›

Khóa luận Phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong điện trường đều

pdf 56 trang thiennha21 16/04/2022 5070
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong điện trường đều", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_phuong_phap_toan_tu_fk_giai_phuong_trinh_schrdinge.pdf

Nội dung text: Khóa luận Phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong điện trường đều

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ PHẠM THỊ MỸ HẢO PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ FK GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRƯDINGER CHO EXCITON HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ TP. Hồ Chí Minh - 2019
  2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ PHẠM THỊ MỸ HẢO PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ FK GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRƯDINGER CHO EXCITON HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN TS. HỒNG ĐỖ NGỌC TRẦM TP. Hồ Chí Minh - 2019
  3. Lời cảm ơn Trong quá trình làm luận văn tơi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ từ thầy cơ, bạn bè và người thân. Trước tiên tơi xin phép gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giáo viên hướng dẫn TS. Hồng Đỗ Ngọc Trầm. Cảm ơn cơ đã hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tơi rất nhiều trong quá trình nghiên cứu và hồn thành luận văn. Tơi cũng xin phép gửi lời cảm ơn thầy cơ trong phịng Vật lý tính tốn của Đại học Sư phạm TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi cĩ thể hồn thành luận văn. Xin cảm ơn bạn bè và người thân đã luơn động viên, ủng hộ tơi trong suốt thời gian làm luận văn. Mặc dù tơi đã cố gắng để hồn thành luận văn nhưng chắc chắn tơi khơng thể tránh khỏi những hạn chế và sai sĩt trong quá trình hồn thành. Kính mong nhận được sự gĩp ý của thầy cơ và bạn bè để luận văn được hồn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 04 năm 2019.
  4. MỤC LỤC MỤC LỤC i DANH MỤC BẢNG ii DANH MỤC HÌNH VẼ ii MỞ ĐẦU 1 Chương 1: EXCITON HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU 6 1.1 Phương pháp tốn tử FK 6 1.2 Phương trình Schrưdinger của exciton 2D trong điện trường đều 10 1.3 Phép biến đổi Levi-Civita 13 1.4 Phương pháp tốn tử FK cho bài tốn exciton 2D trong điện trường 14 Chương 2: KẾT QUẢ VÀ PHÂN TÍCH 19 2.1 Chương trình tính tốn 19 2.2 Trường hợp điện trường bằng khơng 12 0, 0 20 2.3 Trường hợp điện trường khác khơng 12 0, 0 26 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI 29 DANH MỤC CƠNG TRÌNH 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 PHỤ LỤC 34 ˆˆ Phụ lục 1: Tách Hamiltonian thành hai thành phần bao gồm HHrG, . 34 Phụ lục 2: Biến đổi phương trình Schrưdinger về dạng khơng thứ nguyên. 36 Phụ lục 3: Phép biến đổi Levi-Civita. 38 ˆ Phụ lục 4: Tính giao hốn tử của Hamiltonian và Lz . 40 aˆˆ,,, a bˆˆ b Phụ lục 5: Tính hệ thức giao hốn . 42 ˆ ˆˆ Phụ lục 6: Biểu diễn HL, z theo các tốn tử aˆˆ,,, a b b . 44 Phụ lục 7: Các cơng thức tác dụng và tìm các yếu tố ma trận H và R . 47 i
  5. DANH MỤC BẢNG Bảng 2.1 Giá trị năng lượng ở các trạng thái n được tính bằng phương pháp tốn tử FK và trong cơng trình [7] 25 Bảng 2.2 Năng lượng trạng thái cơ bản (1)n phụ thuộc vào cường độ điện trường. 26 Bảng 2.3 Năng lượng trạng thái kích thích thứ nhất n 2 phụ thuộc vào cường độ điện trường. 26 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 2.1 Sự hội tụ của phương pháp tốn tử FK cho trạng thái cơ bản n 1 trong trường hợp nmax 50 . 22 Hình 2.2 Sự hội tụ của phương pháp tốn tử FK cho trạng thái kích thích thứ nhất n 2 trong trường hợp nmax 50 . 22 Hình 2.3 Sự hội tụ của phương pháp tốn tử FK cho trạng thái kích thích thứ hai n 3 trong trường hợp . 23 Hình 2.4 Sự hội tụ của phương pháp tốn tử FK cho trạng thái kích thích thứ nhất n 2 trong trường hợp nmax 80 . 24 Hình 2.5 Sự hội tụ của phương pháp tốn tử FK cho trạng thái kích thích thứ hai n 3 trong trường hợp nmax 80 . 24 Hình 2.6 Phổ năng lượng của exciton theo điện trường. 27 ii
  6. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật liệu hai chiều (2D) cĩ tính chất vật lý và hĩa học quan trọng đã được nghiên cứu trong nhiều thập kỷ [27], [28], [30]. Kể từ báo cáo đầu tiên của Geim và Novoselov et al. vào năm 2004, graphene là một đơn lớp phẳng bao gồm các nguyên tử carbon được sắp xếp trong mạng tinh thể tổ ong hai chiều (2D), đã nhanh chĩng trở thành một trong những chủ đề nĩng nhất trong khoa học vật liệu vào thời điểm đĩ do tính chất hấp dẫn và cĩ tiềm năng lớn. Do năng lượng vùng cấm bằng khơng, cấu trúc siêu mỏng và phẳng, graphene đã thể hiện các tính chất điện tử, nhiệt, quang và cơ học đáng chú ý như: tính di động cao của các hạt mang điện ở nhiệt độ phịng, dẫn nhiệt vượt trội, hệ số truyền quang học cao, Dù graphene đã mang lại những tính chất độc đáo nhưng vì năng lượng vùng cấm bằng khơng nên nĩ được xem như một kim loại, đã làm hạn chế những ứng dụng của nĩ. Ngồi graphene cịn cĩ các chất bán dẫn hai chiều cĩ cấu trúc tương tự ví dụ transition metal dichalcogenides (TMDs), hexagonal boron-nitride (h – BN), Chất bán dẫn 2D là chất bán dẫn tự nhiên cĩ kích thước nguyên tử. Khi mà kích thước của nĩ giảm đáng kể, các chất bán dẫn này thể hiện một số tính chất độc đáo, chẳng hạn như chuyển từ tính chất bán dẫn gián tiếp sang trực tiếp do đĩ được ứng dụng trong điện tử, lưu trữ năng lượng, cảm biến và vật liệu tổng hợp [27]. Trong các vật liệu 2D, two-dimensional transition metal dichalcogenides (TMDs) trở thành trọng tâm của nghiên cứu cơ bản và ứng dụng cơng nghệ do cấu trúc tinh thể của chúng, một loạt các thành phần hĩa học và nhiều tính chất vật liệu [28]. Do đĩ, nghiên cứu về TMDs ngày càng tăng và chiếm tỉ lệ khá cao trong số lượng cơng bố nghiên cứu về vật liệu 2D [8]. 2D TMDs thường được kí hiệu MX2 trong đĩ M là nhĩm kim loại chuyển tiếp (ví dụ như Ti, V, Nb, Mo, Hf, Ta, W) và X là nhĩm chalcogen (S, Se và Te). TMDs đơn lớp sẽ bao gồm một lớp của nguyên tử kim loại chuyển tiếp được kẹp giữa là hai lớp nguyên tử chalcogen trong cấu trúc lăng trụ tam giác (trigonal prismatic structure) [20]. Do cấu trúc tinh thể dị hướng và độc đáo cao, các tính chất vật liệu của 2D TMD cĩ thể được điều chỉnh một cách hiệu quả thơng qua các phương pháp khác nhau bao gồm giảm kích thước, xen kẽ, Cụ thể như ta cĩ thể thay đổi cấu trúc dãy bằng cách làm mỏng lớp 2D thành đơn lớp [28]. Đơn lớp 1
  7. TMDs với năng lượng vùng cấm “trực tiếp” nằm trong khoảng vùng gần hồng ngoại đến khả kiến. Hiện nay, các nghiên cứu về đơn lớp TMDs thuộc nhĩm VI đang được chú ý bao gồm MoS2, MoSe2, WS2, và WSe2. Đây là chất bán dẫn với những tính chất quang học và điện tử đặc biệt, hứa hẹn cĩ nhiều ứng dụng quang điện tử ví dụ như tế bào quang điện, diode phát quang, [8]. Các nghiên cứu cũng chỉ ra rằng dịch chuyển quang học chủ yếu trong TMDs là hình thành exciton [20]. Exciton là một chuẩn hạt được tạo thành khi cĩ tương tác Coulomb giữa điện tử mang điện tích âm và lỗ trống mang điện tích dương, tương tự nguyên tử hydro. Exciton thường được phân loại tùy vào tính chất vật liệu đang xét. Đối với chất bán dẫn thì exciton này được gọi là exciton Mott-Wannier, với chất cách điện thì người ta gọi là exciton Frenkel. Trong chất bán dẫn, exciton được tạo thành khi một photon bị hấp thụ, kích thích điện tử từ vùng hĩa trị lên vùng dẫn và để lại một lỗ trống mang điện tích dương. Sau đĩ, điện tử và lỗ trống kết hợp với nhau bằng tương tác Coulomb tạo ra giả hạt exciton đồng thời sẽ phát ra một photon [23]. Đối với các chất bán dẫn hai chiều (2D), exciton càng cĩ ý nghĩa đặc biệt, bởi khi số chiều giảm làm tăng tương tác Coulomb [30], đây là nguồn gốc của các hiệu ứng của exciton. Hiệu ứng của exciton lại tham gia nhiều quá trình hình thành cơ sở của một lượng lớn các thiết bị exciton ở kích thước nano và các hiệu ứng vật lý, ví dụ như nguồn photon đơn (single photon sources), laser exciton (excitonic lasers), transistor quang điện tử (optoelectronic transistors), [29]. Phổ năng lượng của exciton là thơng tin để tìm hiểu trực tiếp về tính chất vật lý trong chất bán dẫn. Nĩ cũng là nền tảng để nhận biết hiệu ứng của exciton trong thí nghiệm phổ quang học. Vì thế việc nghiên cứu phổ năng lượng rất cĩ ý nghĩa. Khi số chiều của hệ giảm thì tương tác giữa điện tử và lỗ trống tăng đáng kể đi nên phổ exciton 2D sẽ cĩ cấu trúc rõ nét hơn [16]. Tuy nhiên, năng lượng của exciton ở trạng thái kích thích cao khĩ đo trong thực nghiệm [21]. Vì thế người ta thường tìm cách đặt trường ngồi bao gồm điện trường hoặc từ trường vào để dễ đo đạc phổ hơn. Ngồi ra, đặt điện trường song song cĩ cường độ lớn vào các vật liệu khác nhau là một phương pháp hiệu quả để điều chỉnh tính chất quang học của chúng. Cụ thể ví dụ như ở cơng trình [15] khi khảo sát phổ quang phát quang của đơn lớp và hai lớp WS2 trong trường hợp đặt điện trường song song, kết quả cho thấy là khi tăng cường độ điện trường đối 2
