt chẽ. Ngược lại, với nhóm phạm trù chặt chẽ (P, ⊗) ta có thể xác định một môđun chéo liên kết như sau. Lấy MP = (B, D, d, θ) b D = ObP,B = {x −→ 1|x ∈ D}. Các phép toán trên D và B lần lượt cho bởi xy = x ⊗ y, b + c = b ⊗ c. Khi đó D là nhóm với đơn vị 1, nghịch đảo của x là x−1 (x ⊗ x−1 = 1). B là nhóm với đơn vị là mũi tên (1 −→id1 1) và nghịch đảo của mũi tên (x −→b 1) là mũi tên (x−1 −→b 1), với b ⊗ b = id1. Các đồng cấu d : B → D và θ : D → Aut B lần lượt cho bởi d(x −→b 1) = x, id +b+id b −1 y y−1 θy(x −→ 1) = (yxy −−−−−−−→ 1). Dễ thử lại rằng (B, D, d, θ) xác định như trên là một môđun chéo. 3.2 Phân lớp các môđun chéo Để thu được định lý phân lớp các môđun chéo, trước hết chúng tôi nghiên cứu về mối liên hệ giữa các đồng cấu môđun chéo và các hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù liên kết tương ứng. Dưới đây, chúng tôi nhắc lại định nghĩa đồng cấu môđun chéo theo R. Brown và O. Mucuk [9]. 0 0 0 0 Định nghĩa [9]. Một đồng cấu (f1, f0):(B, D, d, θ) → (B ,D , d , θ ) giữa hai môđun chéo 0 0 bao gồm các đồng cấu nhóm f1 : B → B , f0 : D → D thỏa mãn: 0 H1. f0d = d f1, H . f (θ b) = θ0 f (b), 2 1 x f0(x) 1 với mọi x ∈ D, b ∈ B. Bổ đề dưới đây chỉ ra rằng mỗi đồng cấu môđun chéo cảm sinh một hàm tử giữa các nhóm phạm trù liên kết, và điều kiện để hàm tử cảm sinh đó là một hàm tử monoidal. 55
0 0 0 0 Bổ đề 3.2. Cho đồng cấu giữa các môđun chéo (f1, f0):(B, D, d, θ) → (B ,D , d , θ ). Gọi P, P0 là hai nhóm phạm trù liên kết lần lượt với các môđun chéo (B, D, d, θ) và (B0,D0, d0, θ0). Khi đó: Tồn tại một hàm tử 0 xác định bởi với , i) F : P → P F (x) = f0(x),F (b) = f1(b), x ∈ ObP b ∈ MorP. ii) Đẳng cấu tự nhiên Fex,y : F (x)F (y) → F (xy) cùng với F là một hàm tử monoidal khi 2 0 và chỉ khi Fex,y = ϕ(x, y) với ϕ ∈ Z (Coker d, Ker d ). b Chứng minh. i) Với (x → y) là một mũi tên trong P thì b f1(b) F (x → y) = f0(x) → f0(y) là một mũi tên trong P0. Thật vậy, theo cách xác định mũi tên trong phạm trù xây dựng bởi một môđun chéo, ta có x = d(b)y. Do f0 là một đồng cấu nhóm nên (H1) 0 f0(x) = f0(d(b))f0(y) = d (f1(b))f0(y), nghĩa là là một mũi tên trong 0. F (b) = f1(b) P Hơn nữa, dễ thấy , và với mọi 0 Mor , do là đồng cấu nên ta có F (idx) = idF (x) b, b ∈ P f1 0 0 0 0 0 F (b ◦ b ) = F (b + b ) = f1(b + b ) = f1(b) + f1(b ) = F (b) ◦ F (b ). Vậy F xác định như trong bổ đề là một hàm tử. ii) Giả thiết các đồng cấu nhóm f1, f0 thỏa mãn H2 là tương đương với đẳng thức F (b ⊗ c) = F (b) ⊗ F (c), b c với hai mũi tên (x → x0) và (y → y0) trong P. Mặt khác, do f0 là đồng cấu và F (x) = f0(x) nên Fex,y : F (x)F (y) → F (xy) là mũi tên trong nên khi và chỉ khi 0 0, nghĩa là P d (Fex,y) = 1 0 0 Fex,y ∈ Kerd ⊂ Z(B ). Khi đó tính tự nhiên của (F, Fe), tức là tính giao hoán của biểu đồ Fex,y F (x)F (y) - F (xy) F (b)⊗F (c) F (b⊗c) ? ? F (x0)F (y0) - F (x0y0) Fex0,y0 0 0 là tương đương với hệ thức Fex,y = Fex0,y0 , với x = (db)x , y = (dc)y . Điều này xác định một hàm ϕ : Coker d ì Coker d → Ker d0 bởi ϕ(x, y) = Fex,y. 56
