Luận văn Định lý KKM và các vấn đề liên quan trong lý thuyết tối ưu vectơ

Nội dung text: Luận văn Định lý KKM và các vấn đề liên quan trong lý thuyết tối ưu vectơ

1. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THANH TRÀ ĐỊNH LÝ KKM VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TRONG LÝ THUYẾT TỐI ƯU VECTƠ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THANH TRÀ ĐỊNH LÝ KKM VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TRONG LÝ THUYẾT TỐI ƯU VECTƠ Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3. i Mục lục MỞ ĐẦU 1 1 Kiến thức cơ bản. 4 1.1 Các không gian cần dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương . . . . . 9 1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Tính lồi của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Ánh xạ KKM. 29 2.1 Định nghĩa và các tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Các định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Các ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II 48 3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán (GEP )II 51 3.3 Một số vấn đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 KẾT LUẬN 64 Tài liệu tham khảo 65 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4. 1 MỞ ĐẦU Một trong những định lý nổi tiếng nhất của toán học trong thế kỉ trước là Nguyên lý điểm bất động Brouwer. Đó là định lý trung tâm của lý thuyết điểm bất động và cũng là một trong những nguyên lý cơ bản của giải tích phi tuyến. Định lý này được Brouwer chứng minh năm 1912, dựa vào một công cụ rất sâu sắc của tôpô là lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục nên khá phức tạp. Vì thế, nhiều nhà toán học đã tìm cách chứng minh Nguyên lý điểm bất động Brouwer bằng những công cụ đơn giản hơn. Năm 1929, ba nhà toán học Ba Lan là Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh được một kết quả quan trọng mang tên ”Bổ đề KKM” bằng phương pháp tương đối sơ cấp mà từ đó suy ra được Nguyên lý điểm bất động Brouwer. Bổ đề KKM được chứng minh dựa trên một kết quả của Sperner năm 1928 về phép tam giác phân một đơn hình, thuộc lĩnh vực toán tổ hợp, một lĩnh vực tưởng chừng như không liên quan gì đến lý thuyết điểm bất động. Một điều thú vị nữa là từ Nguyên lý điểm bất động Brouwer ta cũng chứng minh được Bổ đề KKM, từ đó Nguyên lý điểm bất động Brouwer và Bổ đề KKM là tương đương nhau. Từ đây Bổ đề KKM đã đặt nền tảng và tạo bước ngoặt lớn cho sự phát triển của ”Lý thuyết KKM”. Mặc dù Bổ đề KKM rất quan trọng, vì nó cho ta một chứng minh đơn giản Nguyên lý điểm bất động Brouwer nhưng lại hạn chế do chỉ áp dụng được cho các không gian vectơ hữu hạn chiều. Để khắc phục điều này, năm 1961, nhà toán học nổi tiếng Ky Fan đã mở rộng bổ đề KKM cho trường hợp không gian vectơ tôpô bất kỳ. Định lý của Ky Fan ngày nay được gọi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5. 2 là ”Nguyên lý ánh xạ KKM”. Nguyên lý ánh xạ KKM.Giả sử E là không gian vectơ tôpô bất kì, X là tập con khác rỗng của E và F : X → 2E là ánh xạ thỏa mãn 1. F(x) là tập đóng với mọi x ∈ X; n S 2. co {x1, x2, , xn} ⊂ F (xi) với mọi {x1, x2, , xn} ⊂ X; i=1 3. F (x0) là tập compact với x0 nào đó thuộc X. Khi đó T F (x) 6= ∅. x∈X Năm 1972, dựa vào Nguyên lý ánh xạ KKM năm 1961, Ky Fan đã chứng minh được một kết quả quan trọng mà sau này người ta gọi là ”Bất đẳng thức Ky Fan”. Bất đẳng thức Ky Fan. Giả sử E là không gian vectơ tôpô bất kì, X là tập con lồi, compact, khác rỗng của E và f : X × X → R là hàm số thỏa mãn 1. f (x, x) ≤ 0 với mọi x ∈ X; 2. f (x, y) là tựa lõm theo x với mỗi y cố định; 3. f (x, y) là nửa liên tục dưới theo y với mỗi x cố định. Khi đó, tồn tại y∗ ∈ X sao cho f (x, y∗) ≤ 0 với mọi x ∈ X. Từ đây, Bất đẳng thức Ky Fan trở thành một công cụ quan trọng để nghiên cứu các bài toán như: Tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động, điểm cân bằng Nash, điểm yên ngựa, Đến năm 1984, Ky Fan tiếp tục mở rộng Nguyên lý ánh xạ KKM và chứng minh một số kết quả quan trọng như: Các định lý ghép đôi (matching) cho phủ đóng hay phủ mở của các tập lồi, các định lý điểm trùng và các định lý tương giao cho các tập với thiết diện lồi. Có thể nói, từ đây Nguyên lý ánh xạ KKM đã thu hút nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm, nghiên cứu và suy ra được nhiều kết quả mới. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6. 3 Những kết quả đó cùng rất nhiều dạng mở rộng và tương đương đã được tập hợp lại dưới cái tên: Lý thuyết KKM. Lý thuyết này đã được sử dụng rộng rãi như một công cụ hữu ích trong các lĩnh vực như: Lý thuyết điểm bất động, lý thuyết minimax, toán kinh tế, tối ưu hóa, Mục đích của luận văn là trình bày một số kết quả cơ bản về định lí KKM và các vấn đề liên quan trong lý thuyết tối ưu vectơ và áp dụng vào tìm nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về một số không gian vectơ và về ánh xạ đa trị để tiện cho việc theo dõi luận văn. Chương 2: Trình bày một số kiến thức về ánh xạ KKM và các ứng dụng của nó. Chương 3: Đề cập đến bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II, các định lý về tồn tại nghiệm của nó và một số vấn đề liên quan. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn - Viện toán học Việt Nam. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. Xin trân trọng cám ơn các thầy, cô giáo thuộc viện toán học và các thầy, cô giáo của trường ĐHSP Thái Nguyên đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Xin thành kính cám ơn bố mẹ đã sinh thành và nuôi dưỡng, cám ơn những người thân yêu trong gia đình, cũng như bạn bè, đồng nghiệp đã luôn bên cạnh ủng hộ, động viên giúp tôi hoàn thành luận văn này. Do trình độ còn hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót về nội dung cũng như về cách trình bày, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 7 năm 2011 Tác giả Đỗ Thanh Trà Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7. 4 Chương 1 Kiến thức cơ bản. Trong chương này, trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian cần dùng như không gian Banach, không gian Hilbert, không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương và một số tính chất của ánh xạ đa trị như tính liên tục, tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị, điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị liên tục trên và liên tục dưới theo nón. Ta sẽ chỉ ra mối quan hệ giữa các tính chất này và tổng quát hóa một số kết quả quen biết trong giải tích hàm, ví dụ một hàm lồi nửa liên tục dưới thì liên tục dưới yếu, 1.1 Các không gian cần dùng Ta đã biết, khi xét một bài toán, trước tiên phải nói đến không gian, sau đó mới nghiên cứu đến hàm số. Cùng với sự phát triển của toán học, người ta đã mở rộng việc xét một bài toán từ không gian chỉ gồm các số lên các không gian mang tính trừu tượng hơn như: không gian Banach, không gian Hilbert, không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, Sau đây, ta sẽ tóm tắt một số kiến thức cơ bản của một số không gian để tiện cho việc theo dõi luận văn. 1.1.1 Không gian Banach Toán học hiện đại được xây dựng trên cơ sở lý thuyết tập hợp cùng với các hệ tiên đề. Người ta không có định nghĩa chính xác, cụ thể tập hợp là Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8. 5 gì mà coi chúng như những họ các đối tượng có cùng những tính chất nào đó. Ví dụ như họ các số nguyên dương là tập hợp các số tự nhiên, họ các hàm số được định nghĩa trên đoạn [a, b] tạo thành tập hợp các hàm số trên đoạn thẳng ấy, họ những học sinh cùng học trong lớp học nào đó là tập hợp các học sinh trong lớp ấy, Các tập hợp thường được kí hiệu bằng những chữ cái in hoa như: A, X, Y, và các phần tử của chúng thường được kí hiệu bởi các chữ: a, x, y, Nếu x là phần tử của tập hợp X, ta kí hiệu x ∈ X. Ta có: Định nghĩa 1.1.1. a) Với mỗi cặp phần tử x, y của tập hợp X (gọi tắt là tập X), đều xác định một qui tắc nào đó, một số thực ρ(x, y), gọi là khoảng cách giữa x và y. b) Qui tắc nói trên thỏa mãn các điều kiện sau: i) ρ(x, y) > 0 nếu x 6= y; suy ra ρ(x, y) = 0 nếu x = y; ii) ρ(x, y) = ρ(y, x), với mọi x, y (tính đối xứng); iii) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), với mọi x, y, z (bất đẳng thức tam giác); Hàm số ρ(x, y) được gọi là metric của không gian X và cặp (X, ρ) được gọi là không gian metric. Ví dụ 1.1. a) Tập M bất kì của tập các số thực R với khoảng cách thông thường ρ(x, y) = |x − y| là một không gian metric. n n P 2 b) Không gian n chiều R với khoảng cách ρ(x, y) = (xi − yi) (với i=1 n x = (x1, , xn), y = (y1, , yn) ∈ R ), là một không gian metric. Nhận xét: Trên một tập hợp, có thể chọn những metric khác nhau để có những không gian metric khác nhau. Định nghĩa 1.1.2. Ta nói rằng dãy điểm x1, , xn, của một không gian metric X hội tụ tới điểm x của không gian đó, nếu lim ρ(xn, x) = 0. Ta n→∞ kí hiệu xn → x hay limxn = x, và điểm x được gọi là giới hạn của dãy {xn}. Nhận xét: Dãy con của một dãy hội tụ cũng là một dãy hội tụ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9. 6 Từ định nghĩa dãy hội tụ, ta có tính chất sau: 0 1) Nếu xn → x và xn → x thì x = x’; 2) Nếu xn → x và yn → y thì ρ(xn, yn) → ρ(x, y). Định nghĩa 1.1.3. Cho X là một tập hợp. Nếu trên X có hai phép tính: phép cộng giữa hai phần tử của X và phép nhân một số (thực hoặc phức) với một phần tử của X thỏa mãn các điều kiện 1) x, y ∈ X thì x + y ∈ X, với mọi x, y ∈ X; 2) (x + y) + z = x + (y + z), với mọi x, y, z ∈ X; 3) x + y = y + x, với mọi x, y ∈ X; 4) Tồn tại 0 ∈ X có tính chất: với mọi x ∈ X thì x + 0 = 0 + x = x. 0 được gọi là phần tử gốc hoặc phần tử trung hòa; 5) Với mọi x ∈ X thì tồn tại (- x) sao cho x + (−x) = 0; 6) 1.x = x, với mọi x ∈ X; 7) l.(k.x) = (l.k).x, với mọi l, k ∈ K, x ∈ X; 8) (l + k).x = l.x + k.x, với mọi l, k ∈ K, x ∈ X; 9) l.(x + y) = l.x + l.y, với mọi l ∈ K, x, y ∈ X. Khi đó, X được gọi là một không gian tuyến tính. Định nghĩa 1.1.4. Cho X là một không gian tuyến tính. Hàm số k.k : X → R+ thỏa mãn các điều kiện: i) kxk ≥ 0, với mọi x ∈ X và kxk = 0 ⇔ x = 0; ii) kλxk = |λ| kxk, với mọi λ ∈ K, x ∈ X; iii) kx + yk ≤ kxk + kyk, với mọi x, y ∈ X ; được gọi là một chuẩn và cặp (X, k.k) là một không gian tuyến tính định chuẩn. Định nghĩa 1.1.5. Giả sử (X, k.k) là một không gian tuyến tính định chuẩn. Dễ thấy, hàm ρ : X × X → R (x, y) 7→ ρ (x, y) = kx − yk là một metric. Như vậy, không gian tuyến tính định chuẩn là không gian metric. Do đó, mọi tính chất của không gian metric đều đúng cho không gian tuyến Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10. 