Khóa luận Hệ thống hóa các bài toán cơ học lượng tử trong việc giải phương trình schrodinger ứng với các trường thế năng khác nhau

110 trang thiennha21 16/04/2022 3611

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Hệ thống hóa các bài toán cơ học lượng tử trong việc giải phương trình schrodinger ứng với các trường thế năng khác nhau", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

khoa_luan_he_thong_hoa_cac_bai_toan_co_hoc_luong_tu_trong_vi.pdf

Nội dung text: Khóa luận Hệ thống hóa các bài toán cơ học lượng tử trong việc giải phương trình schrodinger ứng với các trường thế năng khác nhau

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: HỆ THỐNG HÓA CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC LƢỢNG TỬ TRONG VIỆC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER ỨNG VỚI CÁC TRƢỜNG THẾ NĂNG KHÁC NHAU SVTH: Huỳnh Trúc Nhƣ GVHD: TS. Lƣơng Lê Hải Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
Mục lục Lời cảm ơn 2 Phần mở đầu 3 I Cơ sở của phương pháp Nikiforov–Uvarov 6 Kết luận chương I 10 II Giải phương trình Schr¨odingercho các hố thế năng khác nhau 11 1 Hạt trong hố thế năng sâu vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Hàng rào thế - Hiệu ứng đường ngầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Dao động tử điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 Thế năng Woods–Saxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5 Thế năng Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6 Thế năng P¨oschl–Teller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7 Thế năng Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8 Thế năng Hulthen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 9 Thế năng Kratzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 10 Dao động giả điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Kết luận chương II 73 III Kết luận 74 IV Tài liệu tham khảo 76 Phụ chú 77
Lời cảm ơn Để luận văn đạt kết quả tốt đẹp, trong suốt quá trình thực hiện em đã nhận được nhiều sự quan tâm, động viên, giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình và bạn bè. Với tấm lòng sâu sắc đó, cho em xin được bày tỏ lòng biết ơn của mình đến: Trước hết là thầy, TS. Lương Lê Hải, người đã định hướng, chỉ dạy em trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Hơn hết, thầy là người đã truyền cho em sự tự tin và niềm đam mê, đồng thời thầy luôn là người trực tiếp hướng dẫn em ngay từ những ngày đầu. Thứ hai, đó là quý thầy, cô trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Tp.HCM đã truyền đạt cho em những kiến thức, kĩ năng và phương pháp sư phạm nền tảng cho tương lai nghề nghiệp. Đặc biệt, TS. Cao Anh Tuấn trưởng khoa Vật lý, đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt luận văn. Bên cạnh, là những người quan tâm em, luôn giúp đỡ em thật nhiều trong suốt bốn năm đại học, nhất là thời gian em làm khóa luận. Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn. Tp.HCM, ngày 01 tháng 04 năm 2018 Huỳnh Trúc Như
Phần mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Phương trình Schr¨odingerlà phương trình động lực học cơ bản dùng để mô tả các tính chất của hệ cơ học lượng tử, tương tự như phương trình của định luật II Newton trong cơ học cổ điển. Đối với một hệ cổ điển, thông qua việc giải phương trình II Newton ta có thể biết được tính chất chuyển động của một vật hoặc một hệ vật bất kì. Tuy nhiên, hạn chế của phương trình định luật II Newton chỉ dùng để mô tả chuyển động của những vật có kích thước và khối lượng đáng kể (vật lý vĩ mô). Do vậy, khi nghiên cứu đến tính chất của những vật có kích thước vi mô, điển hình là nghiên cứu chuyển động của hạt electron (các hạt cơ bản), ta không thể dùng phương trình II Newton để mô tả mà phải thông qua việc giải phương trình Schr¨odingerđể tìm được hàm sóng (nghiệm của phương trình) cũng như là giá trị năng lượng (trị riêng), từ đó ta sẽ khảo được các tính chất của hệ đang xét hay tìm ra những tính chất mới. Chính vì vậy mà việc giải phương trình Schr¨odingercho đến nay là điều cần thiết và quan trọng [1]. Dựa trên những kiến thức cơ bản trong việc giải phương trình Schr¨odingervới các hố thế cơ bản như: hố thế sâu vô hạn, hữu hạn hay hạt chuyển động qua hàng rào thế mà ta có thể xây dựng phương trình Schr¨odingercho những hố thế phức tạp hơn. Ví dụ khi xét hạt chuyển động trong trường xuyên tâm, hay khi nghiên cứu đến sự tương tác giữa neutron với hạt nhân, tán xạ của nguyên tử trên phân tử gồm hai nguyên tử Tuy nhiên, ở chương trình đại học, sinh viên lại chưa có cơ hội nhiều để tiếp xúc với các dạng hố thế này. Do đó, đề tài luận văn mục đích là hệ thống lại việc giải phương trình Schr¨odingercho các hố thế các nhau, ngoài những hố thế đã được học ở chương trình đại học, luận văn sẽ đưa vào những dạng hố thế khác là: Woods–Saxon [5],[12], Morse [6], [12], P¨oschl–Teller [7], [12], Coulomb [8], Hulthen [9], Kratze [9] và dao động giả điều hòa [10]. Với mục đích là sẽ đưa đến nhiều dạng hố thế khác nhau đến gần hơn với sinh viên, như một tài liệu tham khảo bổ ích.
Mặt khác, một vấn đề luôn được quan tâm trong việc giải phương trình Schr¨odinger chính là phương pháp giải. Ở chương trình đại học, đối với hố thế sâu vô hạn và hàng rào thế, bài toán được giải bằng cách giải phương trình vi phân cấp hai. Riêng đối với mô hình dao động tử điều hòa, hai phương pháp được sử dụng là giải tích và áp dụng toán tử sinh hủy. Tuy nhiên, phương pháp giải tích khi áp dụng cho một số hố thế khác lại gặp khó khăn trong việc tính toán, hoặc một số phương pháp khác thì chỉ cho nghiệm gần đúng. Do đó, việc lựa chọn phương pháp phù hợp để giải phương trình Schr¨odingercho các hố thế khác nhau là điều cần thiết. Có nhiều phương pháp giải khác nhau được đưa ra, sẽ cho nghiệm gần đúng hoặc chính xác. Trong số đó, phương pháp Nikiforov–Uvarov [3] cho nghiệm gần như là chính xác với nhiều hố thế khác nhau, có hố thế nghiệm là chính xác ứng với mọi mức lượng tử, nhưng cũng có hố thế chỉ cho nghiệm chính xác ứng với trạng thái cơ bản. Nhưng nhìn chung, phương pháp này lại đơn giản hóa trong việc tính toán và giải phương trình Schr¨odingerđối với nhiều hố thế phức tạp. Vì nếu xét kĩ, khi áp dụng phương pháp này, người giải chỉ cần thực hiện tuần tự những bước làm theo một hệ thống nhất định, quan trọng chỉ cần đổi biến số từ đầu cho phù hợp và chọn nghiệm sao cho thỏa mãn tính chất vật lý của hàm sóng. Hơn hết, phương pháp này đã được áp dụng rất nhiều trong những bài toán phức tạp. Chính vì vậy, đề tài luận văn sẽ đưa vào phương pháp Nikiforov–Uvarov để giải và hệ thống lại các bài toán cơ học lượng tử trong việc giải phương trình Schr¨odingerứng với các hố thế khác nhau. Bên cạnh việc giải để tìm nghiệm (hàm sóng) và trị riêng năng lượng dưới dạng những biểu thức toán học, trong luận văn cũng sẽ trình bày hình vẽ minh họa cho các kết quả tính được trên phần mền Maple. 2. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu Luận văn chủ yếu hệ thống lại một số hố thế năng khác năng khác nhau thông qua việc giải phương trình Schr¨odingerbằng phương pháp Nikiforov–Uvarov. Các bài toán được sắp xếp theo thứ tự của các hố thế năng từ đơn giản đến phức tạp. Bên cạnh đó, luận văn cũng sử dụng phần mềm Maple để giải các bài toán về tán xạ.
3. Cấu trúc luận văn Phần mở đầu: Chương I: Cơ sở của phương pháp Nikiforov–Uvarov. Chương II: Hệ thống một số bài toán cơ học lượng tử trong việc giải phương trình Schr¨odingerứng với các hố thế năng khác nhau. Kết luận – Hướng phát triển. Tài liệu tham khảo. Phụ chú.
Chương I Luận văn tốt nghiệp I Cơ sở của phương pháp Nikiforov–Uvarov Phương pháp Nikiforov–Uvarov [3] được xây dựng bởi hai nhà vật lí người Nga, Nikiforov và Uvarov. Cơ sở chính của phương pháp là dựa trên việc giải phương trình vi phân bậc hai. Bằng cách rút phương trình Schr¨odingervề phương trình vi phân bậc hai dưới dạng hàm siêu việt, ta sẽ tìm được giá trị chính xác của năng lượng và hàm sóng tương ứng. Ta xét phương trình vi phân bậc hai dưới dạng: τ˜(s) σ˜(s) ψ00(s) + ψ0(s) + ψ(s) = 0, (I.1) σ(s) σ2(s) trong đó, τ˜(s) là đa thức bậc nhất, σ(s) và σ˜(s) là những đa thức bậc hai, ψ(s) là hàm số có dạng của hàm hàm siêu việt. Đưa phương trình (I.1) về dạng đơn giản hơn bằng cách đổi biến: ψ(s) = φ(s)y(s), trong đó hàm ψ(s) được chọn sao cho thích hợp. Ta có: ψ0(s) = φ0(s)y(s) + φ(s)y0(s), ψ00(s) = φ00(s)y(s) + 2φ0(s)y0(s) + φ(s)y00(s). Khi đó phương trình (I.1) được viết lại: φ0(s) τ˜(s) φ00(s) φ0(s) τ˜(s) σ˜(s) y00(s) + 2 + y0(s) + + + y(s) = 0. (I.2) φ(s) σ(s) φ(s) φ(s) σ(s) σ2(s) Đặt hệ số đứng trước y0(s) bằng τ(s)/σ(s), với τ(s) là đa thức có bậc đồng nhất, ta được: φ0(s) τ˜(s) τ(s) 2 + = , (I.3) φ(s) σ(s) σ(s) trong đó: φ0(s) π(s) = , (I.4) φ(s) σ(s) Trang 6
Chương I Luận văn tốt nghiệp với π(s) là đa thức có bậc được đồng nhất. Từ biểu thức (I.3) và (I.4), ta biểu diễn τ(s) dưới dạng: τ(s) =τ ˜(s) + 2π(s). (I.5) Biểu thức φ00(s)/φ(s) xuất hiện trong hệ số đứng trước y(s). Biểu diễn φ00(s)/φ(s) theo biểu thức (I.4): 0 2 0 2 φ00(s) φ0(s) φ0(s) π(s) π(s) = + = + (I.6) φ(s) φ(s) φ(s) σ(s) σ(s) và hệ số đứng trước y(s) cũng được viết lại: φ00(s) φ0(s) τ˜(s) τ˜(s) σ(s) + + = , (I.7) φ(s) φ(s) σ(s) σ2(s) σ2(s) với σ(s) =σ ˜(s) + π2(s) + π(s)[˜τ(s) − σ0(s)] + π0(s)σ(s). (I.8) So sánh các vế của phương trình (I.2), (I.3) và (I.7), ta được: τ(s) σ(s) y00(s) + y0(s) + y(s) = 0. (I.9) σ(s) σ2(s) Từ phương trình (I.7), ta thấy rằng σ(s) chia hết cho σ(s), nên ta đặt: σ(s) = λσ(s), (I.10) trong đó λ là một hằng số. Khi đó phương trình (I.9) được đưa về dưới dạng: σ(s)y00(s) + τ(s)y0(s) + λy(s) = 0. (I.11) Phương trình (I.11) cũng là phương trình có dạng của hàm siêu việt, và nghiệm của nó cũng được biểu diễn dưới dạng hàm siêu việt. Trang 7
Chương I Luận văn tốt nghiệp Tiếp theo, ta sẽ đi tìm hàm π(s) và hằng số λ bằng cách viết lại phương trình (I.8) dưới dạng biểu thức bậc hai theo π(s): π2(s) + π(s)[˜τ(s) − σ0(s)] +σ ˜(s) − λ + π0(s) = 0. (I.12) Nghiệm của phương trình bậc hai (I.12): s 2 σ0(s) − τ˜(s) σ0(s) − τ˜(s) π(s) = ± − σ˜(s) + kσ(s), (I.13) 2 2 với k = λ − π0(s). (I.14) Vì π(s) là một đa thức nên biểu thức dưới dấu căn của phương trình (I.13) phải có dạng bình phương của một đa thức. Do đó, ∆s = 0. Sau đó, dựa vào biểu thức ∆s = 0, ta tìm được các giá trị của k, và từ đó ta sẽ tìm được các hàm π(s) tương ứng từ phương trình (I.13). Các biểu thức τ(s), λ và φ(s) cũng được xác định bởi phương trình (I.5), (I.14) và (I.4). Vì đạo hàm của hàm siêu việt cũng là một hàm siêu việt. Do đó, khi lấy đạo hàm bậc 0 một phương trình (I.11) và đặt υ1(s) = y (s), ta thu được: 00 0 συ1 (s) + τ1(s)υ1(s) + µ1υ1(s) = 0, (I.15) với 0 τ1(s) = τ(s) + σ (s) (I.16) và 0 µ1 = λ + τ (s) (I.17) là các đa thức có bậc được đồng nhất, µ1 là tham số phụ thuộc vào biến số s. 00 Tương tự, đạo hàm bậc hai của phương trình (I.11), với υ2(s) = y (s): 00 0 σ(s)υ2 (s) + τ2(s)υ2(s) + µ2υ2(s) = 0, (I.18) với 0 0 τ2(s) = τ1(s) + σ (s) = τ(s) + 2σ (s) (I.19) Trang 8