  8. với đơn lớp WS2 thì dẫn đến dập tắt quang phát quang (PL quenching) trong khi đối với hai lớp WS2 thì làm tăng phát xạ quang phát quang; khám phá này cĩ thể giúp ích rất nhiều trong việc phát triển hiệu quả hơn các các thiết bị quang điện tử dựa trên cơ sở vật liệu 2D TMDs. Trong một số nghiên cứu, điện trường ngồi cĩ cường độ lớn được sử dụng để điều chỉnh năng lượng vùng cấm của hai lớp graphene, hai lớp TMDs, [25]. Đặc biệt, điện trường đĩng vai trị quan trọng trong các quá trình ion hĩa trong TMDs. Trong những vật liệu cĩ năng lượng liên kết exciton lớn như TMDs, việc ion hĩa bằng nhiệt khơng hiệu quả nên thay vào đĩ người ta thường sử dụng điện trường mạnh [22]. Ngồi ra, thì việc đặt điện trường ngồi vào giúp ta cĩ thể quan sát hiệu ứng vật lý quen thuộc như hiệu ứng Stark [26]. Từ đĩ, ta cĩ thể nĩi bài tốn exciton hai chiều trong điện trường với các cường độ khác nhau đĩng vai trị quan trọng đối với cả lý thuyết và thực nghiệm. Việc giải phương trình Schrưdinger để tìm ra phổ năng lượng cho bài tốn exciton trong điện trường đều đã được một số nhĩm nghiên cứu thực hiện. Đối với trường hợp ba chiều (3D), một số nhĩm thực hiện việc chuyển phương trình Schrưdinger thành cặp hai phương trình trị riêng một chiều [9], [10]. Cịn đối với trường hợp 2D, một số nhĩm cũng sử dụng phương tương tự, tác giả đã phân tích phương trình Schrưdinger thành hai phương trình trị riêng một chiều của dao động tuyến tính phi điều hịa nhưng cĩ những điểm khác nhau, cụ thể như cơng trình [19] của tác giả A. J. Linssen và M. J. Gelten được đề cập đến năm 1974. Cơng trình này đã tính tốn được ảnh hưởng của điện trường đều đến mức năng lượng của exciton Wannier hai chiều bằng cách đưa phương trình Schrưdinger về tọa độ parabol chứa các tham số khơng thứ nguyên, sử dụng phương pháp tách biến, tách phương trình Schrưdinger thành hai phương trình. Các trị riêng năng lượng của exciton ở trạng thái liên kết sẽ được tính gần đúng bằng phương pháp WKB. Trong cơng trình [18] được cơng bố bởi Frank L. Lederrnan and John D. Dow năm 1976, phương trình Schrưdinger của exciton hai chiều đặt trong điện trường đều cũng được chuyển về tọa độ parabol tuy nhiên được định nghĩa khác với cơng trình của Linssen và được tách thành hai phương trình; kết hợp với cơng thức của Elliott về hệ số hấp thụ của exciton trong vật liệu phân lớp. Nhờ đĩ phương trình Schrưdinger của exciton hai chiều trong điện trường đều cĩ cường độ tùy ý được giải chính xác (bằng số) . Vào năm 2001, S. I. Pokutnyi et al đã tìm ra cách để giải quyết bài tốn một exciton Wannier-Mott hai 3
  9. chiều trong điện trường đều [24]. Tương tự như hai cơng trình trên, tác giả sử dụng tọa độ parabol được định nghĩa tương tự cơng trình của Linssen. Cuối cùng, để giải phương trình Schrưdinger một chiều thu được tác giả sử dụng phương pháp số dựa trên cơng thức ma trận của phương pháp Numerov và đồng thời sử dụng phương pháp gần đúng WKB để tính tốn được hệ số xuyên ngầm. Trong luận văn này, chúng tơi sẽ sử dụng phương pháp tốn tử FK để giải quyết bài tốn trên. Phương pháp tốn tử FK (viết tắt FK - OM) được đưa ra bởi nhĩm nghiên cứu của giáo sư Komarov ở Đại học Belarus vào năm 1982 [12]. Phương pháp cĩ ý tưởng chính dựa trên tư tưởng của thuyết nhiễu loạn là tách Hamiltonian thành hai thành phần: phần chính đã cĩ nghiệm chính xác và thành phần nhiễu loạn. Tuy nhiên, khác so với phương pháp nhiễu loạn thì việc tách Hamiltonian khơng chỉ phụ thuộc vào yếu tố vật lý mà phụ thuộc vào hình thức của các tốn tử trong Hamiltonian. Phương pháp FK-OM đã ứng dụng thành cơng cho các bài tốn vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn và bài tốn lý thuyết trường [5], [6], [11], [13]. Cụ thể hơn là phương pháp này đã giải quyết thành cơng cho các bài tốn đặt trong từ trường ví như: nguyên tử hydro trong từ trường với cường độ bất kì [1], exciton hai chiều trong từ trường đều [2], Vì thế kế thừa ý tưởng từ những cơng trình trước, chúng tơi tiếp tục phát triển FK – OM cho trường hợp trường ngồi là điện trường và bước đầu là áp dụng cho bài tốn exciton hai chiều trong điện trường đều. 2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu Mục tiêu của đề tài này là phát triển phương pháp tốn tử FK cho bài tốn exciton 2D trong điện trường để xác định nghiệm chính xác bằng số. Mục tiêu trên được thực hiện thơng qua những nội dung nghiên cứu sau: Tìm hiểu tổng quan Thiết lập Hamiltonian của hệ và đưa về dạng tốn tử sinh hủy. Xây dựng bộ hàm sĩng cơ sở và tính tốn các yếu tố ma trận. Sử dụng ngơn ngữ lập trình FORTRAN để tìm nghiệm số chính xác. Phân tích, so sánh, nhận xét kết quả. 3. Phương pháp nghiên cứu Tính tốn lý thuyết sử dụng phương pháp tốn tử FK 4
  10. Lập trình FORTRAN sử dụng gĩi LAPACK. 4. Cấu trúc luận văn Ngồi phần mở đầu và kết luận thì luận văn bao gồm hai chương: Chương 1: Exciton hai chiều trong điện trường đều. Trong chương này, chúng tơi sẽ giới thiệu về phương pháp tốn tử FK và nguyên tắc chính của phương pháp này dựa vào các cơng trình trước. Phần tiếp theo là xây dựng phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều trong điện trường và đưa nĩ về dạng khơng thứ nguyên. Sau đĩ, phép biến đổi Levi-Civita đã đưa phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều trong điện trường về phương trình cho dao động tử phi điều hịa. Cuối cùng, phương pháp tốn tử FK được áp dụng cho bài tốn exciton hai chiều để tìm ra yếu tố ma trận, sau đĩ chương trình tính tốn được xây dựng dựa vào gĩi LAPACK của bài tốn trị riêng hàm riêng. Chương 2: Kết quả và phân tích. Chương này, chúng tơi giới thiệu về các yếu tố cần quan tâm khi sử dụng chương trình tính tốn đã xây dựng để tìm ra nghiệm chính xác của phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều trong điện trường và chú ý ở đây chính là phổ năng lượng của exciton. Chương trình tính tốn được áp dụng cho hai trường hợp cụ thể: trường hợp điện trường bằng khơng tức là bài tốn trở thành exciton hai chiều, trường hợp điện trường “nhỏ”. Đối với trường hợp khơng điện trường, chương trình tính tốn thu được nghiệm chính xác đến mười ba chữ số sau dấu phẩy khi viết về dạng chuẩn. Cịn đối với trường hợp cĩ điện trường, kết quả thu được phổ năng lượng của trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích giúp ta quan sát được hiệu ứng Stark. 5
  11. Chương 1: EXCITON HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU Phần đầu trong chương trình bày một cách tổng quan, ngắn gọn về phương pháp tốn tử FK và quy trình áp dụng phương pháp vào các bài tốn đã được trình bày ở các cơng trình [1], [2], [3], [17] bao gồm bốn bước : Hamiltonian được đưa về dạng tốn tử sinh hủy. Hamiltonian được tách thành hai thành phần: thành phần chính đã cĩ nghiệm chính xác và thành phần nhiễu loạn Ta tìm nghiệm chính xác bậc zero Ta tìm nghiệm số chính xác. Phần tiếp theo là xây dựng phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều. Trong phần này, chuyển động của exciton được thành tách hai chuyển động : Chuyển động tương đối giữa electron và lỗ trống trong trường xuyên tâm Coulomb chịu tác dụng của điện trường Chuyển động của hạt tự do. Sau đĩ, phương trình Schrưdinger mơ tả chuyển động tương đối của lỗ trống và electron được đưa về dạng khơng thứ nguyên để thuận tiện cho việc tính tốn. Hamiltonian trong phương trình thu được ở đây cĩ số hạng gây khĩ khăn do cĩ thành phần ở mẫu số, vấn đề này sẽ được giải quyết khi áp dụng phép biến đổi Levi-Civita. Cuối cùng, phương pháp tốn tử FK được áp dụng cho exciton hai chiều trong điện trường để tìm ra nghiệm số chính xác. Đặc biệt, ở bước cuối trong quy trình áp dụng phương pháp ngồi việc sử dụng sơ đồ vịng lặp để tìm ra các bổ chính bậc cao để thu được nghiệm số chính xác, ta cĩ thể giải hệ phương trình tuyến tính được trình bày ở phần sau. 1.1 Phương pháp tốn tử FK Phương trình Schrưdinger là phương trình động lực học cơ bản của cơ lượng tử, nĩ đĩng vai trị tương tự phương trình định luật II Newton trong cơ học cổ điển. Vì vậy các bài tốn chuyển động phi tương đối tính của hệ vật lý trong thế giới vi mơ đều dẫn tới việc giải phương trình này. Đây là phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc một theo thời gian và bậc hai theo tọa độ, nhờ đĩ ta cĩ thể khảo sát sự biến đổi trạng thái của hệ theo thời gian. Trường hợp phương trình Schrưdinger cĩ sự phân ly biến số 6