7 tính định chuẩn . Định nghĩa 1.1.6. Không gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) đầy đủ với metric xác định như trên gọi là một không gian Banach. s n n P 2 Ví dụ 1.2. a)Cho X = R với chuẩn kxk = (xi) , x = (x1, x2, , xn) ∈ i=1 n R thì X là không gian Banach. b) Cho X = C[a,b] với chuẩn kfk = max |f(x)| , f ∈ X thì X là không x∈[a,b] gian Banach. n P Định nghĩa 1.1.7. Cho dãy {xn} ⊆ (X, k.k), lập tổng riêng Sn = xi. i=1 ∞ ∞ P P Nếu Sn → S ∈ X, ta nói chuỗi xi hội tụ và S = xi là tổng của i=1 i=1 ∞ ∞ P P chuỗi. Nếu chuỗi kxik hội tụ thì ta nói chuỗi xi hội tụ tuyệt đối. i=1 i=1 Định lý 1.1.8. Trong không gian Banach X, mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh {Sn} là dãy cauchy. Thật vậy, với mọi m P m > n, kSm − Snk = kxn+1 + + xmk ≤ kxik → 0 khi n → ∞.Vì i=n+1 ∞ P X đầy đủ, nên dãy {Sn} hội tụ. Do đó, chuỗi xi hội tụ. Hơn nữa, vì i=1 n n ∞ ∞ P P P P xk ≤ kxkk, nên kSnk ≤ kxkk. Do đó, kSk ≤ xk . k=1 k=1 k=1 k=1 Chú ý 1.1. Điều ngược lại của định lý trên cũng đúng, tức là nếu trong không gian tuyến tính định chuẩn X, mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ thì X là một không gian Banach. 1.1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.9. Cho X là không gian tuyến tính. Nếu trên X có dạng song tuyến tính h., .i : X × X → R (x, y) 7→ hx, yi thỏa mãn: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11. 8 i) Với mỗi y ∈ X thì h., yi : X → R là hàm tuyến tính. Tức là: hαx1 + βx2, yi = α hx1, yi + β hx2, yi, với mọi α, β ∈ R, x1, x2 ∈ X; ii) Với mỗi x ∈ X thì hx, .i : X → R là hàm tuyến tính. Tức là: hx, αy1 + βy2i = α hx, y1i + β hx, y2i, với mọi α, β ∈ R, y1, y2 ∈ X; iii) hx, xi ≥ 0, với mọi x ∈ X và hx, xi = 0 ⇔ x = 0 thì X được gọi là không gian tiền Hilbert. Số hx, yi là tích vô hướng của hai phần tử x và y. Mệnh đề 1.1.10. Nếu (X, h., .i) là một không gian tiền Hilbert thì |hx, yi|2 ≤ hx, xi hy, yi với mọi x, y ∈ X (Bất đẳng thức Schwarz). Chứng minh. Với y = 0 thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng. Giả sử y 6= 0. Với mọi λ, ta có: − hx + λy, x + λyi ≥ 0 ⇔ hx, xi + λ hx, yi + λ hy, xi + |λ|2 hy, yi ≥ 0. hx,yi Chọn λ = − hy,yi , thay vào trên, ta được: 2 hx, xi − hx,yi hx, yi − hx,yi hy, xi + |hx,yi| hy, yi ≥ 0 hy,yi hy,yi |hy,yi|2 |hx,yi|2 2 ⇔ hx, xi − hy,yi ≥ 0 ⇔ |hx, yi| ≤ hx, xi hy, yi. Định lý 1.1.11. Nếu (X, h., .i) là một không gian tiền Hilbert thì hàm số kxk = phx, xi, x ∈ X là một chuẩn trên X. Chứng minh. i) Vì hx, xi ≥ 0 ⇒ kxk = 0 thì x = 0. ii) Ta có,kλxk2 = hλx, λxi = |λ|2kxk2 ⇒ kλxk = |λ| kxk, với mọi λ ∈ R, x ∈ X. iii) Với mọi x, y ∈ X, ta có: kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + hy, xi + hx, yi + kyk2 . ≤ kxk2 + 2 |hx, yi| + kyk2 Theo bất đẳng thức Schwarz, ta có: kx + yk2 ≤ kxk2 + 2 kxk kyk + kyk2 ⇔ kx + yk2 ≤ (kxk + kyk)2 ⇔ kx + yk ≤ kxk + kyk . Như vậy, không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn và mọi tính chất của không gian định chuẩn đều đúng đối với không gian tiền Hilbert. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12. 9 Định nghĩa 1.1.12. Không gian tiền Hilbert đầy đủ đối với metric ρ (x, y) = kx − yk = phx − y, x − yi là không gian Hilbert. n n P Ví dụ 1.3. C là một không gian Hilbert với tích vô hướng hx, yi = xiyi i=1 n trong đó x = (x1, , xn) , y = (y1, , yn) ∈ C . 1.1.3 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Định nghĩa 1.1.13. Cho X là một không gian tuyến tính. X được gọi là không gian tôpô nếu trên X có một họ = các tập hợp có tính chất: i) ∅ ∈ =,X ∈ =; ii) U1,U2 ∈ = ⇒ U1 ∩ U2 ∈ =; iii) Mọi U ∈ =, tồn tại U0 ⊂ U sao cho U0 ∈ =. Ví dụ 1.4. Cho X là một không gian metric và = là họ các tập mở thì X là không gian tôpô. Định nghĩa 1.1.14. Cho X là không gian tuyến tính, X là không gian tôpô mà hai phép toán cộng và nhân liên tục thì X được gọi là không gian tôpô tuyến tính. Định nghĩa 1.1.15. Tập con A của không gian vectơ X được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ A đều có λx + µy ∈ A, với mọi λ ≥ 0, µ ≥ 0 và λ + µ = 1. Định nghĩa 1.1.16. Cho X là không gian tuyến tính, 0 ∈ X là điểm gốc. Gọi U là họ các lân cận của 0 trong X. a) Nếu U ∈ U thì tồn tại U0 ⊂ U sao cho U0 là tập lồi. b) Cho U0 ⊂ U là họ con của U gồm các tập lồi thì X được gọi là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương. Định nghĩa 1.1.17. Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương X được gọi là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff nếu, với mỗi x, y ∈ X, x 6= y, tồn tại lân cận Ux,Vy thỏa mãn Ux ∩ Vy = ∅. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13. 10 Sự phát triển của toán học đã mở rộng việc nghiên cứu từ ánh xạ đơn trị lên thành ánh xạ đa trị với nhiều tính chất mới. Sau đây, ta sẽ ngiên cứu một số tính chất của ánh xạ đa trị, đặc biệt là tính liên tục và tính lồi theo nón. 1.2 Ánh xạ đa trị 1.2.1 Tính liên tục của ánh xạ đa trị Trước tiên, ta nhắc lại một số khái niệm về nón và ánh xạ đa trị như sau. Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính, C ⊆ Y, C 6= ∅. Ta nói C là nón có đỉnh tại gốc trong Y nếu tc ∈ C, với mọi c ∈ C, t ≥ 0. Định nghĩa 1.2.2. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính, tập hợp C ⊆ Y được gọi là nón có đỉnh tại điểm x0 nếu tập C − x0 là một nón có đỉnh tại gốc trong Y. Trong luận văn này, ta chỉ quan tâm tới nón có đỉnh tại gốc nên gọi ngắn gọn là nón. Từ định nghĩa nón ở trên, ta có các khái niệm sau: Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi. Nón C được gọi là nón đóng nếu C là tập đóng. Trong trường hợp Y là không gian tôpô tuyến tính và C là nón trong Y , ta kí hiệu Cl(C), conv(C) là bao đóng và bao lồi của nón C. Kí hiệu l(C) = C ∩ (−C) , ta thấy rằng, nếu C là nón lồi thì l(C) là không gian con tuyến tính nhỏ nhất nằm trong C và nó được gọi là phần trong tuyến tính của nón C. Ta có các khái niệm về nón C liên quan đến l(C) như sau: i) Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0} ; ii) Nón C được gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn; iii) Nón C được gọi là nón đúng nếu Cl(C) + C\l(C) ⊆ C. Từ định nghĩa của nón đúng, ta dễ dàng thấy rằng, nếu C là nón đóng thì C là nón đúng. Dễ thấy, {0} và Y là những nón tầm thường trong Y. Ví dụ sau đây sẽ minh họa cho các khái niệm về nón ở trên: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14. 11 n Ví dụ 1.5. a) Cho Y = R = {x = (x1, x2, , xn) |xj ∈ R, j = 1, 2, , n} n n Khi đó, C = R+ = {x = (x1, x2, , xn) ∈ R |xj ≥ 0 , j = 1, 2, , n} là n nón lồi, đóng, nhọn. Nón này được gọi là nón orthant dương trong R . n Nếu lấy C = {0} ∪ {x =(x1, x2, , xn) ∈ R |x1 > 0 } thì C là nón nhọn, đúng nhưng không là nón sắc. n Nếu lấy C = {x =(x1, x2, , xn) ∈ R |x1 ≥ 0 } thì C là nón lồi, đóng n nhưng không nhọn, vì dễ thấy l(C) = {x = (0,x2, ,xn) ∈ R }= 6 {0}. 3 3 b) Cho C = {(x, y, z) ∈ R |x > 0, y > 0, z > 0}∪{(x, y, z) ∈ R |x ≥ y ≥ 0, z = 0 }. Dễ thấy, C là nón lồi, sắc nhưng không đúng. Định nghĩa 1.2.3. a) Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y. B ⊆ Y được gọi là tập sinh của nón C, kí hiệu C = cone(B) nếu C = {tb |b ∈ B, t ≥ 0}. Trường hợp B không chứa điểm gốc của Y thì B được gọi là cơ sở của nón C, nếu với mọi c ∈ C, c 6= 0 đều tồn tại duy nhất phần tử b ∈ B, t > 0 sao cho c = tb. Hơn nữa, nếu B có hữu hạn phần tử và C = cone(conv(B)) thì C được gọi là nón đa diện. b) Cho C là nón trong không gian tôpô tuyến tính Y. Gọi Y ∗ là không gian tôpô đối ngẫu của Y. Nón cực C0 của C được định nghĩa như sau: C0 = {ξ ∈ Y ∗ |hξ, ci ≥ 0} , với mọi c ∈ C; và C0+ = {ξ ∈ Y ∗ |hξ, ci > 0}, với mọi c ∈ C\{0}. Sau đây, ta sẽ khái quát một số khái niệm cơ bản của ánh xạ đa trị. Cho X, Y là hai tập hợp, D là một tập con của X. Kí hiệu 2Y là tập gồm tất cả các tập con của Y. Định nghĩa 1.2.4. Ánh xạ G từ D vào 2Y , biến mỗi phần tử x ∈ D thành tập G(x) ⊆ Y , được gọi là ánh xạ đa trị từ D vào Y. Kí hiệu G : D → 2Y . Ta định nghĩa miền xác định và đồ thị của G lần lượt như sau: domG := {x ∈ D |G(x) 6= ∅}; GrG := {(x, y) ∈ D × Y |y ∈ G(x), x ∈ dom(G)}. Cho A ⊆ D, có G(A) = S G(x) được gọi là ảnh của tập A qua ánh x∈A xạ G. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15. 12 Từ đó, miền ảnh của G được xác định như sau: ImG = S G(x). x∈D Ánh xạ G được gọi là không tầm thường nếu GrG 6= ∅. Định nghĩa 1.2.5. Cho ánh xạ đa trị G : D → 2Y . Ánh xạ ngược của G, kí hiệu là G−1 được xác định: y ∈ Y 7→ G−1(y) = {x ∈ D |y ∈ G(x)}. Cho B ⊂ Y , nghịch ảnh của tập B qua ánh xạ G là: G−1(B) = ∪ G−1(y) = {x ∈ D |G(x) ∩ B 6= ∅}. y∈B Từ định nghĩa ánh xạ đa trị, ta có các phép tính về ánh xạ đa trị như sau: Y Định nghĩa 1.2.6. Cho G1,G2 : D → 2 là hai ánh xạ đa trị từ D vào Y. Ta gọi ánh xạ giao (hợp) của G1 và G2, kí hiệu G1 ∩ G2 (G1 ∪ G2) là một ánh xạ đa trị từ D vào Y, được xác định: x ∈ D 7→ (G1 ∩ G2)(x) = G1(x) ∩ G2(x); (x ∈ D 7→ (G1 ∪ G2)(x) = G1(x) ∪ G2(x)). Y Định nghĩa 1.2.7. Cho Gi : D → 2 i là các ánh xạ đa trị từ D vào Yi (i = 1,2, ,n). Ánh xạ tích đề các của các Gi, i = 1,2, ,n, kí hiệu là n n Q Q G = Gi, là một ánh xạ đa trị từ D vào Yi, được xác định: i=1 i=1 n Q x ∈ D 7→ G(x) = Gi(x). i=1 Định nghĩa 1.2.8. Cho X, Y, Z là các không gian, D là tập con của X, K là tập con của Y và các ánh xạ đa trị G : D → 2Y ,H : K → 2Z. Kí hiệu H.G là ánh xạ đa trị từ D vào Z, được xác định: x ∈ D 7→ (H.G)(x) = S H(y) . y∈G(x) Trường hợp Y là không gian tuyến tính, ta có: Y Định nghĩa 1.2.9. Cho Gi : D → 2 (i = 1,2, ,n) là các ánh xạ đa trị. n P Ánh xạ tổng của các Gi (i = 1,2, ,n), kí hiệu là G = Gi, là một ánh i=1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16. 13 xạ đa trị từ D vào Y, được xác định: n P x ∈ D 7→ G(x) = Gi(x). i=1 Định nghĩa 1.2.10. Cho ánh xạ đa trị G : D → 2Y . Ánh xạ tích của ánh xạ G với một số α là một ánh xạ đa trị từ D vào Y, kí hiệu αG, được xác định: x ∈ D 7→ (αG)(x) = αG(x). Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính. D là tập con khác rỗng của X. Cho G : D → 2Y là ánh xạ đa trị từ D vào Y, ta có: Định nghĩa 1.2.11. Ta gọi ánh xạ bao lồi của G, kí hiệu coG, là một ánh xạ đa trị từ D vào Y, được xác định như sau: x ∈ D 7→ (coG)(x) = co(G(x)) . Định nghĩa 1.2.12. Ánh xạ bao đóng của G, kí hiệu G, là một ánh xạ đa trị từ D vào Y được định nghĩa: x ∈ D 7→ G(x) = G(x). Định nghĩa 1.2.13. G được gọi là ánh xạ đóng, nếu GrG là đóng trong không gian tích X × Y . Cho (p) là một tính chất nào đó của một tập con (ví dụ: tính đóng, lồi, compact, ). Nếu mọi giá trị G(x) của ánh xạ đa trị G đều có tính chất (p) trong Y, thì ta nói rằng G nhận giá trị có tính chất (p). Chẳng hạn, ánh xạ đa trị G được gọi là có giá trị đóng(t.ư mở, lồi, compact, ) nếu và chỉ nếu với mỗi x ∈ D, ta đều có G(x) là một tập đóng (t.ư mở, lồi, compact, ) trong Y. Nhận xét: Một ánh xạ đa trị đóng luôn luôn có giá trị đóng. Tuy nhiên, chiều ngược lại không đúng. Ta xét ví dụ sau đây: Ví dụ 1.6. Cho ánh xạ đa trị G : R → 2R, được xác định:  {2}, x ≤ 0; G(x) = [0, 1], x > 0. Dễ thấy, G có giá trị đóng và G không là ánh xạ đóng. Thật vậy, lấy dãy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17. 14 {xn} ⊂ R, sao cho xn > 0 và xn → 0. Ta có, G(xn) = [0, 1] và G(0) = 2. n n o Lấy dãy {yn} = n+1 ⊂ [0, 1], thì yn → 0 nhưng 0 ∈/ G(0). Vậy G không là ánh xạ đóng. Định nghĩa 1.2.14. G được gọi là ánh xạ compact nếu G(D) là tập com- pact trong Y. Y Nhận xét: Nếu G1,G2 : D → 2 là hai ánh xạ đa trị compact thì các ánh xạ G1 + G2, λG1(λ ∈ R) và G1 ∩ G2 cũng là những ánh xạ đa trị compact. Tiếp theo, ta nghiên cứu tính liên tục của ánh xạ đa trị. Cho X, Y là hai không gian tôpô, D ⊂ X, G : D → 2Y là ánh xạ đa trị. Trước hết, ta nhắc lại các định nghĩa nửa liên tục trên và dưới của ánh xạ đa trị theo nghĩa của Berge [7]. Định nghĩa 1.2.15. G được gọi là nửa liên tục trên (kí hiệu: u.s.c) tại x0 ∈ D nếu với mọi tập mở V, G(x0) ⊂ V , đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho G(x) ⊂ V , với mọi x ∈ U. G được gọi là nửa liên tục trên trên D, nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi x0 ∈ D. Định nghĩa 1.2.16. G được gọi là nửa liên tục dưới (kí hiệu: l.s.c) tại x0 ∈ D nếu với mọi tập mở V, G(x0) ∩ V 6= ∅, đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho G(x) ∩ V 6= ∅, với mọi x ∈ U. G được gọi là nửa liên tục dưới trên D, nếu nó là nửa liên tục dưới tại mọi x0 ∈ D. Ví dụ 1.7. Cho ánh xạ đa trị G : R → 2R, được xác định:  [0, 1), x 6= 0; G(x) = 2 [0, 1], x = 0. Dễ thấy, G là nửa liên tục trên tại 0 và G không nửa liên tục dưới tại 0. Thật vậy: Ta chứng minh G nửa liên tục trên tại 0. Gọi V là tập mở bất kì sao cho G(0) = [0, 1] ⊂ V . Lấy U là lân cận bất kì Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18. 15  1
    của 0, với mọi x ∈ U, suy ra x 6= 0, do đó G(x) = 0, 2 ⊂ [0, 1] ⊂ V . Vậy G là nửa liên tục trên tại 0. Ta chứng minh G không là nửa liên tục dưới tại 0. 3
    3  Lấy V = 4, 2 , ta có G(0) = [0, 1] nên G(0) ∩ V = 4, 1 6= ∅. Gọi U là lân cận bất kì của 0, suy ra ta có, với mọi x ∈ U thì x 6= 0 , do đó  1
    G(x) = 0, 2 nên G(x) ∩ V = ∅. Vậy G không nửa liên tục dưới tại 0. Mệnh đề 1.2.17. Giả sử G, H : D → 2Y là hai ánh xạ đa trị từ D vào không gian tôpô Y. Giả Sử rằng: i) G là nửa liên tục trên tại x0; ii) H là ánh xạ đóng; iii) G(x0) là tập compact và G(x) ∩ H(x) 6= ∅ với mọi x ∈ D. Y Khi đó, ánh xạ đa trị G ∩ H : D → 2 là nửa liên tục trên tại x0. Chứng minh. Xem mệnh đề 2, trang 71 trong [6]. Hệ quả 1.2.18. Cho H : D → 2Y là ánh xạ đa trị từ D vào không gian tôpô Y. Nếu H là ánh xạ đóng, compact và H(x) 6= ∅ với mọi x ∈ D, thì H là nửa liên tục trên. Chứng minh. Ta lấy ánh xạ G : D → 2Y như sau: G(x) = H(D), x ∈ D. Dễ thấy, G là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và H = G ∩ H. Theo Mệnh đề 1.2.17, H là nửa liên tục trên. Như ta đã biết, hàm g : X → R được gọi là nửa liên tục trên (hoặc dưới) tại x0 nếu với bất kì ε > 0, đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho g(x) ≤ g(x0) + ε (hoặc g(x) ≥ g(x0) − ε), với mọi x ∈ U. Định nghĩa 1.2.19. Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương,  D ⊂ X là tập khác rỗng và I là tập các chỉ số. Họ hàm số gα : D → R, α ∈ I được gọi là nửa liên tục trên (hoặc nửa liên tục dưới) đồng bậc tại x0 ∈ D, nếu với mọi ε > 0, tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho: gα(x) ≤ gα(x0) + ε (tương ứng gα(x) ≥ gα(x0) − ε), với mọi x ∈ U ∩ D và α ∈ I. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19. 16 Khái niệm hàm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới đã được phát triển cho ánh xạ đa trị G, trong không gian vectơ lồi địa phương với nón C. Giả sử X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D là tập con khác rỗng trong X, C là nón trong Y và G là ánh xạ đa trị từ D vào Y. Ta có: Định nghĩa 1.2.20. a) G là C - liên tục trên (hoặc C - liên tục dưới) tại x0 ∈ D, nếu với bất kì lân cận V của điểm gốc trong Y, đều tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho: G(x) ⊂ G(x0) + V + C; (hoặc G(x0) ⊂ G(x) + V − C), với mọi x ∈ U ∩ domG. b) G gọi là C - liên tục tại x0 nếu G vừa là C - liên tục trên, vừa là C - liên tục dưới tại x0. G là C - liên tục trên (C - liên tục dưới hoặc C - liên tục) trong D nếu nó là C - liên tục trên (C - liên tục dưới hoặc C - liên tục) tại mọi x ∈ D. Nếu C = {0}, ta nói G là liên tục trên (liên tục dưới, liên tục) thay vì nói G là {0} - liên tục trên ({0} - liên tục dưới, {0} - liên tục). Ta có mệnh đề sau tương đương với định nghĩa liên tục theo nón của ánh xạ đa trị G. Mệnh đề 1.2.21. a) Giả thiết rằng G(x0) là tập compact trong Y. Điều kiện cần và đủ để G là C - liên tục trên tại x0 là: với mọi tập mở W, G(x0) ⊂ W + C, đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho G(x) ⊂ W + C, với mọi x ∈ U ∩ domG. b) Giả thiết rằng G(x0) compact trong Y. Điều kiện cần và đủ để G là C - liên tục dưới tại x0 là: với mọi y ∈ G(x0) và với mọi lân cận V của y, đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho G(x) ∩ (V + C) 6= ∅, với mọi x ∈ U ∩ domG. Và điều này tương đương với: với mọi tập mở W, G(x0) ∩ (W + C) 6= ∅, đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho G(x) ∩ (W + C) 6= ∅, với mọi x ∈ U ∩ domG. Chứng minh. a) Giả sử G là C - liên tục trên tại x0. Lấy W là tập mở trong Y sao cho G(x0) ⊂ (W + C). Theo giả thiết, G(x0) là compact nên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20. 17 tồn tại lân cận V0 của 0 trong Y sao cho G(x0) + V0 ⊂ W + C. Lấy V là lân cận bất kì của 0 trong Y, thì V ∩ V0 là lân cận của 0. Do G là C - liên tục trên tại x0, nên tồn tại lân cận U của x0 sao cho: G(x) ⊂ G(x0) + V ∩ V0 + C, với mọi x ∈ U ∩ domG. Ta có: G(x0) + V ∩ V0 + C ⊂ G (x0) + V0 + C ⊂ W + C + C = W + C. Từ đó suy ra: G(x) ⊂ W + C, với mọi x ∈ U ∩ domG. Ngược lại, lấy V là lân cận bất kì của 0 trong Y. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng V mở. Đặt W = G(x0) + V . Ta thấy W là tập mở và G(x0) ⊂ W + C, nên theo giả thiết, tồn tại lân cận U của x0 sao cho G(x) ⊂ W + C, với mọi x ∈ U ∩ domG. Như vậy, G(x) ⊂ G(x0) + V + C, với mọi x ∈ U ∩ domG. Vậy, G là C - liên tục trên tại x0. b) Giả sử G là C - liên tục dưới tại x0. Lấy y ∈ G(x0) và V0 là lân cận của y trong Y. Đặt V = V0 − y, V là lân cận của 0 trong Y. Theo giả thiết, G là C - liên tục dưới tại x0, nên theo định nghĩa, tồn tại lân cận U của x0 sao cho: G(x0) ⊂ G(x) + V − C, với mọi x ∈ U ∩ domG. Do y ∈ G(x0) nên theo trên, ta có y ∈ G(x) + V − C. Vì vậy, ta có thể viết y = y∗ + v − c, với y∗ ∈ G(x), v ∈ V và c ∈ C. ∗ Từ đó suy ra y = y − v + c ∈ y + V + C = V0 + C. Vậy, ta có: G(x) ∩ (V0 + C) 6= ∅, với mọi x ∈ U ∩ domG. Đảo lại, lấy V là lân cận bất kì của 0 trong Y, ta có: S  V G(x0) ⊂ y+ 2 . y∈G(x0) Theo giả thiết, G(x0) là compact nên theo định lý Heine - Borel, tồn tại một số tự nhiên n để: n S  V G(x0) ⊂ yi+ 2 , với yi ∈ G(x0). i=1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21. 18 V Ta thấy yi + 2 là lân cận của yi và yi ∈ G(x0) nên theo giả thiết, tồn tại các lân cận Ui (i = 1,2, ,n) của x0 sao cho: V
    G(x) ∩ yi + 2 + C 6= ∅ , với mọi x ∈ Ui ∩ domG. n T Đặt U = Ui thì U là lân cận của x0 và i=1 V
    G(x) ∩ yi + 2 + C 6= ∅ , với mọi x ∈ U ∩ domG. V Lấy y0 bất kì thuộc G(x0), y0 ∈ yi0 + 2 , với i0 là một chỉ số nào đó, V nên tồn tại v0 ∈ 2 để y0 = yi0 + v0. Theo trên, với x ∈ U ∩ domG, V
    V
    G(x) ∩ yi0 + 2 + C 6= ∅, nên tồn tại y ∈ G(x) ∩ yi0 + 2 + C , y = V yi0 + v + c, với v ∈ 2 , c ∈ C. Vậy, y0 = y + (v0 − v) − c. Do v0 − v ∈ V, c ∈ C, y ∈ G(x), nên y0 ∈ G(x) + V − C. Từ đó suy ra G(x0) ⊂ G(x) + V − C, với mọi x ∈ U ∩ domG. Vậy, G là liên tục dưới tại x0. Ta sẽ chứng minh điều kiện tương đương của mệnh đề. Lấy W là tập mở sao cho G(x0) ∩ (W + C) 6= ∅. Lấy y0 ∈ G(x0) và y0 = y1 + c, với y1 ∈ W, c ∈ C. Do y1 ∈ W và W mở nên tồn tại lân cận V của 0 để y1 + V ⊂ W . Do đó, y1 + c + V ⊂ W + C hay y0 + V ⊂ W + C. Vì y0 + V là lân cận của y0 nên theo giả thiết, tồn tại lân cận U của x0 sao cho: G(x) ∩ (y0 + V + C) 6= ∅ , với mọi x ∈ U ∩ domG. Mặt khác, y0 + V + C ⊂ W + C + C ⊂ W + C, nên G(x) ∩ (W + C) 6= ∅, với mọi x ∈ U ∩ domG. Ngược lại, lấy y0 ∈ G(x0) và W là lân cận mở của y0. Ta có, G(x0)∩(W + C) 6= ∅. Theo giả thiết, tồn tại lân cận U của x0 để G(x) ∩ (W + C) 6= ∅, với mọi x ∈ U ∩ domG. Chú ý 1.2. a) Theo Mệnh đề 1.2.21, ta thấy nếu C = {0} và G(x0) là compact thì Định nghĩa 1.2.20 phần a) ở trên đồng nhất với tính nửa liên tục trên và dưới của Berge trong [7]; b) Nếu G là ánh xạ đơn trị, theo định nghĩa, ta thấy tính C - liên tục trên và C - liên tục dưới của G đồng nhất. Khi đó, G được gọi là C - liên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22. 19 tục; c) Trường hợp Y = R,C = R+ = {x ∈ R |x ≥ 0} và ánh xạ đơn trị G là C - liên tục tại x0, ta suy ra G là nửa liên tục dưới tại x0 theo nghĩa thông thường. Trong trường hợp ngược lại, lấy C = R− = {x ∈ R |x ≤ 0} và G là C - liên tục tại x0 thì G là nửa liên tục trên tại x0; d) Nếu G là liên tục trên và G(x) đóng với mọi x ∈ D thì G là đóng; e) Theo Hệ quả 1.2.18 và chú ý ở phần a) ta thấy, nếu G là đóng, compact thì G là liên tục trên. Y Nhận xét a) Nếu hai ánh xạ đa trị G1,G2 : D → 2 đồng thời là C - liên tục trên (hoặc C - liên tục dưới), thì ánh xạ đa trị G1 ∪ G2 cũng là C - liên tục trên (hoặc C - liên tục dưới); b) Cho X, Y1,Y2 là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D là Y Y tập con khác rỗng của X. Nếu G1 : D → 2 1 ,G2 : D → 2 2 là các ánh xạ đa trị C - liên tục trên (hoặc C - liên tục dưới), thì ánh xạ đa trị G1 × G2 cũng là C - liên tục trên (hoặc C - liên tục dưới). Mệnh đề sau cho ta các điều kiện cần và đủ của một ánh xạ đa trị là C - liên tục trên và C - liên tục dưới. Mệnh đề 1.2.22. Giả sử G : D → 2Y và C ⊂ Y là nón lồi đóng. Khi ấy 1) Nếu G là C - liên tục trên tại x0 ∈ domG và G(x0) + C là tập đóng, với mọi dãy suy rộng {xβ} ⊂ D, xβ → x0, yβ ∈ G(xβ) + C, yβ → y0, ta suy ra y0 ∈ G(x0) + C. Ngược lại, nếu G là ánh xạ compact và với mọi dãy suy rộng {xβ} ⊂ D, xβ → x0, yβ ∈ G(xβ) + C, yβ → y0 đều suy ra y0 ∈ G(x0) + C, thì G là liên tục trên tại x0. 2) Nếu G là compact và là C - liên tục dưới tại x0 ∈ domG, thì với mọi dãy suy rộng {xβ} ⊂ D, xβ → x0, y0 ∈ G(x0), đều tồn tại dãy suy rộng  {yβ}, yβ ∈ G(xβ), có dãy suy rộng con yβγ thỏa mãn yβγ − y0 → c ∈ C. Ngược lại, nếu G(x0) là tập compact và với mọi dãy suy rộng {xβ}, xβ → x0, y0 ∈ G(x0), đều tồn tại dãy suy rộng {yβ}, yβ ∈ G(xβ), có dãy  suy rộng con yβγ thỏa mãn yβγ − y0 → c ∈ C, thì G là C - liên tục dưới Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23. 20 tại x0. Chứng minh. 1) Giả sử G là C - liên tục trên tại x0 ∈ domG và lấy dãy suy rộng {xβ} ⊂ D thỏa mãn xβ → x0, yβ ∈ G(xβ) + C, yβ → y0. Lấy V là lân cận lồi, đóng tùy ý của 0 trong Y. do G là C - liên tục trên tại x0 ∗ V và yβ → y0, nên tồn tại chỉ số β ≥ 0 sao cho G(xβ) ⊂ G(x0) + 2 + C và V ∗ V yβ − y0 ∈ 2 , với mọi β ≥ β . Vì vậy, y0 = y0 − yβ + yβ ∈ 2 + G(xβ) + C ⊂ V V