Chương I Luận văn tốt nghiệp và 0 0 00 µ2 = µ1 + τ1(s) = λ + 2τ (s) + σ (s). (I.20) (n) Bằng cách tương tự, đạo hàm bậc n phương trình (I.11) với υn(s) = y (s), ta được: 00 0 σ(s)υn(s) + τn(n)υn(s) + µnυn(n) = 0, (I.21) với 0 τn(s) = τ(s) + nσ (s) (I.22) và n(n − 1) µ = λ + nτ 0(s) + σ00(s). (I.23) n 2 (n) Tất cả các nghiệm của phương trình (I.21) được biểu diễn dưới dạng υn(s) = y (s), với y(s) là nghiệm của phương trình (I.11). Khi µn = 0, phương trình (I.21) sẽ có nghiệm đặc biệt υn(s) = const, do đó phương trình (I.23) trở thành: n(n − 1) λ = −nτ 0(s) − σ00(s), n = 0, 1, 2 (I.24) n 2 yn(s) là hàm có dạng hàm siêu việt: B dn y (s) = n [σn(s)ρ(s)] , (I.25) n ρ(s) dsn với Bn là hằng số chuẩn hóa và ρ(s) phải thỏa điều kiện: [σ(s)ρ(s)]0 = τ(s)ρ(s). (I.26) Trang 9
Chương I Luận văn tốt nghiệp Kết luận chương I • Ta thấy việc giải phương trình Schr¨odinger bằng phương pháp Nikiforov–Uvarov sẽ cho nghiệm (hàm sóng) chính xác. Việc tính toán cũng sẽ đơn giản hóa hơn khi ta đưa phương trình về dạng phương trình siêu việt, sau đó áp dụng các tính chất đặc biệt của hàm này để giải tìm nghiệm. • Một lưu ý khi giải phương trình Schr¨odingerbằng phương pháp Nikiforov–Uvarov là cần đổi biến số mới phù hợp để rút về dưới dạng phương trình (I.1). Thứ hai, cần chọn giá trị của k và hàm π(s) thích hợp sao cho đạo hàm bậc nhất của hàm τ(s) khi đó phải mang giá trị âm (τ 0(s) < 0). • Tuy nhiên, phương pháp này cũng có hạn chế khi không áp dụng được cho các hố thế như: hạt chuyển động trong hố thế sâu vô hạn hay hiệu ứng đường ngầm. Trang 10
Chương II Luận văn tốt nghiệp II Giải phương trình Schr¨odingercho các hố thế năng khác nhau Trong chương II, đề tài khóa luận sẽ hệ thống lại việc giải phương trình Schr¨odinger cho 10 hố thế năng khác nhau, đó là các hố thế: hố thế sâu vô hạn, hàng rào thế, dao động tử điều hòa, Woods–Saxon, Morse, P¨oschl–Teller, Coulomb, Hulthen, Kratze và dao động giả điều hòa. Trong đó, với hố thế sâu vô hạn và hàng rào thế, đề tài khóa luận sẽ giải phương trình Schr¨odingerbằng cách giải phương trình vi phân cấp hai cơ bản. Riêng đối với tám hố thế năng còn lại, đề tài sẽ áp dụng phương pháp Nikiforov–Uvarov như đã trình bày ở chương I. 1 Hạt trong hố thế năng sâu vô hạn Hố thế năng sâu vô hạn [1],[2] là một mô hình đơn giản mô tả chuyển động và tính chất lượng tử của một hạt vi mô. Ta xét một hạt có khối lượng m, chuyển động trong hố thế có thành cao vô hạn, bề rộng a và biểu thức hàm thế năng được xác định bởi: Hình II.1: Hố thế năng sâu vô hạn (0, 0 ≤ x ≤ a (II.1a) V (x) = +∞, x a (II.1b) Trang 11
Chương II Luận văn tốt nghiệp Xét thấy hàm thế năng không phụ thuộc thời gian nên ta có thể viết phương trình Schr¨odingerdưới dạng dừng: 2 d2 − ~ + V (x) ψ(x) = Eψ(x). (II.2) 2m dx2 Ta viết lại phương trình (II.2) dưới dạng phương trình vi phân: 2m ψ00(s) − [V (x) − E] ψ(x) = 0. (II.3) ~2 • Xét trong hai miền x a: V (x) = +∞ Nhận thấy phương trình chỉ có nghiệm khi ψ(x) = 0 (nghiệm tầm thường), nên ta không nhận trường hợp này. • Xét cho miền 0 ≤ x ≤ a: V=0 Phương trình (II.2) khi đó được viết lại dưới dạng: ψ00(x) + k2ψ(x) = 0, (II.4) √ với k = 2mE/~,(E ≥ 0). ψ(x) = A cos kx + B sin kx. (II.5) Vì hàm sóng phải liên tục, đơn trị và hữu hạn nên ta đặt điều kiện liên tục tại hai biên: ψ(0) = 0, ψ(a) = 0. Vì vậy, hàm sóng phải thỏa mãn đồng thời hai phương trình:  A cos k0 + B sin k0 = 0 (II.6) A cos ka + B sin ka = 0 Giải hệ phương trình ta tìm được: nπ k = , n = 1, 2, 3, (II.7) a Trang 12
Chương II Luận văn tốt nghiệp Vì thế, hàm sóng có dạng: nπ ψ(x) = B sin x . (II.8) a Bằng cách chuẩn hóa hàm sóng, ta tìm được hệ số B như sau: Z +∞ |ψ(x)|2dx = 1 (II.9) −∞ r 2 ⇒ B = . (II.10) a Vậy, hàm sóng khi hạt chuyển động trong hố thế sâu vô hạn có dạng: r 2 nπx ψ(x) = sin , n = 1, 2, 3 (II.11) a a nπ nπ với số sóng: k = , xung lượng: p = k = ~ , và biểu thức năng lượng: a ~ a p2 ( k)2 n2π2 2 E = = ~ = ~ . (II.12) n 2m 2m 2ma2 Nhận xét: • Bằng cách giải phương trình vi phân bậc hai cho hố thế sâu vô hạn, ta đã tìm được nghiệm chính xác của hàm sóng và giá trị năng lượng ứng với các mức lượng tử khác nhau. • Với biểu thức năng lượng vừa tìm được, ta nhận thấy rằng năng lượng của hạt khi chuyển động trong thế giới vi mô không thể nhận giá trị liên tục tùy ý như khi chuyển động trong thế giới vĩ mô mà chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn theo từng mức năng lượng. π2 2 • Khi hạt chuyển động ở mức năng lượng thấp nhất ứng với n = 1, E = ~ > 0, 1 2ma2 ta thấy năng lượng luôn lớn hơn không. Điều này có nghĩa là, trong thế giới vi mô không tồn tại một hạt ở trạng thái đứng yên, mà các hạt luôn luôn ở trạng thái chuyển động. Những tính chất này không thể gặp trong cơ học cổ điển. Trang 13
Chương II Luận văn tốt nghiệp 2 Hàng rào thế - Hiệu ứng đường ngầm Trong cơ học lượng tử, hàng rào thế là bài toán một chiều phổ biến mô tả hiện tượng truyền qua và phản xạ của các hạt khi chuyển động qua những rào thế khác nhau [1],[2]. Ở bài toán này, chúng ta sẽ giải phương trình Schr¨odingerdừng cho một hạt tự do để khảo sát những hiệu ứng lượng tử tương ứng của nó. Trong trường hợp hàng rào thế năng, ta sẽ xét hai dạng hàng rào thế đơn giản là rào thế bậc thang và rào thế chữ nhật. a) Rào thế bậc thang Xét một hạt chuyển động một chiều trong hố thế năng dạng bậc thang vuông góc với hàm thế năng có dạng: Hình II.2: Rào thế bậc thang (0, x < 0 (II.13a) V (x) = V0, x ≥ 0 (II.13b) Vì hàm thế năng không phụ thuộc vào thời gian nên phương trình Schr¨odingerkhi đó được viết dưới dạng dừng: 2 d2 − ~ + V (x) ψ(x) = Eψ(x), (II.14) 2m d2x Trang 14
Chương II Luận văn tốt nghiệp hay dưới dạng vi phân: 2m ψ00(x) − [V (x) − E(x)]ψ(x) = 0. (II.15) ~2 Để giải tìm hàm sóng cho hố thế dạng này, ta chia không gian thành hai miền và giải phương trình Scgr¨odingerứng với hai trường hợp của năng lượng so với hàng rào thế: E > V0 và E ≤ V0. Trước hết, ta xét trường hợp năng lượng cao hơn chiều cao rào thế: E > V0 • Miền I: (x < 0) Phương trình Schr¨odingercho miền I sẽ là: 00 2 ψ (x) + k1ψ(x) = 0, (II.16) √ với k1 = 2mE/~. Giải phương trình vi phân (II.16), ta tìm được nghiệm cho miền I dưới dạng: ik1x −ik1x ψI (x) = Ae + Be . (II.17) • Miền II: (x ≥ 0) Phương trình Schr¨odingercho miền II: 00 2 ψ (x) + k2ψ(x) = 0, (II.18) p với: k2 = 2m(E − V0)/~ Giải phương trình vi phân (II.18), ta tìm được nghiệm cho miền II dưới dạng: ik2x −ik2x ψII (x) = Ce + De . (II.19) Xét thấy miền II chỉ có sóng truyền qua nên D = 0. Đồng thời, dựa vào điều kiện chuẩn hóa ta sẽ chọn: A = 1. Khi đó, nghiệm của của phương trình Schr¨odingercho miền I và miền II lần lượt là: ik1x −ik1x ψI (x) = e + Be , (II.20) ik2x ψII (x) = Ce . (II.21) Trang 15
Chương II Luận văn tốt nghiệp ˙ ˙ Dựa vào điều kiện liên tục của hàm sóng: ψI (0) = ψII (0), ψI (0) = ψII (0), ta có hệ phương trình:  1 + B = C (II.22) k2 1 − B = C k1 (II.23) Giải hệ phương trình (II.22), ta tính được các hệ số B và C như sau:   2 C = 1 + k2/k1 (II.24) 1 − k /k B = 2 1  1 + k2/k1 Do đó, ta cũng tìm được hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T dưới dạng: 2 2 1 − k2/k1 R = |B| = , (II.25) 1 + k2/k1 2 k2 4k2/k1 T = |C| = 2 . (II.26) k1 (1 + k2/k1) Nhận xét [1]: • Từ các biểu thức (II.25) và (II.26) tương ứng xác định hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T như trên, ta nhận thấy rằng: R + T = 1 với mọi giá trị k1 và k2, điều này cho thấy số hạt trung bình luôn được bảo toàn. • Tiếp theo, ta xét các giá trị giới hạn khi E → ∞ và E → V0: Xét tỉ số: r k V 2 = 1 − 0 , (II.27) k1 E nên hệ số phản xạ được viết lại như sau: 2 1 − p1 − V /E 0 R = p . (II.28) 1 + 1 − V0/E Dựa vào biểu thức (II.28) ta thấy khi E → ∞ : R → 0, T → 1 nên không có hạt bị phản xạ tại rào thế. Ngược lại, khi E → V0 : R → 1, T → 0 nên hạt bị phản xạ hoàn toàn tại rào thế. Trang 16
Chương II Luận văn tốt nghiệp Tiếp theo, ta xét trường hợp năng lượng thấp hơn hoặc bằng chiều cao rào thế: E ≤ V0 • Miền I: (x V0. • Miền II: (x ≥ 0) Phương trình Schr0dinger¨ trong trường hợp này được viết lại dưới dạng: ψ00(x) − κ2ψ(x) = 0, (II.29) p với κ = 2m(V0 − E)/~. Vì hàm sóng phải thỏa điều kiện hữu hạn nên ta chọn nghiệm trong miền II sao cho khi x → ±∞ thì hàm sóng triệt tiêu. Do đó hàm sóng cho miền II được chọn sẽ là: −κx ψII (x) = Ce . Vì vậy, hàm sóng cho miền I và miền II lần lượt là: ik1x −ik1x ψI (x) = e + Be , (II.30) −κx ψII (x) = Ce . (II.31) Tương tự như đối với miền I, ta xét điều kiện liên tục của hàm sóng tại biên (x = 0) và thu được hệ phương trình sau:  1 + B = C (II.32) κ 1 − B = C ik1 Giải hệ phương trình (II.32), ta tìm được hệ số B và C tương ứng:   1 − iκ/k1 B = 1 + iκ/k1 (II.33) 2 C =  1 + iκ/k1 Trang 17
Chương II Luận văn tốt nghiệp Từ hệ phương trình (II.33) xác định hệ số B và C, ta cũng tương tự tính được hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T như sau: 2 1 − iκ/k1 R = = 1, (II.34) 1 + iκ/k1 T = 0. (II.35) Nhận xét: Khi hạt chuyển động với năng lượng nhỏ hơn so với chiều cao rào thế (E ≤ V0), ta thấy hạt sẽ bị phản xạ (do R = 1). Nếu hạt có truyền qua được rào thế thì cũng bị triệt tiêu rất nhanh nên trong trường hợp này ta có thể xem như hạt bị phản xạ toàn phần. Kết luận cho trường hợp hạt chuyển động qua rào thế bậc thang: Bằng việc giải phương trình vi phân bậc hai cho rào thế bậc thang, ta cũng tìm được nghiệm chính xác của hàm sóng ứng với mỗi vùng không gian khác nhau. Tính được xác suất truyền qua và phản xạ khi hạt chuyển động ứng với mức năng lượng cao hơn hay thấp hơn hàng rào thế năng. Dựa vào đó, ta nhận thấy khi một hạt chuyển động qua rào thế có những tính chất khác biệt mà chúng ta không thể có trong thế giới vĩ mô. b) Rào thế hình chữ nhật Ngoài dạng rào thế bậc thang như đã xét bên trên, ta sẽ xét thêm một trường hợp khác, khi một hạt chuyển động qua rào thế vuông góc có bề rộng hữu hạn. Tương tự, ta sẽ sẽ đi tìm hàm sóng cho từng miền tương ứng với từng trường hợp của năng lượng so với chiều cao rào thế, sau đó nhận xét xác suất truyền qua và phản xạ của một hạt khi chuyển động qua hố thế dạng này. Rào thế được xác định bởi hàm thế năng: Trang 18
Chương II Luận văn tốt nghiệp Hình II.3: Rào thế chữ nhật (0, khi |x| > a (II.36a) V (x) = V0, khi −a ≤ x ≤ a (II.36b) Vì hàm thế năng không phụ thuộc vào thời gian, nên ta có thể viết được phương trình Schr¨odingerdừng dưới dạng vi phân: 2m ψ00(x) − [V (x) − E]ψ(x) = 0. (II.37) ~2 Tương tự như đối với rào thế bậc thang, trong rào thế chữ nhật này ta cũng sẽ khảo sát bài toán khi hạt chuyển động ứng với hai trường hợp của năng lượng, khi E > V0 và khi E ≤ V0. Trước tiên, ta xét trường hợp năng lượng cao hơn chiều cao rào thế: E > V0 • Miền I (x a): V0 = 0 Phương trình Schr¨odingerkhi đó: 00 2 ψ (x) + k1ψ(x) = 0, (II.38) Trang 19
Chương II Luận văn tốt nghiệp √ với k1 = 2mE/~. Giải phương trình (II.38), ta tìm được nghiệm của phương trình Schr¨odinger cho miền I và miền III lần lượt là: ik1x −ik1x ψI (x) = A1e + B1e , (II.39) ik1x −ik1x ψIII (x) = A3e + B3e . (II.40) Bằng việc chuẩn hóa hàm sóng, ta chọn A1 = 1. Và xét thấy miền III chỉ có sóng truyền qua không có sóng phản xạ nên B3 = 0. • Miền II: (−a ≤ x ≤ a) Phương trình Schr¨odingercho miền II sẽ là: 00 2 ψ (x) + k2ψ(x) = 0, (II.41) p với k2 = 2m(E − V0)/~. Giải phương trình (II.41), ta được nghiệm của phương trình Schr¨odingercho miền II có dạng: ik2x −ik2x ψII (x) = A2e + B2e . (II.42) Khi đó, hàm sóng thu được cho ba miền I, II, III:  ψ (x) = eikI x + B e−ik1x  I 1  ik x −ik x ψII (x) = A2e 2 + B2e 2 (II.43)   ik x ψIII (x) = A3e 1 Hàm sóng phải liên tục tại các biên, nên ta có hệ phương trình sau:  −ik a ik a −ik a ik2 a e 1 + B1e 1 = A2e 2 + B2e 2    ik a −ik a ik a A2e 2 + B2e 2 = A3e 1 (II.44) −ik a ik a −ik a ik a ik1e 1 − ik1B1e 1 = ik2A2e 2 − ik2B2e 2    ik a −ik a ik a ik2A2e 2 − ik2B2e 2 = ik1A3e 1 Trang 20