  12. giữa thời gian và tọa độ người ta gọi là phương trình Schrưdinger dừng, đây là trường hợp đặc biệt nhưng chiếm đa số trong các hệ vật lý thực được nghiên cứu. Nghiệm của nĩ là hàm sĩng mơ tả trạng thái và trị riêng của phương trình là năng lượng của hệ đang xét [14]. Tuy nhiên, nghiệm giải tích chính xác của phương trình này chỉ được xác định trong một số trường hợp đơn giản tiêu biểu như bài tốn nguyên tử hydro, dao động tử điều hịa, hạt chuyển động trong hố thế vuơng gĩc, Cịn đối với bài tốn phức tạp hơn thì phải dùng đến các phương pháp gần đúng cĩ thể kể đến phương pháp nhiễu loạn và biến phân mà trong đĩ phương pháp nhiễu loạn được xem là một phương pháp kinh điển được sử dụng của cơ học lượng tử. Phương pháp tốn tử FK được đặt tên theo hai giáo sư Feranchuk và Komarov thuộc nhĩm nghiên cứu ở đại học Belarus đã xây dựng phương pháp này vào những năm 1980 cho bài tốn dao động tử điều hịa bậc bốn [12]. Phương pháp này đã được phát triển và ứng dụng thành cơng cho nhiều bài tốn vật lý khác nhau như bài tốn vật lý chất rắn, lý thuyết trường, vật lý nguyên tử và phân tử [5], [6], [11], [13]. Phương pháp tốn tử FK là một trong những phương pháp tìm nghiệm số chính xác bao gồm cả hàm sĩng lẫn năng lượng cho phương trình Schrưdinger. Ý tưởng chính của phương pháp này tương tự như thuyết nhiễu loạn tức là tách thành phần Hamiltonian thành hai thành phần, trong đĩ thành phần chính đã cĩ nghiệm chính xác và phần cịn lại là nhiễu loạn. Tuy nhiên, việc phân chia Hamiltonian trong lý thuyết nhiễu loạn dựa vào yếu tố vật lý, phần nhiễu loạn thường liên quan đến tương tác trường ngồi và phải đủ nhỏ mới áp dụng phương pháp này. Cịn đối với phương pháp tốn tử việc phân chia hai thành phần này chỉ dựa vào hình thức tốn tử trong Hamiltonian. Ngồi ra, phương pháp tốn tử FK cịn đưa vào một tham số tự do  để hiệu chỉnh sự tương quan về độ lớn của thành phần chính và nhiễu loạn nhằm thỏa mãn điều kiện của lý thuyết nhiễu loạn. Nhờ vậy, bán kính hội tụ của chuỗi nhiễu loạn được làm tăng, cho phép xác định nghiệm số chính xác bằng số với độ chính xác tùy ý. Trong một số cơng trình trước [1], [3] việc áp dụng phương pháp này để giải phương trình Schrưdinger thơng thường tuân theo các bước sau: Bước một: Hamiltonian được đưa về biểu diễn đại số 7
  13. ˆˆ d H xH,, a , a ˆˆ  (1.1) dx bằng cách chuyển các biến số động lực qua các tốn tử sinh hủy:  11dd aˆˆ xax ,, (1.2) 22 dxdx trong đĩ  là tham số thực dương được đưa vào để tối ưu quá trình tính tốn. Hệ thức giao hốn giữa các tốn tử sinh hủy: aaˆˆ,1 (1.3) là cơng cụ chính trong quá trình tính tốn. Bước hai: Tách Hamiltonian thành hai thành phần: ˆˆˆ OMOM H aˆ, a ˆˆ ,, ˆˆ ,, ˆ  H ,0  , a , a V a a (1.4) ˆ OM trong đĩ thành phần thứ nhất là Ha0 a ˆˆ,, chỉ chứa tốn tử trung hịa, đây là thành phần chính đã cĩ nghiệm chính xác, thành phần cịn lại là Vˆ OM aˆˆ,,, a  được coi như là thành phần nhiễu loạn. Như vậy, tương tự phương pháp nhiễu loạn, trong phương pháp tốn tử FK, Hamiltonian cũng được tách thành hai thành phần: thành phần chính cĩ nghiệm chính xác và thành phần đĩng vai trị thành phần nhiễu loạn. Tuy nhiên, việc phân chia lúc này chỉ dựa vào hình thức số hạng của Hamiltonian. Hệ số phi điều hịa  cĩ mặt trong cả hai thành phần của Hamiltonian nên một tham số tự do  phải được đưa vào; tham số này khơng cĩ mặt trong Hamiltonian tồn phần Hˆ aˆˆ,, a  nhưng xuất hiện trong hai thành phần trên. Ta cĩ thể thay đổi giá trị  để làm cho thành phần thực sự nhỏ nhằm thỏa mãn điều kiện của thuyết nhiễu loạn với độ lớn bất kì của trường ngồi . Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc zero bằng cách giải phương trình: ˆ OM 0 0 0 H0 aˆˆ a,,.   E  (1.5) ˆ OM Ta thấy tốn tử H0 aˆˆ a,, giao hốn với tốn tử aaˆˆ cho nghiệm riêng là: 8
  14. 1 n na  ˆ 0. (1.6) n! Ở đây ta sử dụng khái niệm và kí hiệu Dirac để định nghĩa, trong đĩ hàm sĩng (1.6) được gọi là vector trạng thái và trạng thái chân khơng 0  được định nghĩa: aˆ  0 0,0 0 1. (1.7) Từ hệ thức giao hốn (1.3) ta dễ dàng chứng minh được aˆˆ a nn n từ đĩ cĩ thể suy ˆ OM ra được trị riêng của Ha0 a ˆˆ,, là năng lượng gần đúng bậc zero. Bước bốn: Xác định yếu tố ma trận tìm ra nghiệm số chính xác Bước này ta cĩ thể sử dụng sơ đồ của lý thuyết nhiễu loạn để tính các bổ chính bậc cao. Ngồi ra, do tính hội tụ của phương pháp tốn tử rất cao chúng ta cĩ thể sử dụng sơ đồ vịng lặp cĩ ý tưởng sau: Hàm sĩng chính xác của bài tốn cĩ thể được biểu diễn chồng chập các trạng thái (1.6) như sau:  nk n C k . (1.8) k 0 kn Thay hàm sĩng (1.8) vào phương trình Schrưdinger, ta thu được hệ phương trình sau: EHCVn nn k nk , k 0, k n (1.9) En H jj C j V jn  C k V jk , j 0,1,2 n . k 0, k n Để cĩ được một thuật tốn nhanh và tiết kiệm tài nguyên, ta sử dụng sơ đồ dưới đây. Hàm sĩng gần đúng ở vịng lặp thứ s được định nghĩa như sau: ns ss  nk n C k , (1.10) k max 0, n s s với các hệ số Ck được xác định theo từng vịng lặp. Thay (1.10) vào phương trình Schrưdinger, ta thu được hệ phương trình ứng với gần đúng bậc như sau: 9
  15. ns ss Ennnk HC nk V  , (1.11) k max(0, n s ) ns s ss En H jj C j VC jnn V jk  j , n s 0,1,2, n . (1.12) k max(0, n s ) kn Các yếu tố ma trận trong các sơ đồ trên được kí hiệu như sau: ˆˆOMOM Hkkjk k H0 k,; V j V k (1.13) các yếu tố ma trận này cĩ thể xác định được bằng các biến đổi đại số dựa vào hệ thức (1.3) và (1.7). 1.2 Phương trình Schrưdinger của exciton 2D trong điện trường đều Phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều trong điện trường đặt theo phương song song với bề mặt vật liệu   12, ,0 là phương trình khơng dừng. Vì exciton cĩ thể bị ion hĩa và thời gian sống của nĩ là hữu hạn, nên cần phải sử dụng phương trình Schrưdinger phụ thuộc vào thời gian. Tuy nhiên, giả thuyết rằng thời gian sống của exciton tương đối dài, nên ta cĩ cĩ thể áp dụng phương trình Schrưdinger dừng cĩ dạng như sau: Hˆ  x,, y , E  x y (1.14) Vì chuẩn hạt exciton bao gồm một lỗ trống mang điện tích dương và một electron mang điện tích âm tương tác với nhau qua thế Coulomb, về cấu tạo giả hạt này tương tự như nguyên tử hydro nên Hamiltonian lúc này bao gồm ba thành phần sau: 22 Ze*2 Tˆ 22  tốn tử động năng của lỗ trống và exciton; Vˆ là 22mm he he 4  0 rrhe ˆ thế tương tác Coulomb và U e reh r là tốn tử thế năng của lỗ trống và electron do điện trường gây ra. Phương trình Schrưdinger của exciton 2D trong điện trường đều: 2 2 2 Ze 22  e r r  x,,, y E  x y h e e h (1.15) 22mm4  rr he 0 he với mmhe, là khối lượng hiệu dụng của lỗ trống và electron, 0 là hằng số điện. 10
  16. Ngồi ra, việc electron và lỗ trống trong exciton tương tác với nhau, các hạt này cịn chịu tương tác của các vi hạt khác trong cấu trúc mạng tinh thể. Vì thế ở đây ta sử dụng phép gần đúng khối lượng hiệu dụng, mối liên hệ giữa khối lượng hiệu dụng với 11dk2 2 năng lượng: trong đĩ k là vector số sĩng cĩ độ lớn k , để mơ tả mdk*22  chuyển động của điện tử và lỗ trống trong trường tinh thể. Khối lượng hiệu dụng tỉ lệ tuyến tính với khối lượng tĩnh của điện tử me cĩ thể mang giá trị âm, dương hoặc vơ cùng tùy vào trạng thái của điện tử. Hamiltonian bao gồm hai thành phần động năng và thế năng do điện trường gây ra nên cĩ thể tách thành hai phần bao gồm của lỗ trống và electron, tuy nhiên thành phần thế Coulomb ta khơng thể thực hiện tương tự. Vì vậy, ta viết (1.15) trong hệ tọa độ chuyển động khối tâm và chuyển động tương đối hai hạt. Với rR, lần lượt vector tọa độ mơ tả chuyển động tương đối của electron và lỗ trống, chuyển động khối tâm của hệ giả hạt được định nghĩa như sau: me r e m h r h r reh r,. R (1.16) mmeh Phương trình (1.15) được viết lại như sau: 2 2 2 ˆ 22Ze He r rG   , (1.17) 2  2Mr 4 0 với mm *eh *  ,.M meh m (1.18) mmeh Lúc này, Hamiltonian của ta cĩ thể tách thành hai thành phần: ˆ ˆ ˆ HHH rG, (1.19) trong đĩ: 22 ˆ 2 Ze Hrr *  e r, 24 0r 2 Hˆ 2 . GG2M * 11
