›

Khóa luận Tìm hiểu phương pháp ma trận và phương pháp nhiễu loạn trong cơ học lượng tử

pdf 50 trang thiennha21 15/04/2022 4221
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Tìm hiểu phương pháp ma trận và phương pháp nhiễu loạn trong cơ học lượng tử", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_tim_hieu_phuong_phap_ma_tran_va_phuong_phap_nhieu.pdf

Nội dung text: Khóa luận Tìm hiểu phương pháp ma trận và phương pháp nhiễu loạn trong cơ học lượng tử

  1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT NGUYỄN THỊ DINH TÌM HIỂU PHƢƠNG PHÁP MA TRẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN TRONG CƠ HỌC ƢỢNG TỬ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017
  2. LỜI CẢM ƠN Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã dạy dỗ chỉ bảo và truyền đạt kiến thức cho em trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trƣờng cũng nhƣ trong quá trình thực hiện khóa luận này. Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn cô giáo: PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh đã tận tình hƣớng dẫn giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này. Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhậnđƣợc những đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 28 tháng4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Dinh
  3. LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài khóa luận này là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân với sự giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo: PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh. Công trình này không trùng lặp với các kết quả luận văn của các tác giả. Nếu sai sót em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày 28 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Dinh
  4. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đ ch nghi n cứu 2 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 5. Phƣơng pháp nghi n cứu 2 6. Cấu trúc khóa luận 2 CHƢƠNG 1: CÁC CƠ SỞ CỦA CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 3 1.1.Lƣỡng tính sóng-hạt của hạt vi mô và nguyên lý bất định Heisenberg 3 1.1.1.Lƣỡng tính sóng hạt của hạt vi mô 3 1.1.2.Hệ thức bất định Heisenberg 6 1.1.3.Nội dung của nguyên lý bất định 8 1.1.4.Ý nghĩa của nguyên lý bất định 8 1.2.Nguyên lí chồng chất các trạng thái. 9 1.3.Hàm sóng của hạt vi mô 10 1.3.1.Định nghĩa hàm sóng 10 1.3.2.Các tính chất của hàm sóng. 10 1.3.3.Ví dụ về hàm sóng 11 1.3.4.Hàm sóng của hệ N hạt 11 1.3.5.Trung bình của một đại lƣợng vật lý 11 1.3.6. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng. 12 1.4. Phƣơng trình Schrodinger 13 1.4.1.Phƣơng trình Schrodinger dừng 13 1.4.2.Phƣơng trình Schrodinger thời gian 13 1.4.3.Tính chất của phƣơng trình Schrodinger 14
  5. 1.5. Vai trò của cơ học cổ điển 14 1.5.1. Cơ học cổ điển là giới hạn của cơ học lƣợng tử 14 1.5.2. Cơ học cổ điển là cơ sở của cơ học lƣợng tử 15 KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 16 CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP MA TRẬN 17 2.1. Toán tử và ma trận 17 2.2. Biểu diễn của toán tử 21 2.2.1. Khái niệm về biểu diễn của toán tử 21 2.2.2. Tính chất của biểu diễn của toán tử 23 2.3. Hệ phƣơng trình ma trận 23 2.3.1. Hệ phƣơng trình ma trận và sự tƣơng đƣơng với phƣơng trình trị riêng 23 2.3.2. Dạng vecto của phƣơng trình ma trận 25 2.4. Tính chất của ma trận của các toán tử 26 2.5. Spinor và ma trận Pauli 26 2.6. Biểu diễn ma trận của toán tử spin của electron 27 KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 32 CHƢƠNG 3: PHƢƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN 33 3.1. Mở đầu 33 3.2. Trƣờng hợp nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian 34 (0) 3.2.1. Trƣờng hợp mức năng lƣợng En không suy biến 34 (0) 3.2.2. Trƣờng hợp mức năng lƣợng En suy biến 38 KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 43 KẾT LUẬN CHUNG 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45
  6. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cơ học lƣợng tử ra đời vào đầu thế kỷ 20 và trở thành một lý thuyết vật lý đƣợc thừa nhận vào cuối thập kỉ 20 của thế kỉ 20. Hiện nay cơ học lƣợng tử đã trở thành một lý thuyết chủ yếu của vật lý hiện đại. Cơ học lƣợng tử nghiên cứu các tính chất của các hạt vi mô và các quy luật chi phối các hạt vi mô. Hạt vi mô là hạt có k ch thƣớc nhỏ, cỡ 10-6 m hoặc nhỏ hơn. Ngày nay, khi công nghệ và kĩ thuật hiện đại có thể tạo ra các thiết bị có k ch thƣớc cỡ nano mét (10-9 m), vai trò của cá thể một hạt vi mô trở nên quyết định thì cơ học lƣợng tử ngày càng quan trọng. Rất nhiều các công nghệ hiện đại sử dụng các thiết bị có k ch thƣớc mà ở đó hiệu ứng lƣợng tử rất quan trọng. Ví dụ nhƣ là laser, transistor, hiển vi điện tử, và ảnh cộng hƣởng từ hạt nhân. Nghiên cứu về chất bán dẫn dẫn đến việc phát minh ra các đi-ốt và transistor, đó là những linh kiện điện tử không thể thiếu trong xạ hội hiện đại. Việc giải bài toán trong cơ học lƣợng tử đều quy về việc giải phƣơng trình Schodinger để tìm năng lƣợng và hàm sóng. Trong điều kiện l tƣởng thì ta hoàn toàn có thể giải đƣợc dễ dàng. Nhƣng trong thực tế việc giải phƣơng trình này gặp nhiều khó khăn và phức tạp. Do vậy ta phải sử dụng phƣơng pháp gần đúng để phƣơng trình schodinger đƣợc giải một cách dễ dàng và ch nh xác hơn. Phƣơng pháp đó gọi là phƣơng pháp nhiễu loạn. Để giải đƣợc các bài toán cơ học lƣợng tử , chúng ta cần phải hiểu và nắm vững đƣợc các toán tử cũng nhƣ các biểu diễn của nó. Và biểu diễn ma trận của các toán tử là một vấn đề hay và hữu ích khi tìm hiểu về toán tử, giúp ta giải một số bài toán trong cơ học lƣợng tử một cách thuận lợi. 1
  7. Với l do đã trình bày, tôi quyết định chọn đề tài “ Tìm hiểu phƣơng pháp ma trận và phƣơng pháp nhiễu loạn trong cơ học lƣợng tử ” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đ ch nghi n cứu Giải các bài toán trong cơ học lƣợng tử một cách thuận lợi và chính xác. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp ma trận và phƣơng pháp nhiễu loạn trong cơ học lƣợng tử. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Giải bài toán bằng phƣơng pháp ma trận - Giải bài toán bằng phƣơng pháp nhiễu loạn . Phƣơng pháp nghi n cứu - Đọc tài liệu và tra cứu - Tham khảo ý kiến giáo vi n hƣớng dẫn - Sử dụng giải tích toán học. - Sử dụng phƣơng pháp toán lý trong vật lý lý thuyết. 6. Cấu tr c h uận - Phần 1: Mở đầu - Phần 2: Nội dung + Chƣơng1: Cơ sở của cơ học lƣợng tử + Chƣơng 2: Phƣơng pháp ma trận + Chƣơng 3: Phƣơng pháp nhiễu loạn - Phần 3: Kết luận - Phần 4: Tài liệu tham khảo 2