Chương II Luận văn tốt nghiệp Giải hệ phương trình (II.44), ta thu được hệ số B1 và A3 (do ta chỉ quan tâm đến hệ số phản xạ và hệ số truyền qua): 2 2 k2 − k1 B1 = iA3 sin(2k2a) (II.45) 2k1k2 −1 k2 + k2 −2ik1a 1 2 A3 = e cos(2k2a) − i sin(2k2a) . (II.46) 2k1k2 Dựa vào (II.44) và (II.45), ta tính được hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T lần lượt là: −1 2 2 2 ( 2 2 2 ) 2 k2 − k1 2 k1 − k2 2 R = |B1| = sin (2k2a) 1 + sin (2k2a) , (II.47) 2k1k2 2k1k2 −1 ( 2 2 2 ) 2 k1 − k2 2 T = |A3| = 1 + sin (2k2a) . (II.48) 2k1k2 Nhận xét: • Ta xét thấy, năng lượng chuyển động của hạt trong trường hợp này lớn hơn so với hàng rào thế năng, nhưng ta vẫn tìm được xác suất hạt bị phản xạ trở lại rào thế (do R 6= 0). • Mặt khác, ta luôn thấy rằng R + T = 1, điều này có nghĩa số hạt luôn được bảo toàn, tức là mật độ của dòng tới luôn bằng tổng mật độ dòng phản xạ và dòng truyền qua. Những tính chất này không có tương tự trong thế giới cổ điển. Trang 21
Chương II Luận văn tốt nghiệp Tiếp theo, ta xét trường hợp năng lượng thấp hơn hoặc bằng chiều cao rào thế: E ≤ V0 • Miền I: (x a) Phương trình Schr¨odingercho miền I và miền III tương tự như trường hợp E > V0. • Miền II: (−a ≤ x ≤ a) Phương trình Schr¨odingercho miền II được viết dưới dạng: ψ00(x) − κ2ψ(x) = 0, (II.49) p với κ = 2m(V0 − E)/~. Khi đó, nghiệm của phương trình Schr¨odingercho miền II có dạng: κx −κx ψII (x) = A2e + B2e (II.50) Hàm sóng thu được cho miền I, II và III có dạng:  ψ (x) = eik1x + B e−ik1x  I 1  κx −κx ψII (x) = A2(x)e + B2e (II.51)   ik x ψIII (x) = A3e 1 Hàm sóng phải liên tục tại biên nên ta có hệ phương trình sau:  −ik a ik a −κa κa e 1 + B1e 1 = A2e + B2e    κa −κa ik a A2e + B1e = A3e 1 (II.52) −ik a ik a −κa κa ik1e 1 − ik1B1e 1 = κA2e − κB2e    κa −κa ik a κA2e − κB2e = ik1A3e 1 Giải hệ phương trình trên ta tìm được hệ số B1 và A3: 2 2 k1 + κ B1 = A3 sinh(2κa) (II.53) 2ik1κ Trang 22
Chương II Luận văn tốt nghiệp −1 k2 − κ2 −2ik1a 1 A3 = e cosh(2κa) − i sinh(2κa) . (II.54) 2k1κ Dựa vào (II.53) và (II.54) ta tính được hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T lần lượt là: −1 2 2 2 ( 2 2 2 ) 2 k1 + κ 2 1 k1 + κ 2 R = |B1| = sinh (2κa) 1 + sinh (2κa) . (II.55) 2ik1κ 4 k1κ −1 ( 2 2 2 ) 2 1 k1 + κ 2 T = |A3| = 1 + sinh (2κa) . (II.56) 4 k1κ Nhận xét: Ứng với mức năng lượng nhỏ hơn so với chiều cao thế năng, ta tìm được xác suất để hạt xuyên qua rào thế này (vì T 6= 0). Điều này cho thấy vẫn có xác suất hạt tồn tại trong miền cấm cổ điển. Dựa vào hiệu ứng này, mà ngày nay người ta đã ứng dụng được rất nhiều vào đời sống kĩ thuật. Kết luận cho trường hợp hạt chuyển động qua rào thế chữ nhật: Cũng tương tự, giải phương trình vi phân bậc hai cho từng miền cụ thể, ta đã tìm được nghiệm chính xác cho hàm sóng ứng với mỗi miền. Đồng thời, ta cũng tính được xác suất truyền qua và phản xạ của một hạt khi mức năng lượng của hạt cao hoặc nhỏ hơn mức thế năng đang xét. Dựa vào đó, ta thấy rằng khi hạt chuyển động qua rào thế có những tính chất đặc biệt mà ta chỉ tìm được trong thế giới vi mô, nhất là hiệu ứng xuyên hầm lượng tử là một hiệu ứng thường gặp khi giải bài toán cho một hạt mà năng lượng của nó thấp hơn so với rào thế năng đang xét. Trang 23
Chương II Luận văn tốt nghiệp Đối với những hố thế năng tiếp theo, ta sẽ giải phương trình Schr¨odingerbằng phương pháp Nikiforov–Uvarov như đã trình bày ở chương I. 3 Dao động tử điều hòa Hố thế dao động tử điều hòa là một mô hình được sử dụng để mô tả nhiều hệ của vật lí bằng phương trình dao động điều hòa, như sự dao động của các phân tử, dao động âm học của vật rắn, sóng điện từ [4] Đây được xem là một trong những hố thế thường gặp khi xét các bài toán vật lý. Biểu thức hố thế dao động tử điều hòa trong không gian ba chiều được viết dưới dạng: 1 V (r) = mω2r2, (II.57) 2 với ω là tham số của hố thế. Vì hố thế năng không phụ thuộc thời gian nên ta viết phương trình Schr¨odingerdưới dạng dừng. Tuy nhiên, xét thấy biểu thức hố thế năng chỉ phụ thuộc vào bán kính r nên ta sẽ xét phương trình hàm bán kính trong hệ tọa độ cầu: d2R(r) 2 dR(r) 2m l(l + 1) + + E − V (r) − ~ R(r) = 0. (II.58) dr2 r dr ~2 2mr2 U(r) Đặt R(r) = , ta thu được phương trình tương đương với phương trình (II.58): r d2U(r) 2m 1 2l(l + 1) + E − mω2r2 − ~ U(r) = 0. (II.59) dr2 ~2 2 2mr2 2mE m2ω2 Để giải phương trình (II.59) ta tiếp tục đặt: ε = , β = , s = r2, U(r) −→ ψ(s), ~2 ~2 khi đó phương trình (II.58) được đưa về dưới dạng: d2ψ(s) 1 dψ(s) 1 + + βs2 + εs − l(l + 1) ψ(s) = 0. (II.60) ds2 2s ds 4s2 Trang 24
Chương II Luận văn tốt nghiệp Ta sẽ giải phương trình (II.60) theo phương pháp Nikiforov–Uvarov với:  τ˜(s) = 1   σ(s) = 2s (II.61)   2 σ˜(s) = βs + εs − l(l + 1) Trước tiên, ta cần xác định hàm π(s) được xác định thông qua biểu thức: s 2 σ0(s) − τ˜(s) σ0(s) − τ˜(s) π(s) = ± − σ˜(s) + kσ(s). (II.62) 2 2 Đối chiếu với (II.61), ta được: 1 1p π(s) = ± 4βs2 + 4(2k − ε)s + 4l(l + 1) + 1. (II.63) 2 2 Vì π(s) là một đa thức nên biểu thức trong dấu căn phải có dạng bình phương của một 0 đa thức, do đó ∆s = 0: 0 2 ∆s = (2k − ε) − β [4l(l + 1) + 1] = 0. (II.64) Giải phương trình (II.64) ta thu được hai giá trị của k như sau: ε ± pβ[4l(l + 1) + 1] k = . (II.65) 2 Thế giá trị k vừa tìm được vào (II.63) ta tìm được hai biểu thức π(s) ứng với hai giá trị của k: 1 q p p π(s) = ± 4βs2 ± 4 4l(l + 1) + 1 βs + 4l(l + 1) + 1. (II.66) 2 Tiếp theo, ta cần xác định hàm τ(s) thông qua biểu thức τ(s) =τ ˜(s) + 2π(s). Vì đạo Trang 25
Chương II Luận văn tốt nghiệp hàm bậc nhất của nó phải mang giá trị âm, nên ta chọn hàm π(s) dưới dạng: 1 p 1p π(s) = − βs + 4l(l + 1) + 1. (II.67) 2 2 Khi đó, hàm τ(s) được xác định: p p τ(s) = 2 − 2 βs + 4l(l + 1) + 1. (II.68) Từ biểu thức của hai hàm π(s) và τ(s) ở hai biểu thức (II.67) và (II.68), ta cũng tính được giá trị λ và λn như sau: p ε − β[4l(l + 1) + 1] p λ = k + π0(s) = − β, (II.69) 2 n(n − 1) p λ = −nτ 0(s) − σ00(s) = 2n β. (II.70) n 2 So sánh giá trị λ và λn từ phương trình (II.69) và (II.70), ta thu được biểu thức: 3 p ε = 2(2n + l + ) β. (II.71) 2 Đối chiếu với điều kiện ban đầu đã đặt, ta suy ra được giá trị năng lượng khi đó: 3 E = 2n + l + ω. (II.72) 2 ~ Nếu chỉ xét trường hợp l = 0, ta vẽ đồ thị hàm thế năng dao động tử điều hòa ứng với các mức năng lượng khác nhau như trên hình (II.4): Trang 26
Chương II Luận văn tốt nghiệp Hình II.4: Các mức năng lượng trong hố thế dao động tử điều hòa Tiếp theo, ta đi tìm hàm sóng của hố thế dao động tử điều hòa thông qua biểu thức: ψ(s) = φ(s)yn. (II.73) Trước hết, ta cần xác định hàm φ(s) dựa vào phương trình (I.4): √ φ0(s) π(s) l + 1 β = = − . (II.74) φ(s) σ(s) s 2 Lấy tích phân hai vế phương trình (II.73) ta tìm được biểu thức của hàm φ(s) như sau: √ φ(s) = sδ1 e −βs/2, (II.75) l + 1 với: δ = . 1 2 Hàm yn(s) được xác định bởi: B dn y (s) = n [σn(s)ρ(s)] , (II.76) n ρ(s) dsn với hàm ρ(s) được xác định bởi biểu thức: [σ(s)ρ(s)]0 = τ(s)ρ(s). Ta có: ρ0(s) τ(s) − σ0(s) p 2l + 1 = = − β + . (II.77) ρ(s) σ(s) 2s Tương tự, lấy tích phân hai vế phương trình (II.77) ta thu được: √ ρ(s) = sδ2 e− βs, (II.78) Trang 27
Chương II Luận văn tốt nghiệp 2l + 1 với: δ = . 2 2 Khi đó, ta xác định được biểu thức yn(s) như sau: n n √ Bn2 d h n+δ − βsi √ 2 yn(s) = n s e . (II.79) sδ2 e− βs ds Từ các phương trình (II.73), (II.75) và (II.79) ta thu được biểu thức hàm sóng (hàm bán kính) khi đó: √ dn h √ i ψ(s) = 2nB s−l/2e βs/2 sn+δ2 e− βs , (II.80) n dsn hay √ δ1 − βs/2 δ2 p ψ(s) = Cns e Ln ( βs), (II.81) v u n! với C = u là hệ số được xác định bằng cách chuẩn hóa hàm n t 3 (2n + l + 1) Γ n + l + 2 √ δ2 sóng, Ln ( βs) là đa thức Laguerre. Hình II.5: Đồ thị hàm bán kính của dao động tử điều hòa ứng với trường hợp l = 0 Trang 28
Chương II Luận văn tốt nghiệp Hình II.6: Mật độ xác suất cho các trạng thái kích thích thấp Nhận xét: • Bằng cách áp dụng phương pháp Nikiforov–Uvarov, ta đã tìm được nghiệm chính xác cho hàm sóng (đã chuẩn hóa), và trị riêng năng lượng ứng với các mức lượng tử khác nhau. • Dựa vào trị riêng năng lượng tìm được, ta cũng thấy rằng khi hạt chuyển động trong hố thế dao động tử điều hòa, ứng với mức lượng tử thấp nhất thì năng lượng của hạt cũng lớn hơn không. Điều này càng khẳng định, trong thế giới vi mô các hạt luôn ở trạng thái chuyển động. Trang 29
Chương II Luận văn tốt nghiệp 4 Thế năng Woods–Saxon Hố thế Woods-Saxon là hố thế dùng để mô tả sự tương tác giữa neutron với hạt nhân nặng. Ngoài ra, hố thế này còn được dùng để mô tả các hiện tượng về thiên văn học [5], [12]. Xét biểu thức thế Woods–Saxon, đây là hố thế có dạng đối xứng cầu: −V V = 0 . (II.82) r − R0 1 + e a Tham số R0 được hiểu như là bán kính của hạt nhân, tham số a biểu thị độ dày của lớp bề mặt mà trong đó thế năng giảm từ giá trị V = 0 (từ bên ngoài hạt nhân) đến giá trị V = −V0 (bên trong hạt nhân). Khi a = 0 ta sẽ có hố thế năng đơn giản thông thường với bước nhảy vọt của thế năng trên bề mặt hạt nhân. Để giải bài toán, ta biến đổi biến r − Ro ≡ r và đặt 1/a ≡ 2α bằng cách chèn vào hố thế hằng số q tùy ý. Đồ thị của hố thế Woods–Saxon được vẽ như hình (II.7) ứng với các tham số q khác nhau: Hình II.7: Hố thế năng Woods–Saxon Vì hàm thế năng không phụ thuộc vào thời gian và chỉ phụ thuộc vào bán kính r nên ta xét phương trình hàm bán kính: Trang 30
Chương II Luận văn tốt nghiệp d2R(r) 2m 2l(l + 1) + E − V (r) − ~ R(r) = 0. (II.83) dr2 ~2 2mr2 Ta giải phương trình (II.83) cho hố thế Woods-Saxon ở trạng thái l = 0, phương trình (II.83) khi đó được viết lại dưới dạng: d2R(r) 2m V + E + 0 R(r) = 0. (II.84) dr2 ~2 1 + qe2αr Để giải phương trình (II.84), ta đặt các giá trị sau:   2αr s = −e   mE ε = − 2~2α2 (II.85) mV β = 0  2 2  2~ α  R(r) → ψ(s) Thế (II.85 vào phương trình (II.84) ta được: d2R(s) 1 − qs dR(s) 1 + + −εq2s2 + (2ε − β)qs + β − ε R(s) = 0. (II.86) ds s(1 − qs) ds s2(1 − qs)2 Giải phương trình (II.86) bằng phương pháp Nikiforov–Uvarov với:  τ˜(s) = 1 − qs   σ(s) = s(1 − qs) (II.87)   2 2 σ˜(s) = −εq s + (2ε − β)qs + β − ε Khi đó, dựa vào phương trình (I.4) biểu thức hàm π(s) được xác định: −qs 1p π(s) = ± (q2 + 4εq2 − 4kq)s2 + 4(k + βq − 2εq)s + 4ε − 4β. (II.88) 2 2 Trang 31
Chương II Luận văn tốt nghiệp Vì π(s) là một đa thức nên biểu thức trong dấu căn phải có dạng bình phương của một 0 đa thức, do đó ∆s = 0: 0 2 2 2 2 2 ∆s = 4k − 8qβk + q β − q ε + q β = 0. (II.89) Giải phương trình (II.89) ta thu được hai giá trị của k dưới dạng: √ b0 ± ∆0 p k = − = −βq ± q ε − β. (II.90) a Thế giá trị k vừa tìm được vào phương trình (II.88) ta tìm được các hàm π(s) tương ứng với hai giá trị của k: qs 1 p p √ π(s) = − ± (q − 2q ε − β)s − 2 ε − β , k = βq + q ε − β. (II.91) 2 2 và qs 1 p p √ π(s) = − ± (q + 2q ε − β)s − 2 ε − β , k = βq − q ε − β. (II.92) 2 2 Hàm τ(s) được xác định bởi biểu thức: τ(s) =τ ˜(s) + 2π(s), và đạo hàm bậc nhất của nó phải mang giá trị âm nên ta chọn biểu thức hàm π(s) dưới dạng: qs 1 h p p i π(s) = − − (q + 2q ε − β)s − 2 ε − β , (II.93) 2 2 √ ứng với k = βq − q ε − β. Từ đó ta tính được hàm τ(s) như sau: p p τ(s) = 1 + 2 ε − β − q(3 + 2 ε − β)s (II.94) và đạo hàm tương ứng của nó là: p τ 0(s) = −q(3 + 2 ε − β). (II.95) Trang 32