    2 + G(x0) + 2 + C ⊂ G(x0) + V + C. Theo giả thiết, G(x0) + C là tập đóng nên y0 ∈ G(x0) + C. Ngược lại, cho G là ánh xạ compact và với mọi dãy suy rộng {xβ} ⊂ D, xβ → x0, yβ ∈ G (xβ) + C, yβ → y0 đều suy ra y0 ∈ G (x0) + C. Bằng phản chứng, ta giả sử rằng G không là C - liên tục trên tại x0. Khi đó, phải tồn tại lân cận V của 0 trong Y sao cho với mọi lân cận Uβ của x0 ta đều tìm được xβ ∈ Uβ để: G (xβ) 6⊂ G (x0) + V + C. Ta chọn yβ ∈ G(xβ) mà yβ ∈/ G (x0) + V + C. Ta có yβ ∈ G (xβ) ⊂ G(D). Vì G(D) là tập compact, nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng yβ → y0. Theo giả thiết, y0 ∈ G(x0) + C. Mặt khác, từ yβ → y0 suy ∗ ∗ ra tồn tại β ≥ 0 để yβ − y0 ∈ V , với mọi β ≥ β . Từ đó suy ra: ∗ yβ ∈ y0 + V ⊂ G(x0) + V + C, với mọi β ≥ β . Điều này dẫn tới mâu thuẫn. 2) Giả sử G là ánh xạ compact và C - liên tục dưới tại x0 ∈ domG, và xβ → x0, y0 ∈ G(x0). Với lân cận V tùy ý của 0 trong Y, tồn tại lân cận U của x0 sao cho: G(x0) ⊂ G(x) + V − C, với mọi x ∈ U ∩ domG. Vì xβ → x0, nên tồn tại β0 ≥ 0 thỏa mãn G(x0) ⊂ G(xβ) + V − C, với mọi β ≥ β0. Theo giả thiết y0 ∈ G(x0), nên với mỗi β ≥ β0, tồn tại yβ ∈ G(xβ) ⊂ G(D), vβ ∈ V, cβ ∈ C sao cho: y0 = yβ + vβ − cβ. ∗ Vì G(D) là tập compact, ta có thể chọn yβγ → y , vβγ → 0. Từ đó, ∗ ∗ cβγ = yβγ + vβγ − y0 → y − y0 ∈ C hay yβγ − y0 → c ∈ C, với c = y − y0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24. 21 Ngược lại, Cho G(x0) là tập compact và với mọi dãy suy rộng {xβ} ⊂ D, xβ → x0 và y0 ∈ G(x0), đều tồn tại dãy suy rộng {yβ} , yβ ∈ G(xβ), có  dãy suy rộng con yβγ , để yβγ − y0 → c ∈ C. Bằng phản chứng, ta giả sử rằng G không là C - liên tục dưới tại x0. Tức là, tồn tại lân cận V của 0 trong Y sao cho với mọi lân cận Uβ của x0 đều tìm được xβ ∈ Uβ để: G(x0) 6⊂ G(xβ) + V − C. Khi đó, tồn tại zβ ∈ G(x0) mà zβ ∈/ G(xβ) + V − C. Vì G(x0) là tập compact, không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng zβ → z0 ∈ G(x0). Ta cũng có thể giả thiết rằng xβ → x0. Do đó, tồn tại dãy suy rộng  {yβ} , yβ ∈ G(xβ) có dãy suy rộng con yβγ , để yβγ − z0 → c ∈ C, hay ∗ ∗ yβγ → y ∈ z0 + C. Không mất tính tổng quát, ta có thể viết yβ → y ∈ V V z0 + C. Từ đó suy ra, tồn tại β1 ≥ 0 để zβ ∈ z0 + 2 và z0 ∈ yβ + 2 − C, với mọi β ≥ β1. Vì vậy, V V zβ ∈ yβ + 2 + 2 − C ⊂ G(xβ) + V − C, với mọi β ≥ β1. Điều này mâu thuẫn. Đơn giản hơn, ta có thể sử dụng phép vô hướng hóa hàm đa trị để nghiên cứu tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị. Xét G : D → 2Y , 0 trong đó D ⊂ X. Với mỗi ξ ∈ C , ta định nghĩa hàm gξ,Gξ : D → R như sau: gξ(x) = inf hξ, yi , x ∈ D, y∈G(x) Gξ(x) = sup hξ, yi , x ∈ D , trong đó R = R ∪ { ± ∞}. y∈G(x) Mệnh đề sau đây cho thấy mối liên hệ giữa tính C - liên tục trên (hoặc dưới) của ánh xạ đa trị G với tính nửa liên tục trên (hoặc dưới) của các hàm gξ,Gξ. Mệnh đề 1.2.23. a) Nếu G là (-C) - liên tục trên (hoặc dưới) tại x0 ∈ 0 domG, thì với mỗi ξ ∈ C cố định, Gξ (tương ứng gξ) là hàm số nửa liên tục trên tại x0. b) Nếu G là C - liên tục trên (hoặc dưới) tại x0 ∈ domG, thì với mỗi 0 ξ ∈ C cố định, gξ (tương ứng Gξ) là hàm số nửa liên tục dưới tại x0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
25. 22 Chứng minh. a) Giả sử G là (-C) - liên tục trên tại x0. Lấy ε > 0 tùy ý. 0 Do ξ ∈ C là phiếm hàm tuyến tính liên tục từ Y vào R, nên tồn tại lân cận V của 0 trong Y sao cho ξ(V ) ⊂ (−ε, ε). Do G là (-C) - liên tục trên tại x0, nên tồn tại lân cận U của x0 sao cho: G(x) ⊂ G(x0) + V − C, với mọi x ∈ U ∩ domG. Theo định nghĩa của Gξ, ta có: sup hξ, yi ≤ sup hξ, yi ≤ sup hξ, yi+sup hξ, vi+ sup hξ, ci. y∈G(x) y∈G(x0)+V −C y∈G(x0) v∈V c∈−C Do ξ(V ) ⊂ (−ε, ε), nên sup hξ, vi = ε. Mặt khác, theo định nghĩa của C’, v∈V ta ssuy ra sup hξ, ci = 0. Từ đó suy ra Gξ(x) ≤ Gξ(x0) + ε, với mọi c∈−C x ∈ U ∩ domG hay Gξ là nửa liên tục trên tại x0. Bây giờ,giả sử G là (-C) - liên tục dưới tại x0. Theo định nghĩa tồn tại lân cận U của x0 sao cho: G(x0) ⊂ G(x) + V + C, với mọi x ∈ U ∩ domG. Theo định nghĩa của gξ, ta có: inf hξ, yi ≥ inf hξ, yi + inf hξ, vi + inf hξ, ci. y∈G(x0) y∈G(x) v∈V c∈C Cũng như trong chứng minh ở phần trên, ta có: inf hξ, vi = −ε, inf hξ, ci = 0. v∈V c∈C Từ đó, ta có: gξ(x0) ≥ gξ(x) − ε, x ∈ U ∩ domG. Ta đã chứng minh được gξ là nửa liên tục trên tại x0. b) Chứng minh hoàn toàn tương tự như phần a). Các định lý sau đây cho ta thấy mối liên quan chặt chẽ giữa tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị G với tính nửa liên tục đồng bậc của họ các hàm gξ,Gξ. Trong các định lý này, ta luôn giả thiết rằng X là không gian lồi địa phương, Y là không gian Banach, D ⊂ X là tập lồi, đóng, khác rỗng và C là nón lồi trong Y. Định lý 1.2.24. Giả sử G : D → 2Y là ánh xạ đa trị thỏa mãn G(x) − C là tập lồi với mọi x ∈ D. Khi đó, G là C - liên tục dưới tại x0 khi và chỉ 0 khi họ {Gξ |ξ ∈ C , kξk = 1} là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
26. 23 Chứng minh. Giả sử G là C - liên tục dưới tại x0. Theo Định lý Banach - Steinhaus, họ {ξ ∈ C0, kξk = 1} là liên tục đồng bậc tại 0, nên với ε > 0 cho trước, tồn tại lân cận V của 0 trong Y để ξ (y) ∈ (−ε, ε), với mọi 0 y ∈ V, ξ ∈ C , kξk = 1. Vì G là C - liên tục dưới tại x0, nên tồn tại lân cận U của x0 sao cho G (x0) ⊂ G (x) + V − C, với mọi x ∈ U ∩ D. Theo định nghĩa của hàm Gξ và tính chất supremum, ta có: Gξ (x0) = sup hξ, yi ≤ sup hξ, yi+sup hξ, vi+ sup hξ, ci ≤ sup hξ, yi+ y∈G(x0) y∈G(x) v∈V c∈−C y∈G(x) ε = Gξ (x) + ε, hay Gξ (x0) − ε ≤ Gξ (x), với mọi x ∈ U ∩ D và ξ ∈ C0, kξk = 1. 0 Vậy, họ {Gξ |ξ ∈ C , kξk = 1} là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x0. 0 Ngược lại, giả sử họ {Gξ |ξ ∈ C , kξk = 1} là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x0. Ta chứng minh bằng phản chứng: Giả sử G không là C - liên tục dưới tại x0. Khi đó, tồn tại lân cận lồi V của 0 trong Y để mỗi lân cận Uα của x0, đều tìm được xα ∈ Uα ∩ D sao cho: G (x0) 6⊂ G (xα) + V − C. Ta chọn yα ∈ G(x0) mà yα ∈/ G(xα)+V −C. Theo giả thiết, G(xα)−C là V V tập lồi, nên Cl(G(xα)+ 2 −C) là tập lồi, đóng. Do yα ∈/ Cl(G(xα)+ 2 −C), nên áp dụng định lý tách, ta suy ra tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục ∗ ξα trong không gian đối ngẫu Y , kξαk = 1 sao cho: V ξα (yα) ≥ ξα (y), với mọi y ∈ G (xα) + 2 − C. 0 0 Ta chứng minh ξα ∈ C với mọi α. Thật vậy, giả sử tồn tại α0 mà ξα0 ∈/ C . Khi đó, tồn tại c0 ∈ C để ξα0 (c0) 0, nên ξα0 (yα0 ) > ξα0 (zα0 + vα0 − γc0) = ξα0 (zα0 ) + ξα0 (vα0 ) + γξα0 (c0). V Với zα0 ∈ G (xα) , vα0 ∈ 2 . Cho γ → +∞, vế phải của bất đẳng thức trên tiến tới +∞. Điều này mâu thuẫn. Theo định nghĩa supremum, với θ > 0 V tùy ý, tồn tại yeα ∈ G (xα) , veα ∈ 2 , ecα ∈ C sao cho: θ sup hξα, yi ≤ hξα, yeαi + 3; y∈G(xα) θ sup hξα, vi ≤ hξα, vαi + 3; V e v∈ 2 θ sup hξα, ci ≥ hξα, −ecαi + 3 . c∈−C Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
27. 24 Mặt khác, ta thấy V zα = yeα + veα − ecα ∈ G (xα) + 2 − C. Vậy, ta suy ra: ξα (yα) > ξα (zα) ≥ sup hξα, yi + sup hξα, vi + sup hξα, ci − θ. y∈G(x ) V c∈−C α v∈ 2 Vì yα ∈ G(x0), nên Gξα (x0) = sup hξα, yi ≥ hξα, yαi. y∈G(x0) Do vậy, ta có Gξα (x0) > Gξα (xα) + sup hξα, vi − θ, với mọi α. (1.1). V v∈ 2 Đặt ε = inf sup hξα, vi. Theo định lý Banach - steinhaus, họ {ξα |ξα ∈ α V v∈ 2 0 C , kξαk = 1} là liên tục đồng bậc nên ε > 0. Theo (1.1), ta có: Gξα (x0) > Gξα (xα) + ε − θ, với mọi α. Do θ > 0 tùy ý, nên Gξα (x0) > Gξα (xα) + ε, hay Gξα (x0) − ε > Gξα (xα), với mọi α. 0 Điều này mâu thuẫn với tính nửa liên tục đồng bậc của họ {Gξ |ξ ∈ C , kξk = 1}. Định lý được chứng minh. Các định lý sau đây cũng được chứng minh tương tự Định lý 1.2.24. Y Định lý 1.2.25. Cho G : D → 2 và x0 ∈ domG thỏa mãn G(x0) + C là tập lồi. Khi đó, G là C - liên tục trên tại x0 khi và chỉ khi họ 0 {gξ |ξ ∈ C , kξk = 1} là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x0. Y Định lý 1.2.26. Giả sử G : D → 2 và x0 ∈ domG thỏa mãn G(x0) − C là tập lồi. Khi đó, G là (-C) - liên tục trên tại x0 khi và chỉ khi họ 0 {Gξ |ξ ∈ C , kξk = 1} là nửa liên tục trên đồng bậc tại x0. Y Định lý 1.2.27. Giả sử G : D → 2 và x0 ∈ domG thỏa mãn G(x) + C là tập lồi với mọi x ∈ D. Khi đó, G là (-C) - liên tục dưới tại x0 khi và 0 chỉ khi họ {gξ |ξ ∈ C , kξk = 1} là nửa liên tục trên đồng bậc tại x0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