  8. CHƢƠNG 1: CÁC CƠ SỞ CỦA CƠ HỌC ƢỢNG TỬ Cơ học lƣợng tử thừa nhận một số nguyên lý, luận điểm làm cơ sở để xây dựng một lý thuyết hoàn chỉnh nhƣ các lý thuyết khác và từ đó nghi n cứu các tính chất của các hạt vi mô. Trong phần này chúng ta sẽ trình bày các cơ sở của cơ học lƣợng tử, gồm có: lƣỡng tính sóng-hạt của hạt vi mô và nguyên lý bất định Heisenberg, cơ học cổ điển, hàm sóng và phƣơng trình Schrodinger. 1.1. ƣỡng tính sóng-hạt của hạt vi mô và nguyên lý bất định Heisenberg 1.1.1.Lưỡng tính sóng hạt của hạt vi mô Chúng ta đã biết, hạt vi mô có lƣỡng tính sóng-hạt, chẳng hạn hạt photon trong những hiện tƣợng quang điện, bức xạ nhiệt biểu hiện tính chất hạt, nhƣng trong các hiện tƣợng giao thoa, nhiễu xạ, phân cực lại biểu hiện tính chất của sóng điện từ. Nhiều hiện tƣợng thực nghiệm cũng cho thấy các hạt vi mô khác đều có tính chất sóng. Chúng ta xét một số ví dụ đối với hạt electron. 1.1.1.1.Chuyển động của electron trong mô hình nguyên tử cổ điển Electron trong nguyên tử cổ điển đƣợc coi nhƣ một hạt trong mô hình nguyên tử của Bohr. Việc coi electron là hạt trong trƣờng hợp này dẫn đến những mâu thuẫn với các lý thuyết cổ điển: electron là hạt mang điện chuyển động xung quanh hạt nhân tƣơng đƣơng với một dòng điện biến thi n, do đó bức xạ sóng điện từ và mất dần năng lƣợng, nghĩa là giá trị vận tốc giảm dần, điều này tƣơng đƣơng với sự giảm khoảng cách từ electron đến hạt nhân và cuối cùng electron rơi vào hạt nhân, dẫn đến nguyên tử bị phá hủy. Từ đó suy ra rằng, không thể coi một cách đơn giản electron chỉ là hạt. Nhƣ chúng ta sẽ thấy ở dƣới, việc coi electron có tính chất sóng sẽ khắc phục đƣợc nghịch lý này. 3
  9. 1.1.1.2.Hiệu ứng đường ngầm Xét chuyển động của một hạt có khối lƣợng bằng m chuyển động từ trái sang phải tới một hàng rào thế có độ cao bằng U (hình 1.1) U U0 m E 1 2 3 a 0 Hình 1.1 Nếu coi hạt không có t nh sóng, trƣớc khi tới hàng rào thế (miền 1: U=0) năng lƣợng E của hạt E=T+U=T, tức bằng động năng T. Trong miền 2: U=U0 và E<U; để thỏa mãn hệ thức E=T+U động năng T phải âm (T<0) là điều vô lý. Có nghĩa là tại biên của hàng rào thế (giữa miền 1 và miền 2) thì T=0, hạt dừng lại, chuyển động theo chiều ngƣợc lại và không thể đi xuy n qua hàng rào thế. Nói tóm lại nếu hạt chuyển động với động năng nhỏ hơn độ cao của hàng rào thế năng (T<U0) thì nó không thể đi qua hàng rào thế năng (từ miền 1 qua miền 2 sang miền 3) Tuy nhiên nhiều hiện tƣợng thực nghiệm đã xác nhận là trong trƣờng hợp này hạt có thể vƣợt qua hàng rào thế để sang miền 3. Hiện tƣợng hạt chuyển động với động năng nhỏ hơn độ cao của hàng rào thế năng có thể đi qua hàng rào thế năng gọi là hiệu ứng đƣờng ngầm. 4
  10. Lý thuyết lƣợng tử coi hạt có tính chất sóng đã giải th ch đƣợc hiện tƣợng thực nghiệm nêu trên. Tính toán cho thấy hệ số truyền qua D của hạt từ miền 1 sang miền 3 đƣợc xác định bởi công thức: D exp 2 a / 2 m U E 0 -10 Với bề dày hàng rào thế a vào cỡ 10 m, hiệu năng lƣợng (U0-E) vào cỡ 7,5.10-19J, áp dụng công thức trên cho electron, hệ số truyền qua xấp xỉ 0,1. Chúng ta thấy khả năng xuy n qua hàng rào thế theo hiệu ứng đƣờng ngầm là không nhỏ. 1.1.1.3.Nhiễu xạ electron Chiếu chùm electron qua một khe hẹp K và hứng trên màn huỳnh quang M. Chúng ta thấy trên màn huỳnh quang hình ảnh phân bố cƣờng độ sáng giống nhƣ hình ảnh phân bố cƣờng độ sáng trong hiện tƣợng nhiễu xạ ánh sáng (hình 1.2a) e e K M K M Hình 1.2a Hình 1.2b Để khẳng định hình ảnh nhiễu xạ trên không phải do tƣơng tác của electron với biên của khe K, ngƣời ta thực hiện thí nghiệm nhiễu xạ electron với 2 khe (hình 1.2b) và trên màn M là hình ảnh nhiễu xạ qua hai khe nhƣ trong nhiễu xạ ánh sáng. 5
  11. Kết quả trên chỉ có thể giải th ch đƣợc nếu coi electron có tính chất sóng. Với các hạt vi mô khác cũng có kết quả tƣơng tự. De Broglie đã coi hạt vi mô tự do tƣơng ứng với một sóng gọi là sóng De Broglie. Một hạt vi mô có năng lƣợng E và động lƣợng p tƣơng ứng với một sóng đơn sắc có tần số f và bƣớc sóng λ theo các quan hệ sau: E=hf (1.1a) p=h/λ (1.1b) 1.1.2.Hệ thức bất định Heisenberg Từ hiện tƣợng nhiễu xạ electron có thể dẫn ra một dạng hệ thức bất định Heisenberg nhƣ là một biểu hiện của tính chất sóng của electron. Khi chƣa chú ý hiện tƣợng nhiễu xạ, electron chuyển động theo phƣơng y, do vậy vx=0; vy=v. Khi có nhiễu xạ: vx≠0 ; Δvx=vx Công thức cực tiểu nhiễu xạ (hình 1.3): sinφ=kλ/b ; sinφmin=λ/b=λ/(2Δx) trong đó k=1 ứng với góc nhiễu xạ cực tiểu; sai số tọa độ theo phƣơng x bằng một nửa độ rộng b của khe (Δx=b/2). x b φ e y K M Hình 1.3 6
  12. Với các góc nhiễu xạ nhỏ mà ta còn quan sát đƣợc ảnh nhiễu xạ, chúng ta có: sinφ≈tgφ=vx/vy=Δvx/v Suy ra: Δvx/v≈sinφ≥sinφmin=λ/(2Δx) Do đó ΔxΔvx≥vλ/2 Thay v=p/m ; Δvx=Δpx/m ; p=h/λ Cuối cùng: Δx.Δpx≥h/2 T nh toán ch nh xác chúng ta đƣợc: Δx.Δpx≥ℏ/2 (1.2a) Một cách tƣơng tự bằng cách thay đổi kí hiệu x thành y hoặc z: ∆y.∆py≥ℏ/2 (1.2b) ∆z.∆pz≥ℏ/2 (1.2c) Các hệ thức (1.2) là các hệ thức bất định Heisenberg cho tọa độ và động lƣợng, đƣợc Heisenberg đƣa ra năm 1927. Ý nghĩa của hệ thức bất định: từ các hệ thức (1.2) chúng ta thấy tọa độ và động lƣợng không thể đồng thời xác định chính xác. Nếu trong một trạng thái nào đó, động lƣợng px có giá trị xác định, thì tọa độ x của trạng thái đó hoàn toàn bất định, ngƣợc lại tọa độ xác định thì xung lƣợng bất định. Hệ thức bất định có vai trò rất quan trọng trong vật lý hiện đại cũng nhƣ trong công nghệ tiên tiến. Hàng loạt các lĩnh vực đã ứng dụng hệ thức bất định để đánh giá khả năng tối đa của mình. Chúng ta có thể kể một vài ví dụ nhƣ: Độ phân giải của truyền hình mật độ cao chỉ có thể đạt tới một giá trị cực đại nào đó, vì mật độ của các điểm hình càng cao thì số dòng quét càng lớn và muốn nhƣ thế thì thời gian giành cho một xung sẽ nhỏ, đi làm cho sai số về 7