Chương II Luận văn tốt nghiệp Từ các phương trình (II.93), (II.94) và (II.95), giá trị λ và λn khi đó cũng được xác đinh: p λ = k + π0(s) = q(β − 2 ε − β − 1), (II.96) và p λn = nq(3 + 2 ε − β) + n(n − 1)q. (II.97) So sánh biểu thức (II.96) và biểu thức (II.97) với: λ = λn ta tìm được giá trị ε như sau: 2 β n + 12 β ε = + + . (II.98) 2(n + 1) 2 2 Đến đây ta thu được giá trị năng lượng của thế Woods–Saxon: 2 " 2 2 2 2 # ~ ma V0 n + 1 ma V0 En = − + + . (II.99) 2ma2 ~2(n + 1) 2 ~2 Đồ thị năng lượng của hố thế Woods–Saxon được mô tả như hình (II.8): Hình II.8: Hàm năng lượng của hố thế Woods–Saxon ứng với các giá trị n Trang 33
Chương II Luận văn tốt nghiệp Tiếp theo, ta đi tìm hàm sóng cho thế Woods–Saxon dưới biểu thức: ψ(s) = φ(s)yn(s). (II.100) Để xác định hàm sóng ta lần lượt tìm hàm φ(s) và hàm yn(n). Đầu tiên, ta xác định làm φ(s) với: √ φ0(s) π(s) −q ε − β = = + . (II.101) φ(s) σ(s) 1 − qs s Lấy tích phân hai vế phương trình (II.101) ta thu được: √ φ(s) = (1 − qs)s ε−β. (II.102) Tương tự, ta tiếp tục tìm hàm yn(s) được xác đinh bởi: B dn y (s) = n [σn(s)ρ(s)] , (II.103) n ρ(s) dsn với Bn là hệ số chuẩn hóa, và ρ(s) thỏa hệ thức: [σ(s)ρ(s)]0 = τ(s)ρ(s). Ta có: √ ρ0(s) τ(s) − σ0(s) −q 2 ε − β = = + . (II.104) ρ(s) σ(s) 1 − qs s Lấy tích phân hai vế phương trình (II.104) ta tìm được: √ ρ(s) = (1 − qs)s2 ε−β. (II.105) Khi đó, từ các phương trình (II.100), (II.102) và (II.105), biểu thức yn(s) được viết dưới dạng: n √ Bn d h n+1 n+2 ε−βi yn(s) = √ (1 − qs) s . (II.106) (1 − qs)s2 ε−β dsn Trang 34
Chương II Luận văn tốt nghiệp Đồ thị của hố thế Woods–Saxon được mô tả như trên hình (II.9): Hình II.9: Đồ thị hàm sóng của thế Woods–Saxon (chưa được chuẩn hóa) Nhận xét: Đối với hố thế năng Woods–Saxon, bằng phương pháp Nikiforov–Uvarov, ta cũng giải tìm được nghiệm (hàm sóng) chính xác (cho trạng thái cơ bản) và trị riêng (năng lượng) tương ứng. Tuy nhiên, đối với trường hợp l 6= 0, ta không thể tìm được chính 2 1 eδr xác, mà phải sử dụng phương pháp gần đúng bằng cách xét ≈ −δ2 , sau r2 1 − eδr đó sử dụng phương pháp Nikiforov–Uvarov để giải. Trang 35
Chương II Luận văn tốt nghiệp 5 Thế năng Morse Hố thế Morse được đặt tên theo tên nhà vật lí Philip M.Morse, là hố thế mô tả sự tương tác giữa các phân tử hai nguyên tử [12]. Mô hình này mô tả cấu trúc dao động của phân tử gần đúng hơn so với hố thế dao động tử điều hòa, vì nó mô tả các hiệu ứng của trạng thái liên kết và cả sự tồn tại của trạng thái không liên kết [6]. Hố thế Morse cũng được dùng để mô tả cho những mô hình tương tác khác, như sự tương tác giữa nguyên tử và bề mặt. Xét một hệ phân tử hai nguyên tử với khối lượng rút họn m, biểu thức hố thế Morse được viết trong không gian ba chiều như sau: h i2 −α(r−r0) V (r) = De 1 − e , (II.107) với De là hệ số tách mức năng lượng, r0 là khoảng cách cân bằng giữa các hạt nhân, a p là tham số độ rộng của hố thế, a = k/2De–k là tham số đặc trưng cho độ cong của hố thế. Đồ thị của hố thế Morse được mô tả như hình (II.10) ứng với các độ cong k khác nhau (De = 15): Hình II.10: Biểu thức của hố thế Morse ứng với độ cong khác nhau Vì biểu thức của hố thế năng không phục thuộc vào thời gian và chỉ phụ thuộc vào bán kính r nên ta xét phương trình hàm bán kính của phương trình Schr¨odingertrong hệ Trang 36
Chương II Luận văn tốt nghiệp tọa độ cầu như sau: d2R(r) 2 dR(r) 2m l(l + 1) + + E − V (r) − ~ R(r) = 0. (II.108) dr2 r dr ~2 2mr2 U(r) Đặt R(r) = , ta thu được phương trình tương đương phương trình (II.108): r 2 2 d U(r) 2m −γr2 ~ l(l + 1) + E − De 1 − e − U(r) = 0, (II.109) dr2 ~2 2mr2 với: α(r − r0) = γr. Giải phương trình cho trường hợp l = 0 và đặt: s = e−γr, U(r) → ψ(s) phương trình (II.109) trở thành: d2ψ(s) 1 dψ(s) ε − β(1 − s2) + + ψ(s) = 0, (II.110) ds2 s ds s2 2mE 2mD với: ε = , β = e . ~2γ2 ~2γ2 Giải phương trình vi phân (II.110) theo phương pháp Nikiforov–Uvarov với:  τ˜(s) = 1   σ(s) = s (II.111)   s σ˜(s) = −βs + 2βs + ε − β Khi đó, biểu thức hàm π(s) được xác định: p π(s) = ± βs2 + (k − 2β)s + β − ε. (II.112) Vì π(s) là một đa thức nên biểu thức trong dấu căn phải có dạng bình phương của một đa thức, do đó ∆s = 0: 2 ∆s = k − 4βk + 4βε = 0. (II.113) Giải phương trình (II.113) ta thu được hai giá trị của k: p p k = 2β ± 2 β β − ε. (II.114) Trang 37
Chương II Luận văn tốt nghiệp Thế các giá trị của k vừa tìm được vào biểu thức (II.112) ta thu được các hàm π(s) tương ứng: p p π(s) = ± βs ± β − ε . (II.115) √ √ Vì τ(s) =τ ˜(s) + 2π(s) và vì τ 0(s) < 0 nên ta chọn π(s) = − βs − β − ε ứng với √ √ k = 2β − 2 β β − ε. Khi đó, hàm τ(s) có dạng: p p τ(s) = 1 − 2 βs + 2 β − ε, (II.116) và: p τ 0(s) = −2 β. (II.117) Từ các phương trình (II.115), (II.116) và (II.117) ta tính được giá trị λ và λn: p p p λ = k + π0(s) = 2β − 2 β β − ε − β, (II.118) và: n(n − 1) p λ = −nτ 0(s) − σ00(s) = 2n β. (II.119) n 2 So sánh hai giá trị λ và λn ta rút ra được biểu thức sau: p 1 12 ε = 2 β n + − n + . (II.120) 2 2 Vì vậy, trị riêng năng lượng khi đó sẽ là: 2 2 2 γ p 1 1 E = ~ 2 β n + − n + . (II.121) 2m 2 2 Đồ thị năng lượng của hố thế Morse được biểu diễn trên hình (II.11): Trang 38
Chương II Luận văn tốt nghiệp Hình II.11: Đồ thị năng lượng của hố thế Morse Tiếp theo, ta sẽ đi tìm biểu thức của hàm sóng ψ(s) với: ψ(s) = φ(s)yn(s). (II.122) Trước tiên, ta cần xác định hàm φ(s). Ta có: √ φ0(s) π(s) p β − ε = = − β + . (II.123) φ(s) σ(s) s Lấy tích phân hai vế phương trình (II.123), ta sẽ tìm được hàm φ(s) dưới dạng: √ √ φ(s) = s β−εe− βs. (II.124) Ta tiếp tục xác định hàm yn(s) dựa vào biểu thức: B dn y (s) = n [σn(s)ρ(s)] , (II.125) n ρ(s) dsn với: [σ(s)ρ(s)]0 = τ(s)ρ(s). Ta có: √ ρ0(s) τ(s) − σ0(s) p 2 β − ε = = −2 β + . (II.126) ρ(s) σ(s) s Trang 39
Chương II Luận văn tốt nghiệp Tương tự, ta cũng lấy tích phân hai vế phương trình (II.126)và thu được hàm ρ(s) dưới dạng: √ √ ρ(s) = s2 β−εe−2 βs. (II.127) Khi đó, biểu thức yn sẽ là: n √ √ Bn d h n+2 β−ε −2 βsi yn(s) = √ √ s e . (II.128) s2 β−εe−2 βs dsn Dựa vào các phương trình (II.122), (II.124) và (II.128) ta xác định biểu thức hàm sóng dưới dạng: √ √ √ − β β−ε (2 β−ε) p ψ(s) = Cne s Ln (2 βs), (II.129) √ (2 β−ε) √ với: Cn = n!Bn, Ln (2 βs) là đa thức Laguerre. Sau khi chuẩn hóa hàm sóng, ta tính được hệ số Bn như sau: s √ √ (2 β)n+2 β−ε+1 Bn = √ . (II.130) n!Γ(n + 2 β − ε + 1) Đồ thị hàm bán kính của hố thế Morse được vẽ trên hình (II.12): Trang 40
Chương II Luận văn tốt nghiệp Hình II.12: Đồ thị hàm sóng của hố thế Morse Nhận xét: Đối với hố thế năng Morse, bằng phương pháp Nikiforov–Uvarov, ta cũng giải tìm được nghiệm (hàm sóng) chính xác (cho trạng thái cơ bản) và trị riêng (năng lượng) tương ứng. Tuy nhiên, đối với trường hợp l 6= 0, ta không thể tìm được chính xác, mà 2 1 e−γr phải sử dụng phương pháp gần đúng bằng cách xét ≈ γ2 , sau đó sử r2 1 − e−γr dụng phương pháp Nikiforov–Uvarov. Trang 41
Chương II Luận văn tốt nghiệp 6 Thế năng P¨oschl–Teller Hố thế này đươc đưa ra bởi P¨oshlvà Teller để nghiên cứu phổ dao động của các phân tử nhiều nguyên tử [7], [12]. Xét biểu thức thế P¨oschl–Teller: 4e2ar V (r) = −V sec2 ar = −V , (II.131) 0 0 (e2ar + 1)2 với V0 và a là hai tham số (V0, a ≥ 0). Đồ thị của hố thế P¨oschl–Teller được vẽ trên hình (II.13): Hình II.13: Hố thế P¨oschl–Teller với các giá trị a khác nhau Vì biểu thức hố thế năng không phụ thuộc vào thời gian và chỉ phụ thuộc vào bán kính r nên ta xét phương trình hàm bán kính cho hố thế P¨oschl–Teller: d2R(r) 2 dR(r) 2m + + [E − V (r)] R(r) = 0. (II.132) dr2 r dr ~2 Ta sẽ giải phương trình Schr¨odingercho hố thế này ứng với trường hợp l = 0 bằng cách Trang 42
Chương II Luận văn tốt nghiệp U(r) đặt R(r) = , phương trình (IV.6) khi đó được viết lại: r 2 d U(r) 2m 2 + E + V0 sec αr U(r) = 0. (II.133) dr2 ~2 2mE 2mV Đổi biến số: s = tanh αr và đặt: ε2 = − , β2 = 0 , phương trình (II.133) được rút ~2α2 ~2α2 về dưới dạng sau: d2ψ(s) −2s dψ(s) −ε2 + β2(1 − s2) + + ψ(s) = 0. (II.134) ds2 1 − s2 ds (1 − s2)2 Giải phương trình (II.134) theo phương pháp Nikiforov–Uvarov với:  τ˜(s) = −2s   σ(s) = 1 − s2 (II.135)   2 2 2 2 σ˜(s) = −β s + β − ε Hàm π(s) được xác định bởi biểu thức: s 2 σ0(s) − τ˜(s) σ0(s) − τ˜(s) π(s) = ± − σ˜(s) + kσ(s). (II.136) 2 2 Thế (II.135) vào (II.136) ta được hàm π(s) như sau: p π(s) = ± (β2 − k)s2 + ε2 − β2 + k. (II.137) Vì π(s) là một đa thức nên biểu thức trong dấu căn cũng phải có dạng bình phương của một đa thức, do đó ∆s = 0 : (β2 − k)(ε2 − β2 + k) = 0. (II.138) Trang 43
Chương II Luận văn tốt nghiệp Giải phương trình (II.138) ta thu được hai giá trị của k: k = β2, (II.139) hoặc: k = β2 − ε2. (II.140) Thế hai giá trị k vừa tìm được vào phương trình (II.137) ta thu được hai hàm π(s) tương ứng: π(s) = ±ε, (II.141) ứng với k = β2. π(s) = ±εs, (II.142) ứng với k = β2 − ε2. Hàm τ(s) có dạng: τ(s) =τ ˜(s) + 2π(s) và vì τ 0(s) < 0 nên ta chọn: π(s) = −εs, (II.143) ứng với k = β2 − ε2. Khi đó: τ(s) = −2(1 + ε)s, (II.144) và đạo hàm bậc nhất sẽ là: τ 0(s) = −2(1 + ε). (II.145) Từ các phương trình (II.143), (II.144), (II.145) ta tìm được giá trị của λ và λn: λ = β2 − ε2 − ε, (II.146) và λn = 2n(1 + ε) + n(n − 1). (II.147) So sánh hai giá trị λ và λn ta thu được biểu thức sau: r 1 1 ε = −n − + β2 + . (II.148) 2 4 Trang 44
Chương II Luận văn tốt nghiệp Vì thế giá trị năng lượng khi đó sẽ là: r ! 2α2 1 1 E = −~ −n − + β2 + , (II.149) 2m 2 4 với n = 0, 1, 2, Đồ thị năng lượng của hố thế P¨oschl–Teller được vẽ trên hình (II.14): Hình II.14: Đồ thị năng lượng ứng với các giá trị n khác nhau Tiếp theo, ta sẽ đi tìm hàm sóng của hố thế P¨oschl–Teller thông qua biểu thức: ψ(s) = φ(s)yn(s). (II.150) Trước tiên, ta tìm hàm φ(s): Ta có: φ0(s) π(s) −εs = = . (II.151) φ(s) σ(s) 1 − s2 Lấy tích phân hai vế phương trình (II.151) ta được: φ(s) = (1 − s2)ε/2. (II.152) Xác định hàm yn(s) dựa vào biểu thức: B dn y (s) = n [σn(s)ρ(s)] , (II.153) n ρ(s) dsn Trang 45
Chương II Luận văn tốt nghiệp với: [σ(s)ρ(s)]0 = τ(s)ρ(s). Ta có: ρ0(s) τ(s) − σ0(s) −2εs = = . (II.154) ρ(s) σ(s) 1 − s2 Lấy tích phân hai vế phương trình (II.154), ta được: ρ(s) = (1 − s2)ε. (II.155) Nên hàm yn(s) khi đó có dạng: B dn y (s) = n (1 − s2)n+ε . (II.156) n (1 − s2)ε dsn Dựa vào các phương trình (II.150), (II.152) và (II.156) ta tìm được biểu thức của hàm bán kính cho hố thế P¨oshl–Teller như sau: 2 ε/2 (β,β) ψ(s) = Cn(1 − s ) Pn (s), (II.157) r n!Γ(n + 2β + 1) với C = và P (β,β)(s) là đa thức Jacobi. n Γ(n + β + 1)Γ(n + β + 1) n Đồ thị hàm bán kính cho hố thế P¨oshlTeller được vẽ trên hình (II.15): Hình II.15: Đồ thị hàm bán kính của hố thế P¨oshl–Teller Trang 46
Chương II Luận văn tốt nghiệp Nhận xét: Đối với hố thế năng P¨oshl–Teller, bằng phương pháp Nikiforov–Uvarov, ta cũng giải tìm được nghiệm (hàm sóng) chính xác (cho trạng thái cơ bản) và trị riêng (năng lượng) tương ứng. Tuy nhiên, đối với trường hợp l 6= 0, ta không thể tìm được chính xác, mà 2 1 e−2αr phải sử dụng phương pháp gần đúng bằng cách xét ≈ 4α2 , sau đó sử r2 1 − e−2αr dụng phương pháp Nikiforov–Uvarov để giải. Trang 47