28. 25 Sau đây, ta nghiên cứu về tính lồi của ánh xạ đa trị. 1.2.2 Tính lồi của ánh xạ đa trị Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính, D ⊂ X là tập lồi và C là nón lồi trong Y. Bây giờ, ta mở rộng các khái niệm C - lồi trên (dưới), C - lõm trên (dưới), C - tựa lồi trên (dưới), C - tựa lồi thực sự cho ánh xạ đa trị. Định nghĩa 1.2.28. a) G được gọi là C - lồi trên (hoặc C - lồi dưới) nếu: αG(x1) + (1 − α)G(x2) ⊂ G(αx1 + (1 − α)x2) + C; (tương ứng, G(αx1 + (1 − α)x2) ⊂ αG(x1) + (1 − α)G(x2) − C), với mọi x1, x2 ∈ domG và α ∈ [0, 1]. b) G được gọi là C - lõm trên (hoặc C - lõm dưới) nếu: αG(x1) + (1 − α)G(x2) ⊂ G(αx1 + (1 − α)x2) − C; (tương ứng, G(αx1 + (1 − α)x2) ⊂ αG(x1) + (1 − α)G(x2) + C), với mọi x1, x2 ∈ domG và α ∈ [0, 1]. Định nghĩa 1.2.29. a) G được gọi là C - tựa lồi trên trong D, nếu với mọi x1, x2 ∈ D và α ∈ [0, 1], ta luôn có: hoặc G(x1) ⊂ G(αx1 + (1 − α)x2) + C; hoặc G(x2) ⊂ G(αx1 + (1 − α)x2) + C. b) G được gọi là C - tựa lồi dưới trong D, nếu với mọi x1, x2 ∈ D và α ∈ [0, 1], ta luôn có: hoặc G(αx1 + (1 − α)x2) ⊂ G(x1) − C; hoặc G(αx1 + (1 − α)x2) ⊂ G(x2) − C . Định nghĩa 1.2.30. G được gọi là C - tựa lồi thực sự, nếu với mọi x1, x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] và zi ∈ G(xi)(i = 1, 2), thì tồn tại zt ∈ G(tx1 + (1 − t)x2) sao cho zt≤Cz1 hoặc zt≤Cz2. Chú ý 1.3. a) Trường hợp C = {0}, tính {0} - lồi trên và {0} - lõm trên của G đồng nhất với nhau và G được gọi là dưới tuyến tính. b) Nếu G là ánh xạ đơn trị, tính C - lồi trên và C - lồi dưới (hoặc C - lõm trên và C - lõm dưới, hoặc C - tựa lồi trên và C - tựa lồi dưới) của G Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
29. 26 là trùng nhau và G được gọi là C - lồi (hoặc C - lõm, hoặc C - tựa lồi). Đặc biệt, nếu Y = R,C = R+ và G là ánh xạ đơn trị C - lồi (hoặc C - lõm, hoặc C - tựa lồi), nó chính là hàm lồi (hoặc lõm, hoặc tựa lồi) theo nghĩa thông thường. c) Nếu G là C - lồi trên thì G(x) + C, x ∈ domG là những tập lồi. Tương tự, nếu G là C - lõm trên thì G(x) − C, x ∈ domG là những tập lồi. d) Một ánh xạ đa trị là C - lồi trên nhưng không là C - tựa lồi thực sự và ngược lại (xem trong [6]). e) Nếu G là ánh xạ đơn trị C - lồi thì G cũng là C - tựa lồi và c - tựa lồi thực sự. Y Nhận xét. a) Nếu G1,G2,G : D → 2 là các ánh xạ đa trị C - lồi trên (hoặc C - lồi dưới, C - lõm trên, C - lõm dưới) thì G1 + G2, λG với λ ∈ R+ là C - lồi trên (hoặc C - lồi dưới, C - lõm trên, C - lõm dưới ). Y b) Nếu G1,G2 : D → 2 là hai ánh xạ đa trị C - lồi dưới (hoặc C - lõm dưới) thì G1 ∪ G2 cũng là C - lồi dưới (hoặc C - lõm dưới). Tương tự như trong tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị, ta có mệnh đề cho thấy mối liên quan giữa tính lồi (hoặc lõm) theo nón của ánh xạ đa trị G với tính lồi (hoặc lõm) của các hàm gξ,Gξ. Mệnh đề 1.2.31. a) Nếu G là C - lồi trên (tương ứng C - lồi dưới) thì 0 với mỗi ξ ∈ C cố định, hàm gξ (tương ứng Gξ) là hàm lồi. b) Nếu G là C - lõm trên ( tương ứng C - lõm dưới) thì với mỗi ξ ∈ C0 cố định, hàm Gξ (tương ứng gξ) là hàm lõm. Chứng minh. a) Giả sử G là C - lồi dưới. Cho x1, x2 ∈ D và α ∈ [0, 1]. Do G là C - lồi dưới, nên ta có: G (αx1 + (1 − α)x2) ⊂ αG (x1) + (1 − α) G (x2) − C. Theo tính chất của supremum, ta suy ra: Gξ (αx1 + (1 − α)x2) = sup hξ, yi y∈G(αx1+(1−α)x2) ≤ α sup hξ, yi + (1 − α) sup hξ, yi + sup hξ, ci. y∈G(x1) y∈G(x2) c∈−C Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
30. 27 Từ đó, ta có: Gξ (αx1 + (1 − α)x2) ≤ αGξ (x1) + (1 − α) Gξ (x2) . Điều này chứng tỏ Gξ là hàm lồi. Các phần còn lại của mệnh đề được chứng minh hoàn toàn tương tự. Cũng giống như các bài toán tối ưu khác, đối với bài toán tối ưu đa trị, tính liên tục yếu của ánh xạ đa trị cũng cho ta điều kiện rất nhẹ để xét sự tồn tại nghiệm. Sau đây là các điều kiện để ánh xạ đa trị là C - liên tục trên (dưới) yếu, nó là sự mở rộng của trường hợp vô hướng: một hàm số lồi và nửa liên tục dưới từ một không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương hausdorff vào không gian các số thực thì nửa liên tục dưới theo tôpô yếu. Định lý 1.2.32. Giả sử X là không gian lồi địa phương, Y là không gian Banach, D ⊂ X là tập lồi, đóng, khác rỗng, C là nón trong Y có nón cực C’ là nón nhọn, đa diện. Nếu G : D → 2Y là (-C) - liên tục dưới, C - lõm dưới trên domG và G(x) + C là lồi, với mọi x ∈ D thì G là (-C) - liên tục dưới yếu trên domG. 0 Chứng minh. Vì C’ là nón đa diện, nên ta giả sử C = cone(conv {ξ1, ξ2, , ξn}) ∗ , ξi ∈ Y (i = 1, 2, , n). Do G là (-C) - liên tục dưới và C - lõm dưới nên theo các Mệnh đề 1.2.23 và 1.2.31, ta suy ra gξi (i = 1, 2, , n) là các hàm lõm và nửa liên tục trên từ D vào R. Do đó, gξi (i = 1, 2, , n) là nửa liên tục trên yếu từ D vào R. Lấy x0 ∈ domG, theo định nghĩa của hàm nửa liên tục trên yếu, với ε > 0 tùy ý, tồn tại lân cận Ui(i = 1, 2, , n) của x0 trong tôpô yếu của X sao cho: gξi (x) ≤ gξi (x0) + εβ0, với mọi x ∈ Ui ∩ D, trong đó  n n  P P β0 = min λiξi λi ≥ 0, λi = 1 . i=1 i=1 Do C’ là nón nhọn đa diện, nên ta dễ dàng suy ra 0 ∈/ conv {ξ1, ξ2, , ξn}, cho nên β0 > 0. Đặt n T U = Ui, i=1 ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
31. 28 gξi (x) ≤ gξi (x0) + εβ0, với mọi x ∈ U ∩ D, và i = 1, 2, ,n, hay inf hξi, yi ≤ inf hξi, yi + εβ0 với mọi x ∈ U ∩ D, và i = 1, 2, ,n. y∈G(x) y∈G(x0) n n 0 P P Lấy ξ ∈ C , kξk = 1 thì ξ = β λiξi, với β > 0, λi ≥ 0, λi = 1. i=1 i=1 n P Từ 1 = kξk = β λiξi ≥ ββ0 ta suy ra ββ0 ≤ 1. Vậy, i=1  n  n P P gξ (x) = inf hξ, yi = inf β λiξi, y = β λi inf hξi, yi ≤ y∈G(x) y∈G(x) i=1 i=1 y∈G(x) n    n  P P β λi inf hξi, yi + εβ0 = inf β λiξi, y + ββ0ε ≤ gξ (x0) + i=1 y∈G(x0) y∈G(x0) i=1 ε, với mọi x ∈ U ∩ D, ξ ∈ C0, kξk = 1. 0 Điều này chứng tỏ họ {gξ |ξ ∈ C , kξk = 1} là nửa liên tục trên yếu đồng bậc tại x0. Theo Định lý 1.2.27, ta suy ra G là (- C) - liên tục dưới yếu tại x0. Các định lý sau được chứng minh hoàn toàn tương tự Định lý 1.2.32. Định lý 1.2.33. Giả sử X, Y, D, C như Định lý 1.2.32. Nếu G : D → 2Y là C - lồi trên, C - liên tục trên thì G là C - liên tục trên yếu. Định lý 1.2.34. Giả sử X, Y, D, C như Định lý 1.2.32. Nếu G : D → 2Y là C - lồi dưới, C - liên tục dưới trên domG và G(x) − C lồi, với mọi x ∈ D thì G là C - liên tục dưới yếu trên domG. Định lý 1.2.35. Giả sử X, Y, D, C như Định lý 1.2.32. Nếu G : D → 2Y là C - lõm trên, (-C) - liên tục trên trên domG thì G là (-C) - liên tục trên yếu trên domG. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
32. 29 Chương 2 Ánh xạ KKM. Để đơn giản hơn chứng minh nguyên lý điểm bất động Brouwer, năm 1929, ba nhà toán học Ba Lan là Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã đưa ra bổ đề KKM. Từ đây, bổ đề KKM đã tạo ra bước ngoặt trong toán học với nhiều thành tựu lớn như bất đẳng thức Ky Fan, sau đây, ta sẽ nghiên cứu một số tính chất cơ bản của ánh xạ KKM và các vấn đề liên quan của nó. 2.1 Định nghĩa và các tính chất. Bổ đề 2.1.1. Cho X, Y là hai không gian tôpô, ánh xạ đa trị F : X → 2Y . Khi đó i) Nếu F đóng thì F có giá trị đóng. ii) Nếu F nửa liên tục trên với giá trị compact thì F đóng. iii) Nếu F đóng và compact thì F là nửa liên tục trên. Định nghĩa 2.1.2. Cho một tập hợp khác rỗng Y, kí hiệu hY i là lớp tất cả các tập con hữu hạn của Y. Cho X, Y là hai tập con của một không gian vectơ, một ánh xạ đa trị F : X → 2Y thỏa mãn coA ⊆ F (A) với bất kì A ∈ hXi được gọi là ánh xạ KKM. Định nghĩa 2.1.3. Cho X là tập con lồi của một không gian vectơ, Y là một không gian tôpô, S, T : X → 2Y là hai ánh xạ đa trị sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
33. 30 T (coA) ⊆ SA, với mỗi tập con hữu hạn A của X. Khi đó, S được gọi là ánh xạ KKM tổng quát đối với T. Cho T : X → 2Y là một ánh xạ đa trị sao cho với mọi ánh xạ KKM tổng quát S : X → 2Y đối với T, họ Sx : x ∈ X có tính chất giao hữu hạn. Khi đó, ta nói T có tính chất KKM. Kí hiệu: KKM(X, Y ) = T : X → 2Y : T có tính chất KKM } . Chú ý 2.1. (1) Ánh xạ KKM tổng quát được xây dựng đầu tiên bởi Park [19] và sau đó bởi một vài người khác. (2) Ánh xạ đa trị KKM tổng quát giá trị đóng đối với một ánh xạ đa trị có thể không có tính chất giao hữu hạn. Ví dụ sau đây sẽ chứng tỏ điều này. Ví dụ 2.1. Cho X = [0, 1] với tôpô thông thường S, T : X → 2X được định nghĩa như sau:   1
    {0} , x ∈ 0, 2 ;  1 Sx = T x = {0, 1} , x =2;  1  {1} , x ∈ 2, 1 . khi đó: i) Sx đóng với mỗi x ∈ X, ii) T là compact, đóng (do đó, T là nửa liên tục trên theo bổ đề 2.1.1), iii) T (coA) ⊂ SA, với mỗi A hữu hạn trong X. Nhưng {Sx : x ∈ X} không có tính chất giao hữu hạn. Định nghĩa 2.1.4. i) Cho E, F là hai không gian vectơ tôpô, U, V lần lượt là hai lân cận mở của gốc trong E và F. Cho x ⊂ E, Y ⊂ F . Khi đó, phép chọn liên tục (U, V) - xấp xỉ của T : X → 2Y là một hàm liên tục s : X → Y thỏa mãn: sx ∈ (T [(x + U) ∩ X] + V ) ∩ Y với mỗi x ∈ X. ii) Ánh xạ T : X → 2Y gọi là xấp xỉ được nếu với mọi tập con compact K của X thì hạn chế T |K có phép chọn liên tục (U, V) - xấp xỉ, với mọi U, V được xác định như trên. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
34. 31 Nếu X, Y là hai không gian tôpô, ta có các kí hiệu sau C(X, Y ) = {f : X → Y |f là hàm liên tục đơn trị }; K(X, Y ) = T : X → 2Y |T là u.s.c với giá trị lồi, compact}; A(X, Y ) = T : X → 2Y |T là u.s.c, xấp xỉ được, với giá trị compact }. Kí hiệu Γf , ΓT là đồ thị của hai ánh xạ f và T. Ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.1.5. Cho tập con compact X của không gian vectơ tôpô E, tập con Y của không gian vectơ tôpô F và tập con đóng Γ của X × Y . Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: (1) Γf ∩ Γ 6= ∅, với mọi f ∈ C (X, Y ); (2) ΓT ∩ Γ 6= ∅, với mọi T ∈ Ac (X, Y ). Định nghĩa 2.1.6. Với mỗi tập con hữu hạn A của X, Bao lồi của A được gọi là một polytope của X, kí hiệu là ∆. Định nghĩa 2.1.7. Cho C là tập con khác rỗng của không gian vectơ tôpô E và F : C → 2E. Khi đó F được gọi là Φ - nén (Φ - condensing) nếu với bất kì A ⊆ C mà Φ(A) ≤ Φ(F (A)) thì A là compact, tức là Φ(A) = 0. Nhận xét. Mọi ánh xạ compact là Φ - nén. Mệnh đề 2.1.8. Cho X là tập con lồi của một không gian tuyến tính, Y, Z là hai không gian tôpô. Khi đó: i) T ∈ KKM(X, Y ) nếu và chỉ nếu T |∆ ∈ KKM (∆,Y ) với mọi polytope ∆ trong X; ii) Nếu T ∈ KKM(X, Y ) và f ∈ C(Y, Z) thì fT ∈ KKM(X, Z); iii) Nếu Y là không gian chuẩn tắc, X là một không gian lồi, ∆ là một polytope trong X và T : X → 2Y là một ánh xạ đa trị sao cho, với mỗi f ∈ C(Y, ∆), fT có điểm bất động trong ∆ thì T ∈ KKM(∆,Y ). Chứng minh. i) Nếu T ∈ KKM(X, Y ), ta phải chứng minh T |∆ ∈ KKM (∆,Y ) với mọi polytope ∆ trong X. Thật vậy, gọi F là một ánh xạ KKM tổng quát đối với T |∆ . Khi đó,với mọi tập con A hữu hạn trong ∆ thì T (coA) ⊂ F (A). Do ∆ bất kì trong X nên ta suy ra F là ánh xạ KKM tổng quát đối với T, mà T ∈ KKM(X, Y ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