  13. năng lƣợng càng lớn. Điều đó làm cho các màu bị nhòe đi vì độ đơn sắc kém đi. Trong thông tin kĩ thuật số, tải thông tin tăng l n kéo theo tiếng ồn tăng lên, bởi vì tải thông tin tăng thì thời gian dành cho một xung giảm đi, dẫn đến sai số năng lƣợng tăng. Điều này dẫn đến việc làm tăng sai số của tần số, kéo theo làm tăng tiếng ồn. Trong kĩ thuật xung, muốn tạo đƣợc các xung sắc nét, cần phải làm nhòe năng lƣợng và ngƣợc lại. 1.1.3.Nội dung của nguyên lý bất định Trong cơ học cổ điển quỹ đạo hoàn toàn xác định trạng thái của hạt ở mọi thời điểm. Căn cứ vào quỹ đạo của hạt chúng ta có thể chỉ ra tọa độ và vận tốc của hạt ở bất kì thời điểm nào. Tuy nhi n đối với hạt vi mô, vì có độ bất định về tọa độ và động lƣợng (hoặc vận tốc) chúng ta sẽ có một tập vô số các quỹ đạo có thể của vi hạt mà không thể khẳng định là hạt chuyển động theo quỹ đạo nào. Vì thế “Không thể xác định trạng thái của hạt vi mô bằng quỹ đạo”. Đó ch nh là nguy n lý bất định Heisenberg. 1.1.4.Ý nghĩa của nguyên lý bất định Sở dĩ trạng thái của hạt vi mô không thể xác định bằng quỹ đạo chính là vì hạt có tính chất sóng thể hiện bởi hệ thức bất định Heisenberg mà chúng ta đã dẫn ra từ hiện tƣợng nhiễu xạ electron. Điều đó có nghĩa là nguy n lý bất định thể hiện rõ rệt tính chất sóng của vi hạt. Đó ch nh là ý nghĩa của nguyên lý bất định Heisenberg. Vậy thì khi nào hạt vi mô là sóng và khi nào là hạt? Dễ thấy rằng hạt vi mô bao giờ cũng vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt. Tuy nhiên việc biểu hiện ra tính chất sóng hay tính chất hạt phụ thuộc vào vật mà hạt vi mô tƣơng tác. V dụ trong hiện tƣợng nhiễu xạ electron thì hạt electron biểu hiện 8
  14. tính chất sóng, còn trong việc đo tọa độ của hạt khi hạt qua khe hẹp thì nó lại biểu hiện tính chất hạt. Điều đó có nghĩa là dù biết trạng thái của vi hạt ở thời điểm t, chúng ta không thể khẳng định ở điểm t‟>t hạt sẽ thể hiện tính chất nào và ở trạng thái nào. Tính chất của vi hạt chỉ đƣợc biểu hiện ra khi nó tƣơng tác với các vật xung quanh. 1.2.Nguyên lí chồng chất các trạng thái. Nguyên lí chồng chất các trạng thái là một luận điểm rất cơ bản của cơ học lƣợng tử. Nội dung của nguy n l nhƣ sau: Nếu một hệ lƣợng tử nào đó có thể ở trong các trạng thái đƣợc mô tả bởi hàm sóng1,  2 ,  3 , thì nó cũng có thể ở trong trạng thái đƣợc mô tả bởi tổ hợp tuyến tính bất kì của các hàm sóng đó:  ck k()  c k C k 1 Hàm  và hàm c ( c phức bất kì ≠ 0) cùng tƣơng ứng với một trạng thái của hệ. Từ các nội dung của nguy n lý này, chúng ta đƣa ra một số nhận xét qua trọng trong quá trình xây dựng n n môn cơ học lƣợng tử. Các trạng thái trong cơ học lƣợng tử khác một cách cơ bản với sự chồng chất các dao động của cơ học cổ điển, mà trong sự chồng chất đó sẽ dẫn đến một dao động mới có bi n độ lớn hơn hay nhỏ hơn các bi n độ của dao động thành phần. Ngoài ra, trong cơ học cổ điển có tồn tại các trạng thái nghỉ, tức là các trạng thái ứng với dao động ở khắp mọi nơi bi n độ dao động bằng không. Còn trong cơ học lƣợng tử, các hàm sóng không mô tả một sóng thực nào cả, ở nơi nào hàm sóng bằng 0 thì nơi đó không có mặt của hạt. Giả sử các hàm là nghiệm của phƣơng trình xác định các trạng thái của một hệ lƣợng tử, thì để cho nguyên lý chồng chất các trạng thái đƣợc thực hiện bắt buộc phƣơng trình đó phải tuyến tính. 9
  15. Nguyên lý chồng chất các trạng thái phản ánh một tính chất rất quan trọng của các hệ lƣợng tử mà không có sự tƣơng tự trong vật lý cổ điển. Nguyên lý chồng chất các trạng thái chỉ áp dụng trong không gian có k ch thƣớc dài không nhỏ hơn 10-13 cm. Việc áp dụng nguyên lý này cho không gian có k ch thƣớc dài nhỏ hơn chƣa đƣợc khẳng định. 1.3.Hàm sóng của hạt vi mô Hạt vi mô có tính chất sóng nên trạng thái của nó không thể mô tả bằng quỹ đạo. Vì vậy phải có cách tiếp cận khác. Ngƣời ta đã sử dụng hàm sóng để mô tả trạng thái của vi hạt, coi việc có tồn tại hàm sóng nhƣ là một cơ sở của cơ học lƣợng tử. 1.3.1.Định nghĩa hàm sóng Hàm sóng φ(x,y,z,t) là nghiệm của phƣơng trình sóng, tức phƣơng trình vi phân cấp II, sao cho/φ(x,y,z,t)/2dV là xác suất tìm thấy hạt trong dV lân cận điểm (x,y,z) ở thời điểm t. Định nghĩa tr n cho thấy hàm sóng mô tả trạng thái của vi hạt là một hàm sóng không chỉ thỏa mãn phƣơng trình sóng mà còn có tính xác suất là tính chất mà các sóng cổ điển không có. 1.3.2.Các tính chất của hàm sóng. 1.3.2.1.Liên tục, có đạo hàm bậc nhất liên tục, trừ trường hợp thế năng bằng vô cùng. 1.3.2.2.Hàm sóng thỏa mãn nguyên lý chồng chất Nếu các hàm sóng φ1(x,y,z,t) và φ2(x,y,z,t) mô tả các trạng thái của hạt thì hàm sóng φ(x,y,z,t)=c1φ1(x,y,z,t)+c2φ2(x,y,z,t) là tổ hợp tuyến tính của φ1(x,y,z,t) và φ2(x,y,z,t) cũng mô tả trạng thái của hạt. Các tính chất 1.3.2.1 và 1.3.2.2 thể hiện hàm sóng là nghiệm của phƣơng trình sóng. 1.3.2.3.Giới nội, đơn trị 10
  16. 2 1.3.2.4.Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng x, y , z , t dV 1 V 1.3.2.5.Nếu hàm sóng φ1(x,y,z,t) và φ2(x,y,z,t) mô tả trạng thái của hai phần độc lập của hệ thì hàm sóng φ(x,y,z,t)= φ1(x,y,z,t).φ2(x,y,z,t) mô tả trạng thái của hệ gồm hai phần nói trên. Các tính chất 1.3.2.3, 1.3.2.4 và 1.3.2.5 thể hiện tính xác suất của hàm sóng. 1.3.3.Ví dụ về hàm sóng Hàm sóng của một hạt tự do là hàm sóng phẳng đơn sắc gọi là sóng De Broglie i( kr  t ) i ( pr Et )/ (,,,)(,)x y z t r t 00 e e Vận tốc nhóm của sóng: EEEE    vn i j k p  px  p y  p z là vận tốc trùng với vận tốc của hạt Vận tốc pha của sóng: νph=ω/k=2πf/k ; k=2π/λ ; trong đó năng lƣợng E, động lƣợng p của hạt tự do quan hệ với các đặc trƣng của sóng De Broglie tƣơng ứng theo công thức (1.1) 1.3.4.Hàm sóng của hệ N hạt Hàm sóng của hệ N hạt có các tính chất nhƣ hàm sóng của một hạt, nhƣng phụ thuộc vào tọa độ của tất cả N hạt qi=(xi,yi,zi), i=1,2,3 ,N (,)q t (, q1 q 2 , q 3 , , qN ,) t 1.3.5.Trung bình của một đại lượng vật lý Trung bình Fˆ của một đại lƣợng vật lý F có thể tính theo hàm sóng φ(q,t) của hạt (hoặc hệ) bởi công thức sau: Fˆˆ * ()()() q F q q dq (1.6) 11