Chương II Luận văn tốt nghiệp 7 Thế năng Coulomb Hố thế Coulomb là một dạng hố thế quan trọng và thường gặp trong các bài toán vật lý. Xét biểu thức thế Coulomb [8]: Ze02 V (r) = − , (II.158) r 0 √ với: e = e/ 4πε0. Đồ thị của hố thế Coulomb ứng với các nguyên tử khác nhau được vẽ như hình (II.16): Hình II.16: Hố thế năng Coulomb ứng với các nguyên tử khác nhau Vì hàm thế năng không phụ thuộc vào thời gian và chỉ phụ thuộc vào bán kính r nên ta xét phương trình hàm bán kính: d2R(r) 2 dR(r) 2m l(l + 1) + + E − V (r) − ~ R(r) = 0. (II.159) dr2 r dr ~2 2mr2 Thế biểu thức của hố thế năng vào phương trình (II.159), ta được: d2R(r) 2 dR(r) 2m Ze02 l(l + 1) + + E + − ~ R(r) = 0. (II.160) dr2 r dr ~2 r 2mr2 Trang 48
Chương II Luận văn tốt nghiệp Để giải phương trình (II.160) ta đặt các biến số mới:  2mE ε = −  2  ~  2m β = Ze02  2  ~ γ = l(l + 1) (II.161)    r → s   R(r) → ψ(s) Thế các phương trình (II.161) vào phương trình (II.160) ta được: d2ψ(s) 2 dψ(s) 1 + + −εs2 + βs − γ ψ(s) = 0. (II.162) ds2 s ds s2 Giải phương trình (II.162) theo phương pháp Nikiforov–Uvarov với:  τ˜(s) = 2   σ(s) = s (II.163)   2 σ˜(s) = εs + βs + γ Hàm π(s) được xác định bởi biểu thức: s 2 σ0(s) − τ˜(s) σ0(s) − τ˜(s) π(s) = ± − σ˜(s) + kσ(s). (II.164) 2 2 Thế (II.163) vào (II.164) ta được hàm π(s) như sau: 1 1p π(s) = − ± 4εs2 + 4(k − β)s + 4γ + 1. (II.165) 2 2 Vì π(s) là một đa thức nên biểu thức trong dấu căn cũng phải có dạng bình phương của 0 một đa thức, do đó ∆s = 0 : 4(k − β)2 − 4ε(4γ + 1) = 0. (II.166) Trang 49
Chương II Luận văn tốt nghiệp Giải phương trình (II.166) ta thu được hai giá trị của k: p k = β ± ε(4γ + 1). (II.167) Thế hai giá trị k vừa tìm được vào phương trình (II.137) ta thu được hai hàm π(s) tương ứng: 1 1 √ π(s) = − ± 2 εs + p4γ + 1 , (II.168) 2 2 ứng với k = β + pε(4γ + 1). 1 1 √ π(s) = − ± 2 εs + p4γ + 1 , (II.169) 2 2 ứng với k = β − pε(4γ + 1). Hàm τ(s) có dạng: τ(s) =τ ˜(s) + 2π(s) và vì τ 0(s) < 0 nên ta chọn: 1 1 √ π(s) = − − 2 ε2 − p4γ + 1 , (II.170) 2 2 ứng với k = β − pε(4γ + 1). Khi đó: √ τ(s) = −2 εs + 1 + p4γ + 1, (II.171) và đạo hàm bậc nhất sẽ là: √ τ 0(s) = −2 ε. (II.172) Từ các phương trình (II.170), (II.171), (II.172) ta tìm được giá trị của λ và λn: p √ λ = β − ε(4γ + 1) − ε, (II.173) và √ λn = 2n ε. (II.174) So sánh hai giá trị λ và λn ta thu được biểu thức sau: β2 ε = . (II.175) 4(n + l + 1)2 Trang 50
Chương II Luận văn tốt nghiệp Vì thế giá trị năng lượng khi đó sẽ là: 2 β2 E = − ~ , (II.176) 2m (n + l + 1)2 với n = 0, 1, 2, Đồ thị năng lượng của hố thế Coulomb được vẽ trên hình (II.17): Hình II.17: Đồ thị năng lượng của hố thế Coulomb cho trường hợp l = 0 Trang 51
Chương II Luận văn tốt nghiệp Tiếp theo, ta sẽ đi tìm hàm sóng của hố thế Coulomb thông qua biểu thức: ψ(s) = φ(s)yn(s). (II.177) Trước tiên, ta tìm hàm φ(s): Ta có: √ φ0(s) π(s) √ −1 + 4γ + 1 = = − ε + . (II.178) φ(s) σ(s) 2s Lấy tích phân hai vế phương trình (II.178) ta được: √ φ(s) = sle− εs. (II.179) Xác định hàm yn(s) dựa vào biểu thức: B dn y (s) = n [σn(s)ρ(s)] , (II.180) n ρ(s) dsn với: [σ(s)ρ(s)]0 = τ(s)ρ(s). Ta có: √ ρ0(s) τ(s) − σ0(s) √ 4γ + 1 = = −2 ε + . (II.181) ρ(s) σ(s) s Lấy tích phân hai vế phương trình (II.181), ta được: √ ρ(s) = s2l+1e−2 εs. (II.182) Nên hàm yn(s) khi đó có dạng: n √ Bn d h n+2l+1 −2 εsi yn(s) = √ s e . (II.183) s2l+1e−2 εs dsn Dựa vào các phương trình (II.177), (II.179) và (II.183) ta tìm được biểu thức của hàm bán kính cho hố thế Coulomb như sau: √ l − εs 2l+1 √ ψ(s) = Bnn!s e Ln (s εs), (II.184) Trang 52
Chương II Luận văn tốt nghiệp 2l+1 √ với Bn là hệ số được xác định bằng cách chuẩn hóa hàm sóng, Ln (s εs) là đa thức Laguerre. Đồ thị hàm bán kính cho hố thế Coulomb được vẽ trên hình (II.18): Hình II.18: Đồ thị hàm bán kính của hố thế Coulomb Nhận xét: Đối với hố thế năng Coulomb, bằng phương pháp Nikiforov–Uvarov, ta cũng giải tìm được nghiệm (hàm sóng) chính xác và trị riêng (năng lượng) ứng với các mức lượng tử khác nhau. Đồ thị cho biểu thức năng lượng cũng được vẽ tương ứng với các biểu thức tìm được. Trang 53
Chương II Luận văn tốt nghiệp 8 Thế năng Hulthen Hố thế hulthen tương tự như hố thế Coulomb, được sử dụng trong các lĩnh vực khác nhau của vật lý, đặc biệt là vật lý hạt nhân và lý thuyết tán xạ đối với nguyên tử [9], [12]. Trong vật lý nguyên tử, hàm sóng cho hố thế Hulthen thường được sử dụng để nghiên cứu trạng thái dao động hoặc tính toán các trị riêng năng lượng đối với các nguyên tử khác nhau. Bên cạnh, hố thế này còn được sử dụng cho việc nghiên cứu liên quan đến lý thuyết cơ học lượng tử tương đối và phi tương đối. Xét biểu thức thế Hulthen: K e−r/a V (r) = − , (II.185) a 1 − e−r/a với K và a là tham số của hố thế. Đồ thị của hố thế Hulthen ứng với các nguyên tử khác nhau được vẽ như hình (II.19): Hình II.19: Hố thế năng Hulthen ứng với các độ rộng khác nhau khác nhau Vì hàm thế năng không phụ thuộc vào thời gian và chỉ phụ thuộc vào bán kính r nên ta xét phương trình hàm bán kính: d2R(r) 2 dR(r) 2m l(l + 1) + + E − V (r) − ~ R(r) = 0. (II.186) dr2 r dr ~2 2mr2 Trang 54
Chương II Luận văn tốt nghiệp U(r) Ta giải phương trình Schr¨odingercho trường hợp l = 0 bằng cách đặt R(r) = , r phương trình (II.186) khi đó được viết lại: d2U(r) 2m K e−r/a + E + U(r) = 0. (II.187) dr2 ~2 a 1 − e−r/a Để giải phương trình (II.187) ta đặt các biến số mới:   −r/a s = e   2mE ε = − a2 ~2 (II.188) 2mK β = a  2  ~  U(r) → ψ(s) Thế các phương trình (II.188) vào phương trình (II.187) ta được: d2ψ(s) 1 − s dψ(s) −(ε + β)s2 + (2ε + β)s − ε + + ψ(s) = 0. (II.189) ds2 s(1 − s) ds s2(1 − s)2 Giải phương trình (II.189) theo phương pháp Nikiforov–Uvarov với:  τ˜(s) = 1 − s   σ(s) = s(1 − s) (II.190)   2 σ˜(s) = −(ε + β)s + (2ε + β)s − ε Hàm π(s) được xác định bởi biểu thức: s 2 σ0(s) − τ˜(s) σ0(s) − τ˜(s) π(s) = ± − σ˜(s) + kσ(s). (II.191) 2 2 Thế (II.190) vào (II.191) ta được hàm π(s) như sau: s p π(s) = − ± [1 + 4(ε + β) − 4k] s2 + 4(k − 2ε − β)s + 4ε. (II.192) 2 Trang 55
Chương II Luận văn tốt nghiệp Vì π(s) là một đa thức nên biểu thức trong dấu căn cũng phải có dạng bình phương của 0 một đa thức, do đó ∆s = 0 : k2 − 2βk + β2 − ε = 0. (II.193) Giải phương trình (II.193) ta thu được hai giá trị của k: √ k = β ± ε. (II.194) Thế hai giá trị k vừa tìm được vào phương trình (II.192) ta thu được hai hàm π(s) tương ứng: s 1 √ √ π(s) = − ± (1 − 2 ε)s + 2 ε , (II.195) 2 2 √ ứng với k = β + ε. s 1 √ √ π(s) = − ± (1 + 2 ε)s − 2 ε , (II.196) 2 2 √ ứng với k = β − ε. Hàm τ(s) có dạng: τ(s) =τ ˜(s) + 2π(s) và vì τ 0(s) < 0 nên ta chọn: s 1 √ √ π(s) = − − (1 + 2 ε)s − 2 ε , (II.197) 2 2 √ ứng với k = β − ε. Khi đó: √ √ τ(s) = −(3 + 2 ε)s + 1 + 2 ε, (II.198) và đạo hàm bậc nhất sẽ là: √ τ 0(s) = −(3 + 2 ε). (II.199) Từ các phương trình (II.197), (II.198), (II.199) ta tìm được giá trị của λ và λn: √ λ = β − 2 ε − 1, (II.200) và √ λn = (3 + 2 ε)n + n(n − 1). (II.201) Trang 56
Chương II Luận văn tốt nghiệp So sánh hai giá trị λ và λn ta thu được biểu thức sau: 2 β n + 1 ε = − . (II.202) 2(n + 1) 2 Vì thế giá trị năng lượng khi đó sẽ là: 2 2 β n + 1 E = − ~ − , (II.203) 2mα2 2(n + 1) 2 với n = 0, 1, 2, Đồ thị năng lượng của hố thế Hulthen được vẽ trên hình (II.20): Hình II.20: Đồ thị năng lượng ứng với các giá trị n khác nhau Tiếp theo, ta sẽ đi tìm hàm sóng của hố thế Hulthen thông qua biểu thức: ψ(s) = φ(s)yn(s). (II.204) Trước tiên, ta tìm hàm φ(s): Ta có: √ φ0(s) π(s) −1 ε = = + . (II.205) φ(s) σ(s) 1 − s s Trang 57
Chương II Luận văn tốt nghiệp Lấy tích phân hai vế phương trình (II.205) ta được: √ φ(s) = s ε(1 − s). (II.206) Xác định hàm yn(s) dựa vào biểu thức: B dn y (s) = n [σn(s)ρ(s)] , (II.207) n ρ(s) dsn với: [σ(s)ρ(s)]0 = τ(s)ρ(s). Ta có: √ ρ0(s) τ(s) − σ0(s) −1 2 ε = = + . (II.208) ρ(s) σ(s) 1 − s s Lấy tích phân hai vế phương trình (II.208), ta được: √ ρ(s) = s 2ε(1 − s). (II.209) Nên hàm yn(s) khi đó có dạng: B dn y (s) = n s2ε+n(1 − s)n+1 . (II.210) n s2ε(1 − s) dsn Dựa vào các phương trình (II.204), (II.206) và (II.210) ta tìm được biểu thức của hàm bán kính cho hố thế Hulthen như sau: √ √ ε 2 ε,1 ψ(s) = Cs (1 − s)Pn (1 − 2s), (II.211) √ 2 ε,1 với C là hệ số được xác định bằng cách chuẩn hóa hàm sóng và Pn (1 − 2s) là đa thức Jacobi. Đồ thị hàm bán kính cho hố thế Hulthen được vẽ trên hình (II.21): Trang 58
Chương II Luận văn tốt nghiệp Hình II.21: Đồ thị hàm bán kính của hố thế Hulthen Nhận xét: Đối với hố thế năng Hulthen, bằng phương pháp Nikiforov–Uvarov, ta cũng giải tìm được nghiệm (hàm sóng) chính xác và trị riêng (năng lượng) ứng với trạng thái cơ bản l = 0. Đối với trường hợp l 6= 0, ta chỉ có thể tính được gần đúng nghiệm của phương 2 1 1 e−αr trình bằng cách xét: ≈ , sau đó áp dụng phương pháp Nikiforov– r2 α2 1 − e−αr Uvarov. Đồ thị cho năng lượng và hàm sóng của hố thế Hulthen cũng được vẽ tương ứng với các biểu thức tìm được. Trang 59
Chương II Luận văn tốt nghiệp 9 Thế năng Kratzer Hố thế Kratzer được đặt tên theo nhà nhà bác học B.Adolf Kratzer, thường được sử dụng để nghiên cứu trong cả ngành Vật lý và Hóa học. Mô hình hố thế này rất thuận tiện trong việc mô tả cấu trúc, nghiên cứu phổ của các nguyên tử, phân tử cũng như sự tương tác giữa chúng [10], [12]. Xét biểu thức thế Kratzer: B C V (r) = A − + , (II.212) r r2 với A, B, C là hằng số của hố thế. Trong bài toán này ta sẽ xét A = 0, B = 2Dere và 2 C = Dere, De là hệ số tách mức năng lượng, ee là vị trí cân bằng giữa các nguyên tử trong tương tác. Đồ thị của hố thế Kratzer ứng với các giá trị re khác nhau được vẽ như hình (II.22): Hình II.22: Hố thế năng Kratzer ứng với các tham số re khác nhau Vì hàm thế năng không phụ thuộc vào thời gian và chỉ phụ thuộc vào bán kính r nên ta xét phương trình hàm bán kính: d2R(r) 2 dR(r) 2m l(l + 1) + + E − V (r) − ~ R(r) = 0. (II.213) dr2 r dr ~2 2mr2 Trang 60
Chương II Luận văn tốt nghiệp Thế biểu thức của hố thế năng Kratzer vào phương trình (II.213) ta được: d2R(r) 2 dR(r) 2m B C l(l + 1) + + E − A + − − ~ R(r) = 0. (II.214) dr2 r dr ~2 r r2 2mr2 Để giải phương trình (II.214) ta đặt các biến số mới:  2m ε = − (E − A)  2  ~  2mB β = 2  ~  2m γ = C + l(l + 1) (II.215)  ~2   R(r) → ψ(s)   r → s Thế các phương trình (II.215) vào phương trình (II.214) ta được: d2ψ(s) 2 −εs2 + βs − γ + ψ(s) = 0. (II.216) ds2 s s2 Giải phương trình (II.216) theo phương pháp Nikiforov–Uvarov với:  τ˜(s) = 2   σ(s) = s (II.217)   2 σ˜(s) = −εs + βs − γ Hàm π(s) được xác định bởi biểu thức: s 2 σ0(s) − τ˜(s) σ0(s) − τ˜(s) π(s) = ± − σ˜(s) + kσ(s). (II.218) 2 2 Thế (II.217) vào (II.218) ta được hàm π(s) như sau: 1 1p π(s) = − ± 4εs2 + 4(k − β)s + 4γ + 1. (II.219) 2 2 Trang 61
Chương II Luận văn tốt nghiệp Vì π(s) là một đa thức nên biểu thức trong dấu căn cũng phải có dạng bình phương của 0 một đa thức, do đó ∆s = 0 : 4(k − β)2 − 4ε(4γ + 1) = 0. (II.220) Giải phương trình (II.220) ta thu được hai giá trị của k: p k = β ± ε(4γ + 1). (II.221) Thế hai giá trị k vừa tìm được vào phương trình (II.220) ta thu được hai hàm π(s) tương ứng: 1 1 h √ i π(s) = − ± 2 εs + p4γ + 1 , (II.222) 2 2 ứng với k = β + pε(4γ + 1). 1 1 h √ i π(s) = − ± 2 εs − p4γ + 1 , (II.223) 2 2 ứng với k = β − pε(4γ + 1). Hàm τ(s) có dạng: τ(s) =τ ˜(s) + 2π(s) và vì τ 0(s) < 0 nên ta chọn: 1 1 h √ i π(s) = − − 2 εs − p4γ + 1 , (II.224) 2 2 ứng với β − pε(4γ + 1). Khi đó: √ √ τ(s) = −s εs + 1 + 4ε + 1, (II.225) và đạo hàm bậc nhất sẽ là: √ τ 0(s) = −2 ε. (II.226) Từ các phương trình (II.224), (II.225), (II.226) ta tìm được giá trị của λ và λn: √ λ = β − ε 1 + p4γ + 1 , (II.227) và √ λn = 2n ε. (II.228) Trang 62