  17. Áp dụng phương pháp tách biến, phương trình (1.14) cĩ thể tách thành hai phương trình trị riêng hàm riêng: 22Ze 2 e r  r E r , * rr r r (1.20) 24 0r 2 R ER ; (1.21) 2M * GG G EEE , với năng lượng và hàm sĩng của hệ lần lượt là rG rG rR . Ta cĩ thể tách chuyển động của exciton thành hai chuyển động trong đĩ là chuyển động tương đối giữa electron, lỗ trống cĩ khối lượng hiệu dụng * trong trường xuyên tâm Coulomb; chịu tác dụng của điện trường cĩ phương trình Schrưdinger (1.20) và chuyển động của hạt cĩ khối lượng M * cĩ phương trình Schrưdinger là phương trình (1.21) đã cĩ nghiệm sẵn, do đĩ phương trình ta cần quan tâm đĩ là phương trình (1.20). Để đơn giản trong quá trình tính tốn ta chuyển phương trình (1.20) về dạng khơng thứ nguyên với Z 1, ta được: 11 22 12x  y  x,,. y E  x y (1.22) 2 xy22 22 xy 4* * e  Ở đây đơn vị của năng lượng là hằng số Rydberg hiệu dụng R 2 2 2 , đơn vị độ 16 0 4  2 dài là bán kính Bohr hiệu dụng a 0 . Cường độ điện trường khơng thứ nguyên e2* ea ea , lần lượt được xác định bằng biểu thức:  12, . 12 12RR Ngồi ra, tốn tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz trong hệ đơn vị nguyên tử: ˆ  Lz i x y . (1.23) yx 12
  18. 1.3 Phép biến đổi Levi-Civita Một trong những cơng đoạn quan trọng khi sử dụng phương pháp tốn tử FK chính là đưa Hamiltonian về dạng tốn tử sinh hủy, tuy nhiên trong bài tốn này nĩi riêng và các bài tốn về nguyên tử phân tử nĩi chung thì các số hạng biểu diễn tương tác Coulomb chứa thành phần tọa độ ở phía mẫu số gây khĩ khăn trong việc đưa về dạng chuẩn khi biểu diễn qua các tốn tử sinh hủy. Một trong những cách khắc phục khĩ khăn trên là sử dụng mối liên hệ giữa bài tốn exciton hai chiều và dao động tử điều hịa hai chiều trong cơng trình [17]. Ta sẽ giải phương trình (1.22) bằng phương pháp tốn tử FK dựa trên ý tưởng lý thuyết nhiễu loạn với thành phần chính là dao động tử điều hịa. Các nghiên cứu trước [3], [17] đã chỉ ra mối liên hệ giữa bài tốn nguyên tử trong khơng gian (,)xy với bài tốn dao động tử phi điều hịa trong khơng gian (,)uv thơng qua phép biến đổi Levi- Civita: x u22 v , (1.24) y 2, uv với d x2 y 2 u 2 v 2 , dxdy 4 x22 y dudv . Để đảm bảo tính Hermit của Hamiltonian trong tọa độ mới (u, v) phương trình (1.22) tương đương phương trình sau: H ( u , v ) 0, (1.25) trong đĩ: H d Hˆ E (1.26) cĩ dạng Hamiltonian của dao động động tử phi điều hịa trong khơng gian (,)uv: 22 1  4 4 2 2 2 2 H 22 12 u v 2 uv u v E u v 1. (1.27) 8 uv Trong khơng gian (,)uv thì tốn tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz trở thành: 13
  19. ˆ i  Luvz . (1.28) 2 vu 1.4 Phương pháp tốn tử FK cho bài tốn exciton 2D trong điện trường 1.4.1 Phương pháp đại số Phương pháp đại số sẽ được sử dụng để giải phương trình Schrưdinger (1.25) – (1.27) thơng qua các tốn tử sinh, hủy Dirac được định nghĩa lần lượt sau đây: 11  uˆˆ uuu ,, uu 22 (1.29) 11  vˆˆ vvv ,. 22 vv Các tốn tử này thỏa mãn hệ thức giao hốn uˆ,1, uv ˆˆ ˆv ,1 Khi sử dụng phương pháp tốn tử FK người ta thường quan tâm đến tính đối xứng của bài tốn. Trong các bài tốn exciton hai chiều, exciton hai chiều trong từ trường vuơng gĩc, thì hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz bảo tồn, nghĩa là Hamiltonian và tốn tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz ˆ Lz giao hốn với nhau. Vì thế ta sẽ sử dụng bộ hàm sĩng cơ sở là các hàm riêng của ˆ tốn tử Lz . Cách đơn giản nhất để thực hiện điều này là định nghĩa tốn tử sinh hủy mới là tổ hợp tuyến tính của tốn tử sinh hủy cũ sao cho cĩ dạng trung hịa. Mặc dù đối với bài tốn này, do ảnh hưởng của điện trường nên đại lượng này khơng bảo tồn (Phụ lục 4), nhưng để thống nhất với cơng trình trước [3], ta vẫn sẽ sử dụng bộ hàm sĩng cơ sở là các hàm riêng của tốn tử để tính tốn. Ta định nghĩa các tốn tử sinh hủy mới nhằm chéo hĩa như sau: 1 aˆ  1 uˆ iv ˆ 1 u ˆ iv ˆ , 22 1 aˆ  1 uˆ iv ˆ 1 u ˆ i v ˆ , 22 (1.30) 1 bˆ  1 uˆ iv ˆ 1 u ˆ iv ˆ , 22 1 b  1 uˆ i v ˆ 1 u ˆ i v ˆ . 22 14
  20. Các tốn tử này cũng thỏa mãn hệ thức giao hốn aˆˆ,1, ab b ,1. ˆˆ Ở đây, các tốn tử (1.30) được đưa vào một tham số tự do, đĩng vai trị điều chỉnh tốc độ hội tụ. Tham số này sẽ khơng ảnh hưởng đến kết quả bài tốn vì nĩ khơng cĩ mặt trong Hamiltonian tồn phần mà chỉ xuất hiện trong thành phần chính và thành phần nhiễu loạn, nĩ đĩng vai trị điều chỉnh độ lớn của hai thành phần này để áp dụng điều kiện nhiễu loạn. Hamiltonian (1.27) được biểu diễn dưới dạng tốn tử sinh hủy (1.30) như sau (xem phụ lục 6): HHER R (1.31) với   HR NMMˆ ˆ ˆ 1 NMMaabb ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ 2ˆ 2 ˆ 2 22 abab ˆ ˆ ˆ ˆ 82  2 (1.32) i 2 NMMaaˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ 2 bbˆ 2 ˆ 2 2 ab ˆ ˆ 2 ab ˆ ˆ 1, 2 2 và 1 RNMM ˆ ˆ ˆ , (1.33)  trong đĩ các tốn tử NMMˆ,, ˆ ˆ được định nghĩa như sau: Mabˆ ˆˆ, M ˆ ab ˆ ˆ , N ˆ aabb ˆ ˆ ˆ ˆ 1 , (1.34) thỏa mãn hệ thức giao hốn ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ MNMNMMMMN, 2 , , 2 , , . (1.35) Khi đĩ, ta thu được tốn tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo dưới dạng tốn tử trung hịa: 1 Lˆ aˆˆ a bˆˆ b . (1.36) z 2 15
  21. 1.4.2 Bộ hàm sĩng cơ sở Bộ hàm sĩng được chọn là nghiệm riêng của các tốn tử trung hịa aˆˆ a, bˆˆ b như sau: n 1 n1 2 ˆ ˆ n12,0 na , b  (1.37) nn12!! với nn12, là số nguyên khơng âm và trạng thái chân khơng 0  được định nghĩa từ các phương trình: abˆ  0  0,0  ˆ 0, (1.38) và phương trình chuẩn hĩa hàm sĩng: 001.  (1.39) Nghiệm của phương trình (1.25) được xác định dưới tổ hợp tuyến tính của các hàm sĩng cơ sở (1.37) dạng như sau:  n,, n . C j k (1.40) n12, njk 1 2  jk 00 j n12 k n 1.4.3 Các yếu tố ma trận của Hamiltonian Ta giải phương trình (1.25) với hàm sĩng khai triển (1.40) khi đĩ phương trình được viết lại : HnnR ,,,,. Cjk ERnn Cjk (1.41) 1 2 jk n12 n 1 2   jk j 0 k 0 j 0 k 0 j n1 k n 2 j n 1 k n 2 Nhân hai vế (1.41) với jk , ta được: jkHnn ,,,,,,, R Cjk E jkRnn Cjk 1 2 jk n12 n 1 2   jk j 0 k 0 j 0 k 0 j n1 k n 2 j n 1 k n 2 hay 16
  22. HCRR H E RC R , (1.42) n11 jjk'''' 2 jj 1  n n  n jjk jj kkkk'' n22 kn'' k j 0 kj 00 k 0 j n1 k nj 21 n k 2 n R trong đĩ các yếu tố HRjjjj'', được định nghĩa như sau: kkkk'' HRRR j ,,, k H j kH dV* jjj', k j , k kk ' (1.43) * Rjjj', k j , j , k R j ,. kR dV kk ' Thực hiện các tính tốn đại số để tìm biểu thức của các yếu tố ma trận (1.42), làm cơ sở để xác định nghiệm số chính xác của bài tốn. Kết quả thu được biểu thức của các yếu tố ma trận khác khơng như sau: Yếu tố ma trận của R : 1 R n n 1, nn11, 1 2 nn,  22 (1.44) 1 Rn n 1 1 . nn11, 1 1 2 nn22,1  Yếu tố ma trận của H :  HR n n 1 1, nn11, 1 2 nn22, 8  HR n 1 n 1 , nn11, 1 1 2 nn22,1 8 1 HR 3 i n n 1 n n 1 , nn11, 1 1 2 2 1 2 1 2 nn22,1 2 1 HR  i n 3 n 3 n 1 n 2 , nn11, 2 1 2 2 1 2 1 1 nn22, 2 1 HR  i3 n n 3 n 1 n 2 , nn11, 1 2 2 1 2 2 2 nn22,2 2 1 n 3! H R   in1 1, nn11, 3 1 22 2 nn22,1 2! n1 1 n 3! HR  i2 n 1. nn11, 1 1 2 2 1 nn22,3 2! n2 (1.45) Các yếu tố ma trận khác khơng khác cĩ thể được xác định bằng cách dựa vào tính chất của tốn tử hermit: 17
  23. * R R,. HHRR (1.46) n1,,,, n 1 n 1 n 1 n 1 nn 11 n 1 n2,,,, n 2 n 2 n 1 n 2 nn 22 n 2 Các yếu tố ma trận H (1.45) cĩ chứa cả phần thực lẫn phần ảo. Điều này dự đốn năng lượng của exciton cũng cĩ dạng phức Ei  /2, phù hợp với bản chất vật lý của hệ nguyên tử trong điện trường ngồi, trong đĩ thành phần ảo đặc trưng cho xác suất ion hĩa xuyên ngầm  của nguyên tử [22], là một đại lượng cĩ ý nghĩa trong việc xác định các tính chất vật lý của hệ. 1.4.4 Nghiệm số chính xác của phương trình Phương trình (1.42) tương đương với phương trình sau: C HR EC R với C 1 (1.47) jk jj'' n12 njk jj nn12 j kj k kkkk'' Khi đã xác định được các yếu tố ma trận (1.44)-(1.45) thì phương trình (1.22) cĩ thể giải bằng cách áp dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn như đã giới thiệu hoặc cũng cĩ thể giải trực tiếp bằng hệ phương trình tuyến tính. Để giải bài tốn exciton hai chiều trong điện trường đều ta xây dựng chương trình tính tốn dựa trên ngơn ngữ FORTRAN. Phần quan trọng nhất trong chương trình chính là sử dụng gĩi LAPACK tìm trị riêng cho bài tốn trị riêng, hàm riêng trong thư viện Intel Math Kernel. 18