  17. Trong đó: Fˆ là toán tử tƣơng ứng với đại lƣợng F, sẽ đƣợc đề cập đến ở các phần sau. Giá trị trung bình Fˆ của địa lƣợng F tính theo công thức (1.6) chính là giá trị của đại lƣợng F xuất hiện trong trạng thái φ(q,t) và đƣợc gọi là trung bình lƣợng tử của đại lƣợng F. 1.3.6. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng. Năm 1926 M.Born đã đƣa ra giả thiết cho ý nghĩa của hàm sóng. Theo giả thiết này, cƣờng độ sóng De Broglie tại mỗi điểm của không gian, ở một thời điểm đã cho, tỉ lệ với xác suất tìm thấy hạt tại điểm đã cho của không gian đó. Nhƣ vậy, theo M.Born thì đại lƣợng: 2 ()()()q dq * q  q dq tỉ lệ với xác suất dW(q) để khi đó, chúng ta tìm thấy giá trị tọa độ của các hạt của hệ nằm trong khoảng (q,q+dq). Nếu hàm  ()q đã đƣợc chuẩn hóa: 2 (q ) dq  ( q ),  ( q ) 1 thì dW(q) là giá trị xác suất: 2 dW( q )  ( q ) dq Còn đại lƣợng: ( ) ( ) | ( )| mang ý nghĩa là mật độ xác suất tìm thấy tọa độ q của hệ ( ở thời điểm t). Từ điều diện chuẩn hóa, ta thấy rằng các hàm chuẩn hóa sai khác nhau một nhân số modul bằng đơn vị, nghĩa là hơn kém nhau một hệ số exp(iα) 12
  18. (α∈ R). Tuy nhiên các kết quả vật lý luôn tỉ lệ với | ( )| và vì vậy sự bất định này không còn nữa. Trong một số trƣờng hợp, tích phân ∫| ( )| không hội tụ. Lúc đó đại lƣợng ( ) | ( )| sẽ không có ý nghĩa mật độ xác suất. Tuy nhiên trong trƣờng hợp này, tỉ số giữa các đại lƣợng| ( )| ở các điểm khác nhau vẫn xác định xác suất tỉ đối của các điểm tƣơng ứng. 1.4.Phƣơng trình Schrodinger Phƣơng trình Schrodinger đƣa ra, đƣợc coi là một trong những cơ sở của cơ học lƣợng tử. Giải phƣơng trình Schrodinger chúng ta tìm đƣợc hàm sóng φ(x,y,z,t) và năng lƣợng E. Thông thƣờng với các trƣờng hợp năng lƣợng E của hạt có giá trị xác định chúng ta có thể viết φ(x,y,z,t)=φ0(x,y,z).f(t), trong đó φ0(x,y,z) là hàm sóng chỉ phụ thuộc tọa độ. 1.4.1.Phương trình Schrodinger dừng Phƣơng trình Schrodinger dừng có dạng sau: H (,,)(,,) x y z E x y z 00, trong đó H là Hamiltonian (tức toán tử năng lƣợng) của hạt H ( / 2 m ) U ( x , y , z ) 2  2  2 , x2  y 2  z 2 là toán tử Laplace và U(x,y,z) là thế năng của hạt trong trƣờng lực. 1.4.2.Phương trình Schrodinger thời gian Phƣơng trình Schrodinger thời gian xác định sự phụ thuộc của hàm sóng theo thời gian:  (,,,)x y z t i H (,,,) x y z t (1.18a) t 13
  19. Với các trƣờng hợp năng lƣợng E của hạt có giá trị xác định, toán tử Hamilton H không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian, hàm sóng φ(x,y,z,t) là nghiệm của các phƣơng trình Schrodinger: H (,,,)(,,,) x y z t E x y z t (1.18b) Suy ra (,,,)x y z t 0 (,,)exp x y z iEt /  (1.19a) Trƣờng hợp hệ N hạt các công thức (1.18) và (1.19) có dạng tƣơng tự:  (,)qt i H (,) q t t (q , t ) 0 ( q )exp iEt /  Trong đó q là tập các biến xác định trạng thái của hệ. 1.4.3.Tính chất của phương trình Schrodinger Xuất phát từ dạng chung của phƣơng trình Schrodinger, chúng ta có thể thấy phƣơng trình này có một số tính chất chung nhƣ sau: 1.3.3.1.Nghiệm của phương trình Schodinger thỏa mãn tất cả các tính chất của hàm sóng. 1.3.3.2.Năng lượng trung bình bao giờ cũng lớn hơn thế năng cực tiểu trung bình Vì H=T+U suy ra = E = + , do đó E ≥ ≥ Umin 1.3.3.3.Với U≠0 trạng thái ứng với E >0, do đó hạt với E<0 không thể có U=0, tức hạt không thể là hạt tự do và phải ở trạng thái ràng buộc (U≠0) 1.5.Vai trò củ cơ học cổ điển 1.5.1.Cơ học cổ điển là giới hạn của cơ học lượng tử Từ hệ thức bất định Heisenberg chúng ta thấy khi cho h bằng 0, Δx.Δpx≥0, có nghĩa là Δx hoặc Δpx (hoặc cả Δx và Δpx) có thể bằng 0, tọa độ 14
  20. và động lƣợng có thể đồng thời xác định chính xác, chúng ta nhận đƣợc các kết quả phù hợp với cơ học cổ điển. Vậy cơ học cổ điển có thể coi là giới hạn của cơ học lƣợng tử khi cho h tiến tới 0 1.5.2.Cơ học cổ điển là cơ sở của cơ học lượng tử Nhƣ tr n đã biết, để làm biểu hiện ra tính chất của hạt vi mô cần cho nó tƣơng tác với một đối tƣợng nào đó. Căn cứ vào sự thay đổi trạng thái của đối tƣợng tƣơng tác ta suy ra t nh chất của hạt vi mô. Để nghiên cứu định lƣợng các tính chất của hạt vi mô phải dùng đối tƣợng tƣơng tác với hạt vi mô là máy đo. Máy đo thực chất là các giác quan của con ngƣời, có thể đƣợc mở rộng bởi các thiết bị hỗ trợ. Kết quả do thiết bị hiển thị ra mà giác quan của con ngƣời có thể nhận biết đƣợc đều là giá trị trung bình vĩ mô, vì thế bộ phận hiển thị kết quả của thiết bị đo và cơ quan cảm nhận của giác quan con ngƣời phải là hệ cổ điển, hoạt động tr n cơ sở của cơ học cổ điển. Điều đó có nghĩa là nếu không có cơ học cổ điển thì chúng ta không thể nào nghiên cứu đƣợc hạt vi mô. Vì vậy cơ học cổ điển là một trong những cơ sở của cơ học lƣợng tử. 15
  21. KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 Trong chƣơng 1 chúng em đã trình bày về cơ sở của cơ học lƣợng tử là:lƣỡng tính sóng-hạt của hạt vi mô và Nguyên lý Bất định Heisenberg, nguyên lý chồng chất các trạng thái, hàm sóng của hạt vi mô, phƣơng trình Schrodinger, vai trò của cơ học cổ điển.Chƣơng này là cơ sở để chúng em nghiên cứu các vấn đề tiếp theo của khóa luận. 16
  22. CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP MA TRẬN Về thực chất có thể hiểu ma trận của một toán tử là một cách biểu diễn của toán tử đó. Vì thế để trình bày về phƣơng pháp ma trận ta cần biết về toán tử. 2.1.Toán tử và ma trận Cho không gian X, dimX=p và không gian Y, dimY=q Một phép toán nào đó, biến phần tử x∈X thành phần tử y∈Y đƣợc gọi là một ánh xạ. Kí hiệu phép toán này là ̂, phép toán biến x→y đƣợc viết nhƣ sau: ̂ ( ∈ ∈ ) (2.1) Ánh xạ ̂ đƣợc gọi là tuyến tính nếu: ̂(∑ ) ∑ ( ̂ ) ( ∈ ∈ ) (2.2) Từ đây về sau chúng ta sẽ sử dụng các ánh xạ tuyến tính. Trong X cho hệ cơ sở { }( ) và trong Y cho hệ cơ sở { }( ) nào đó. Phép toán ̂ biến các phần tử của hệ (1) thành các phần tử tƣơng ứng của Y, các phần tử này lại đƣợc khai triển theo hệ (2). ̂ ̂ (2.3) ̂ } Có thể viết gọn lại: ̂ ∑ ( ∈ ) (2.4) Giả sử các tọa độ của x và y tƣơng ứng trong các hệ tọa độ (1) và (2) là ( ) và ( ). Để ý đến (2.1) và (2.4) ̂ ̂ (∑ + ∑ ( ̂ ) ∑ ∑ ∑ (∑ + ∑ 17