Chương II Luận văn tốt nghiệp So sánh hai giá trị λ và λn ta thu được biểu thức sau: β2 ε = √ 2 . (II.229) 2n + 1 + 4γ + 1 Vì thế giá trị năng lượng khi đó sẽ là: ~2 β2 E = A − √ 2 , (II.230) 2m 2n + 1 + 4γ + 1 với n = 0, 1, 2, Đồ thị năng lượng của hố thế Kratzer được vẽ trên hình (II.23): Hình II.23: Đồ thị năng lượng ứng với các giá trị n khác nhau Tiếp theo, ta sẽ đi tìm hàm sóng của hố thế Kratzer thông qua biểu thức: ψ(s) = φ(s)yn(s). (II.231) Trước tiên, ta tìm hàm φ(s): Ta có: √ φ0(s) π(s) √ −1 + 4γ + 1 = = − ε + . (II.232) φ(s) σ(s) 2s Lấy tích phân hai vế phương trình (II.232) ta được: √ √ −1+ 4γ+1 − εs φ(s) = s 2 e . (II.233) Trang 63
Chương II Luận văn tốt nghiệp Xác định hàm yn(s) dựa vào biểu thức: B dn y (s) = n [σn(s)ρ(s)] , (II.234) n ρ(s) dsn với: [σ(s)ρ(s)]0 = τ(s)ρ(s). Ta có: √ ρ0(s) τ(s) − σ0(s) √ 4γ + 1 = = −2 ε + . (II.235) ρ(s) σ(s) s Lấy tích phân hai vế phương trình (II.235), ta được: √ √ ρ(s) = s 4γ+1e−2 εs. (II.236) Nên hàm yn(s) khi đó có dạng: n √ √ Bn d h n+ 4γ+1 −2 εsi yn(s) = √ √ s e . (II.237) s 4γ+1e−2 εs dsn Dựa vào các phương trình (II.231), (II.233) và (II.237) ta tìm được biểu thức của hàm bán kính cho hố thế Kratzer như sau: √ √ √ −1+ 4γ+1 − εs 4γ+1 √ ψ(s) = Cns 2 e Ln (2 εs), (II.238) √ 4γ+1 √ với Cn là hệ số được xác định bằng cách chuẩn hóa hàm sóng, Ln (2 εs) là đa thức Laguerre. Đồ thị hàm bán kính cho hố thế Kratzer được vẽ trên hình (II.24): Trang 64
Chương II Luận văn tốt nghiệp Hình II.24: Đồ thị hàm bán kính của hố thế Kratzer Trang 65
Chương II Luận văn tốt nghiệp Nhận xét: Đối với hố thế năng Kratzer, bằng phương pháp Nikiforov–Uvarov, ta cũng giải tìm được nghiệm (hàm sóng) chính xác và trị riêng (năng lượng) ứng với các mức lượng tử khác nhau. Đồ thị cho năng lượng và hàm sóng của hố thế Kratzer cũng được vẽ tương ứng với các biểu thức tìm được. Bên cạnh dạng hố thế Kratzer như đã được trình bày, ta còn một dạng khác nữa, hay được gọi là hố thế Kratzer "âm". Người ta thường sử dụng hố thế Kratzer "âm" này để nghiên cứu về hiệu ứng xuyên hầm lượng tử. Biểu thức của hố thế Kratzer "âm" được viết dưới dạng: a a2 V (r) = 2V − , 0 r 2r2 với V0 được xem như là độ cao rào thế năng và α là tham số của hố thế. Đồ thị minh họa cho hố thế Kratzer với cùng một mức rào thế V0 ứng với các tham số α khác nhau được vẽ trên hình (II.26): Hình II.25: Đồ thị của hố thế Kratzer "âm" Trang 66
Chương II Luận văn tốt nghiệp 10 Dao động giả điều hòa Đây là hố thế năng thường được sử dụng để nghiên cứu tính chất của các đa nguyên tử. Xét biểu thức thế dao động giả điều hòa có dạng [11]: 2 r r0 V (r) = V0 − , (II.239) r0 r với V0 là tham số đặc trưng cho sự tách mức năng lượng và r0 đặc trưng cho trạng thái cân bằng của hố thế. Đồ thị của hố thế dao động giả điều hòa ứng với các tham số r0 khác nhau được vẽ như hình (II.27): Hình II.26: Hố thế năng dao động giả điều hòa ứng với các tham số r0 khác nhau Vì hàm thế năng không phụ thuộc vào thời gian và chỉ phụ thuộc vào bán kính r nên ta xét phương trình hàm bán kính: d2R(r) 2 dR(r) 2m l(l + 1) + + E − V (r) − ~ R(r) = 0. (II.240) dr2 r dr ~2 2mr2 U(r) Đặt R(r) = , phương trình (II.240) khi đó được viết lại: r Trang 67
Chương II Luận văn tốt nghiệp 2 " 2 2 # d U(r) 2m r r0 ~ l(l + 1) 2 + 2 E − V0 − − 2 U(r) = 0. (II.241) dr ~ r0 r 2mr Để giải phương trình (II.241) ta đặt s = r2 và đổi các biến số mới:  2m ε = (E + 2V )  2 0  ~  4mV β = 0  2 2 ~ r0 (II.242) 2mV r2 γ = 0 0 + l(l + 1)  2  ~  R(r) → ψ(s) Thế các phương trình (II.242) vào phương trình (II.241) ta được: d2ψ(s) 1 dψ(s) −βs2 + εs − γ + + ψ(s) = 0. (II.243) ds2 2s ds 4s2 Giải phương trình (II.243) theo phương pháp Nikiforov–Uvarov với:  τ˜(s) = 1   σ(s) = 2s (II.244)   2 σ˜(s) = −βs + εs − γ Hàm π(s) được xác định bởi biểu thức: s 2 σ0(s) − τ˜(s) σ0(s) − τ˜(s) π(s) = ± − σ˜(s) + kσ(s). (II.245) 2 2 Thế (II.244) vào (II.245) ta được hàm π(s) như sau: 1 1p π(s) = ± 4βs2 + 4(2k − ε)s + 1 + 4γ. (II.246) 2 2 Vì π(s) là một đa thức nên biểu thức trong dấu căn cũng phải có dạng bình phương của 0 một đa thức, do đó ∆s = 0 : 4(2k − ε)2 − 4β(4γ + 1) = 0. (II.247) Trang 68
Chương II Luận văn tốt nghiệp Giải phương trình (II.247) ta thu được hai giá trị của k: ε ± pβ(4γ + 1) k = . (II.248) 2 Thế hai giá trị k vừa tìm được vào phương trình (II.245) ta thu được hai hàm π(s) tương ứng: 1 1 p π(s) = ± 2 βs + p4γ + 1 , (II.249) 2 2 ε + pβ(4γ + 1) ứng với k = . 2 1 1 p π(s) = ± 2 βs − p4γ + 1 , (II.250) 2 2 ε − pβ(4γ + 1) ứng với k = . 2 Hàm τ(s) có dạng: τ(s) =τ ˜(s) + 2π(s) và vì τ 0(s) < 0 nên ta chọn: 1 1 p π(s) = π(s) = − 2 βs − p4γ + 1 , (II.251) 2 2 ε − pβ(4γ + 1) ứng với k = . 2 Khi đó: p τ(s) = −2 βs + 2 + p4γ + 1, (II.252) và đạo hàm bậc nhất sẽ là: p τ 0(s) = −2 β. (II.253) Từ các phương trình (II.251), (II.252), (II.253) ta tìm được giá trị của λ và λn: √ p 4γ + 1 ε λ = − β 1 + + , (II.254) 2 2 và p λn = 2n β. (II.255) So sánh hai giá trị λ và λn ta thu được biểu thức sau: √ p 4γ + 1 ε = 2 β 2n + 1 + . (II.256) 2 Trang 69
Chương II Luận văn tốt nghiệp Vì thế giá trị năng lượng khi đó sẽ là: 2 √ p 4γ + 1 E = ~ β 2n + 1 + − 2V , (II.257) n m 2 0 với n = 0, 1, 2, Đồ thị năng lượng của hố thế dao động giả điều hòa được vẽ trên hình (II.26): Hình II.27: Đồ thị năng lượng ứng với các giá trị n khác nhau Trang 70
Chương II Luận văn tốt nghiệp Tiếp theo, ta sẽ đi tìm hàm sóng của hố thế dao động giả điều hòa thông qua biểu thức: ψ(s) = φ(s)yn(s). (II.258) Trước tiên, ta tìm hàm φ(s): Ta có: √ √ φ0(s) π(s) − β 1 + 4γ + 1 = = + . (II.259) φ(s) σ(s) 2 4s Lấy tích phân hai vế phương trình (II.259) ta được: √ √ β 1+ 4γ+1 − s φ(s) = s 4 e 2 . (II.260) Xác định hàm yn(s) dựa vào biểu thức: B dn y (s) = n [σn(s)ρ(s)] , (II.261) n ρ(s) dsn với: [σ(s)ρ(s)]0 = τ(s)ρ(s). Ta có: √ ρ0(s) τ(s) − σ0(s) p 4γ + 1 = = − βs + . (II.262) ρ(s) σ(s) 2s Lấy tích phân hai vế phương trình (II.262), ta được: √ √ 4γ+1 −2 βs ρ(s) = s 2 e . (II.263) Nên hàm yn(s) khi đó có dạng: n √ √ Bn d h n+ 4γ+1 − βsi y (s) = √ s 2 e . (II.264) n 4γ+1 √ n s 2 e−2 βs ds Dựa vào các phương trình (II.258), (II.260) và (II.264) ta tìm được biểu thức của hàm bán kính cho hố thế dao động giả điều hòa như sau: √ √ √ 1+ 4γ+1 β 4γ+1 − s 2 p ψ(s) = Cns 4 e 2 Ln ( βs), (II.265) Trang 71
Chương II Luận văn tốt nghiệp Hình II.28: Đồ thị hàm bán kính của hố thế dao động giả điều hòa √ 4γ+1 √ 2 với Cn là hệ số được xác định bằng cách chuẩn hóa hàm sóng, Ln ( βs) là đa thức Laguerre. Đồ thị hàm bán kính cho hố thế dao động giả điều hòa (xét cho trường hợp l = 0) được vẽ trên hình (II.27): Nhận xét: Đối với hố thế dao động giả điều hòa, bằng phương pháp Nikiforov–Uvarov ta cũng tương tự tính được nghiệm (hàm sóng) chính xác và trị riêng (năng lượng) tương ứng. Đồ thị hàm sóng của hố thế được vẽ cho trạng thái cơ bản (l = 0), ta cũng có thể dựa vào biểu thức của hàm sóng để vẽ cho những mức lượng tử khác nhau. Trang 72
Chương II Luận văn tốt nghiệp Kết luận chương II • Đối với chương 2, "Giải phương trình Schr¨odingercho các hố thế khác nhau", bằng việc giải phương trình vi phân bậc hai đối với các hố thế đơn giản, và áp dụng phương pháp Nikiforov–Uvarov đối với các hố thế phức tạp, ta đã tìm được nghiệm chính xác và trị riêng năng lượng tương ứng đối với mỗi hố thế khác nhau. • Đối với các hố thế phức tạp, ta dùng phép đổi biến thích hợp để đưa phương trình Schr¨odingerban đầu về phương trình dạng (I.1). Sau đó áp dụng phương pháp Nikiforov–Uvarov để giải phương trình thu được. Trong phương pháp Nikiforov– Uvarov này, chủ yếu là giải phương trình bậc hai cũng như đồng nhất hệ số để tìm trị riêng năng lượng và lấy tích phân để tìm hàm sóng ương ứng. • Ta thấy, nghiệm (hàm sóng) của phương trình Schr¨odinger cho từng dạng hố thế khác nhau đều được đưa về dưới ba dạng đa thức: Jacobi, Hermite và Laguerre. Dựa vào các tính chất của các đa thức này, chúng ta có thể dễ dàng tính toán các mức năng lượng cũng như xác suất tìm thấy hạt cho từng nguyên tử, phân tử khác nhau. • Tuy nhiên, phương pháp Nikiforov–Uvarov lại chưa được áp dụng cho các hố thế như hố thế năng sâu vô hạn hay hàng rào thế. Bên cạnh, đối với một số dạng hố thế khác như Mie, Yukawa, phương pháp này cũng còn gặp khó khăn trong việc đưa phương trình Schr¨odingervề dạng phương trình siêu việt cũng như tính toán. • Trong chương II này, ta chỉ xét các hố thế chỉ phụ thuộc vào bán kính. Tuy nhiên đối với các hố thế phụ thuộc vào cả bán kính và góc (như hố thế năng Hartmann), phương pháp Nikiforov–Uvarov cũng được áp dụng hoàn toàn tương tự. Trang 73
III Kết luận Đề tài "Hệ thống một số bài toán cơ học lượng tử trong việc giải phương trình Schr¨odingerứng với các trường thế năng khác nhau" đã đạt được những mục tiêu đề ra và thu được các kết quả sau: 1. Hệ thống lại việc giải phương trình Schr¨odingerứng với mười hố thế năng khác nhau. Trong đó, đã áp dụng phương pháp Nikiforov-Uvarov cho tám hố thế năng: Dao động tử điều hòa, Woods–Saxon, Morse P¨oschl–Teller, Coulomb, Hulthen, Kratzer và dao động giả điều hòa. Với mỗi hố thế năng, luận văn đều giải tìm nghiệm (hàm sóng), trị riêng (năng lượng) và hình vẽ cụ thể tương ứng. Đối với các hố thế năng: dao động tử điều hòa, Coulomb, Kratzer và dao động giả điều hòa, nghiệm tìm được là chính xác cho mọi mức lượng tử khác nhau. Tuy nhiên, đối với các hố thế: Woods–Saxon, Morse, P¨oschl–Teller và Hulthen, nghiệm chỉ giải chính xác cho trạng thái cơ bản (l = 0), để giải phương trình cho các trạng thái khác nhau của các mức lượng tử ta cần phải giải gần đúng. 2. Nhận xét Đề tài chỉ dừng lại ở việc giải phương trình Schr¨odingerbằng phương pháp Nikiforov– Uravor cho một số dạng hố thế năng thường gặp. Tuy nhiên, đối với một số dạng hố thế năng khác, chúng ta vẫn có thể áp dụng phương pháp này để tìm được nghiệm chính xác. Các dạng hố thế đó sẽ được áp dụng trong những đề tài về sau. 3. Hướng phát triển • Đối với chương II, "Giải phương trình Schr¨odingercho các hố thế năng khác nhau", chúng ta có thể mở rộng trong việc áp dụng phương pháp Nikiforov–Uvarov cho các hố thế phức tạp hơn như Mie hay Yukawa Vì những dạng hố thế năng này sẽ khó khăn hơn trong việc chọn đổi biến số phù hợp để đưa phương trình Schr¨odingervề dạng (I.1), bên cạnh việc tính toán cho các hố thế dạng này cũng khá phức tạp hơn so với các hố thế như đã được trình bày ở chương II. • Nhờ việc áp dụng phương pháp Nikiforov–Uvarov ta đã thu được nghiệm giải tích
của hàm sóng cũng như trị riêng (năng lượng) cho từng hố thế khác nhau từ đơn giản đến phức tạp. Từ các biểu thức giải tích này ta có thể dự đoán được các biểu thức giải tích khác khi giải các bài toán khác phức tạp hơn như bài toán về tán xạ đối với phổ liện tục hoặc giả liên tục (khi năng lượng của hạt mang giá trị dương nhưng rất bé).