35. 32 nên F x : x ∈ X có tính chất giao hữu hạn. Suy ra F x : x ∈ ∆ có tính chất giao hữu hạn. Vậy T |∆ ∈ KKM (∆,Y ) với mọi polytope ∆ trong X. Ngược lại, nếu T |∆ ∈ KKM (∆,Y ) với mọi polytope ∆ trong X thì ta phải chứng minh T ∈ KKM(X, Y ). Thật vậy, giả sử F là một ánh xạ KKM tổng quát đối với T. Ta sẽ chứng minh F x : x ∈ X có tính chất giao hữu hạn. Lấy A là tập hữu hạn trong X. Xét ∆ = coA. Khi đó, ∆ là một polytope trong X. Vì F là ánh xạ KKM tổng quat đối với T nên hiển nhiên nó cũng là ánh xạ KKM  tổng quát đối với T |∆ . Do T |∆ ∈ KKM (∆,Y ) nên F x : x ∈ ∆ có tính chất giao hữu hạn. Bởi A là tập con hữu hạn của ∆ nên T F x 6= ∅. x∈A Vậy F x : x ∈ X có tính chất giao hữu hạn hay T ∈ KKM(X, Y ). ii) Cho S : X → 2Z là một ánh xạ KKM tổng quát đối với fT sao cho Sx đóng với mỗi x ∈ X. Vì S là ánh xạ KKM tổng quát đối với fT, nên với bất kì tập con hữu hạn {x1, x2, , xn} của X, ta có: n S fT (co {x1, x2, , xn}) ⊂ Sxi . i=1 Vậy, ta suy ra: n S −1 T (co {x1, x2, , xn}) ⊂ f Sxi . i=1 Do đó, f −1S là ánh xạ KKM tổng quát đối với T. Với mỗi x ∈ X, Sx là tập đóng và f liên tục nên f −1Sx là tập đóng. Vì T ∈ KKM(X, Y ) nên họ f −1Sx : x ∈ X có tính chất giao hữu hạn, suy ra họ {Sx : x ∈ X} cũng có tính chất giao hữu hạn. Vậy, fT ∈ KKM(X, Z). iii) Giả sử F : ∆ → 2Y là ánh xạ KKM tổng quát đối với T sao cho Fx là đóng với mỗi x ∈ ∆. Nếu họ {F x : x ∈ ∆} không có tính chất giao hữu hạn thì tồn tại tập con hữu hạn {x1, x2, , xn} ∈ h∆i sao cho: n T F xi = ∅. i=1 Khi đó  n  n n T S S c Y = Y \ F xi = (Y \F xi) = F xi, i=1 i=1 i=1 c với F xi = Y \F xi, i = 1, n. Do Y là chuẩn tắc nên tồn tại phân hoạch Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
36. 33 n c n đơn vị {αi}i=1 tương ứng với {F xi}i=1. Ánh xạ f : Y → ∆ xác định bởi: n P f (y) = αi (y) xi. i=1 Vì X là không gian lồi và các αi liên tục nên f ∈ C(Y, ∆). Bởi giả thiết fT có điểm bất động trong ∆ nên tồn tại x ∈ ∆ sao cho x ∈ fT (x). Do n P đó, tồn tại z ∈ T (x) để x = f (z) = αi (z) xi. Đặt i=1 I (z) = {i ∈ {1, 2, , n} : αi (z) > 0} . S Nếu i ∈ I (z) thì αi (z) > 0, vì vậy z∈ / F xi. Suy ra z¯ ∈ / F xi. i∈I(¯z) n P P P Do x = f (z) = αi (z) xi = αi (z) xi, αi (z) > 0 và αi (z) = 1, i=1 i∈I(z) i∈I(z) nên x ∈ co {xi : i ∈ I (z)}. Từ đây, ta có: S T (co {xi : i ∈ I (¯z)}) 6⊆ F xi, i∈I(¯z) mâu thuẫn với giả thiết F là ánh xạ KKM tổng quát đối với T. Vậy, T ∈ KKM (∆,Y ). Chú ý 2.2. (1) Ta thấy K(X, Y ) ⊂ KKM(X, Y ), (2) Ví dụ sau chứng tỏ rằng KKM(X, Y ) ! K(X, Y ). Ví dụ 2.2. Cho X = Y = [0, 1] với tôpô thông thường, giả sử T : X → 2Y được định nghĩa như sau:   1
    {0} , x ∈ 0, 2 ; T x =  1 1  0, 3 , x ∈ 2, 1 . Khi đó, T ∈ KKM(X, Y ) vì 0 ∈ T x, với mọi x ∈ X. Tuy nhiên, T/∈ K (X, Y ) vì T là u.s.c, có giá trị compact nhưng không lồi. Ngày nay, để tìm nghiệm của một bài toán, nhiều khi người ta sử dụng một công cụ rất phổ biến là tìm điểm bất động. Như chúng ta đã biết, việc chứng minh được Nguyên lý điểm bất động Brouwer (năm 1929) bằng những công cụ đơn giản hơn, đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới cho giải tích phi tuyến, giải tích đa trị, Sau đây, ta sẽ đi khái quát một số định lý điểm bất động đối với ánh xạ đa trị. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
37. 34 2.2 Các định lý điểm bất động Bổ đề 2.2.1. Cho X là tập con lồi của không gian vectơ tôpô E, V là lân cận lồi, cân, mở của 0 trong E. Nếu T ∈ KKM(X, X) là compact thì tồn tại xv ∈ X sao cho (xv + V ) ∩ T xv 6= ∅. Chứng minh. Giả sử (x + V ) ∩ T x = ∅, với mọi x ∈ X. Đặt X1 = TX, thì X1 là tập con compact của X do T là compact. Ta định nghĩa ánh xạ S : X → 2X bởi 1
    Sx = X1\ x + 4V với x ∈ X. Ta sẽ chứng minh : i) Sx là đóng trong X; ii) S là một ánh xạ KKM tổng quát đối với T. Thật vậy, i) Sx là đóng trong X vì Sx là đóng trong X1 và X1 đóng trong X. ii) Để chứng minh S là một ánh xạ KKM tổng quát đối với T, ta phải chứng minh với mọi tập con hữu hạn A = {x1, x2, , xn} của X thì T (coA) ⊂ S (A) . * Với n = 1, ta có A = {x1}. Khi đó, (x1 + V ) ∩ T x1 = ∅ nên T x1 ⊂ 1
    TX\ (x1 + V ) ⊂ X1\ (x1 + V ). Vì Sx1 = X1\ x1 + 4V nên T x1 ⊂ Sx1. * Với n ≥ 2 Trường hợp 1: Nếu tồn tại giá trị i, 2 ≤ i ≤ n, sao cho: 1
    1
    xi + 4V ∩ x1 + 4V = ∅ , thì  1
    1
     T (coA) ⊂ X1 = X1\ xi + 4V ∩ x1 + 4V = Sxi ∪ Sx1 ⊂ SA. 1
    1
    Trường hợp 2: Giả sử xi + 4V ∩ x1 + 4V 6= ∅ với mọi i, 2 ≤ i ≤ n.
    1 1 Khi đó, tồn tại yi i = 2, n sao cho yi − x1 ∈ 4V và yi ∈ xi + 4V . Vì V lồi, cân nên 1 1 1 1 1 x1 = yi − (yi − x1) ∈ xi + 4V − 4V = xi + 4V + 4V ⊂ xi + 2V, i = 2, n. n P
    Do đó, với mỗi x ∈ coA, chẳng hạn x = λixi, trong đó λi ≥ 0 i = 1, n , i=1 n P λi = 1, ta có: i=1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
38. 35 n n P P 1 1 1 1 x1 = λix1 ∈ λixi + λ1 2V + λ2 2V + + λn 2V ⊂ x + 2V . i=1 i=1 1 1 1 Ta suy ra x1 + 2V ⊂ x + 2V + 2V ⊂ x + V , với mỗi x ∈ coA. Vì vậy, 1 T x1 + 2V ⊂ (x + V ) và x∈coA T S 1
    X1\ (x + V ) = [X1\ (x + V )] ⊂ X\ x1 + 2V ⊂ Sx1 . x∈coA x∈coA Bởi (x + V ) ∩ T x = ∅ với mọi x ∈ X nên S S T (coA) = T x ⊂ (X1\ (x + V )) ⊂ Sx1 ⊂ SA. x∈coA x∈coA Vậy S là một ánh xạ KKM tổng quát đối với T. Do T ∈ KKM(X, X) nên họ {Sx : x ∈ X} có tính chất giao hữu hạn. T Bởi Sx là đóng trong tập compact X1, với mọi x ∈ X nên Sx 6= ∅. x∈X T Giả sử x0 ∈ Sx, thì x0 ∈ Sx0. Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của x∈X hàm S. Vậy tồn tại xv ∈ X sao cho (xv + V ) ∩ T xv 6= ∅. Ta được điều phải chứng minh. Sử dụng bổ đề trên, chúng ta chứng minh được định lý sau. Định lý 2.2.2. Cho X là một tập con lồi của một không gian lồi địa phương E, và T ∈ KKM(X, X). Nếu T compact và đóng thì T có điểm bất động trong X. Chứng minh. Giả sử {Vα : α ∈ Λ} là cơ sở lân cận của 0 ∈ E sao cho Vα là lồi, cân, mở với mỗi α ∈ Λ. Theo Bổ đề 2.2.1, với mỗi α ∈ Λ, tồn tại xα ∈ X sao cho T xα ∩ (xα + Vα) 6= ∅. Do đó, tồn tại yα ∈ T xα và yα ∈ xα + Vα, với mỗi α ∈ Λ. Do T là compact, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng {yα}α hội tụ đến yb trong X. Khi đó, {xα}α cũng hội tụ đến yb. Do T đóng nên (y,b yb) ∈ ΓT , suy ra yb ∈ T yb. Vậy, T có điểm bất động. Mệnh đề 2.2.3. Cho X là một tập con lồi của không gian lồi địa phương E, Y là tập con compact của không gian vectơ tôpô F và T ∈ KKM(X, Y ) là đóng. Khi đó, với bất kì G ∈ Ac (Y, X), GT có điểm bất động trong X. Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 2.1.7(ii), do T ∈ KKM(X, Y ) nên với bất kì f ∈ C(Y, X), ta có fT ∈ KKM(X, X). Vì Y là tập compact nên T Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
39. 36 compact, mà f liên tục nên fT compact. Ta chứng tỏ rằng fT là đóng. Thật vậy, Giả sử {(xα, zα)}α∈I là dãy trong đồ thị ΓfT , (xα, zα) → (x0, z0). Bởi zα ∈ fT xα, ∀α ∈ I nên tồn tại yα ∈ T xα sao cho zα = f (yα) , ∀α ∈ I. Vì T (X) là tập compact tương đối nên dãy {yα}α∈I có dãy con hội tụ. Không mất tính tổng quát, có thể coi yα → y0. Do f liên tục nên zα = f (yα) → f (y0). Bởi tính duy nhất của giới hạn nên z0 = f (y0). Từ (xα, yα) → (x0, y0) và T có đồ thị đóng nên y0 ∈ T (x0). Vậy z0 ∈ fT x0 hay fT là đóng.Theo Định lý 2.2.2, fT có điểm bất động trong X. Nên tồn tại x0 ∈ X sao cho x0 ∈ fT (x0). Suy ra, có y0 ∈ T (x0) để x0 = f (y0), tức là Γf ∩ ΓT −1 6= ∅. Do Bổ đề 2.1.4, suy ra ΓG ∩ ΓT −1 6= ∅, với bất kì G ∈ Ac (Y, X). Vậy GT có điểm bất động trong X. Hệ quả 2.2.4. Cho X là tập con lồi của không gian lồi địa phương E, Y là tập con compact của không gian vectơ tôpô F và Z là tập con của không gian vectơ tôpô L. Nếu T ∈ KKM(X, Y ) là đóng thì với mỗi G ∈ Ac (Y, Z) , GT ∈ KKM (X, Z). Chứng minh. Do Mệnh đề 2.1.7(i), ta cần chỉ ra rằng GT |∆ ∈ KKM (∆,Z), với mọi polytope ∆ trong X.Với bất kì f ∈ C (Z, ∆) thì fG ∈ Ac (Y, ∆). Theo Mệnh đề 2.2.3, fGT |∆ có điểm bất động trong ∆. Bởi Mệnh đề 2.1.7(iii), ta có GT |∆ ∈ KKM (∆,Z). Vậy GT ∈ KKM (X, Z). Bổ đề 2.2.5. Cho X là tập con lồi của một không gian vectơ, Y là một không gian tôpô, A là tập con lồi của X và T ∈ KKM (X, Y ) thì T |A ∈ KKM (A, Y ). Các khái niệm và kết quả trên có thể tìm thấy trong [1], [10], [14]. Sau đậy ta sẽ trình bày một số định lý điểm bất động của ánh xạ lớp KKM trên một tập con lồi chấp nhận được. Trước tiên, ta nhắc lại khái niệm về một tập con lồi chấp nhận được. Các khái niệm và kết quả dưới đây được lấy từ [16] Định nghĩa 2.2.6. Một tập con khác rỗng X của không gian vectơ tôpô E gọi là chấp nhận được (theo nghĩa của Klee [12]) nếu, với mọi tập con Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
40. 37 compact A của X và mọi lân cận V của 0 ∈ E, tồn tại một ánh xạ liên tục h : A → X sao cho x − h (x) ∈ V , với mọi x ∈ A và h(A) được bao hàm trong một không gian con hữu hạn chiều L của E. Định lý 2.2.7. Cho E là một không gian vectơ tôpô, X là tập con lồi chấp nhận được của E, F ∈ KKM(X, X) là compact và đóng. Khi đó, F có điểm bất động x ∈ X. Chứng minh. Cho N là hệ cơ sở lân cận của 0 ∈ E và V ∈ N. Do F (X) là một tập compact của tập chấp nhận được X trong E nên tồn tại ánh xạ liên tục h : F (X) → X, và một không gian con hữu hạn chiều L của E sao cho x−h(x) ∈ V với mọi x ∈ F (X) và h(F (X)) ⊂ L∩X. Đặt M = h(F (X)) thì M là tập con compact của L, do đó P = co(M) là một tập con lồi compact của L ∩ X. Vì F ∈ KKM(X, X) nên theo Bổ đề 2.2.5 suy ra   F |p ∈ KKM P, F (X) . Bởi Mệnh đề 1.1.7, hF |p ∈ KKM (P, P ). Vì F |p : P → F (X) là đóng và compact, h : F (X) → P liên tục nên lập luận tương tự như Mệnh đề 2.2.3 ta cũng có hF |p là compact và đóng. Theo Định lý 2.2.2, hF |p có điểm bất động xv ∈ P , tức là xv ∈ h (F (xv)). Suy ra xv = h(yv) với yv ∈ F (xv). Nhưng yv − h(yv) ∈ V nên ta có yv ∈ h(yv) + V = xv + V . Vì vậy, (xv + V ) ∩ F (xv) 6= ∅. Do f compact và đóng nên lập luận tương tự như Định lý 2.2.2, suy ra F có điểm bất động x ∈ X. Chú ý 2.3. Nếu X là tập con lồi của một không gian lồi địa phương E thì Định lý 2.2.7 quy về Định lý 2.2.2. Định lý 2.2.8. Cho E là một không gian vectơ tôpô, X là tập con lồi chấp nhận được của E, Y là tập con compact của không gian vectơ tôpô F, T ∈ KKM(X, Y ) là ánh xạ đóng. Khi đó, với mọi G ∈ Ac (Y, X), TG có điểm bất động. Chứng minh. Áp dụng Định lý 2.2.7 và lập luận tương tự Mệnh đề 2.2.3, nhận được điều phải chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