  24. Chương 2: KẾT QUẢ VÀ PHÂN TÍCH Trong chương này, đầu tiên ta sẽ giới thiệu về chương trình tính tốn cùng một số tham số liên quan. Tiếp theo, chương trình tính tốn được áp dụng để tìm năng lượng của exciton trong hai trường hợp: trường hợp điện trường bằng khơng, trường hợp điện trường khác khơng. Trường hợp điện trường bằng khơng, tức là bài tốn trở thành exciton hai chiều khơng chịu tác dụng của trường ngồi, ta sẽ khảo sát năng lượng của exciton theo các tham số trong bài và so sánh kết quả thu được với nghiệm giải thích trong cơng trình [7] nhằm kiểm tra chương trình tính tốn được xây dựng. Sau đĩ, chương trình được áp dụng cho trường hợp điện trường khác khơng thì ta thu được phổ năng lượng của exciton ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích, quan sát được hình ảnh của hiệu ứng Stark. 2.1 Chương trình tính tốn Chương trình tính tốn cĩ sự tham gia của nhiều tham số trong đĩ: tham số  và tham số nmax . Tham số  là một tham số đã được đề cập ở phần trên, đây là một tham số tự do bởi Hamiltonian tồn phần khơng phụ thuộc vào việc lựa chọn tham số này. Tuy nhiên, nĩ lại đĩng vai trị quan trọng trong phương pháp tốn tử FK do độ chính xác của nghiệm gần đúng thuộc vào việc lựa chọn tham số này. Nếu lựa chọn được vùng tham số  phù hợp thì kết quả thu được sẽ cĩ độ chính xác cao. Do đĩ, nghiệm của phương trình (1.25) cĩ thể viết lại dưới dạng gần đúng sau: nnmax max  n,, n , C j k (2.1) n12, njk 1 2  jk 00 j n12 k n trong đĩ các chỉ số jk, trong (1.40) được chạy từ khơng đến vơ cùng. Tuy nhiên, khi xây dựng chương trình tính tốn thì chỉ số này chỉ chạy đến nmax , do đĩ tham số nmax được lựa chọn phải đủ “lớn” sau đĩ kết hợp với chọn tham số  để thu được kết quả chính xác. Áp dụng hàm sĩng khai triển (2.1) trên vào (1.25), phương trình thu được cĩ dạng sau: nmax n max n max n max CHECRR với C 1 (2.2) jk jj'' n12 n  jk jj nn12 j kkk'' j k kk 19
  25. Từ phương trình (2.2) sẽ thu được một hệ phương trình tuyến tính cĩ các yếu tố ma trận đã được xác định, cĩ dạng như sau: AxBx  , (2.3) R trong đĩ: A là ma trận cĩ các yếu tố ma trận H jj' , B là ma trận cĩ các yếu tố ma trận kk ' 1 R jj ' , x là vector riêng của ma trận BA cĩ các phần tử là C jk ,  là trị riêng chính là kk ' các giá trị năng lượng của exciton E . nn12, Trị riêng  là chính nghiệm của phương trình det0 B 1 AI  gọi là phương trình đặc trưng. Các giá trị năng lượng của exciton chính là nghiệm của phương trình đặc trưng trên. Do đĩ, chương trình tính tốn được xây dựng sử dụng gĩi LAPACK để giải bài tốn trị riêng hàm riêng. 2.2 Trường hợp điện trường bằng khơng 12 0,0 Trước tiên, để kiểm tra tính chính xác của chương trình tính tốn, chương trình được áp dụng trường hợp khơng cĩ điện trường tức là 12 0 và kết quả được so sánh với kết quả trong cơng trình [7]. Trong cơng trình này, nghiệm giải tích của bài tốn exciton hai chiều khơng chịu tác dụng của trường ngồi, được xác định như sau: 1 En 2 với n 1,2,3, (2.4) 1 2 n 2 4* * e  trong đĩ đơn vị của năng lượng là hằng số Rydberg hiệu dụng R 2 2 2 . 16 0 Ở phần này, khi kết luận kết quả chính xác tức là kết quả thu được chính xác đến mười ba chữ số thập phân khi biểu diễn kết quả về dạng chuẩn. Trong quá trình khảo sát năng lượng theo  , sự chênh lệch giữa các giá trị trong khoảng hội tụ khơng đủ để thể hiện trên đồ thị nên ta cĩ thể phĩng đại sai số tuyệt đối giữa kết quả thu được bằng phương pháp FK và nghiệm giải tích trong cơng trình [7] cĩ dạng tổng quát như sau: * x EEE n 10 (2.5) 20
  26. trong đĩ: E là kết quả tính được bằng phương pháp FK, En n 1,2,3 là kết quả của cơng trình [7], x số mũ để chữ số cĩ nghĩa thứ 15 của EE n trở thành hàng đơn vị của E* . Vì vậy, giá trị  thu được kết quả chính xác chính là những giá trị  làm cho E* 5,5 . 2.2.1 Khảo sát năng lượng theo tham số  Việc lựa chọn tham số  đĩng vai trị quan trọng đối với độ chính xác của kết quả. Trước tiên, giá trị nmax được cố định sau đĩ khảo sát năng lượng ở trạng thái cơ bản và các trạng thái kích ứng với những giá trị khác nhau của  . Cụ thể, áp dụng chương trình cho nmax 50 , sự phụ thuộc của năng lượng exciton ở một số trạng thái vào tham số  được khảo sát. Ứng với trạng thái cơ bản n 1 , kết quả thu được chính xác khi giá trị  1,3;12 (hình 2.1), kết quả này thu được cho thấy vùng hội tụ khá rộng Tương tự, ứng với trường hợp năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất n 2 , giá trị  giúp thu được năng lượng chính xác nằm trong đoạn 0,6;3,4 (hình 2.2). Cịn mức năng lượng ở trạng thái kích thích thứ hai n 3 ,  giúp ta thu được kết quả chính xác thuộc đoạn 0,4;1,7 (hình 2.3). Từ đĩ, nhận xét thấy là ứng với trạng thái kích thích khi n càng tăng thì khoảng giá trị  cho giá trị chính xác càng bị thu hẹp lại khá nhanh, dịch chuyển về phía  nhỏ. Tuy nhiên, trường hợp nmax 50 chương trình chỉ cĩ thể khảo sát  0,1, cịn ứng với trường hợp nhỏ hơn thì các kết quả thu được chênh lệch lớn rất nhiều so với kết quả chính xác. Nguyên nhân được dự đốn là cĩ thể do khoảng  cĩ ý nghĩa đối với năng lượng trạng thái kích thích cao nhưng nmax 50 chưa đủ lớn để thu được trạng thái kích thích đĩ. Trong khoảng  được khảo sát thu được giá trị năng lượng chính xác đến trạng thái n 20 , và tối đa ta chỉ xác định năng lượng kích thích ở trạng trái n 25 . 21
  27. Hình 2.1 Sự hội tụ của phương pháp tốn tử FK cho trạng thái cơ bản n 1 trong trường hợp nmax 50 . Năng lượng của exciton ở trạng thái cơ bản thu được kết quả chính xác với  1,3;12. Lưu ý: EE*14 2,00000000000000 *10 Hình 2.2 Sự hội tụ của phương pháp tốn tử FK cho trạng thái kích thích thứ nhất n 2 trong trường hợp nmax 50 . Năng lượng của exciton ở trạng thái kích thích thứ nhất thu được kết quả chính xác với  0,6;3,4 . Lưu ý: EE* 0,222222222222222 10 15 22
  28. Hình 2.3 Sự hội tụ của phương pháp tốn tử FK cho trạng thái kích thích thứ hai n 3 trong trường hợp nmax 50 . Năng lượng của exciton ở trạng thái kích thích thứ hai thu được kết quả chính xác với  0,4;1,7 . Lưu ý: EE*16 0,0800000000000000 10 2.2.2 Khảo sát sự phụ thuộc vào tham số nmax Khi xây dựng chương trình tính tốn thì tham số nmax được sử dụng thay cho vơ cùng, nên được chọn phải đủ “lớn”. Nhưng vì thời gian khảo sát cĩ hạn nên khi tiếp tục tăng nmax , ta chọn nmax 80 để áp dụng chương trình. Tương tự với trường hợp nmax 50 , sự phụ thuộc của năng lượng ở các trạng thái theo  cũng được khảo sát. Ở trường hợp nmax 80 , giá trị  thu được năng lượng chính xác ở trạng thái kích thích thứ nhất n 2 là  0,35;5,0 (hình 2.4). Cịn khi  0,3;2,4 kết quả thu được năng lượng ở trạng thái kích thứ ba n 3 chính xác (hình 2.5). Ở cả hai mức năng lượng kích thích thì đoạn  giúp thu kết quả chính xác so với trường hợp nmax 50 đều được mở rộng ra về hai phía. Tuy nhiên, tương tự với nmax 50 thì giá trị  cĩ thể khảo sát cũng phải lớn hơn 0,1. Và trong khoảng  được khảo sát thì thu được giá trị năng lượng chính xác đến trạng thái n 24 , và tối đa ta chỉ xác định năng lượng kích thích ở trạng trái n 28 . 23
  29. Hình 2.4 Sự hội tụ của phương pháp tốn tử FK cho trạng thái kích thích thứ nhất n 2 trong trường hợp nmax 80 . Năng lượng của exciton ở trạng thái kích thích thứ nhất thu được kết quả chính xác với  0,35;5,0. Lưu ý: EE*15 0,222222222222222 10 Hình 2.5 Sự hội tụ của phương pháp tốn tử FK cho trạng thái kích thích thứ hai n 3 trong trường hợp nmax 80 . Năng lượng của exciton ở trạng thái kích thích thứ hai thu được kết quả chính xác với  0,3;2,4 . Lưu ý: EE* 0,0800000000000000 10 16 24