  23. Các tọa độ của x và y liên hệ với nhau bởi ∑ (2.5) Hai ánh xạ gọi là bằng nhau (viết ̂ ̂) nếu ̂ ̂ với ∀x∈ X. Chúng ta định nghĩa tổng và tích của hai ánh xạ và tích của một ánh xạ với một số bởi các hệ thức: ( ̂ ̂) ̂ ̂ ( ̂ ̂) ̂( ̂ ) ( ̂) ( ̂ )( ∈ ) nói chung ̂ ̂ ̂ ̂ , trƣờng hợp ngƣợc lại ̂ ̂ ̂ ̂ ta nói ̂ và ̂ giao hoán với nhau. Ánh xạ 0 và ánh xạ đơn vị ̂ là các ánh xạ và ̂ với ∀ ∈ ∈ Nếu tồn tại một ánh xạ ̂ sao cho ̂ mà ̂ thì ̂ gọi là ánh xạ ngƣợc của ̂. Những ánh xạ có ánh xạ ngƣợc đƣợc gọi là ánh xạ không kì dị. Từ định nghĩa ánh xạ ngƣợc, ta suy ra: ̂ ̂ ̂ ̂ Nếu ta lấy không gian Y là không gian X thì ánh xạ F đƣợc gọi là phép biến đổi tuyến tính. Nếu chúng ta luôn giả thiết rằng Y≡X thì ánh xạ ̂ sẽ đƣợc gọi là toán tử (tuyến tính). Cho ∈ T ch vô hƣớng ( ̂ ) ∈ Ta gọi là phần tử ( ) của toán tử ̂. ̂ ̂ Nhƣ vậy ( ) ( ) 18
  24. Phần tử thu đƣợc bằng cách vừa chuyển vị vừa lấy liên hợp phức của phần tử đƣợc gọi là phần tử liên hợp của phần tử . Tƣơng ứng với điều đó, toán tử ̂ đƣợc gọi là toán tử liên hợp của toán tử ̂ và ngƣợc lại. ̂ ̂ ̂ ̂ Nếu xảy ra đẳng thức tức là ( ) ( ) hay thì toán tử ̂ đƣợc gọi là toán tử tự liên hợp hay là toán tử Hermite. Nếu toán tử ̂ không kì dị và ̂ ̂ hay ̂ ̂ ̂ ̂ thì toán tử ̂ đƣợc gọi là toán tử Unite. Giả sử (tập số thực), ̂ ̂ (c là phép chuyển vị). Nếu ̂ ̂ hay ̂ ̂ ̂ ̂ , thì ̂ đƣợc gọi là toản tử trực giao. Những số ở (2.3), (2.4) có thể xếp vào một bảng q dòng, p cột ( ) ( , (2.6) Bảng (2.6) đƣợc gọi là ma trận A của toán tử ̂ (trong các cơ sở (1) và (2) cho trƣớc). Các số ở dòng cột của bảng đƣợc gọi là phần tử ( ) của A. Các ma trận của các toán tử tuân theo một số phép toán mà các phép toán trên các ma trận sẽ phải phụ thuộc vào các phép toán trang bị cho các toán tử tƣơng ứng. Giả sử A và B là hai ma trận của hai toán tử tƣơng ứng ̂và ̂ trong cơ sở (1) và (2) cho trƣớc ở trên. Các biểu thức sau viết cho (1) ̂ ̂ thì ̂ ̂ ∑ ∑ (2) Phép cộng hai toán tử: ( ̂ ̂) ∑( ) ̂ ̂ ∑ ∑ (3) Phép nhân toán tử với một số: 19
  25. ( ̂) ∑( ) ( ̂ ) ∑ Từ đây suy ra các phép toán tr n các ma trận: (1‟) Hai toán tử bằng nhau thì ma trận tƣơng ứng bằng nhau và nếu thì ( ) (2‟) Phép cộng hai toán tử tƣơng ứng với phép cộng hai ma trận. Ở đây ( ) là phần tử ( ) của ma trận tổng ( ). Vậy ( ) (3‟) Tƣơng tự nhƣ vậy ma trận có các phần tử: ( ) Bây giờ ta giả thiết ngoài X và Y ở trên còn không gian thứ ba là Z ( ) với hệ cơ sở * + (3) tƣơng ứng. Giả sử ̂ biến phần tử ∈ thành phần tử ∈ , trong cơ sở (1) và (2) cho trƣớc nó có ma trận B. Đến lƣợt ̂ lại biến phần tử ∈ thành phần tử ∈ , và trong cơ sở (2) và (3) cho trƣớc nó có ma trận A. Phần tử có thể khai triển theo (3). Thành ra toán tử ( ̂ ̂) biến phần tử ∈ thành phần tử ∈ . Trong cơ sở (1) và (3) xác định, toán tử này có ma trận ( ) và gọi là ma trận tích. ( ̂ ̂) ∑( ) ̂( ̂ ) ̂ (∑ + ∑ ( ̂ ) ∑ ∑ (∑ + Có thể thấy ma trận tích có các phần tử: 20
  26. ( ) ∑ ( ) 2.2. Biểu diễn của toán tử 2.2.1. Khái niệm về biểu diễn của toán tử Phƣơng pháp toán tử về thực chất là giải phƣơng trình trị riêng ˆ Ln  n n (2.7) để tìm hệ hàm riêng và các trị riêng của toán tử là các đại lƣợng ứng với các đại lƣợng vật lý. Tuy nhiên việc giải phƣơng trình (2.7) rất phụ thuộc vào dạng cụ thể của toán tử Lˆ . Để thuận lợi cho việc giải, ngƣời ta thƣờng tìm cách biến đổi dạng toán tử bằng cách thay đổi biểu diễn của toán tử.Để hiểu rõ vấn đề này trƣớc hết chúng ta cần biết thế nào là biểu diễn của toán tử. Giả dụ toán tử chỉ tác dụng lên các hàm biến u và phƣơng trình (2.7) với các hàm  n đƣợc xác định bởi tập các biến u, chúng ta viết toán tử ˆ thành toán tử Lu để chỉ rõ điều này: Luˆ   () (2.7*) u n n n Giả dụ tiếp theo là chúng ta tìm đƣợc một phép biến đổi xác định bởi ˆ ˆ toán tử S sao cho khi tác dụng S lên  n ()u thì các hàm này trở thành các hàm biến v: ˆ S nn()() u v (2.8) Rõ ràng là các hàm  n ()u có thể nhận đƣợc từ n ()v bằng phép biến đổi ngƣợc: ˆ 1  nn()()u S v (2.9) Do đó 21
  27. ˆˆˆ ˆ ˆ 1 SLu n()() u SL u S n v (2.10) ˆˆˆ Mặt khác SLu n()()() u S  n n u  n n v (2.11) Đặt ˆˆˆˆ 1 Lvu SL S (2.12) Chúng ta nhận đƣợc: ˆ Lv n()() v  n n v (2.13) Phƣơng trình trị riêng (2.13) với các hàm sóng và toán tử nhận đƣợc từ các hàm sóng và toán tử đã cho sau phép biến đổi nhờ tác động của toán tử Sˆ theo các công thức (2.8) và (2.12). Hai phƣơng trình (2.7) và (2.13) đều cho cùng các trị riêng n Sự khác nhau ở chỗ phƣơng trình (2.13) đƣợc xác định bởi tập các biến v, trong khi phƣơng trình (2.7) bởi tập các biến u. Ngƣời ta ˆ ˆ nói rằng toán tử Lu đƣợc xác định trong biểu diễn u, còn toán tử Lv đƣợc xác định trong biểu diễn v; u và v do đó là các biểu diễn của toán tử Lˆ . Có thể chuyển từ biểu diễn này sang biểu diễn kia nhờ các công thức (2.8)-(2.12). Tùy theo dạng của toán tử phƣơng trình trị riêng của có thể đơn giản và dễ giải ở biểu diễn này nhƣng lại phức tạp và khó giải hơn ở biểu diễn khác. Vấn đề đặt ra là phải tìm sao cho phƣơng trình trị riêng ở biểu diễn mới (phƣơng trình (2.13)) đơn giản và dễ giải hơn phƣơng trình trị riêng ở biểu diễn cũ (phƣơng trình (2.7)). Ví dụ về chuyển biểu diễn: Xét khai triển Fourier theo sóng phẳng của một hàm  n ()x ikx  nn()()x k e dk Toán tử trong trƣờng hợp này có tác động toán học là việc lấy tích phân theo biến k cho phép chuyển hàm biến k sang hàm biến x. 22
  28. 2.2.2. Tính chất của biểu diễn của toán tử 2.2.2.1. Khi chuyển sang biểu diễn mới mọi hệ thức quan hệ giữa các toán tử được bảo toàn Ví dụ xét quan hệ toán tử có dạng ˆ ˆmˆ n ˆ p Gu  a m, n , p A u B u C u m, n , p ˆ ˆ Tác động bởi toán tử S theo công thức (1.6) cho ta toán tử Gv ˆ ˆ ˆ ˆ 11 ˆ ˆmˆ n ˆ p ˆ Gv SG u S a m, n , p , SA u B u C u S m, n , p , ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 1 1 1 ˆˆ 1ˆˆ ˆˆ 1 ˆˆ 1 ˆˆˆˆˆˆˆˆ 1 1 1 ˆ 1  am, n , p SASSASSASS u u u SSBSSBSS u u SSCSSCSS u n S m, n , p ˆˆmˆ n p  am, n , p A v B v C v m, n , p ˆ ˆ ˆˆˆ Hai toán tử Gv và Gu có cùng cấu trúc quan hệ với các toán tử ABC, , 2.2.2.2. Tính unita của toán tử Trong việc chuyển đổi từ biểu diễn nọ sang biểu diễn kia, toán tử có vai trò rất quan trọng. Dễ dàng chứng tỏ rằng nếu là unita thì thành phần ˆ ˆ ma trận của toán tử Lu bằng thành phần ma trận của toán tử Lv Thực vậy, * ()()()()()()()Lˆ vL ˆ vdv * vSLSˆ ˆ ˆ 1 vdv * vSL ˆ ˆ  udv vmn m vn mun mun ˆˆˆˆ* 1* * Lu n()()()() uS m vdu L u  n uS m vdu ˆˆ 1 * * ˆ ˆ Lu n( uS )( m ( vdu ))  m L u  n ( uduL ) ( u ) mn 2.3. Hệ phƣơng trình m trận 2.3.1. Hệ phương trình ma trận và sự tương đương với phương trình trị riêng Các trị riêng n xác định từ phƣơng trình trị riêng chính là các giá trị trung bình của toán tử trong các trạng thái  n tƣơng ứng. Từ (2.7) chúng ta có: 23