IV Tài liệu tham khảo [1]. Lê Văn Hoàng, Bài giảng Cơ học lượng tử (Nhà xuất bản ĐHSP TP.HCM, 2015). [2]. Hoàng Dũng, Nhập môn Cơ học lượng tử (Nhà xuất bản giáo dục, 1999). [3]. F. Nikiforov and B. Uvarov, Special Functions of Mathematical Physics (Birkhauser, Basel, 1988). [4]. Mohammad Reza Pahlavani, Theoretical concepts of quantum mechanics (Croa -tia, 2012),233. [5]. N. Ikot and O. Akpan, Bound State Solutions of the Schr¨odingerEquation for a Morse General Woods-Saxon Potential with Arbitrary l-State, C.Phys.Lett, 2012. [6]. Hosung Sun, The Morse potential eigenenergy by the analytical transfer matrix method, Phys.Lett, 2005. [7]. Ozlem¨ Yes,iltas, PT/non–PT symmetric and non-Hermitian P¨oschl–Teller-like solvable potentials via Nikiforov–Uvarov method, Phys. Scr, 2006. [8]. D. Antia and N. Isonguyo, Analytical solutions of the modified Coulomb potential using the factorization method , IJRAP, 2015. [9]. D. Agboola, Schr¨odingerEquation with Hulthen Potential Plus Ring-Shaped Potential, Theor. Phys, 2011. [10]. R. Setare and E. Karimi, Algebraic approach to the Kratzer potential, Phys. Scr, 2006. [11]. R. Amani and H. Ghorbanpour, Supersymmetry approach anh shape invariance for pseudo-harmonic potential, Acta. Phys, 2012. [12]. Siegfried Flugge, Practical Quantum Mechanics I and II, (Springer–Verlag Berlin –Heidelberg–New York, 1971). [13]. L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory: Volume 3, (Pergamon press, 1981).
Phụ chú Ứng dụng phần mềm Maple trong việc giải các bài toán về tán xạ Ở chương I và chương II, đề tài luận văn đã sử dụng phần mềm Maple trong việc tính toán cũng như vẽ đồ thị, và nhận thấy phần mềm này rất hữu ích trong việc giải các công thức cũng như các hàm toán phức tạp, đặc biệt là đối với các bài toán cơ học lượng tử. Nên bên cạnh việc giải phương trình Schr¨odingervới các hố thế năng khác nhau, đề tài luận văn sẽ mở rộng ra việc ứng dụng phần mềm Maple này trong các bài toán cơ học lượng tử, cụ thể là trong các bài toán về tán xạ: "Ứng dụng của phần mềm Maple trong việc giải các bài toán tán xạ". Mục đích chính của phần này là ứng dụng phần mềm toán học có sẵn để hỗ trợ trong việc tính các công thức phức tạp, đặc biệt là đối với việc giải các bài toán trong cơ học lượng tử. Tuy nhiên, đề tài luận văn chỉ dừng lại trong việc ứng dụng phần mền Maple đối với các bài toán về tán xạ, cụ thể sẽ được xét trong ba dạng bài toán: khai triển sóng phẳng thành các sóng riêng lẻ, tán xạ cộng hưởng của các hạt chậm trong trường xuyên tâm và xấp xỉ Born. Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát một số ứng dụng của thuật toán trên phần mềm Maple trong việc giải các bài toán về tán xạ đàn hồi. Để tránh việc phải đưa phần lí thuyết tán xạ, ta sẽ khảo sát trực tiếp các bài toán và giải chúng bằng phương pháp tính toán trên phần mềm Maple. Ba dạng bài toán mà đề tài khóa luận sẽ đề cập đó là: khai triển sóng phẳng thành các sóng riêng lẻ (thành phần), tán xạ cộng hưởng của các hạt chậm trong trường xuyên tâm và xấp xỉ Born [13]. Khai triển sóng phẳng thành các sóng thành phần Xét hạt chuyển động tự do với động lượng: ~p = ~k~ theo hướng trục Oz. Hàm sóng của hạt có dạng: ψ(r, θ, φ) = Ceikz = Ceikr cos θ, (IV.1) với C là một hằng số. Khảo sát khai triển của hàm sóng này lan truyền dọc theo trục Oz thành các sóng thành
phần ψk,l,m (các hàm cầu). Phương trình Schr¨odingercó dạng: (∇2 + k2)ψ(r, θ, φ) = 0, (IV.2) với k2 = 2mE/~2. Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình ở dạng: ψ(r, θ, φ) = Rl(k, r)Yl,m(θ, φ). (IV.3) Ta thấy rằng hàm sóng ban đầu eikz có tính chất đối xứng dọc theo trục Oz, nên khai triển của hàm sóng này không phụ thuộc vào góc φ, tức là các hàm với m = 0. Ta có dạng khai triển của hàm sóng: ∞ X ψ(r, θ) = clfl(r)Pl(cos θ), (IV.4) l=0 với cl–hằng số. Xét tính chất của khai triển này. Sử dụng tính chất của đa thức Legendre > restart; with(orthopoly, P ); [P ] cho sóng phẳng. > assume(k > 0); psi := (r, theta)− > exp(I ∗ k ∗ r ∗ cos(theta)); (r, θ)− > eIkr cos(θ), hoặc ta sử dụng đổi biến số: x = cos θ: > phi := (r, x)− > exp(I ∗ k ∗ r ∗ x); (r, x)− > eIkrx. Xét các số hạng đầu tiên của khai triển: > int(P (0, x) ∗ phi(r, x), x = −1 1); simplify(%); I(e2Ik r − 1)e−Ikr − kr
2 sin(kr) k r Ta có số hạng đầu tiên c0f0(r) bằng hàm Bessel. > BesselJ(0 + 1/2, xi); √ 2 sin(ξ) √ √ . π ξ Ta tìm số hạng thứ hai: > int(P (1, x) ∗ phi(r, x), x = −1 1); Ie(2I)krkr + Ikr − e(2I)kr + 1 e−Ikr − k2r2 > evalc(%); ((sin(2kr)kr + cos(2kr) − 1) cos(kr) + (− cos(2kr)kr − kr + sin(2r)) sin(kr)) + k2r2 I((− cos(2kr)kr − kr + sin(2kr)) cos(kr) − (sin(2kr)kr + cos(2kr) − 1) sin(kr)) . k2r2 Có thể đồng nhất số hạng này với hàm Bessel bậc bán nguyên. > BesselJ(1 + 1/2, xi); √ 2(cos(ξ)ξ − sin(ξ)) − √ , πξ3/2 với độ chính xác đến thừa số chuẩn. sin(ξ) Các hàm xuyên tâm f (ξ) có thể được tìm thấy bằng cách lấy vi phân hàm . l ξ Viết chu trình: > J := proc()localI, x, res, i; l := args[2]; if whattype(l) = integer then x := args[1]; sin(x)/x; if l = 0 then RETURN(%); else res := %; for i from 1 to l do res := expand(diff(res, x)/x);
od; expand(res ∗ (−1)l ∗ xl); fi; else RETURN; fi; end: Kiểm tra lại hoạt động của chu trình: > J(x, 0); sin(x) x > J(x, 1); cos(x) sin(x) − + x x2 > J(x, 2); −3 cos(x) sin(x) 3 sin(x) − − + x2 x x3 Vẽ đồ thị của hàm f2(x): > plot(J(x, 2), x = 0 10, y = −0.4 0.4, axes = normal, title =0 J(x)0); Hình IV.1: Đồ thị hàm số f2(x)
Vẽ đồ thị hàm f2(2x) (nhân đôi biến số): > plot(subs(xi = 2 ∗ x, J(xi, 2)), x = 0 10, y = −0.4 0.4, title =0 J(2 ∗ x)0, axes = normal); Hình IV.2: Đồ thị hàm f2(2x) Bây giờ ta sẽ khảo sát tính chất hội tụ của khai triển này theo sóng thành phần. Thành lập khai triển, sử dụng tổng thành phần đến số N nguyên bất kì. > P arS := proc(k, r, x, N)localres, l; if type(N, integer) collect(P arS(k, r, x, 6), [sin(k ∗ r), cos(k ∗ r), k], factor); BesselJ(kr, 0) + (693/8I)BesselJ(kr, 5)x5 − (15/2)BesselJ(kr, 2)x2 +(5/2)BesselJ(kr, 2) − (385/4I)BesselJ(kr, 5)x3
+(165/8I)BesselJ(kr, 5)x + (315/8)BesselJ(kr, 4)x4 − (135/4)BesselJ(kr, 4)x2 +(27/8)BesselJ(kr, 4) + (3I)BesselJ(kr, 1)x − (35/2I)BesselJ(kr, 3)x3 +(21/2I)BesselJ(kr, 3)x − (3003/16)BesselJ(kr, 6)x6 +(4095/16)BesselJ(kr, 6)x4 − (1365/16)BesselJ(kr, 6)x2 + (65/16)BesselJ(kr, 6) Xét phần thực của sóng phẳng khi cos θ = x = 1/2: > assume(r > 0) : Re(phi(r, 1/2)); 1 cos kr 2 Xét quá trình khai triển của hội tụ đối với các giá trị khác nhau của N (N là tổng các số hạng trong khai triển). Cho k = 1 > with(plots): N := 10 : bases := [seq(i, i = 1 N)] : > S := seq(plot([subs(k = 1, Re(phi(r, 1/2))), Re(P arS(1, r, 1/2, n))], r = 0 20, view = [0 10, −2 2], color = [red, blue], linestyle = [2, 1], title = ‘N = ‘||n, axes = normal), n = bases): display(S, insequence = true);
Hình IV.3: Khảo sát sự hội tụ của hàm sóng phẳng ⇒ Nhận xét về đồ thị của sự hội tụ: Khi N = 6 thì độ hội tụ đạt kết quả tốt. Mặc dù vậy khi N lớn và r nhỏ thì khai triển sẽ phân kì (điều này dễ dàng nhận thấy từ đường nét đậm trên đồ thị). Sự phân kì này có liên quan đến đặc điểm dáng điệu của hàm Bessel bậc cao hơn tại điểm 0. Để giảm độ phân kì của chuỗi khai triển ta có thể tăng độ chính xác của phép tính toán bằng cách sử dụng lệnh Digits trong Maple. Bây giờ ta xét bình phương của chuẩn sóng phẳng và khai triển thành các hàm sóng thành phần. > N := 8 : bases := [seq(i, i = 1 N)] : S := seq(plot([subs(k = 0.1, abs(phi(r, 1/2))), abs(P arS(0.1, r, 1/2, n))], r = 0 200,R = 0 1, color = [red, blue], linestyle = [2, 1], title = ‘N = ‘||n, axes = normal), n = bases): display(S, insequence = true);
Hình IV.4: Sự hội tụ của bình phương hàm sóng phẳng Xét phần thực của sóng phẳng. Trên đồ thị là hàm theo bán kính r và góc x = r cos θ. > plot3d(Re(subs(k = 1, phi(r, x))), r = 0 10, x = −1 1, axes = framed, style = patch, title =0 phanthuccuahamsongphang0);
Hình IV.5: Đồ thị phần thực của sóng phẳng So sánh với khai triển gần đúng: N = 4 > plot3d(Re(P arS(1, r, x, 4)), r = 0 10, x = −1 1, axes = framed, style = patch, title =0 phanthuccuakhaitrien0); Hình IV.6: Đồ thị phần thực của khai triển khi N = 4 Nhận xét về đồ thị của sự hội tụ: Tăng N = 8 Digits := 15; plot3d(Re(P arS(1, r, x, 8)), r = 0 10, x = −1 1, axes = framed, style =
patch, title =0 phanthuccuakhaitrien0); Digits := 15 Hình IV.7: Đồ thị phần thực của khai triển khi N = 8
Tán xạ cộng hưởng của các hạt chậm trong trường xuyên tâm Xét lí thuyết chung về tán xạ thế năng trong trường xuyên tâm và tán xạ cộng hưởng của các hạt chậm. Mỗi nghiệm (hàm sóng) của phương trình Schr¨odinger trong trường xuyên tâm có thể được viết dưới dạng tổng của các tích hàm cầu với hàm xuyên tâm Rl, thỏa mãn phương trình dạng: ∂2 l(l + 1) R (r) + K2 − R (r) = 0, (IV.5) ∂r2 l r2 l 2mU(r) với K2 = k2 + . ~2 Hàm Rl(r) có dạng tiệm cận: a lπ R = l sin kr − + η , (IV.6) l r 2 l với ηl là pha tán xạ của sóng thành phần. Bây giờ ta xét trường hợp đơn giản nhất: chuyển động tự do U(r) = 0, K = k. Đặt ~ = m = 1. > hbar =: 1; m := 1 : Năng lượng của hạt chuyển động tự do: > E0 := 1/2 ∗ k2 : và phương trình Sch¨odingertương ứng: > Schr := diff(R(r), r$2) = −k2 ∗ R(r) + l ∗ (l + 1)/r2 ∗ R(r); d2 l(l + 1) Schr := R(r) = −k2R(r) + R(r) (IV.7) dr2 r2 Nghiệm của phương trình: > Sol := dsolve(Schr, R(r)); √ √ Sol := R(r) = C1 rBesselJ(l + 1/2, rk) + C2 rBesselY (l + 1/2, rk) (IV.8) Nghiệm của phương trình có chứa các hàm Bessel Đồ thị của hàm Bessel loại I: > J := (k, r, l)− > sqrt(r) ∗ BesselJ(l + 1/2, r ∗ k); > plot([J(1, r, 0),J(1, r, 1),J(1, r, 2)], r = −10 10, color = [red, black, green], thickness = 2, linestyle = [solid, dot, dash], title =0 DothihamBesselloaiI0);
Hình IV.8: Đồ thị hàm Bessel loại I Đồ thị hàm Bessel loại II: > Y := (k, r, l)− > sqrt(r) ∗ BesselY (l + 1/2, r ∗ k); > plot([Y (1, r, 0),Y (1, r, 1),Y (1, r, 2)], r = −10 10, y = −4 4, color = [red, black, green], linestyle = [solid, dot, dash]);
Hình IV.9: Đồ thị hàm Bessel loại II Xét trường hợp tán xạ đối với hố thế năng có dạng: U(r) = V0 khi r = r0. Nghiệm của phương trình trong lân cận của điểm O (dưới hàng rào thế) được biểu diễn qua các hàm Bessel loại I, trong vùng tiệm cận Rl = Alj(kr) + Blγ(kr) là tổ hợp của hai nghiệm. Ta không chú ý đến điều kiện chuẩn hóa của các hàm sóng thành phần trong điều kiện nối các nghiệm ở điểm r = r0. Pha tán xạ được biểu diễn bởi công thức: Bl tan(ηl) = . (IV.9) Al 2 2 Đặt K = k − 2v0 đối với nghiệm (hàm sóng) dưới hàng rào thế. > E2 := k2 − 2 ∗ V 0; K := sqrt(E2); E2 := k2 − 2 ∗ V 0 p K := k2 − 2 ∗ V 0 và đạo hàm của các hàm Bessel và Neumann.