  30. 2.2.3 Kết luận: Thơng qua hai khảo sát trên thì ta cĩ thể rút ra được một số kết luận chương trình tính tốn được xây dựng như sau: Thứ nhất, đối với mức năng lượng ở trạng thái kích thích càng cao, khoảng giá trị  cĩ thể thu giá trị năng lượng chính xác càng bị thu hẹp và dịch về  nhỏ. Thứ hai, tăng nmax 50 đến nmax 80 : khơng làm tăng độ chính xác của kết quả nhưng việc này sẽ giúp mở rộng khoảng  cĩ thể thu được kết quả chính xác và thu mức được năng lượng ở trạng thái kích thích cao hơn. Đối với mức năng lượng cĩ n 20 , áp dụng chương trình cho nmax 50 ta cĩ thể thu được kết quả chính xác đến mười ba chữ số sau dấu phẩy khi kết quả được viết về dạng chuẩn. Kết quả năng lượng exciton 2D được tính bằng phương pháp tốn tử FK ở một số trạng thái được thể hiện trong bảng 2.1. Bảng 2.1 Năng lượng của exciton 2D ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích được tính bằng phương pháp tốn tử FK và trong cơng trình [7] Phương pháp tốn tử FK Cơng trình [7] n 1 -2,00000000000000 -2,000000000000000000 n 2 -0,222222222222222 -0,2222222222222222222 n 3 -0,0800000000000000 -0,08000000000000000000 n 4 -0,0408163265306122 -0,04081632653061224489 n 5 -0,0246913580246914 -0,02469135802469135802 n 6 -0,0165289256198347 -0,0165289256198347107438 n 7 -0,0118343195266272 -0,0118343195266272189349 n 8 -0,00888888888888889 -0,00888888888888888888889 n 9 -0,00692041522491350 -0,00692041522491349480968 n 10 -0,00554016620498615 -0,00554016620498614958448 25
  31. 2.3 Trường hợp điện trường khác khơng 12 0,0 Chương trình tính tốn đã cho phép xác định một số kết quả cho trường hợp khơng điện trường. Trong phần này, ta tiếp tục áp dụng chương trình tính tốn cho trường hợp điện trường khác khơng, để đơn giản điện trường được đặt theo trục Ox . Cường độ điện trường được khảo sát bắt đầu từ 5,0.10 6 đến 5,0.10 3 , đối với trường hợp này cĩ thể xác định được năng lượng ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích được thể hiện thơng qua bảng sau. Bảng 2.2 Năng lượng trạng thái cơ bản (1)n phụ thuộc vào cường độ điện trường. 1 Giá trị năng lượng ở trạng thái cơ bản n 1 5,0.10-6 -2,00000000000202 5,0.10-5 -2,00000000020142 1,0.10-4 -2,00000000080602 5,0.10-4 -2,00000002016788 1,0.10-3 -2,00000008059107 1,5.10-3 -2,00000018132998 2,0.10-3 -2,00000032236452 3,0.10-3 -2,00000072532114 3,5.10-3 -2,00000098724348 4,0.10-3 -2,00000163197735 5,0.10-3 -2,00000201478934 Bảng 2.3 Năng lượng trạng thái kích thích thứ nhất n 2 phụ thuộc vào cường độ điện trường.Trạng thái kích thích thứ nhất bị tách làm ba vạch. Giá trị năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất n 2 5,0.10-6 -0,237226004943158 -0,222222221297009 -0,203101165733148 5,0.10-5 -0,237226487639043 -0,222222129707035 -0,203100900341492 1,0.10-4 -0,237227950258994 -0,222221852237120 -0,203101165733148 5,0.10-4 -0,237274679057189 -0,222213032852702 -0,203074378636976 1,0.10-3 -0,237419783176928 -0,222186203810867 -0,203048693601639 1,5.10-3 -0,237658620145060 -0,222143849914059 -0,202861323800138 2,0.10-3 -0,237987029540199 -0,222089182432556 -0,202676725833476 3,0.10-3 -0,238891049996992 -0,221958902759182 -0,202158483998447 3,5.10-3 -0,239454736091213 -0,221891696685213 -0,201828727048276 4,0.10-3 -0,240084857165791 -0,221828368090637 -0,201454956899363 5,0.10-3 -0,241522127130521 -0,221726320749949 -0,200585919085719 26
  32. Do ảnh hưởng của điện trường nên ứng với những trạng thái kích thích thứ n 1 mức năng lượng của chúng bị tách thành 21n vạch. Cụ thể trên hình biểu diễn được các mức năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất n 2 , thứ hai n 3 và thứ ba n 4 . Nhờ vào phổ năng lượng của exciton theo điện trường ta cĩ thể quan sát được hiệu ứng Stark. Các mức năng lượng ở các trạng thái kích thích bị tách vạch, dẫn đến các vạch ở trạng thái kích thích khác nhau cĩ thể xen kẽ vào nhau. Điều đĩ gây khĩ khăn trong việc xác định giá trị năng lượng khi tiếp tục tăng điện trường, đặc biệt đối với trạng thái kích thích. Hình 2.6 Phổ năng lượng của exciton theo điện trường. Các mức năng lượng trạng thái kích thích thứ nhất, hai và ba lần lượt tách thành 3, 5, 7 vạch. Lưu ý: Cường độ điện trường được áp dụng cĩ giá trị nhỏ nên phần thể hiện đồ thị là phần lũy thừa của hai lần cường độ điện trường. Đối với bài tốn exciton 2D trong điện trường trong luận văn này, ta chưa khảo sát được cách chọn tham số  để thu được kết quả với độ chính xác cao, đáng tin cậy 27
  33. và thu được tỉ lệ ion hĩa. Chúng tơi dự đốn cĩ thể do các yếu tố ma trận của H bao gồm hai thành phần ảo và phức. Tham số  được đưa vào khi khảo sát lại chỉ cĩ phần thực, nên nĩ đĩng được vai trị của mình rất hiệu quả trong trường hợp khơng điện trường, nhưng lại gặp khăn trong trường hợp điện trường khác khơng. Để kiểm dự đốn trên, ta cần nhiều thời gian để khảo sát hơn. Do đĩ, kết quả thu được ở trường hợp này là phổ năng lượng exciton theo điện trường thể hiện được sự tách vạch của năng lượng ở một số trạng thái kích thích giúp quan sát được hiệu ứng Stark 28
  34. KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI Kết luận: Sau khi áp dụng phương pháp tốn tử FK cho bài tốn exciton hai chiều trong điện trường đều thu được các yếu tố ma trận, sau đĩ xây dựng chương trình tính tốn áp dụng vào trường hợp cụ thể, thu được một số kết luận sau: Trường hợp điện trường bằng khơng: kết quả thu được chính xác đến mười ba chữ số sau dấu phẩy khi viết về dạng chuẩn; đối với trạng thái kích thích càng cao thì khoảng  thu được kết quả chính xác càng hẹp và dịch về phía  nhỏ; khi tăng nmax thu được càng nhiều trạng thái kích thích và khoảng cũng được mở rộng hơn. Trường hợp điện trường khác khơng: khi cĩ điện trường thì các mức năng lượng của trạng thái kích thích bị tách vạch, dựa vào phổ năng lượng theo điện trường cĩ thể quan sát được hiệu ứng Stark. Hướng pháp triển đề tài : Xây dựng chương trình tính tốn nhanh và tối ưu hơn nhờ vào việc lựa chọn gĩi LAPACK. Khắc phục khĩ khăn trong lựa chọn nghiệm của phương trình. Áp dụng chương trình tính tốn cho điện trường lớn hơn. Ứng dụng phương pháp cho bài tốn exciton âm và dương hai chiều trong điện trường. 29
  35. DANH MỤC CƠNG TRÌNH Bài báo đã được nhận đăng: [1] Phạm Thị Mỹ Hảo, Nguyễn Thị Thùy Trang, Hồng Đỗ Ngọc Trầm, “Yếu tố ma trận cho exciton hai chiều trong điện trường”, Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM 30
  36. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt : [1] Cao Hồ Thanh Xuân, Lý Duy Nhất và Hồng Đỗ Ngọc Trầm, “Năng lượng trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường đều cĩ cường độ bất kì”, Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM 12, 90, pp. 39-51, 2016. [2] Nguyễn Hồ Thanh Huyền và Hồng Đỗ Ngọc Trầm, “Phương pháp tốn tử FK cải tiến giải phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều trong từ trường đều ”, Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM 14, 3, pp. 129-139, 2017. [3] Nguyễn Phương Duy Anh, Hồng Đỗ Ngọc Trầm, “Yếu tố ma trận cho nguyên tử heli hai chiều”, Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM 15, 9, pp. 22-34, 2018. Tiếng Anh: [4] Blossey D. F, “Wannier Exciton in an Electric Field. I. Optical Absorption by Bound and Continuum State”, Phys. Rev. B 2, 10, pp. 3976-3990, 1970. [5] Chan Za An, Feranchuk I. D. and Komarov L. I., “Operator method of calculation of the quasi-steady state eigenvalues”, Phys. Lett. A 125, pp. 123-128, 1987. [6] Chan Za An, Feranchuk I. D., “ The operator method in the direct and inverse problems of the spectroscopy”, Mol. Phys. 64, pp. 589-594, 1988. [7] Chernikov A. et al, “Exciton Binding Energy and Nonhydrogenic Rydberg Series in Monolayer WS2”, Phys. Rev. Lett. 113, pp. 076802-1, 2014. [8] Choi W. et al, “Recent development of two-dimensional transition metal dischalcogenides and their applications”, Mater. Today 20, 3, pp. 116-130, 2017. [9] Dow J. D. and Redfield D., “Electroabsorption in Semiconductors: The Excitonic Absorption Edge”, Phys. Rev. B 1, 8, pp. 3358-3371, 1970. [10] Duke C. B. and Alferieff M. E., “Solvable Model of a Hydrogenic System in a Strong Electric Field: Application to Optical Absorption in Semiconductors”, Phys. Rev 145, 2, pp. 583-591, 1996. 31