41. 38 Chú ý 2.4. Nếu x là một tập con lồi của một không gian vectơ tôpô lồi địa phương, thì Định lý 2.2.8 quy về Mệnh đề 2.2.3. Định lý 2.2.9. Cho X là tập con lồi của một không gian vectơ tôpô, Y là tập con lồi chấp nhận được của một không gian vectơ tôpô, Z là không gian chuẩn tắc và G ∈ Ac (X, Y ). Nếu T ∈ KKM(Y, Z) sao cho (i) Với mỗi tập con compact K của Y, TK là compact trong Z; (ii) T là đóng. Khi đó, TG ∈ KKM(X, Z) Chứng minh. Cho ∆ là polytope bất kì trong X. Do G ∈ Ac (X, Y ) nên G là u.s.c với giá trị compact. Vì ∆ là compact nên G∆ là compact và do (i), TG∆ là compact. Bởi T ∈ KKM(Y, Z) nên theo Mệnh đề 2.1.7(ii), với bất kì f ∈ C(Z, ∆) thì fT ∈ KKM(Y, ∆). Mặt khác, do G |∆ ∈ Ac (∆,Y ), Y là một tập con lồi chấp nhận được của một không gian vectơ tôpô và ∆ là compact nên theo Định lý 2.2.8, fT G |∆ có điểm bất động trong ∆. Do Z là không gian chuẩn tắc, f ∈ C(Z, ∆), theo Mệnh đề 2.1.7 (iii) thì TG ∈ KKM(X, Z). Chú ý 2.5. Nếu Y là một tập con lồi compact của một không gian vectơ tôpô lồi địa phương, thì Định lý 2.2.9 quy về Hệ quả 2.2.4. Hệ quả 2.2.10. Cho E là một không gian vectơ tôpô, X là tập con lồi chấp nhận được của E, Y là tập con lồi, compact của không gian vectơ tôpô F, và T ∈ KKM(X, Y ) là ánh xạ đóng. Khi đó, với mọi G ∈ Ac (Y, X) thì TG ∈ KKM (Y, Y ). Chứng minh. Do Y là compact nên với mỗi tập con compact K của X, TK ⊂ Y là compact trong Y. Do đó, hệ quả được suy ra từ Định lý 2.2.9. Bổ đề 2.2.11. Cho I là tập chỉ số, X là không gian lồi, Yi là không gian Y tôpô và Ti ∈ KKM(X, Yi), với mỗi i ∈ I. Nếu T : X → 2 được định nghĩa bởi: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
42. 39 Q T x = Ti (x), với x ∈ X. i∈I Q Trong đó, Y = Yi, thì T ∈ KKM(X, Y ). i∈I Định lý 2.2.12. Cho X, Y lần lượt là hai tập con lồi, chấp nhận được của không gian vectơ tôpô E và F. Giả sử T ∈ KKM(X, Y ) và G ∈ KKM(Y, X) là hai ánh xạ compact và đóng. Khi đó, TG có điểm bất động hay tương đương GT có điểm bất động. Chứng minh. Do T ∈ KKM(X, Y ) và G ∈ KKM(Y, X) là compact và đóng nên theo Định lý 2.2.9, ta có T π1 ∈ KKM (X × Y, Y ) và Gπ2 ∈ KKM (X × Y, X), ở đây, π1 và π2 tương ứng là phép chiếu của E × F lên E và F. Ta định nghĩa H : X × Y → X × Y bởi H (x, y) = G (y) × T (x) = Gπ2 (x, y) × T π1 (x, y). Do Bổ đề 2.2.11, ta có H ∈ KKM(X ×Y, X ×Y ) là compact và đóng. Do X và Y là chấp nhận được nên dễ thấy X×Y là chấp nhận được. Do Định lý 2.2.8, H có điểm bất động, tức là tồn tại (x, y) ∈ H (x, y) = G (y) × T (x). Bởi vậy, x ∈ G (y) và y ∈ T (x). suy ra y ∈ TG (y) và x ∈ TG (x). Vậy, TG và GT có điểm bất động. Định lý 2.2.13. Cho X, Y là hai tập con lồi chấp nhận được tương ứng của không gian tôpô E và F. Giả sử T ∈ KKM(X, Y ) và G ∈ KKM(Y, Z) là hai ánh xạ đóng, T là compact và Z là không gian chuẩn tắc. Khi đó, GT ∈ KKM(X, Z). Chứng minh. Từ Mệnh đề 2.1.7, với bất kì polytope ∆ của X và bất kì f ∈ C(Z, ∆) thì fG ∈ KKM(Y, ∆) là compact và đóng. Do T ∈ KKM(X, Y ) là compact và đóng nên suy raT |∆ ∈ KKM (∆,Y ) là com- pact và đóng. Do X là tập con lồi chấp nhận được của E nên ∆ là một tập con lồi chấp nhận được của E. Do đó, theo Định lý 2.2.12, fGT |∆ có điểm bất động trong ∆. Từ đây, vì Z chuẩn tắc nên theo Mệnh đề 2.1.7(iii), GT |∆ ∈ KKM (∆,Z) với mỗi polytope ∆ trong X. Suy ra GT ∈ KKM(X, Z) theo Mệnh đề 2.1.7(i). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
43. 40 Định lý 2.2.14. Cho I là một tập chỉ số và với mỗi i ∈ I, Xi là tập con lồi của một không gian vectơ tôpô, Ki là tập con lồi, compact khác rỗng Q Q của Xi và Ti ∈ KKM(X, Ki) là đóng, ở đây X = Xi. Nếu X = Xi i∈I i∈I Q Q K là lồi địa phương và K = Ki thì ánh xạ T = Ti : X → 2 xác định i∈I i∈I Q bởi T x = Tix có điểm bất động trong X, tức là tồn tại z = (zi)i∈I ∈ X i∈I sao cho zi ∈ Tiz, với mỗi i ∈ I. Chứng minh. Với mỗi i ∈ I, Ti là đóng.Theo Bổ đề 2.2.11 suy ra T ∈ KKM(X, K) và dễ thấy T là compact và đóng. Vậy T |K ∈ KKM (K, K) là compact và đóng. Do X là lồi địa phương và K là compact nên K là tập con lồi chấp nhận được của X. Theo Định lý 2.2.7, tồn tại z ∈ K sao cho Q z ∈ T z = Tiz. Tức là zi ∈ T zi, với mỗi i ∈ I. i∈I Sau đây, ta sẽ nghiên cứu một số định lý điểm bất động cho ánh xạ Φ - nén. Bổ đề 2.2.15. Cho X là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của một không gian vectơ tôpô E và T : X → 2X là một ánh xạ Φ - nén. Khi đó, tồn tại một tập con lồi, compact, khác rỗng K của X sao cho T (K) ⊂ K. Định lý 2.2.16. Cho X là tập con lồi địa phương, đóng, khác rỗng của không gian vectơ tôpô E. Khi đó, ánh xạ đóng Φ - nén bất kì T ∈ KKM(X, X) đều có điểm bất động. Chứng minh. Do Bổ đề 2.2.15, có một tập con lồi, compact, khác rỗng K của X sao cho T (K) ⊂ K. Vì T ∈ KKM(X, X) nên T |K ∈ KKM (K, K) là đóng và compact. Do K chấp nhận được nên từ Định lý 2.2.7, suy ra T có điểm bất động. Ta được điều phải chứng minh. Sau đây, ta trình bày định lý điểm bất động kiểu Leray - Schauder. Định lý 2.2.17. Cho E là một không gian lồi địa phương, V là lân cận lồi của gốc 0 ∈ E và X là tập con lồi, đóng của E bao hàm 0. Nếu T ∈ KKM V ∩ X, X
    là đóng và là ánh xạ Φ - nén sao cho: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
44. 41 (LS) T x ∩ {λx : λ > 1} = ∅ với mỗi x ∈ ∂X (V ). thì T có điểm bất động trong V ∩ X. (ở đây, ∂X (V ) kí hiệu cho biên của V đối với X). Chứng minh. Gọi p là hàm Minkowski của V. Do 0 ∈ intV nên p liên tục. x Định nghĩa r : E → V bởi r(x) = x, với x ∈ V và r (x) = p(x)nếu x∈ / V . Suy ra, r (x) = [max {1, p (x)}]−1x với x ∈ E. Dễ thấy, r là một phép co rút liên tục từ E vào V . Dặt f = r |X . Do X lồi và 0 ∈ X , dễ thấy rằng f (x) ∈ V ∩X. Định nghĩa F = fT. Do T ∈ KKM V ∩ X, X
    là đóng, f ∈ C X, V ∩ X
    nên theo Mệnh đề 2.1.7, ta có fT ∈ KKM V ∩ X, V ∩ X
    là đóng. Ta chỉ ra rằng fT là Φ - nén. Giả sử Q ⊂ V ∩ X sao cho Φ(Q) ≤ Φ(fT (Q)). Cho y ∈ T (Q) thì y ∈ V ∩ X hoặc y ∈ X\V . Nếu y ∈ V ∩ X thì f (y) = y ∈ T (Q) ⊆ co ({0} ∪ T (Q)). y Nếu y ∈ X\V thì f (y) = p(y) ∈ co ({0} ∪ T (Q)) . Vậy, trong bất kì trường hợp nào chúng ta đều thấy f (T (Q)) ⊆ co ({0} ∪ T (Q)). Do đó, Φ(Q) ≤ Φ(fT (Q)) ≤ Φ(co ({0} ∪ T (Q))) = Φ ({0} ∪ T (Q)) = max {Φ (0) , Φ(T (Q))} = Φ (T (Q)). Mà T là Φ - nén suy ra Φ(Q) = 0 nên fT là Φ - nén. Vậy, trong mọi trường hợp fT ∈ KKM V ∩ X, V ∩ X
    là đóng và là ánh xạ Φ - nén. Theo Định lý 2.2.16, fT có điểm bất động x0 trong V ∩ X. Do đó, tồn tại y0 ∈ T x0 sao cho x0 = f(y0). Có hai khả năng: y0 ∈ V ∩ X hoặc y0 ∈ X\V . Nếu y0 ∈ V ∩ X, khi đó, x0 = f(y0) = y0, suy ra x0 ∈ T x0 hay x0 là điểm bất động của T. y0 Nếu y0 ∈ X\V thì x0 = f (y0) = p(y ) với p (y0) > 1. Ta có:   0 y0 p(y0)−1 p (y0 − x0) = p y0 − = p (y0) = p (y0) − 1 > 0 . p(y0) p(y0)
    Giả sử z ∈ IV (x0) ∩ X\ V ∩ X . Khi đó, tồn tại y ∈ V và c ≥ 1 sao cho z = x0 + c(y − x0). Giả sử p(y0 − z) < p(y0 − x0). Do X lồi nên 1 1
    1 1
    c z + 1 − c x0 ∈ X. Vì c z + 1 − c x0 = y ∈ V nên y ∈ V ∩ X và 1 1
     1 p (y0 − y) = p c (y0 − z) + 1 − c (y0 − x0) ≤ c p (y0 − z) + Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
45. 42 1
    1 − c p (y0 − x0) 1. Mặt khác, ta lại có x0 = nên p(y0) y0 = p (y0) x0, trong đó, p(y0) > 1. Ta gặp mâu thuẫn. Vậy T có điểm bất động. Ta có một số ứng dụng của định lý KKM được trình bày ở phần sau. 2.3 Các ứng dụng 1. Định lý điểm trùng Định lý 2.3.1. Cho X là một không gian lồi, T,G : X → 2Y là hai ánh xạ đa trị thỏa mãn: (i) T ∈ KKM(X, Y ) là compact và đóng; (ii) Với mỗi y ∈ GX, G−1y là lồi; (iii) {intGx : x ∈ X} phủ TX. Khi đó, tồn tại x0 ∈ X sao cho T x0 ∩ Gx0 6= ∅. Chứng minh. Do T là compact và TX ⊂ S intGx nên tồn tại một x∈X n S tập con hữu hạn {x1, x2, , xn} của X sao cho TX ⊂ intGxi. Đặt i=1 n ∆ = co (x1, x2, , xn) và {αi}i=1 là phân hoạch đơn vị tương ứng với Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
46. 43 {intGxi : i = 1, 2, , n}. Định nghĩa hàm f : TX → ∆ bởi: n P f (y) = αi (y) xi, với mỗi y ∈ TX. i=1
    thì f ∈ C(TX, ∆). Do Mệnh đề 2.1.7(i), T |∆ ∈ KKM ∆, TX và bởi Mệnh đề 2.1.7(ii), fT |∆ ∈ KKM (∆, ∆). Vì T là compact, đóng và f liên tục nên lập luận tương tự Mệnh đề 2.2.3 ta có fT cũng compact và đóng. Theo Định lý 2.2.2, fT có điểm bất động trong ∆, tức là tồn tại x0 ∈ ∆ sao cho x0 ∈ fT x0, hay tồn tại y0 ∈ T x0 sao cho x0 = f(y0). P Đặt I (y0) = {i ∈ {1, 2, , n} : αi (y0) > 0}, thì x0 = αi (y0) xi. Nếu i∈I(y0) −1 αi (y0) > 0 thì y0 ∈ intGxi ⊂ Gxi và xi ∈ G y0. −1
    −1 −1 Do đó, x0 ∈ co {xi : i ∈ I (y0)} ⊂ co G y0 = G y0, do G y0 là lồi. −1 Suy ra, x0 ∈ G y0 nên y0 ∈ Gx0. Vậy, y0 ∈ T x0 ∩ Gx0. Định lý được chứng minh. 2. Định lý sánh đôi Định lý 2.3.2. Cho X là tập con lồi, compact của một không gian lồi địa phương và {Av : v ∈ I} là họ hữu hạn các tập con đóng của X sao cho S Av = X. Nếu T ∈ KKM(X, X) là compact và đóng thì với bất kì họ v∈I {xv}v∈I các điểm của X với cùng tập chỉ số I, tồn tại tập con khác rỗng J của I sao cho:   T T (co {xv : v ∈ J}) ∩ Av 6= ∅. v∈J Chứng minh. Với mỗi x ∈ X, đặt I (x) = {v ∈ I : x ∈ Av} thì I(x) 6= ∅, X với mỗi x ∈ X (do {Av : v ∈ I} phủ X). Định nghĩa F : X → 2 bởi: F (x) = co {xv : v ∈ I(x)}, với mỗi x ∈ X. Rõ ràng, F (x) là tập con lồi, compact, khác rỗng của X. Với mỗi x ∈ X, đặt U (x) = X\ ∪ {Av : v∈ / I(x)} thì U(x) là một lân cận mở trong X của x. Nếu z ∈ U(x) thì F z ⊂ F x. Suy ra, F là u.s.c, do đó, F ∈ K(X, X) và do Mệnh đề 4.1 của [16], F ∈ A(X, X). Theo Mệnh đề 2.2.3, TF có điểm bất động. Suy ra, tồn tại x0 ∈ X saao cho x0 ∈ T F x0 = T (co {xv : v ∈ I (x0)}) nên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
47. 44 ! T x0 ∈ T (co {xv : v ∈ I (x0)}) ∩ Av . v∈I(x0) Định lý được chứng minh. 3. Định lý tương giao tổng quát Định lý 2.3.3. Cho X là một không gian lồi, Y là một không gian tôpô, S : X → 2Y là một ánh xạ đa trị và T ∈ KKM(X, Y ) sao cho: (i) Với mỗi tập con compact X’ của X, TX0 là compact trong Y; (ii) Với mỗi x ∈ X, Sx là đóng, compact trong Y; (iii) Với bất kì tập con hữu hạn A của X, T (coA) ⊂ SA; (iv) Tồn tại tập con lồi, compact, khác rỗng X0 của X và tập con com- pact K của Y sao cho T Sx ⊂K. x∈X0 Khi đó, T Sx 6= ∅. x∈X Chứng minh. Giả sử T Sx = ∅. Khi đó, S Scx = Y , với Scx = Y \Sx x∈X x∈X và S (Scx ∩ K) = K. Do k là compact và Scx là mở, compact nên tồn x∈X n S c tại một tập con hữu hạn {x1, x2, , xn} của X sao cho (S xi ∩ K) = K. i=1 T S c c Do giả thiết (iv), Sx ⊂K nên ta có S x ⊃ K = Y \K. Đặt X1 = x∈X0 x∈X0 S c co (X0 ∪ {x1, x2, , xn}) thì X1 là một tập lồi, compact và S x = Y . x∈X1 T Vì vậy, Sx = ∅. Do (i), TX1 là compact trong Y. Định nghĩa F : x∈X1 Y X1 → 2 bởi F x = Sx ∩ TX1, với x ∈ X1. Khi đó, a) Bởi giả thiết (i) và (ii) nên Fx là đóng (compact) trong Y, với mỗi x ∈ X1; b) Do giả thiết (iii) nên T (coA) ⊂ FA, với bất kì tập con hữu hạn A ⊂ X1. Vì T |X1 ∈ KKM (X, Y ) nên họ {F x : x ∈ X1} có tính chất giao hữu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