  29. * ˆˆ n  nL  n du n L n (2.14) Một cách tổng quát nếu dùng khái niệm ma trận thì các trị riêng n là các thành phần đƣờng chéo của ma trận mn : * ˆˆ mn  mL  n du m L n (2.15) Cách viết ˆ mn m L n (2.16) gọi là kí hiệu Dirac Nhƣ vậy bài toán tìm trị riêng n tƣơng đƣơng với bài toán chéo hóa ma trận nm . Để minh chứng chặt chẽ và đầy đủ vấn đề này chúng ta dẫn ra hệ các phƣơng trình ma trận cho phép xác định hàm sóng và trị ri ng tƣơng ứng với phƣơng trình toán tử (2.7). Xét hệ hàm đủ, trực chuẩn v ()u trong trạng thái xuất hiện giá trị v của một đại lƣợng vật lý ứng với toán tử Vˆ nào đó. Khai triển hàm theo hệ hàm này: ()()uu  vv  (2.17) v (2.17) viết trong trƣờng hợp đại lƣợng v gián đoạn, trong trƣờng hợp v liên tục phép lấy tổng trong (2.17) thay bằng phép lấy tích phân. Phƣơng trình (2.17) tƣơng ứng với phƣơng trình (2.9) trong phép biến đổi ngƣợc hàm sóng từ biểu diễn v sang biểu diễn u. Phép biến đổi thuận từ biểu diễn u (coi biến u là liên tục) sang biểu diễn v cho bởi: * vv   ()u du (2.18) Để đi đến phƣơng trình cho phép xác định v chúng ta viết: ˆˆ Lu()() u L u v  v u (2.19) v 24
  30. * Nhân hai vế (2.19) với v ()u từ phía trái rồi lấy tích phân theo u, chúng ta đƣợc: ˆˆ (2.20) v()()()()uLudu u   v uL u v''''  v udu L vv v v' * ˆ Vì Lvv''  v()() u L u v u du (2.21) Mặt khác chú ý (2.18), chúng ta có:  ()()()()u Lˆ  u du  u  u du  (2.22) v u v v Cuối cùng từ (2.20) và (2.22) chúng ra nhận đƣợc:  v L vv'' v (2.23) v' (2.23) là hệ phƣơng trình đại số tuyến t nh đồng nhất cho phép xác định  và v ; từ (2.17) chúng ta xác định đƣợc . Hệ phƣơng trình ma trận (2.23) nhận đƣợc từ phƣơng trình trị riêng (2.7) cho phép xác định đƣợc các hàm riêng và trị riêng của toán tử, do đó tƣơng đƣơng với phƣơng trình trị riêng toán tử.Hệ hàm sóng v ()u xác định biểu diễn v là tùy chọn. Tuy nhiên việc chọn biểu diễn v có thể làm cho dạng hệ phƣơng trình (2.23) là đơn giản hay phức tạp. Trong trƣờng hợp là hệ ˆ hàm riêng của Lu thì LLvv'' vv. vv ;nghĩa là Lvv' là chéo và các thành phần chéo của là trị riêng của toán tử . Điều đó có nghĩa là việc chéo hóa ma trận tƣơng đƣơng với việc giải phƣơng trình trị riêng của toán tử. Phƣơng trình ma trận (2.23) có thể viết dƣới dạng vectơ. 2.3.2. Dạng vecto của phương trình ma trận ˆ Giả sử toán tử Lv trong biểu diễn v có N hàm riêng v (với v=1,2,3, ,N). Đặt 1, 2 , 3 , , vN , ,  vecto gọi là vecto trạng thái xác định trạng thái của hệ. Ma trận viết nhƣ một tenxo L và phƣơng trình (2.23) có dạng 25
  31. L  Hay LLL11 12 1N 11 LLL 21 22 2N 2  2 LLLN12 N NN NN Giá trị trung bình của toán tử Lˆ trong N trạng thái viết dƣới dạng vecto và kí hiệu Dirac: 1 ˆ 2 LL 1 2 N ( vv ' ) N Chúng ta thấy bằng phƣơng pháp ma trận hoàn toàn có thể giải quyết đƣợc bài toán tìm hàm sóng và các giá trị trung bình của các đại lƣợng vật lý của cơ học lƣợng tử.Vì thế trong nhiều trƣờng hợp ngƣời ta còn gọi cơ học lƣợng tử là cơ học ma trận. 2.4. Tính chất của ma trận của các toán tử 2.4.1. Ma trận của tổng các toán tử bằng tổng các ma trận của từng toán tử. ˆ ˆ ABAB vv'' vv vv' 2.4.2. Ma trận của tích các toán tử bằng tích các ma trận ˆ ˆ AB  Avv'' B v '' v ' vv' v'' 2.4.3. Ma trận của toán tử liên hợp bằng ma trận đã đổi chỗ hàng với cột của ma trận liên hợp phức LLˆˆ * vv'' v v 2.5. Spinor và ma trận Pauli 26
  32. Để thuận tiện thay vì toán tử spin sˆ Pauli sử dụng toán tử không thứ nguyên cho hạt có spin bằng ½: ˆˆ 2/s Thành phần của toán tử vecto ˆ trong hệ tọa độ Decartes là các toán tử ˆx,,  ˆ y  ˆ z thƣờng đƣợc sử dụng dƣới dạng các ma trận gọi là ma trận Pauli. Vì chỉ xét các hạt có spin bằng ½ mỗi toán tử này chỉ có 2 trị riêng ứng với 2 hàm riêng, vecto trạng thái trong trƣờng hợp này là vecto 2 chiều và ma trận Pauli do đó là ma trận 2×2. Vecto trạng thái của toán tử spin  12,   có hai thành phần là hàm sóng 12, ứng với 2 trị riêng của toán tử spin gọi là spinor. Bất kì spinor nào cũng có thể khai triển theo hệ hàm Ma trận Pauli có dạng sau (trong biểu diễn của ˆ z ) 〈 | ̂ | 〉 ( ̂ ) ( ) 〈 | ̂ | 〉 ( ̂ ) ( ) 〈 | ̂ | 〉 ( ̂ ) ( ) Dễ dàng dẫn ra các hệ thức giao hoán và phản giao hoán đối với các ma trận Pauli: ˆ  ˆ 2i  ˆ ;  ˆ  ˆ 2 i  ˆ ;  ˆ  ˆ 2 i  ˆ x y z y z x z x y ˆ  ˆ 0;  ˆ  ˆ 0;  ˆ  ˆ 0 x y y z  z x  Và các bình phƣơng của các ma trận này: ̂ ̂ ̂ ̂ ( ) 2.6. Biểu diễn ma trận của toán tử spin của electron 27
  33. Để phù hợp với các nguyên lí chung của cơ học lƣợng tử, spin của electron phải đƣợc biểu diễn bằng một toán tử tuyến tính Hermite. Chúng ta kí hiệu các toán tử hình chiếu spin lên các trục tọa độ là ̂ ̂ ̂ . Để có thể xác định đƣợc dạng của các toán tử này, chúng ta đòi hỏi rằng chúng phải thỏa mãn các quy tắc giao hoán, giống nhƣ các toán tử hình chiếu moment quỹ đạo ̂ ̂ ̂ . Nghĩa là: ̂ ̂ ̂ ̂ ℏ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ℏ ̂ } (2.24) ̂ ̂ ̂ ̂ ℏ ̂ Hơn nữa, vết chiếu spin lên một phƣơng bất kì chỉ có thể nhận hai giá trị là ±ℏ/2, do đó những toán tử này phải đƣợc biểu diễn bằng những ma trận cấp 2, bởi vì chỉ có các ma trận cấp 2 mới có 2 giá trị riêng. Đặt: ℏ ℏ ℏ ̂ ̂ ̂ (2.25) Trong đó các là các ma trận cấp 2, có các giá trị riêng là ±1. Thay dạng của ̂ ̂ ̂ bởi (2.25) vào (2.24), ta có các hệ thức giao hoán cho : ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ } (2.26) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Vì các giá trị riêng của ( ) bằng ±1, cho nên giá trị riêng của các toán tử phải bằng 1. Nhƣ vậy, dù dạng của các nhƣ thế nào chăng nữa, thì các toán tử cũng phải có dạng: ( ) ( ) ( ) (2.27) Xét tổ hợp 28
  34. ( ) ( ) ( ) Tƣơng tự: } (2.28) Ta nói rằng các toán tử thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán. ℏ Giả thiết các giá trị riêng của vết chiếu ± , tƣơng ứng với điều đó các giá trị riêng của ma trận bằng ±1. Muốn vậy ta đòi hỏi có dạng chéo. ( * Trong biểu diễn chéo, ta sẽ đi tìm dạng của và . Giả sử ( * Chúng ta có: ( * ( * ( * ( * ( * ( * Từ (2.28) suy ra và ( * Sử dụng tính Hermite của ( * ( ) Ta phải có và ( ) 29