  37. [11] Feranchuk I. D., Ivanov A., Le Van-Hoang and Ulyanhenkov A., Nonperturbative description of quantum systems, Springer Switzerland, 2015. [12] Feranchuk I. D. and Komarov L. I., “The operator of the approximate solution of the Schrưdinger equation, Phys. Lett. A 88, 5, pp. 211-214, 1982. [13] Feranchuk I. D. and Komarov L. I, “The regular perturbation theory in the strong-coupling polaron problem”, J. Phys. C 15, pp. 1965-71, 1982. [14] Griffiths D. J., Introduction to quantum mechanics, Prentice Hall, 2004. [15] He Z., Sheng Y., Rong Y., Lee G., Li J. and Warner J. H., “Layer dependent modulation of tungsten Disulfide photoluminescence by lateral electric fields”, ACS Nano 9, pp. 2740-2748, 2015. [16] Huang S., Liang Y. and Yang L., “Exciton spectra in two-dimensional graphene derivatives”, Phys. Rev. B 88, pp. 075441-1, 2013. [17] Le Van Hoang, Nguyen Thu Giang, “The algebraic method for two- dimensional quantum atomic systems”, J. Phys., A 26, pp. 1409-1418, 1993. [18] Lederman F. L., and Dow J. D., “Theory electroabsorption by anisotropic and layered semiconductors. I. Two-dimentional excitons in a uniform electric field”, Phys. Rev. B 13, 4, pp. 1633-1641, 1976. [19] Linssen A. J. and Gelten M. J., “Energy levels of two-dimensional excitons in an electric field”, J. Phys. C: Solid State Phys 7, pp. 2304-2311, 1974. [20] Mak K. F. and Shan J., “Photonics and optoelectronics of 2D semiconductor transition metal dichalcogenides”, Nature photonics 10, pp. 216-226, 2016. [21] Miller R. C., Kleinman D. A., Tsang W. T. and Grossard A. C., “Observation of the excited level of excitons in GaAs quantum wells”, Phys. Rev. B 24, 2, pp. 1134-1136, 1981. [22] Pedersen T. G. et al, “Exciton ionization in multilayer transition-metal dichalcogenides”, New J. Phys.18 , 073043, pp. 1-10, 2016. [23] Pimple A., “Exciton radiative recombination of electrons and holes in semiconductors”, J. Opt. Soc. Am. B 3, 1, pp. 36-40, 1986. 32
  38. [24] Pokutnyi S. I., Tyc M. H., Salejda W. and Misiewicz J., “Two-dimensional Wannier-Mott Exciton in a Uniform Electric Field”, Physics of the Solid State 43, 5, pp. 923-926, 2001. [25] Ramasubramaniam A., Naveh D. and Towe E., “Tunable band gaps in bilayer transition-metal dichalcogenides”, Phys. Rev. B 84, pp. 205325-10, 2011. [26] Scharf B., Frank T., Gmitra M., Fabian J., Zutic I. and Perebeinos V., “Excitonic Stark effect in MoS2 monolayer”, Phys. Rev. B 94, pp. 245434-8, 2016. [27] Song X., Hu J. and Zeng H., “Two-dimensional semiconductors: recent progress and future perspectives”, J. Mater. Chem. C 1, pp. 2952–2969, 2013. [28] Wang H., Yuan H., Song S. S., Li Y. and Cui Y., “Physical and chemical tuning of two-dimensional transition metal dichalcogenides”, Chem. Soc. Rev 44, pp. 2664-2680, 2015. [29] Wu S., Cheng L., and Wang Q., “Exciton effects and related properties in semiconductor nanostructures: roles of size and dimensionality”, Mater. Res. Express 4, 8, pp. 085017, 2017. [30] Xiao J., Zhao M., Wang Y. and Zhang X., “Excitons in atomically thin 2D semiconductors and their applications”, Nano photonics 6, 6, pp. 1309-1328, 2017. 33
  39. PHỤ LỤC ˆˆ Phụ lục 1: Tách Hamiltonian thành hai thành phần bao gồm HHrG, . Hamiltonian được viết lại dưới dạng: 2 22 Ze Heˆ r r 22   . (A1.1) 22mm h ee h he4  0 rrhe Đưa Halmitonian của hệ về dạng chuyển động khối tâm, chuyển động tương đối của điện tử và lỗ trống. Ta sử dụng tọa độ mới: me r e m h r h r reh r,, R (A1.2) mmeh trong đĩ r mơ tả chuyển động tương đối của electron so với lỗ trống; R là vector tọa độ khối tâm của hệ giả hạt. Viết lại phép biến đổi tọa độ và tính một số cơng thức liên hệ:  mmeh     ,, reh  r M  R  r  r M  R 2 22   2m   2 m  m  e 2, e e r2  rrMR  *   r 2 MrRM *   *  R 2 ee (A1.3) 2 22 2 2   mh   m h  m h  2 * 2 2. * * 2 rhh  r  rMR   r MrRM    R Thay các biểu thức liên hệ (A1.3) và (A1.2) ta thu được Hamiltonian: 2 2 2 ˆ 22Ze He r rG   , (A1.4) 2  2Mr 4 0 với: * mmeh  , mmeh (A1.5) M meh m . 34
  40. Từ đây thấy rằng chuyển động của exciton cĩ thể tách ra thành hai chuyển động: chuyển động tương đối giữa electron và lỗ trống cĩ khối lượng hiệu dụng trong trường xuyên tâm Coulomb; chuyển động tự do của hạt cĩ khối lượng M*. ˆˆˆ HHH rG, (A1.6) với 22 ˆ 2 Ze Herr r *   , 24  0r 2 Hˆ  2 . GG2M * 35
  41. Phụ lục 2: Biến đổi phương trình Schrưdinger về dạng khơng thứ nguyên. Hamiltonian của exciton hai chiều trong điện trường trong hệ quy chiếu khối tâm: 22 ˆ 2 Ze He r *   , (A2.1) 24  0r Đưa phương trình (A2.1) về phương trình khơng thứ nguyên. Đặt: ra Eb,,r ,  c trong đĩ abc,, lần lượt là các hằng số cĩ thứ nguyên độ dài, năng lượng và cường độ điện trường;  ,  ,  là độ dài, năng lượng và cường độ điện trường khơng thứ nguyên. Thay vào ta được: 22Ze 2 ecab     , *2  24 aa  0 1 Ze2 a *  *  * 2 eca 3   ba 2   . 2  2 2 (A2.2) 24 0  Các hệ số abc,, thỏa mãn điều kiện sau: 2* 2 ea 4  0 2 1, a 2 * (A2.3) 4 0 e  * 2 2 *2e 5 eca3 1 c c (A2.4) 2ea * 32 3 64 3  3 4 * 4  0 0 e 2* e  * 2 2e 4 * ba2 1, b b (A2.5) 2 *a 22 2 16 2  2 2 * 4  0 0  2* e  Phương trình Schrưdinger trở thành: 1 2 Z         2  1 2 Z Hay r r  r E  r , (A2.6) 2 r 36
  42. với Z 1, phương trình Schrưdinger của exciton hai chiều trong điện trường đều dạng khơng thứ nguyên: 1 22 Z 12x  y  x,, y E  x y (A2.7) 2 xy22 22 xy 37
  43. Phụ lục 3: Phép biến đổi Levi-Civita. Phương trình Schrưdinger khơng thứ nguyên trong khơng gian (,)xy cĩ dạng như sau: Hˆ x,, y , E x y (A3.1) trong đĩ: 22 ˆ 11  Hx y 12. (A3.2) 2 xy22 22 xy Tốn tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz trong hệ đơn vị nguyên tử: ˆ  Liz xy . (A3.3) yx Phép biến đổi Levi – Civita được định nghĩa như sau: x u22 v , (A3.4) y 2, uv cho phép chuyển từ khơng gian hai chiều xy, về khơng gian hai chiều uv, . Trong đĩ khoảng cách trong khơng gian cĩ mối liên hệ với bình phương khoảng cách trong khơng gian : r x2 y 2 u 2 v 2. (A3.5) xx uv22uv 22 Thành phần Jacobien: J det J 4 u v . y y22 v u uv Thành phần này đĩng vai trị quan trọng trong việc chuyển phương trình Schrưdinger từ khơng gian xy, về khơng gian uv, . Bởi tích vơ hướng của vector trạng thái trong khơng gian xy, liên quan đến tích vơ hướng vector trạng thái trong khơng gian uv, thơng qua biểu thức sau: 38
  44.  x, y  x ,, y 4, . u v u22 v u v (A3.6) Do đĩ để đảm tính hermit của Hamiltonian qua phép biến đổi phương trình Schrưdinger được viết dưới dạng sau: H u,0 v với H r Hˆ E . (A3.7) Ngồi ra, ta cĩ một số cơng thức biến đổi như sau:   xy    2uv 2 , u  x  u  y  ux  y   xy    2vu 2 , v  x  v  y  vx  y 22 22 2   22    222 2u 2 v 4 u 8 uv 4 v , (A3.8) u  x  y  x  x  y  y 22 22 2   22    22 2v 2 u 2 4 v 8 uv 4 u , (A3.9) v  x  y  x  x  y  y       v 2 uv 2 v22 , u 2 uv 2 u , (A3.10) u  x  y  v  x  y  22     u v 2 u v 4 uv 2 x y . (A3.11) v  u  y  x  y  x Thay các thành phần trên vào (A3.7) ta thu được Hamiltonian: 22 1  4 4 2 2 2 2 H 22 12 u v 21. uv u v E u v (A3.11) 8 uv Trong khơng gian (,)uv thì tốn tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz trở thành: ˆ i  Lz u v . (A3.12) 2 vu 39
  45. ˆ Phụ lục 4: Tính giao hốn tử của Hamiltonian và Lz . Tốn tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo và Hamiltonian lần lượt cĩ dạng sau đây : ˆ i  Lz u v , (A4.1) 2 vu 22 1  4 4 2 2 2 2 Hu v 22 uv u  v12 E u 2. v (A.4.2) 8 uv Tính giao hốn tử của hai tốn tử: 1 22   i HLuv,2,,ˆ uvuv  Euv4 4 u 2 2v 2 2 z 2212 82 u  vv  u Suy ra: i 22   i   ˆ 1 44 H, Lz 22 ,, u v u v u v 162 u  v  v  u  v  u (A4.3) 2 2  iE 2 2   iuvuvu2 ,, v uvu v v  u 2  v  u Trong đĩ: 22    22 ,uv u  v  v  u 2   2   2   2  2,,,,u 2 v 2 u 2 v u  v  u  u  v  v  v  u (A4.4) 22    22,,uv u  v  v  u 0,  u44 v, u v vu     u4,,,, u u 4 v v 4 u v 4 v v  u  v  u (A4.5)  v u44,, u v uv 4,uv u22 v 40
  46.  u22 v, u v vu  u2222,,,, u v u u v v v (A4.6) vvuu 0,  uv u22 v , u v vu    uvuvu 2 22 ,, 2 v uvu v uv v  uv  u  uv,, u u2 v 22 2uv v u v (A4.7) vu u2 u 2 v 2 v 2 u 2 v 2 vu44, Suy ra: HL,ˆ 220. iuvuv2 2 ivu  4  4 iuv 2 22 2 uv vu (A4.8) z 121 2 41
  47. aˆˆ,, ab , b ˆˆ Phụ lục 5: Tính hệ thức giao hốn . Các tốn tử sinh hủy mới aˆˆ,, ab , bˆˆ được định nghĩa như sau: 1 aˆ  11, uˆ ivu ˆˆ iv ˆ 22 1 ˆ ˆˆ ˆ aˆ  11, u ivu i v 22 (A5.1) 1 bˆ  11, uˆ ivu ˆˆ iv ˆ 22 1 bu i vu i v  11. ˆ ˆˆ ˆ 22 Các thành phần trong thỏa mãn các hệ thực giao hốn trong bảng bên dưới. Bảng hệ thức giao hốn [cột, hàng]: uivˆˆ uivˆˆ uivˆˆ uivˆˆ 0 -2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 -2 0 0 2 0 Tính aˆˆ,,, a bˆˆ b : 1 aˆ, a ˆ  1 u ˆ iv ˆ  1 u ˆ iv ˆ ,  1 u ˆ iv ˆ  1 u ˆ i v ˆ 8  11 22 uˆ iv ˆ,, u ˆ i v ˆ u ˆ iv ˆ u ˆ iv ˆ 88 (A5.2)  11 22 4 1 1 b, b  1 uˆ iv ˆ  1 u ˆ iv ˆ ,  1 u ˆ i v ˆ  1 u ˆ i v ˆ 8  11 22 uˆ iv ˆ,, u ˆ i v ˆ u ˆ iv ˆ u ˆ i v ˆ 88 (A5.3)  11 22 4 1 Ngồi ra, tương tự như trên ta cĩ thể tính một số cơng thức giao hốn sau: 42