Do F (1) = 10 nên tính tương thích của (F, Fe) với các ràng buộc đơn vị tương đương với tính chuẩn tắc của ϕ. Tính tương thích của (F, Fe) với các ràng buộc kết hợp tương đương với hệ thức 0 θF (x)(Fey,z) + Fex,yz = Fex,y + Fexy,z, và do đó xϕ(y, z) + ϕ(x, y z) = ϕ(x, y) + ϕ(x y, z), trong đó tác động của Coker d lên Ker d0 được cảm sinh chính tắc bởi tác động của Coker d0 0 0 0 2 0 lên Ker d nhờ đồng cấu f0: xb = f0(x)b . Bởi vậy, ϕ ∈ Z (Coker d, Ker d ). Do Bổ đề 3.2 ta có thể xác định phạm trù Cross d có vật là các môđun chéo, còn mũi tên là các bộ ba (f1, f0, ϕ), trong đó (f1, f0):(B → 0 D) → (B0 →d D0) là một đồng cấu môđun chéo và ϕ ∈ Z2(Cokerd, Kerd0). Phép hợp thành 0 00 với mũi tên 0 0 0 0 d 0 00 d 00 được cho bởi (f1, f0, ϕ ):(B → D ) → (B → D ) 0 0 0 0 0 0 ∗ 0 (f1, f0, ϕ ) ◦ (f1, f0, ϕ) = (f1f1, f0f0, (f1)∗ϕ + f0 ϕ ). Định nghĩa. Hàm tử monoidal (F, Fe): P → P0 được gọi là chính qui nếu F bảo toàn phép toán ⊗, nghĩa là: S1.F (x) ⊗ F (y) = F (x ⊗ y), S2.F (b) ⊗ F (c) = F (b ⊗ c), với x, y ∈ ObP, b, c ∈ MorP. Bổ đề dưới đây chỉ ra rằng mỗi hàm tử monoidal chính qui giữa các nhóm phạm trù liên kết xác định một mũi tên trong phạm trù Cross. Bổ đề 3.3. Giả sử P và P0 là hai nhóm phạm trù chặt chẽ lần lượt liên kết với các môđun chéo (B, D, d, θ) và (B0,D0, d0, θ0), (F, Fe): P → P0 là một hàm tử monoidal chính qui. Khi đó, bộ ba (f1, f0, ϕ), trong đó f1(b) = F (b), f0(x) = F (x), ϕ(x, y) = Fex,y, với b ∈ B, x ∈ D, x ∈ Coker d, là một mũi tên trong phạm trù Cross. Chứng minh. Do điều kiện S1 nên f0 là một đồng cấu nhóm. Do F bảo toàn phép hợp thành các mũi tên nên f1 là một đồng cấu nhóm. b Mỗi phần tử b ∈ B có thể được xem như là một mũi tên (db → 1) trong P và do đó F (b) 0 là một mũi tên trong 0, nghĩa là ta có : 0 với mọi (F (db) → 1 ) P H1 f0(d(b)) = d (f1(b)), b ∈ B. 57
Theo phép chứng minh Bổ đề 3.2, do f1 là đồng cấu thỏa mãn S2 nên ta có H2. Như vậy, cặp (f1, f0) là một đồng cấu của các môđun chéo. 0 0 Bây giờ, theo Bổ đề 3.2, Fex,y ∈ Ker d ⊂ Z(B ), và nó xác định một hàm ϕ ∈ 2 0 Z (Cokerd, Kerd ) bởi ϕ(x, y) = Fex,y. Ký hiệu Grstr là phạm trù có các vật là các nhóm phạm trù chặt chẽ và mũi tên là các hàm tử monoidal chính qui. Ta thu được định lý sau đây về sự phân lớp phạm trù các môđun chéo. Định lý 3.4 (Định lý phân lớp). Tồn tại một tương đương Φ: Cross → Grstr, (B → D) 7→ PB→D (f1, f0, ϕ) 7→ (F, Fe) trong đó F (x) = f0(x),F (b) = f1(b), Fex,y = ϕ(x, y), với x, y ∈ D, b ∈ B. Chứng minh. Giả sử P, P0 lần lượt là các nhóm phạm trù liên kết với các môđun chéo 0 0 B → D, B → D . Theo Bổ đề 3.2, tương ứng (f1, f0, ϕ) 7→ (F, Fe) xác định một đơn ánh trên các tập Hom: 0 0 Φ : HomCross(B → D, B → D ) → HomGrstr(PB→D, PB0→D0 ). Theo Bổ đề 3.3 thì Φ toàn ánh. Nếu là một nhóm phạm trù chặt chẽ, và là mođun chéo liên kết với nó thì P MP (không chỉ là đẳng cấu). Vậy là một tương đương. Φ(MP) = P Φ Nhận xét. Định lý 1 [8] của R. Brown và C. Spencer khẳng định rằng phạm trù G các G-groupoid và phạm trù C các môđun chéo là tương đương. Ta thấy rằng phạm trù G là phạm trù con của phạm trù Grstr mà mũi tên chỉ gồm những hàm tử monoidal (F, Fe) có Fe = id. Phạm trù C là phạm trù con của phạm trù Cross gồm những mũi tên (f1, f0, ϕ) với ϕ = 0. Bởi vậy Định lý 3.4 là chứa Định lý 1 [8]. 3.3 Bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo: lý thuyết cản trở và định lý phân lớp Trước hết, chúng ta nhắc lại khái niệm mở rộng nhóm kiểu môđun chéo theo [9] (cũng xem [46, 42]). 58
Định nghĩa [9]. Cho M = (B →d D) là một môđun chéo và Q là một nhóm. Một mở rộng của B bởi Q kiểu M là một biểu đồ các đồng cấu nhóm j p E : 0 / B / E / Q / 1, ε d B / D trong đó dòng trên là khớp, hệ (B, E, j, θ0) là một môđun chéo với θ0 là phép lấy liên hợp, và (idB, ε) là một đồng cấu của các môđun chéo. Hai mở rộng của B bởi Q kiểu môđun chéo B −→d D được gọi là tương đương nếu biểu đồ sau giao hoán j p ε E : 0 / B / E / Q / 1, E / D α j0 p0 ε0 E 0 : 0 / B / E0 / Q / 1, E0 / D và ε0α = ε. Hiển nhiên α là một đẳng cấu. Trong biểu đồ j p 0 / B / E / Q / 1, (3.2) ε ψ d q B / D / Cokerd do dòng trên là khớp và do q ◦ ε ◦ j = q ◦ d = 0 nên có một đồng cấu ψ : Q → Cokerd sao cho hình vuông thứ hai giao hoán. Hơn nữa, ψ chỉ phụ thuộc vào lớp tương đương của mở rộng E. Khi đó, ta nói mở rộng E cảm sinh đồng cấu ψ. Mục đích của chúng tôi là nghiên cứu tập ExtB→D(Q, B, ψ) các lớp tương đương các mở rộng của B bởi Q kiểu môđun chéo B → D, cảm sinh ψ : Q → Cokerd. Một số phép chứng minh khác của định lý phân lớp đối với các mở rộng này có thể được tìm thấy trong [9] (Định lý 5.2) hoặc [11] (Chương 2, mục 2.5). Bây giờ, chúng tôi sẽ sử dụng lý thuyết cản trở của các hàm tử monoidal để chứng minh kết quả về sự tồn tại và phân lớp các mở rộng loại này. Trong đó, kết quả phân lớp thu được như là một hệ quả của Lý thuyết Schreier (Định lý 3.6) nhờ các hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù chặt chẽ và , với là nhóm phạm trù kiểu (và Dis Q PB→D Dis Q (Q, 0, 0) cũng chính là nhóm phạm trù liên kết với môđun chéo (0, Q, 0, 0)). Kỹ thuật được chúng tôi sử dụng trong phần này là kỹ thuật hệ nhân tử đối với các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo. Bổ đề dưới đây cho chúng ta thấy các hàm tử monoidal Dis Q → P là hệ dữ liệu phù hợp để xây dựng các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo. 59