  35. Từ (1.21) ta có: | | ( * ( * ( ) ( * | | Nên ( ) trong đó thực tùy ý. Vậy ( ) Tƣơng tự ( ) trong đó thực tùy ý. Sau khi nhân với , nhân với , sử dụng hệ thức phản giao hoán (2.28) ( ) ( ) Rút ra . Vì và là thực và tùy ý cho nên nếu chọn thì Còn ( ) Nhƣ vậy dạng của các toán tử trong biểu diễn chéo: ( * ( * ( * Các ma trận trên gọi là các ma trận spin Pauli, còn dạng của các toán tử chiếu spin trong biểu diễn ̂ chéo ℏ ℏ ̂ ( * 30
  36. ℏ ℏ ̂ ( * ℏ ℏ ̂ ( * Theo định nghĩa, toán tử bình phƣơng spin ̂ ̂ ̂ ̂ ℏ ( * ( )ℏ ̂ Trong đó ̂ là ma trận đơn vị cấp 2. Nhƣ vậy giá trị bình phƣơng spin ( )ℏ Đƣa vào các số lƣợng tử và lần lƣợt xác định giá trị của bình phƣơng spin và chiếu spin ( )ℏ với ℏ với Ta thấy và tƣơng tự nhƣ các đại lƣợng chiếu moment quỹ đạo và bình phƣơng moment quỹ đạo và . 31
  37. KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 Phƣơng pháp ma trận là phƣơng pháp rất hay và hữu ch trong cơ học lƣợng tử, giúp ta giải một số bài toán trong cơ học lƣợng tử một cách dễ dàng hơn. Trong phƣơng pháp này chúng ta đã đi tìm hiểu về: biểu diễn của toán tử; hệ phƣơng trình ma trận; tính chất của ma trận của các toán tử; spinor và ma trận Pauli và ví dụ về biểu diễn ma trận của toán tử spin của electron. 32
  38. CHƢƠNG 3: PHƢƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN 3.1.Mở đầu Trạng thái của hệ lƣợng tử có thể đƣợc mô tả bởi nghiệm của phƣơng trình ̂ (3.1) Ở đây, ̂ là toán tử Hamilton (không phụ thuộc thời gian) và E là năng lƣợng của hệ. Đối với một số trƣờng hợp đơn giản (trƣờng Coulomb, trƣờng đàn hồi, trƣờng điện từ đều ) tƣơng ứng với các hệ đã l tƣởng hóa, phƣơng trình (3.1) có thể cho nghiệm chính xác. Khi nghiên cứu các hệ thực, nói chung phƣơng trình (3.1) không cho nghiệm chính xác. Bởi vậy cần phải đƣa vào các phƣơng pháp t nh gần đúng các hàm ri ng và trị riêng của toán tử ̂ trong (3.1) Một trong các phƣơng pháp t nh gần đúng, đó là dựa vào các nghiệm chính xác của hệ đã l tƣởng hóa, hiệu chỉnh các nghiệm đó để đƣợc nghiệm gần đúng của hệ thực, trong các điều kiện mà hệ thực có thể coi nhƣ không khác nhiều so với hệ l tƣởng. Phƣơng pháp t nh các hiệu chỉnh nhƣ thế, dƣới các điều kiện đặt ra đƣợc gọi là phƣơng pháp nhiễu loạn. Phƣơng pháp nhiễu loạn là phƣơng pháp gần đúng để giải phƣơng trình Shrodinger, là phƣơng trình cơ bản của cơ học lƣợng tử Để giải một cách gần đúng phƣơng trình Shrodinger HE (3.2) n n n Tách toán tử Hamilton H thành 2 phần: HHV ˆ (3.3) 0 Trong đó H0 là toán tử Hamilton của bài toán đã có lời giải, tức là HE(0) (0) (0) (3.4) 0 n n n 33
  39. (0) (0) Với En và  n đƣợc coi là đã biết (0) Còn VEln n đƣợc coi là nhiễu loạn Tr n cơ sở các giả thiết tr n ta tìm đƣợc các đại lƣợng En và  n theo Vln (0) (0) , En và  n một cách gần đúng. 3.2. Trƣờng hợp nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian (0) Vì  n là nghiệm của phƣơng trình Shrodinger n n là hệ hàm đủ trực (0) chuẩn, chúng có nghiệm  n bằng cách khai triển hàm  n theo  n : (0) n c nm m (3.5) m Hệ số cnm có thể tìm dƣới dạng (0) (1) (2) cnm c nm c nm c nm (0) Với giả thiết rằng cnm ứng với trƣờng hợp bài toán không có nhiễu loạn với V=0; (1) (1) cnm ứng với trƣờng hợp có chú ý đến nhiễu loạn bậc 1, coi cVnm (2) (2) 2 cnm ứng với trƣờng hợp chú ý đến nhiễu loạn bậc 2, coi cVnm ; v.v (0) (0) Khi V=0, ccnm nm , nm từ (3.5) suy ra : (0) cnm  nm Tƣơng tự với năng lƣợng, coi: (0) (1) (2) EEEEn n n n (1) (2) 2 Trong đó EVEVnn, , Để tiếp tục giải quyết bài toán đã đặt ra cần phân biệt hai trƣờng hợp: (0) các mức năng lƣợng En không suy biến và có suy biến. (0) 3.2.1. Trường hợp mức năng lượng En không suy biến Thay (3.3) và (3.5) vào (3.2) chúng ta nhận đƣợc: (0) (0) ()H0 V cnm m E n c nm m (3.6) mm 34
  40. Từ (3.4) và (3.6) cho chúng ta: (0) (0) (0) cnm() E m V m E n c nm m (3.7) mm (0)* Nhân hai vế (3.7) với  l rồi lấy tích phân theo không gian cấu hình q, chúng ta đƣợc: (0) cnm() E m lm V lm E n c nm lm mm Với V (0)* Vˆ (0) dq (3.8) lm l l Là thành phần ma trận của nhiễu loạn V, coi nhƣ đã biết. Kết quả chúng ta đƣợc phƣơng trình cho năng lƣợng En và hệ số cn cần tìm: (0) cnl E l  c nm V lm E n c nl (3.9) m Từ phƣơng trình (3.9): (0) (0) Bậc không (V=0): đồng nhất thức EEll với n=l (0) (0) Đồng nhất thức 0.EEll .0 với n≠l (1) (0) (0) (1) (1) Bậc một: với n=l: cnn E n V nn E n c nn E n Suy ra (1) EVn nn (3.10) (1) (0) (0) (1) Với n≠l: cnl E l Vln E n c nl Suy ra (1) Vln cnl (0) (0) (3.11) EEnl (0) Để lý thuyết đúng ngoài điều kiện VEln n (1) Còn cần có cnl 1 Nghĩa là (0) (0) VEEln nl (3.12) 35
  41. (1) Để xác định cnn và hàm sóng ở gần đúng bậc một chúng ta làm nhƣ sau: Từ (3.5) viết hàm sóng giới hạn đến bậc một: (0) (1) (0) (0) (1) (0) n  c nm c nm  m  n c nm  m (3.13) mm Sau đó xuất phát từ điều kiện chuẩn hóa, chúng ta đƣợc: * (0)* (1)* (0)* (0) (1) (0) l n  n dq  n  c nm  m  n c nm  m dq mm Các hàm bậc không thuộc hệ hàm trực chuẩn nên (0)* (0) nndq 1 Và chúng ta suy ra: (1) (1) (1)* (1) l l cnn c nn  c nm c nm (3.14) m (1) Thành phần chứa tích của hai hệ số cnm là thành phần bậc hai cần bỏ đi (1) trong giới hạn gần đúng bậc một đang xét, chúng ta đƣợc từ (3.14) :20cnn Do đó (1) cnn 0 (3.15) Cuối cùng (0) ' (1) (0) n  n c nm  m (3.16) m Dấu „ ở dấu tổng thể hiện trong tổng không có thành phần m=n Bậc hai : từ (3.9) (2) (0) (1) (0)(2) (1)(1) (2)(0) cnl E l  c nm V lm E n c nl E n c nl E n c nl (3.17) m Với n=l : (1) (2) cnm V nm E n m Suy ra (2) (1) ' VVmn nm En  c nm V nm (0) (0) mm EEnm 36
  42. Hay 2 (2) ' Vnm En  (0) (0) (3.18) m EEnm (0) Vì đã chọn cnn 1(tức coi trạng thái n là cơ bản khi V=0) nên mức năng (0) lƣợng En là cực tiểu, nên : (2) En 0 (3.19) Với n l : (2) (0) '(1) (0)(2) (1)(1) cnl E l  c nm V lm E n c nl E n c nl m Suy ra (2) VVVVnnln ' lm mn cnl (0) (0)2 (0) (0) (0) (0) (3.20) m (EEEEEEn l ) ( n m )( l n ) Ví dụ : Hạt chuyển động trong trƣờng xuyên tâm có các mức năng lƣợng . Giả sử đặt một từ trƣờng yếu dọc theo trục Oz. Hãy tìm năng lƣợng và hàm sóng của hạt trong phép gần đúng bậc nhất (không t nh đến spin của hạt). Giải : Khi thiết lập từ trƣờng, toán tử Hamilton ℏ ̂ ̂ ⃗ (bỏ qua số hạng tỉ lệ với A2) và coi số hạng thứ hai là toán tử nhiễu loạn. Hiệu chỉnh bậc nhất của năng lƣợng ℏ ( ) ∫ ⃗ với ( ) | |( ) Vì ⃗⃗ * + ⃗ nên có thể chọn Khiđó 37