  48. 1 aˆˆ, buˆ ˆ iv  1 ˆ u ˆ iv  1 ˆ u ˆ iv ,  1 ˆ u ˆ iv 1 8 22 11 uˆ iv ˆ,, u ˆ iv ˆ u ˆ iv ˆ u ˆ iv ˆ 88 (A.5.4) 22 11 44 0 1 aˆˆ , buˆ ˆ iv  ˆ 1 u ˆ i v  1 ˆ u ˆ i v ,  ˆ 1 u ˆ i v 1 8  2 1 uˆ iv ˆ,, u ˆ i v ˆ u ˆ i v ˆ u ˆ i v ˆ (A5.5) 8  0 1 aˆˆ,1 buˆ ˆ iv  ˆ 1 u ˆ iv , ˆ 1 u ˆ i v  ˆ 1 u ˆ i v 8 (A.5.6)  11 22 uˆ iv ˆ,0 u ˆ i v ˆ 8 1 aˆ ,bˆ  1 uˆ iv ˆ  1 u ˆ i v ˆ ,  1 u ˆ iv ˆ  1 u ˆ iv ˆ 8  11 22 uˆ i v ˆ, u ˆ iv ˆ (A5.7) 8 0 43
  49. ˆ ˆˆ Phụ lục 6: Biểu diễn HL, z theo các tốn tử aˆˆ,, ab , b . Dựa vào định nghĩa các tốn tử sinh hủy: 1 aˆ  11, uˆ ivu ˆˆ iv ˆ 22 1 ˆ ˆˆ ˆ aˆ  11, u ivu i v 22 (A6.1) 1 bˆ  11, uˆ ivu ˆˆ iv ˆ 22 1 bu i vu i v  11. ˆ ˆˆ ˆ 22 Ta thực hiện các biến đổi thu được: 11 u uˆ ua ˆˆ ˆa b b ˆˆ, (A6.2) 22 1 i v vˆ va ˆˆ aˆ b b ˆˆ, (A6.3) 22  1  uˆ u ˆ a ˆ a ˆ bˆˆ b , (A6.4) u 2 2  1  vˆ v ˆ i a ˆ a ˆ bˆˆ b . (A6.5) v 2 2 1. Hamiltonian ta thu được sau phép biến đổi Levi-Civita: 22 1  4 4 2 2 2 2 H 22 12 u v 2 uv u v E u v 1. (A6.6) 8 uv Các thành phần trong Hamiltonian được biểu diễn theo các tốn tử sinh hủy như sau: 22 22  aˆ a ˆ bˆ b ˆ i a ˆ a ˆ b ˆ b ˆ 22 uv 22 22 aˆ bˆ a ˆ b ˆ a ˆ b ˆ a ˆ b ˆ 44 (A6.7)  aˆ bˆ a ˆ b ˆ a ˆ b ˆ a ˆ b ˆ 22  aˆ a ˆ bˆ b ˆ 1, ab ˆ ˆ a ˆ b ˆ 44
  50. 1122 u22 v aˆ a ˆˆ bˆˆ b ˆˆ ˆ a a b b 44 1 aˆ bˆ a ˆ b ˆ a ˆ b ˆ a ˆ b ˆ (A6.8) 2 1 aˆ a ˆ bˆ b ˆ ab ˆ ˆ a ˆ b ˆ 1,  1122 u22 v aˆ a ˆˆ bˆˆ ba ˆˆ ˆa b b 44 1 22 aˆˆ bˆˆ a b (A6.9) 2 1 aˆ2 bˆ 2 a ˆˆ 2 b ˆ 2 ˆ 2 ab ˆ 2 a b ˆ , 2 1 ˆ ˆˆ ˆ i uv aˆ a ˆˆ bˆ ba a b b 22  (A6.10) i aˆ2 a ˆ 22 2 ab ˆ 2ˆ 2. a ˆ b ˆ b ˆ b ˆ 4 Ta sử dụng các tốn tử mới được định nghĩa sau: Mabˆ ˆˆ, M ˆ ab ˆ ˆ , N ˆ aabb ˆ ˆ ˆ ˆ 1 . (A6.11) Lúc này các thành phần của Hamiltonian được biểu diễn lại như sau: 22  NMMˆ ˆ ˆ , uv22 1 u22 v Nˆ M ˆ M ˆ ,  (A6.12) 1 u2 v 2 aˆ 2 bˆ 2 a ˆ 2 b ˆ 2 2 ab ˆ ˆ 2 a ˆ b ˆ , 2 i uv aˆ2 a ˆ 2 2 ab ˆˆ 2 a ˆ b ˆ b ˆ 2 b ˆ 2 . 4 Thay các thành phần này vào Hamiltonian ta được: H HR ER (A6.13) với   HR NMMˆ ˆ ˆ 1 NMMaabb ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ 2ˆ 2 ˆ 2 22 abab ˆ ˆ ˆ ˆ 82  2 i 2 NMMaaˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ 2 bbˆ 2 ˆ 2 2 ab ˆ ˆ 2 ab ˆ ˆ 1, 2 2 45
  51. 1 RNˆˆ Mˆ Mˆ .  2. Tốn tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo trên trục Oz : ˆ i  Lz u v (A6.14) 2 vu Các thành phần trong tốn tử hình chiếu moment động lượng:  1  u aˆ a ˆˆ bˆˆ b ˆˆ ˆ i a a b b v 2  2 i aˆ bˆ a ˆ b ˆ a ˆ b ˆ a ˆ b ˆ (A6.15) 4 i ababˆ ˆ ˆ ˆ abab ˆ ˆˆ ˆ ˆ abab ˆ ˆ ˆ abab ˆ ˆ , 4  i ˆ ˆ  ˆ ˆ v aˆ a ˆ b b a ˆ a ˆ b b u 2  2 i aˆ bˆ a ˆ b ˆ a ˆ b ˆ a ˆ b ˆ (A6.16) 4 i ababˆ ˆ ˆ ˆ abab ˆ ˆ ˆ abab ˆ ˆ ˆ abab ˆ ˆ ˆ ˆ , 4 Thay (A6.15) và (A6.16) vào (A6.14) ta thu được: 1 Lˆ aˆˆ a bˆˆ b . (A6.17) z 2 46
  52. Phụ lục 7: Các cơng thức tác dụng và tìm các yếu tố ma trận H và R . Bộ hàm sĩng cơ sở: n 1 n1 2 ˆ ˆ n12,0 na , b  (A7.1) nn12!! với nn12, là các số nguyên khơng âm Ta cĩ các cơng thức tác dụng cơ bản sau: ˆ annˆ 1,1, 2 ,,, nn 1 1 , nbnn 21 2 2 nnn 1 2 ˆ annˆ 1, 2 nnn 1 1 1 1, 2 , bnn 1 , 2 n 2 1 nn 1 , 2 1 , (A7.2) ˆˆ aannˆˆ 1, 2 nnnbbnn 1 1 , 21 ,, 2 2 1 nnn , 2 . Dựa vào các cơng thức tác dụng trên ta chứng minh được một số cơng thức sau: 2 aˆ n1, n 2 n 1 n 1 1 n 1 2, n 2 , ˆ2 b n1, n 2 n 2 n 2 1 n 1 , n 2 2 , 2 aˆ n1, n 2 n 1 1 n 1 2 n 1 2, n 2 , ˆ 2 b n1, n 2 n 2 1 n 2 2 n 1 , n 2 2 , ˆ abˆ n1, n 2 n 1 n 2 1 n 1 1, n 2 1 , ˆ aˆ b n1, n 2 n 1 1 n 2 n 1 1, n 2 1 , ˆ Mnn1,,,, 2 abnn 1 2 nnnn 1 2 1 2 ˆ M n1,, n 2 a b n 1 n 2 n1 1 n 2 1 n 1 1, n 2 1 , Nnnˆ , aabb 1 nn , nn 1 nn , . 1 2 1 2 1 2 1 2 Ngồi ra, ta cĩ một số cơng thức dùng để tính tốn các yếu tố ma trận: ˆ ˆ ˆ NMMnn 1, 2 nn 1 2 1 nn 1 , 2 nnn 1 2 1 1, n 2 1 1. (A7.3) n1 1 n 2 1 n 1 1, n 2 1 , ˆ ˆ ˆ NMMnn 1, 2 nn 1 2 1 nn 1 , 2 nnn 1 2 1 1, n 2 1 2. (A7.4) n1 1 n 2 1 n 1 1, n 2 1 , 47
  53. ˆ2 ˆˆ 2ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ aa bb 2 ab 2, abNMMnn 12 ˆ2 ˆˆ 2ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ nn1 21 12 2 aa 2 bb , ab abnn 3. ˆ2 ˆˆ 2ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ nnaa1 21 2 bb 2 ab 2 abn 1, n 1 ˆ2 ˆˆ 2ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ n1 1 n 21 12 aabb 2 2 1, ab 1 , abnn trong đĩ: ˆ2 ˆ 2ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ a a b b 2 ab 2 a b n12 , n nnnn11 1 12 2, n 1 1 n 1 2 nnnn 1222 2, 1 nn 12 , 2 nnnn22121 2,22 nnnn 1212 1 1,12 nnnn 1212 1 1,1, ˆ2 ˆ 2ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ a a b b 2 ab 2 a b n12 1, n 1 nnnn11121 2 3,1 nnnn 1112 11,1 nnnn 2212 1 21,3 nn22 1 nn 12 1,12 nnnn 1212 1 2, 2 nn 12 1,2, nn 12 ˆ2 ˆ 2ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ a a b b 2 ab 2 a b n12 1, n 1 nnnn11121 1,1 nnnn 1112 2 33,1 nnnn 2212 1 1,1 nnnn22122 3 1,32 nnnn 1212 1 2,22 nnnn 1212 2 1 2,, Suy ra: ˆ2 ˆ 2ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ aa bb 2 ab 2 abNMMnn 12 , nn1231 nnnnnn 111212 12, 33 nnnn 1112 122, 3nn12 1 nnnn 2212 1,23 nn 12 3 n 2 12,2 n 2 nn 12 3 nn12 1 nn 1212 11,13 nn nn 12 1 nnnn 1212 1 1,1 (A7.5) n1 ! n2 ! nn213,n2 1 n 1 n 1 1, n 2 3 n1 3! n2 3! nn12 3 ! 3 ! n2 1 n 1 3, n 2 1 n 1 1 n 1 1, n 2 3 nn12!! 48
  54. ˆ2 ˆˆ 2ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ aa bb 2 ab 2, abNMMnn 12 ˆ2 ˆˆ 2ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ nn1 21 12 2 aa 2 bb , ab abnn 4. ˆ2 ˆˆ 2ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ nnaa1 21 2 bb 2 ab 2 abn 1, n 1 ˆ2 ˆˆ 2ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ n1 1 n 21 12 aabb 2 2 1, ab 1 , abnn trong đĩ: ˆ2 ˆ 2ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ a a b b 2 ab 2 a b n12 , n nnnn11 1 12 2, n 1 1 n 1 2 nnnn 1222 2, 1 nn 12 , 2 nnnn22121 2,22 nnnn 1212 1 1,12 nnnn 1212 1 1,1, ˆ2 ˆ 2ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ a a b b 2 ab 2 a b n12 1, n 1 nnnn11121 2 3,1 nnnn 1112 11,1 nnnn 2212 1 21,3 nn22 1 nn 12 1,12 nnnn 1212 1 2, 2 nn 12 1,2, nn 12 ˆ2 ˆ 2ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ a a b b 2 ab 2 a b n12 1, n 1 nnnn11121 1,1 nnnn 1112 2 33,1 nnnn 2212 1 1,1 nnnn22122 3 1,32 nnnn 1212 1 2,22 nnnn 1212 2 1 2,, Suy ra: ˆ2 ˆ 2ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a a b b 2 ab 2 a b N M M n12 , n nn1231 nnnnnn 111212 12, 33 nnnn 1112 122, 3nn12 3 n 2 12,23 n 2 nn 12 nn 12 1 nnnn 2212 1,2 3 nn12 1 nn 1212 11,13 nn nn 12 1 nnnn 1212 1 1,1 (A7.6) n1 ! n2 3! nn213,n2 1 n 1 1 n 1 1, n 2 3 n1 3! n2 ! n2 ! n1 3! n1 n 1 1, n 2 3 n 2 1 n 1 3, n 2 1 . nn21 3 ! ! Mặt khác ta chứng minh được Hamiltonian cĩ dạng sau: H HR ER (A7.7) 49
  55. với   HR NMMˆ ˆ ˆ 1 NMMaabb ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ 2 22 abab ˆ ˆ 82  2 i 2 NMMaaˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆˆ 2 bbˆ 2 ˆ ˆ 2 2 ab ˆ 2 ab ˆ 1, 2 2 1 RN Mˆ M ˆ ˆ .  Áp dụng các cơng thức tác dụng đã tính ở trên vào R ta thu được: 1 Rnn,1, nn nn1,1 nnnn 1 11,1 n n nn 12 12 121212 1 2 12 111 nnnn1 ,1, 1 nnnn 1 1 1, nn 1 nn 1212 1212 1 212 Các yếu tố ma trận của : 1 R n n 1, nn11, 1 2 nn,  22 1 Rn n 1 1 . nn11, 1 1 2 nn22,1  Các yếu tố ma trận cịn lại sẽ được xác định bằng cơng thức RR n1,, nn 11 n 1 n2,, nn 22 n 2 Tương tự thì các cơng thức tác dụng cũng được áp dụng vào Hˆ R ta được: ˆ R H n12, n    nn12 11, nn 12 nnnn 1212 1,1 nnnn 1212 111,1 8 8 8 1  i n 3 n 1 n n 1 n 2, n 1 22 2 1 2 1 1 1 2 1  i n 3 n 3 n 1 n 2 n 2, n 1 22 2 1 2 1 1 1 2 1  i 3 n n 1 n n 1 n , n 2 1 22 2 1 2 2 2 1 2 1  i 3 n n 3 n 1 n 2 n , n 2 1 22 2 1 2 2 2 1 2 1 3  i n n 1 n n 1 n 1, n 1 1 22 2 1 2 1 2 1 2 1 3  i n n 1 n 1 n n 1, n 1 1 22 2 1 2 1 2 1 2 50
  56. 1 n1 ! 1 22in 1 n2 2 n 3, 1 23 ! n1 1 n 3!  in n1 n 1 3, 1 1 222! 2 1n 2 1 1 n2 ! 1 21in 1 n2 2 n 1, 3 23 ! n2 1 n2 3! 1 21in 2 1 n 2 n 1 1, 3 2! n2 Các yếu tố ma trận của Hˆ R  HR n n 1 1, nn11, 1 2 nn22, 8  HR n 1 n 1 , nn11, 1 1 2 nn22,1 8 1 HR 3 i n n 1 n n 1 , nn11, 1 1 2 2 1 2 1 2 nn22,1 2 1 HR  i n 3 n 3 n 1 n 2 , nn11, 2 1 2 2 1 2 1 1 nn22, 2 1 HR  i3 n n 3 n 1 n 2 , nn11, 1 2 2 1 2 2 2 nn22,2 2 1 n 3! H R   in1 1, nn11, 3 1 22 2 nn22,1 2! n1 1 n 3! HR  i2 n 1. nn11, 1 1 2 2 1 nn22,3 2! n2 * RR Các yếu tố ma trận cịn lại sẽ được xác định bằng cơng thức HH n1,, nn 11 n 1 n2,, nn 22 n 2 51