Đạo hàm của hàm Bessel: > dJ := (k, r, l)− > diff(J(k, r, l), r); ∂ dJ := (k, r, l) → J(k, r, l) (IV.10) ∂r Đạo hàm của hàm Neumann: > dY := (k, r, l)− > diff(Y (k, r, l), r); ∂ dY := (k, r, l) → Y (k, r, l) (IV.11) ∂r Xét điều kiện liên tục của hàm sóng: > r0 := simplify(dJ(K, r0, 0)/J(K, r0, 0)); > l0 := simplify((dJ(k, r0, 0)+BA∗dY (k, r0, 0))/(J(k, r0, 0)+BA∗Y (k, r0, 0))); > Cond := r0 = l0; √ √ k2 − 2V 0 cos r0 k2 − 2V 0 r0 := √ (IV.12) sin r0 k2 − 2V 0 (−BA sin(r0k) − cos(r0k))k l := (IV.13) 0 BA cos(r0k) − sin(r0k) √ √ k2 − 2V 0 cos r0 k2 − 2V 0 (−BA sin(r0k) − cos(r0k))k Cond := √ = (IV.14) sin r0 k2 − 2V 0 BA cos(r0k) − sin(r0k) B Giải phương trình nhận được đối với tỉ số l Al > SolBA := solve(r0 = l0, BA); √ √ √ sin(r0k) cos(r0 k2 − 2V 0) k2 − 2V 0 − cos(kr0) sin(r0 k2 − 2V 0)k SolBA := √ √ √ (IV.15) sin(r0k) sin(r0 k2 − 2V 0)k + cos(r0k) cos(r0 k2 − 2V 0) k2 − 2V 0 Pha tán xạ đối với hàm sóng s. > eta0 := arctan(SolBA); √ √ √ sin(r0k) cos(r0 k2 − 2V 0) k2 − 2V 0 − cos(kr0) sin(r0 k2 − 2V 0)k η0 := arctan √ √ √ (IV.16) sin(r0k) sin(r0 k2 − 2V 0)k + cos(r0k) cos(r0 k2 − 2V 0) k2 − 2V 0 Đối với hàng rào thế V0 > 0, chỉ xét đến sự phụ thuộc của pha và năng lượng. Đồ thị pha tán xạ phụ thuộc vào k: 0 0 > plot(subs(r0 = 1,V 0 = 1, eta0), k = 1 6, color = red, thickness = 3, title = Œthphatnxphthucvok );
Hình IV.10: Đồ thị pha tán xạ phụ thuộc vào k Xét hố thế năng V0 animate(subs(r0 = 1, eta0), k = 1 6,V 0 = −6 0, color = red, thickness = 3, linestyle = dot);
Hình IV.11: Đồ thị pha tán xạ ứng với các độ sâu khác nhau của hố thế Khảo sát sự ảnh hưởng của độ rộng r0 của hố thế lên pha tán xạ η0. > animate(subs(V 0 = −5, eta0), k = 1 6, r0 = 0 6, color = red, thickness = 3, linestyle = dot); (hình IV.12)
Hình IV.12: Đồ thị pha tán xạ ứng với các độ rộng khác nhau của hố thế Khảo sát sự phụ thuộc của pha dao động ηl vào số thứ tự sóng thành phần. Ta sẽ tìm pha của sóng p khi l = 1 và sóng d khi l = 2. Pha dao động đối với sóng p khi l = 1 được xác định bởi biểu thức: > r1 := simplify(dJ(K, r0, 1)/J(K, r0, 1)) : l1 := simplify((dJ(k, r0, 1) + BA1 ∗ dY (k, r0, 1))/(J(k, r0, 1) + BA1 ∗ Y (k, r0, 1))) : Cond1 := r1 = l1 : sol1 := solve(r1 = l1, BA1): eta1 := −arctan(sol1): Pha dao động đối với sóng d khi l = 2 được xác định bởi biểu thức: r2 := simplify(dJ(K, r0, 2)/J(K, r0, 2)) : l2 := simplify((dJ(k, r0, 2) + BA2 ∗ dY (k, r0, 2))/(J(k, r0, 2) + BA2 ∗ Y (k, r0, 2))) : Cond2 := r2 = l2 : sol2 := solve(r2 = l2, BA2): eta2 := −arctan(sol2): Đồ thị của pha tán xạ khi l = 1 và l = 2 trên cùng một hệ trục tọa độ:
> plot([subs(V 0 = −3, r0 = 1, eta1), subs(V 0 = −3, r0 = 1, eta2)], k = 0 20, color = [red, black], thickness = 3, linestyle = [solid, dot]); Hình IV.13: Đồ thị pha tán xạ đối với sóng p và sóng d Xét hàm sóng, cho Al = 1 Ta có: R0(r) = NlJ(k, r, 0) khi r B0 := SolBA; √ √ √ sin(r0k) cos(r0 k2 − 2V 0) k2 − 2V 0 − cos(kr0) sin(r0 k2 − 2V 0)k B0 := √ √ √ (IV.17) sin(r0k) sin(r0 k2 − 2V 0)k + cos(r0k) cos(r0 k2 − 2V 0) k2 − 2V 0 Ta chọn r0 = 1, ta sẽ tìm hàm sóng và hệ số chuẩn hóa Nl tương ứng: > r0 := 1 : > K := sqrt(k2 − 2 ∗ V 0) : Hàm sóng khi r < r0:
> psiI := (k, r)− > J(K, r, 0); psiI := (k, r) → J(K, r, 0) (IV.18) Hàm sóng khi r > r0: > psiII := (k, r)− > J(k, r, 0) + B0 ∗ Y (k, r, 0); psiII := (k, r) → J(k, r, 0) + B0Y (k, r, 0) (IV.19) Với điều kiện liên tục của hàm sóng, ta tìm được hệ số chuẩn hóa Nl: > Nl := k− > psiII(k, r0)/psiI(k, r0); psiII(k, r0) N := k → (IV.20) l psiI(k, r0) Đồ thị hàm sóng khi r r0: > plot([subs(V 0 = −2, k = 2,Nl(k) ∗ psiI(2, r)), subs(V 0 = −2, k = 2, psiII(2, r))], r = 0 10, color = [red, black], linestyle = [solid, dot], thickness = 3, title =0 Œthcahmsngkhir r00); Hình IV.14: Đồ thị hàm sóng khi r r0
Khảo sát hàm sóng trong vùng lân cận của điểm r0 = 1. > plot([subs(V 0 = −2, k = 2,Nl(k) ∗ psiI(2, r)), subs(V 0 = −2, k = 2, psiII(2, r))], r = 0.5 1.5, color = [red, black], thickness = 3, linestyle = [solid, dot]); Hình IV.15: Đồ thị hàm sóng trong vùng lân cận r0 = 1 Hệ số chuẩn hóa trong sự phụ thuộc và năng lượng k khi V0 = −5 > plot(subs(V 0 = −5,Nl(k)), k = 0 10,N = −10 10, thickness = 3, color = red);
Hình IV.16: Đồ thị hệ số chuẩn hóa phụ thuộc vào năng lượng k Xấp xỉ Born • Hố thế loại I > restart; with(orthopoly); with(plots): assume(r > 0, a > 0); > E := k2/2 : > q := (k, theta)− > 2 ∗ k ∗ sin(theta/2); 1 q := (k, theta) → 2k sin θ (IV.21) 2 Xét hố thế đối xứng cầu có dạng: > U := r− > −Z ∗ Heaviside(a − r); U := (r) → −ZHeaviside(a − r) (IV.22) Đồ thị của hố thế năng khi Z = 1, a = 2: > plot(subs(Z = 1, a = 2,U(r)), r = 0 4,U = −1.5 1.5, thickness = 4, color = red);
Hình IV.17: Đồ thị của hố thế loại I Biên độ tán xạ được tính theo công thức: > f(q) := −2 ∗ int(U(r) ∗ sin(q ∗ r)/q ∗ r, r = 0 infinity); 2Z(cos(qa)qa − sin(qa)) f(q) := − (IV.23) q3 Tiết diện hiệu dụng trong góc khối dΩ được tính theo công thức: dσ = |(θ)|2dΩ, với: dΩ = 2πsinθdΩ. Biểu thức của dσ khi Z = 1, a = 2, q = q(k, θ): > d(sigma) := (k, theta)− > subs(Z = 1, a = 2, q = q(k, theta), abs(f(q))2); d(σ) := (k, θ)− > subs(Z = 1, a = 2, q = q(k, θ), |f(q)|2) (IV.24) Đồ thị của góc σ trong sự phụ thuộc vào góc θ khi k = 1: > plot(d(sigma)(1, theta), theta = 0 P i, thickness = 3, color = red);
Hình IV.18: Sự phụ thuộc của tiết diện hiệu dụng vào góc Đồ thị của dσ trong sự phụ thuộc vào góc θ khi k thay đổi từ k = 1 đến k = 6: > animate(subs(Z = 1, a = 2, q = q(k, theta), abs(f(q))2), theta = 0 P i, k = 1 6, color = red, thickness = 3); (hình III.19) Ta cố định năng lượng tán xạ k = 1, thay đổi độ sâu cảu hố thế bằng cách thay đổi Z: Đồ thị của hàm f 2(q) trong sự phụ thuộc vào góc θ, với a = 2, k = 1 khi Z thay đổi từ Z = 1 đến Z = 6: > animate(subs(a = 2, q = q(1, theta), abs(f(q))2), theta = 0 P i, Z = 1 6, color = red, thickness = 3); (hình III.20) Đồ thị của hàm f 2(q) trong sự phụ thuộc vào góc θ, với Z = 1, k = 1 khi a thay đổi từ 2 đến 6:
Hình IV.19: Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ hiệu dụng vào góc khi k thay đổi Hình IV.20: Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ hiệu dụng vào góc khi Z thay đổi
> animate(subs(Z = 1, q = q(1, theta), abs(f(q))2), theta = 0 P i, a = 2 6, color = red, thickness = 3); Hình IV.21: Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ hiệu dụng vào góc khi a thay đổi Tiết diện tán xạ toàn phần được tính theo công thức: > sigma := int(2 ∗ P i ∗ q ∗ f(q)2/k2, q = 0 1, ‘continuous‘); πZ2(2aa4 + 2 sin(2a)a − 2a2 + cos(2a) − 1) σ := (IV.25) k2 • Hố thế loại II > restart; with(orthopoly): with(plots): assume(r > 0, a > 0); > E := k2/2 : q := (k, theta)− > 2 ∗ k ∗ sin(theta/2) 1 q := (k, θ) → 2k sin θ (IV.26) 2 Hố thế năng loại có dạng:
> U := r− > Z ∗ exp(−r2/a2); r2 − U := (r) → Ze a2 (IV.27) Đồ thị của hố thế khi Z = 1, a = 1 trong sự phụ thuộc vào r: > plot(subs(Z = 1, a = 1,U(r)), r = 0 4,U = 0 1.1, color = red, thickness = 3); Hình IV.22: Đồ thị hố thế năng loại II Tính f(q): > f(q) := −2 ∗ int(r ∗ U(r) ∗ sin(q ∗ r)/q, r = 0 infinity); 1 1 √ − q2a2 f(q) := − Z πa3e 4 (IV.28) 2 Giá trị của tiết diện hiệu dụng dσ = |f(q)|2dΩ trong góc khối dΩ khi Z = 1, a = 5 và k = 1: > d(sigma) := (k, theta)− > subs(Z = 1, a = 5, q = q(k, theta), abs(f(q))2); d(sigma) := (k, θ) → subs(Z = 1, a = 5, q = q(k, θ), |f(q)|2) (IV.29) Đồ thị của dσ khi k = 1 trong sự phụ thuộc vào θ: > plot(d(sigma)(1, theta), theta = 0 P i/4, thickness = 3, color = red);
Hình IV.23: Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vào góc Đồ thị của dσ trong sự phụ thuộc vào góc θ khi k thay đổi từ k = 1 đến k = 6: > animate(subs(Z = 1, a = 5, q = q(k, theta), abs(f(q))2), theta = 0 P i/4, k = 1 6, color = red, thickness = 3); Đồ thị của dσ trong sự phụ thuộc vào góc θ khi Z thay đổi từ Z = 1 đến Z = 6: > animate(subs(a = 2, q = q(1, theta), abs(f(q))2), theta = 0 P i, Z = 1 6, color = red, thickness = 3); (hình III.25) Đồ thị của dσ trong sự phụ thuộc vào góc θ khi a thay đổi từ a = 2 đến a = 6: > animate(subs(Z = 1, q = q(1, theta), abs(f(q))2), theta = 0 P i, a = 2 6, color = red, thickness = 3); (hình III.26)
Hình IV.24: Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ hiệu dụng vào góc khi k thay đổi Hình IV.25: Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ hiệu dụng vào góc khi Z thay đổi
Hình IV.26: Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ hiệu dụng vào góc khi a thay đổi Tiết diện tán xạ toàn phần được tính theo công thức: > sigma := int(2 ∗ P i ∗ q ∗ f(q)2/k2, q = 0 1, ‘continuous‘);  1  − a2 a4π2Z2 e 2 − 1 1 σ := − (IV.30) 2 k2 • Hố thế loại III > restart; with(orthopoly): with(plots): > E := k2/2 : q := 2 ∗ k ∗ sin(theta/2); 1 q := (k, θ) → 2k sin θ (IV.31) 2 Hố thế năng có dạng: > U := r− > Z ∗ exp(−r/a)/r; r − Ze a U := r → (IV.32) r
Đồ thị của hố thế năng khi Z = 1, a = 1: > plot(subs(Z = 0.01, a = 1,U(r)), r = −4 4, color = red, thickness = 3); Hình IV.27: Hố thế năng loại III Biên độ tán xạ được tính theo công thức: > f(q) := −2 ∗ int(r ∗ U(r) ∗ sin(q ∗ r)/q, r = 0 infinity);  1 1  I I 2Z − 2 + 2   1 1  − Iq + Iq a a f(q) := − (IV.33) q Giá trị của tiết diện hiệu dụng dσ = |f(q)|2dΩ trong góc khối dΩ khi Z = 1, a = 5 và k = 1: > d(sigma) := (k, theta)− > subs(Z = 1, a = 5, q = q(k, theta), abs(f(q))2); d(sigma) := (k, theta)− > subs(Z = 1, a = 5, q = q(k, theta), |f(q)|2) (IV.34) Đồ thị của dσ khi k = 1 trong sự phụ thuộc vào θ: > plot(d(sigma)(1, theta), theta = 0 P i/4, thickness = 3, color = red);
Hình IV.28: Sự phụ thuộc của tiết diện hiệu dụng vào góc Đồ thị của dσ trong sự phụ thuộc vào góc θ khi k thay đổi từ k = 1 đến k = 6: > animate(subs(Z = 1, a = 5, q = q(k, theta), abs(f(q))2), theta = 0 P i/4, k = 1 6, color = red, thickness = 3); Đồ thị của dσ trong sự phụ thuộc vào góc θ khi Z thay đổi từ Z = 1 đến Z = 6: > animate(subs(a = 2, q = q(1, theta), abs(f(q))2), theta = 0 P i, Z = 1 6, color = red, thickness = 3); (hình III.30) Đồ thị của dσ trong sự phụ thuộc vào góc θ khi a thay đổi từ a = 2 đến a = 6: > animate(subs(Z = 1, q = q(1, theta), abs(f(q))2), theta = 0 P i, a = 2 6, color = red, thickness = 3); (hình III.31)
Hình IV.29: Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ hiệu dụng vào góc khi k thay đổi Hình IV.30: Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ hiệu dụng vào góc khi Z thay đổi
Hình IV.31: Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ hiệu dụng vào góc khi a thay đổi Tiết diện tán xạ toàn phần được tính theo công thức: > sigma := int(2 ∗ P i ∗ q ∗ f(q)2/k2, q = 0 1, ‘continuous‘); 4πZ2a4 σ := − (IV.35) k2(a + I)(−a + I) Kết luận Trong phần này chúng ta đã giải các bài toán về tán xạ cơ bản bằng việc sử dụng thuật ngữ trên phần mềm Maple. Các bài toán về tán xạ như khai triển sóng phẳng thành các sóng riêng lẻ, tán xạ cộng hưởng của các hạt chậm trong trường xuyên tâm và xấp xỉ Born. Về cơ bản, chúng ta có thể giải các bài toán trên bằng những chương trình phần mềm khác nhau bằng cách viết các lệnh và code. Phần mềm Maple có rất nhiều ứng dụng trong khoa học kĩ thuật và khoa học tự nhiên. Đây là một phần mềm toán học mới và hiện đại được dùng để viết các chương trình thuật toán nhằm khảo sát các mô hình toán phức tạp. Phần mềm Maple có khả năng tính toán rất mạnh và hiệu quả trong việc giải phương trình để tìm ra các nghiệm số cũng như giải tích và có khả năng vẽ đồ thị của các hàm số một cách chính xác nhất.