  43. ℏ ℏ ⃗ ̂ φ Kết quả ℏ ( ) ℏ Hiệu chỉnh về hàm sóng ℏ ℏ ∫ ( ) φ Do đó hiệu chỉnh bậc 1 của hàm sóng bằng 0. (0) 3.2.2. Trường hợp mức năng lượng En suy biến (0) Giả sử mức năng lƣợng En có suy biến bậc s và ứng với các hàm sóng (0) (0) (0) (0) n1,  n 2 ,  n 3 , ,  ns Khi đó (0) (0) (0) HE0ni n ni (3.21) và s (0) (0) n b ni ni (3.22) i 1 Thay (3.22) vào (3.5) sau đó thay tiếp vào (3.2) chúng ta đƣợc: ˆ (0) (0) ()H0 V cnm b mi mi E n c nm b mi mi m,, i m i Chú ý (3.21) chúng ta có : (0)ˆ (0) (0) cnm b mi() E m V mi E n c nm b mi mi (3.23) m,, i m i (0)* Nhân từ phía trái của (3.23) với  lj rồi lấy tích phân theo không gian cấu hình, chúng ta đƣợc : 38
  44. c b E E(0)  V 0 (3.24)  nm mi n m lm ji lj, mi mi, Bậc không của phƣơng trình (3.24) cho chúng ta : (0) (0) (0) cnl b lj( E n E l ) 0 Phƣơng trình (3.24) thỏa mãn khi : Nếu n=l thì c(0) 0 ; còn nếu n l thì c(0) 0 nl nl (0) Kết quả là : cnl nl  nl là kí hiệu Cronecker Bậc một của phƣơng trình (3.24) cho chúng ta : c(1) b( E (0) E (0) ) c (0) b E (1) V 0 (3.25) nl lj n l nm mi n lm ji lj, mi mi, Với n=l từ (3.25) chúng ta đƣợc : E(1) V b 0 (3.26)  n ji lj, ni ni i Các phƣơng trình (3.26) tạo thành hệ phƣơng trình địa số tuyến t nhđồng nhất đối với bni. Điều kiện để hệ phƣơng trình này có nghiệm là định thức tạo bởi các hệ số trƣớc các biến bni phải bằng không : (1) EVn ji lj, ni 0 ( i, j =1, 2, , s) (3.27) (1) Phƣơng trình (3.27) là phƣơng trình bậc s đối với En , giải ra chúng ta (1) xác định đƣợc En theo nhiễu loạn Vlj, ni . ˆ (0) Trong trƣờng hợp V giao hoán với H0, hệ hàm  ni cũng là hệ hàm riêng ˆ của V , do đó ma trận Vlj, ni là ma trận chéo, phƣơng trình (3.27) có dạng : s (1)  EVn ni, ni 0 (3.28) i 1 Kết quả là có s giá trị năng lƣợng bậc một: EV(1) ; i=1, 2, , s (3.29) ni ni, ni 39
  45. Nếu s nghiệm của phƣơng trình (3.29) có giá trị khác nhau, chúng ta có s (1) giá trị khác nhau của En và do đó s giá trị nặng lƣợng khác nhau ứng với s mức năng lƣợng khác nhau tách ra từ một mức n khi chƣa có nhiễu loạn: EEE (0) (1) (3.30) ni n n i (0) (0) (0) s mức năng lƣợng này ứng với s hàm sóng n12,  n , ,  ns làm cho hệ trở thành không suy biến. Ngƣời ta nói suy biến đã bị tách hoàn toàn do nhiễu loạn. Nếu trong số s nghiệm của phƣơng trình (3.29) có một số nghiệm bằng nhau, số mức tách ra nhỏ hơn s, ngƣời ta nói suy biến bị tách một phần. (1) Với n l phƣơng trình (3.25) cho chúng ta biểu thức xác định hệ số cnl : bVni lj, ni (1) i (3.31) cnl (0) (0) blj() E n E l Nếu tất cả các thành phần chéo của ma trận Vlj, ni bằng không (Vni, ni 0) (1) (2) thì En 0 , chúng ta phải tìm En từ phƣơng trình (3.24). Kết quả nhƣ sau: ' (1)  cnm b mi V nj, mi (2) i j, m n En (3.32) bnj Nếu chỉ có một mức n suy biến thì bmi=1(m n). 3.3. Trƣờng hợp nhiễu loạn phụ thuộc thời gian Trƣờng hợp nhiễu loạn phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian Vˆˆ V() t , trạng thái của hệ không phải là trạng thái dừng, năng lƣợng của hệ không có giá trị xác định. Do đó không đặt thành vấn đề tìm năng lƣợng, mà chỉ có vấn đề xác định hàm sóng. Biểu thức khai triển hàm sóng (3.5) trong trƣờng hợp này có dạng: (0) n()()()t  c nm t m t (3.33) m (0) Hàm sóng không nhiễu loạn  n ()t thỏa mãn phƣơng trình Shrodinger: 40
  46.  (0) ()t in H(0)()() t E (0) (0) t t 0 n n n Suy ra (0) (0) (0) n(t ) n0 exp iE n t / (3.34) Phƣơng trình Shrodinger cho hàm  n ()t  (0)ˆ (0) i cnm()()()()() t m t H0 V c nm t m t (3.35) t mm Do đó c()() t (0) t inm(0)()()()()() t c t m H Vˆ c t (0) t  m nm0 nm m mm tt Hay ct() nm (0)ˆ (0) im()()() t V c nm t m t (3.36) mmt (0)* Nhân hai vế phƣơng trình (3.36) từ phía trái với  l ()t rồi lấy tích phân theo không gian cấu hình, chú ý (3.34) chúng ta nhận đƣợc: ctnl () itlm i  cnm()() t V lm t e (3.37) t m Trong đó (0) (0) lm EE l m / và (0)*ˆ (0) Vlm()() t  l00 V t m dq (3.38) Khai triển hệ số cnm nhƣ trƣờng hợp nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian: (0) (1) cnm c nm c nm (0) Chú ý cnm  nm , chúng ta tìm đƣợc: 41
  47. ct(1) () inl V() t eitln (3.39) t ln Suy ra (1) i itln cnl Vln () t e dt (3.40) (1) Ta thấy rằng cnl tỉ lệ với ảnh Fourier Vln () của Vtln () : 1 V()() V t eit dt ln2 ln Do đó (1) cnl (2  i / ) Vln ( ln ) (3.41) Phƣơng trình (3.41) cho phép xác định hàm sóng của trạng thái nhiễu loạn và do đó cả xác suất chuyển từ trạng thái không nhiễu loạn sang trạng thái nhiễu loạn, bằng cách tính ảnh Fourier của ma trận nhiễu loạn Vln() ln . 42
  48. KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 Phƣơng pháp nhiễu loạn là một phƣơng pháp quan trọng để giải các bài toán cơ học lƣợng tử. Trong phƣơng pháp này em đã trình bày về hai trƣờng hợp: nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian và nhiễu loạn phụ thuộc thời gian. 43
  49. KẾT LUẬN CHUNG Sau một thời gian nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Tìm hiểu phƣơng pháp ma trận và phƣơng pháp nhiễu loạn trong cơ học lƣợng tử,, em thu đƣợc một số kết quả sau: Giới thiệu đƣợc cơ sở của cơ học lƣợng tử: Lƣỡng tính sóng-hạt của hạt vi mô và nguyên lý bất định Heisenberg, nguyên lý chồng chất các trạng thái, hàm sóng của hạt vi mô, phƣơng trình schrodinger, vai trò của cơ học cổ điển. Trình bày đƣợc phƣơng pháp ma trận và phƣơng pháp nhiễu loạn. Tìm hiểu nhiều về hai phƣơng pháp này và hiện nay đƣợc sử dụng nhiều trong cơ học lƣợng tử. Đƣa ra đƣợc một số ví dụ về hai phƣơng pháp này. Do thời gian có hạn, lần đầu tiên nghiên cứu khoa học, khả năng và vốn kiến thức của bản thân còn nhiều thiếu sót. Em hy vọng nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn đọc. Hy vọng với các nội dung đƣợc trình bày trong khóa luận sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn đọc, góp phần nghiên cứu các bài toán về phƣơng pháp ma trận và phƣơng pháp nhiễu loạn trong cơ học lƣợng tử. Em xin chân thành cảm ơn thầy cô! 44
  50. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Lý thuyết hệ nhiều hạt – Đỗ Trần Cát – NXB Bách Khoa- Hà Nội – 2009. 2.Cơ học lƣợng tử - Trần Thái Hoa – NXB ĐH Sƣ Phạm Hà Nội 2- năm 2014 3.Cơ học lƣợng tử - Phạm Quý Tƣ, Đỗ Đình Thanh - NXBGD Hà Nội 1995. 4.Bài tập vật lý lý thuyết, tập II – Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, L Trọng Tƣờng - NXBGD Hà Nội 1990. 45