48. 45 hạn. Do đó, T F x 6= ∅, suy ra T Sx 6= ∅. Điều này mâu thuẫn với giả x∈X1 x∈X1 thiết. Định lý được chứng minh. Chú ý 2.6. Điều kiện (i) của định lý trên là yếu hơn giả thiết rằng T là compact. 4. Bài toán điểm cân bằng Như một hệ quả của định lý trên, ta có định lý sau: Định lý 2.3.4. Cho X, Y như trong Định lý 2.4.1 và T ∈ KKM(X, Y ) sao cho, với mỗi tập compact X’ của X, TX0 là compact trong Y. Nếu ψ, ϕ : X × Y → R là hai hàm giá trị thực thỏa mãn: (i) ψ (x, y) ≤ 0, với mọi (x, y) ∈ ΓT ; (ii) Với mỗi x cố định thuộc X, ánh xạ y 7→ ϕ(x, y) là l.s.c trên A, với mỗi tập con compact A của Y; (iii) Với y cố định thuộc Y, tập {x ∈ X : ψ(x, y) > 0} chứa bao lồi của tập {x ∈ X : ϕ(x, y) > 0}; (iv) tồn tại tập con lồi, compact, khác rỗng X0 của X và tập con compact K của y sao cho với mỗi y ∈ Y \K, tồn tại x ∈ X0 để ϕ(x, y) > 0. khi đó, tồn tại yb ∈ K sao cho ϕ (x, yb) ≤ 0, với mỗi x ∈ X. Chứng minh. Định nghĩa F, S : X → 2Y bởi: F x = {y ∈ Y : ψ(x, y) ≤ 0}; và Sx = {y ∈ Y : ϕ(x, y) ≤ 0} với mỗi x ∈ X. Do giả thiết (i), ta có ΓT ⊂ ΓF và do giả thiết (ii), Sx là đóng, compact với mỗi x ∈ X. Điều kiện (iii) suy ra, với mỗi tập con hữu hạn A ⊂ X, F (coA) ⊂ SA và T (coA) ⊂ SA. Thật vậy, giả sử A = {x1, x2, , xk} ⊂ X và x0 là phần tử tùy ý thuộc co(A). Ta cần chứng minh: k S S F x0 ⊂ SA = Sx = Sxi và T x0 ⊂ SA . x∈A i=1 Lấy y ∈ F x0. Khi đó, ψ(x0, y) ≤ 0 hay x0 ∈ {x ∈ X : ψ(x, y) ≤ 0}. Mặt khác, từ giả thiết (iii), suy ra {x ∈ X : ψ (x, y) ≤ 0} ⊂ X\co {x ∈ X : ϕ (x, y) > 0}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
49. 46 Vậy x0 ∈/ co {x ∈ X : ϕ (x, y) > 0}. Do đó, tồn tại i ∈ {1, 2, , k} để xi ∈/ {x ∈ X : ϕ (x, y) > 0}, hay ϕ(xi, y) ≤ 0. Điều này có nghĩa là y ∈ Sxi ⊂ SA. Từ đây, ta có F x0 ⊂ SA và bởi vậy F (coA) ⊂ SA. Bây giờ, ta lấy y ∈ T x0. Khi đó, (x0, y) ∈ ΓT và do giả thiết (i), ta có ψ(x0, y) ≤ 0, tức là y ∈ F x0. Theo chứng minh trên, F x0 ⊂ SA và do đó T x0 ⊂ SA, hay T (coA) ⊂ SA. Điều kiện (iv) là tương đương với điều kiện (iv) của Định lý 2.4.1. Do đó, tất cả mọi điều kiện của Định lý 2.4.1 được thỏa T T mãn, nên Sx 6= ∅. Do đó, tồn tại yb ∈ Sx sao cho ϕ (x, yb) ≤ 0, với x∈X x∈X mỗi x ∈ X. Định lý 2.3.5. Cho X là một không gian lồi, Y là một không gian tôpô và T ∈ KKM(X, Y ) là compact. Nếu ψ, ϕ : X × Y → R là hai hàm giá trị thực thỏa mãn: (i) Với mỗi x ∈ X, ánh xạ y → ϕ(x, y) là l.s.c trên Y; (ii) ψ là ϕ - tựa lõm theo x với mỗi y ∈ Y ; thì với mỗi λ ∈ R, một trong các tính chất sau xảy ra: (a) Tồn tại yb ∈ Y sao cho ϕ(x, yb) ≤ λ với mọi x ∈ X; (b) Tồn tại (x0, y0) ∈ ΓT sao cho ψ(x0, y0) > λ. Chứng minh. Cho λ ∈ R. Do T compact nên TX là compact trong Y. Định nghĩa F, S : X → 2Y bởi: F x = y ∈ TX : ψ(x, y) ≤ λ ; và Sx = y ∈ TX : ϕ(x, y) ≤ λ với x ∈ X . Giả sử kết luận (b) sai, thì với mỗi (x, y) ∈ ΓT , ψ(x, y) ≤ λ, do đó ΓT ⊂ ΓF . Với A = {x1, x2, , xn} là tập con hữu hạn bất kì của X và x0 là điểm tùy ý của coA, ta chứng tỏ F x0 ⊂ SA. Lấy y tùy ý thuộc F x0. Khi đó, y ∈ TX và ψ(x0, y) ≤ λ. Do ψ là ϕ - tựa lõm nên λ ≥ ψ(x0, y) ≥ min ϕ (xi, y) . 1≤i≤n Giả sử min ϕ (xi, y) = ϕ (xi , y) . 1≤i≤n 0 Suy ra, ϕ (xi0 , y) ≤ λ, hay y ∈ Sxi0 ⊂ SA. Vậy F x0 ⊂ SA và F (coA) ⊂ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
50. 47 SA. Bởi ΓT ⊂ ΓF nên cũng có T (coA) ⊂ SA. Do T ∈ KKM(X, Y ) và S là ánh xạ KKM tổng quát đối với T nên họ {Sx : x ∈ X} có tính chất giao hữu hạn. Vì (i) nên Sx đóng trong tập compact TX nên T Sx 6= ∅. x∈X T Do đó, tồn tại yb ∈ Sx sao cho ϕ(x, yb) ≤ λ với mỗi x ∈ X. x∈X Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
51. 48 Chương 3 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II Trong thực tế cuộc sống, nhất là trong lĩnh vực kinh tế, người ta luôn đặt ra mục tiêu làm sao cho chi phí thấp nhất nhưng lại đạt được lãi suất cao. Ví dụ như: tại một cơ sở sản xuất có hai ban lãnh đạo, gọi là ban 1 và ban 2. Khi sản xuất ra một loại hàng hóa nào đó, họ sử dụng phương án sản xuất x ∈ D (trong đó, D là tập các phương án sản xuất). Khi đó, ban lãnh đạo 1 chọn P1(x) các phương án và ban lãnh đạo 2 chọn P2(x) các phương án. Trong quá trình sản xuất, họ phải trả thuế là Q(x, t). Yêu cầu đặt ra là phải chọn được một phương án sản xuất x ∈ D, sao cho x ∈ P1(x), để cho mọi mọi quyết định của ban lãnh đâọ thứ 2 và thuế phải luôn ổn định. Để giải quyết vấn đề đó, các nhà toán học đã vận dụng và đưa ra bài toán sau: 3.1 Đặt bài toán Giả sử X, Y, Z và W là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z và E ⊂ W là các tập con khác rỗng. Xác D E Z định ánh xạ đa trị P1 : D → 2 ,P2 : D → 2 ,Q : K × D → 2 và F : K × D × E → 2Y . Ta xét bài toán sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
52. 49 Tìm x ∈ D sao cho: x ∈ P1(x); và 0 ∈ F (y, x, t), với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II, kí hiệu là (GEP )II. Trong đó, các ánh xạ đa trị P1,P2,Q được gọi là các ánh xạ ràng buộc, F được gọi là ánh xạ mục tiêu và được xác định bởi các đẳng thức và các bất đẳng thức, hoặc bởi các bao hàm thức, các bao hàm thức phủ định và giao của các ánh xạ đa trị khác, hoặc bởi một số quan hệ trong các không gian tích. Trước tiên, ta xét các bài toán điển hình được quy về dạng bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II như sau: i) Bài toán tựa cân bằng vô hướng: Cho D, K, Pi, i = 1, 2, Q như trên và W = X, E = D. Cho R là không gian các số thực với tập con các số không âm R+ và hàm Φ: K ×D×D → R, được xác định bởi Φ(y, x, x) = 0, với mọi y ∈ K, x ∈ D. Bài toán tựa cân bằng vô hướng được phát biểu: Tìm x ∈ D sao cho x ∈ P1(x) và Φ(y, x, t) ≥ 0, với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). Khi đó, bài toán tựa cân bằng vô hướng quy về dạng bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II như sau: Tìm x ∈ D sao cho x ∈ P1(x) và 0 ∈ F (y, x, t) = Φ(y, x, t) − R+, với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). ii) Bài toán tựa biến phân Minty: Cho h., .i : X ×Z → R là hàm song tuyến tính liên tục. Ta xét bài toán tựa biến phân Minty sau đây: Tìm x ∈ D sao cho x ∈ P1(x) và hy, t − x¯i ≥ 0, với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). Đặt F (y, x, t) = hy, t − xi − R+, thì bài toán trên được quy về bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II như sau: Tìm x ∈ D sao cho x ∈ P1(x) và 0 ∈ F (y, x, t), với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
53. 50 iii) Bài toán bao hàm thức tựa biến phân lí tưởng loại II: Cho D, K, Y, Pi, i=1, 2 và Q được xác định như trong phần đầu. Hơn nữa, giả thiết C : K×D → 2Y là ánh xạ nón đa trị (với mọi (y, x) ∈ K×D, C(y, x) là nón trong Y) và G, H là hai ánh xạ đa trị trên K × D × D lấy giá trị trong không gian Y thỏa mãn: G (y, x, t) ⊆ H (y, x, x) + C (y, x), với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). được gọi là Bài toán bao hàm thức tựa biến phân lí tưởng loại II. Ta đặt ánh xạ đa trị M : K × D → 2X,F : K × D × D → 2Y bởi: M (y, x) = {t ∈ D |G (y, x, t) ⊆ H (y, x, x) + C (y, x)}, với mọi (y, x) ∈ K × D; và F (y, x, t) = t − M(y, x); (y, x, t) ∈ K × D × D . Khi đó, bài toán (GEP )II được biểu thị như sau: Tìm x ∈ D sao cho x ∈ P1(x) và 0 ∈ F (y, x, t), với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). iv) Bài toán quan hệ tựa biến phân loại II: Cho D, K, Pi, i = 1, 2, Q như trên và W = X, E = D. Cho R(y, x, t) là hàm biểu thị quan hệ của y ∈ K, x ∈ D và t ∈ E. Khi đó, bài toán quan hệ tựa biến phân loại II được phát biểu như sau: Tìm x ∈ D sao cho x ∈ P1(x) và R(y, x, t) xác định với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : K × D → 2X và F : K × D × D → 2Y được cho bởi: M(y, x) = {t ∈ D |R(y, x, t) xác định }; và F (y, x, t) = t − M (y, x) , (y, x, t) ∈ K × D × D. Thì bài toán (GEP )II được biểu thị như sau: Tìm x ∈ D sao cho x ∈ P1(x) và 0 ∈ F (y, x, t), với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). v) Bao hàm thức vi phân Cho D ⊂ C1 [a, b] là tập khác rỗng trong đó C [a, b] và C1 [a, b] là không Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
54. 51 gian liên tục và không gian các hàm khả vi liên tục trên [a, b]. Cho P1,P2 được xác định như trên. Cho Ω là một tập khác rỗng và U : D × D → 2Ω Y là một ánh xạ đa trị. Cho tập K = Ω×R và Q : D ×D → 2 được cho bởi Q(x, t) = U(x, t)×[a, b]. Xác định ánh xạ đa trị G : K ×D ×D → 2C[a,b]. Bài toán bao hàm thức vi phân được phát biểu như sau: 0 Tìm x ∈ D sao cho x ∈ P1(x) và x ∈ G (y, ξ, x, t), vói mọi t ∈ P2(x) và (y, ξ) ∈ Q(x, t). Khi đó, bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II như sau: Tìm x ∈ D sao cho x ∈ P1(x) và 0 ∈ F (y, ξ, x, t), với mọi t ∈ P2(x) và (y, ξ) ∈ Q(x, t). Trong đó F (y, ξ, x, t) = x0 − G (y, ξ, x, t) và x’ là kí hiệu đạo hàm của x. Trước tiên, ta xét sự tồn tại nghiệm của bài toán như sau: 3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán (GEP )II Trước hết, ta đưa ra một số khái niệm về tính liên tục, tính lồi của ánh xạ đa trị đối với hàm nhiều biến. Định nghĩa 3.2.1. Cho F : K × D × D → 2Y là một ánh xạ đa trị và C : K × D → 2Y là một ánh xạ nón đa trị. i) F được gọi là C - liên tục trên (dưới) tại (y, x, t) ∈ domF nếu với mọi lân cận V của điểm gốc trong Y, có một lân cận U của (y, x, t) sao cho: F (y, x, t) ⊆ F (y, x, t) + V + C(y, x); (tương tự F (y, x, t) ⊆ F (y, x, t) + V − C(y, x)). với mọi (y, x, t) ∈ U ∩ domF . ii) Nếu F đồng thời là C - liên tục trên và C - liên tục dưới tại (y, x, t) thì F là C - liên tục tại (y, x, t). iii) Nếu F là trên, dưới, , C - liên tục tại mọi điểm của domF, ta nói rằng nó là trên, dưới, , C - liên tục trên D. iv) trong trường hợp C = {0} là một tập tầm thường trong Y, ta chỉ nói F là trên, dưới liên tục thay cho trên, dưới 0 - liên tục. Và F là liên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
55. 52 tục khi và chỉ khi nó đồng thời là trên, dưới liên tục. Định nghĩa 3.2.2. Cho G : D → 2Y là một ánh xạ đa trị và C là một nón trong Y. Ta nói rằng: i) G là C - tựa lồi trên trên D nếu với mọi x1, x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] hoặc G(x1) ⊆ G(tx1 + (1 − t)x2) + C; hoặc G(x2) ⊆ G(tx1 + (1 − t)x2) + C . ii) G là C - tựa lồi dưới trên D nếu với mọi x1, x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] hoặc G(tx1 + (1 − t)x2) ⊆ G(x1) − C; hoặc G(tx1 + (1 − t)x2) ⊆ G(x2) − C. Định nghĩa 3.2.3. Cho F : K × D × D → 2Y ,Q : D × D → 2K là các ánh xạ đa trị. Cho C : K × D → 2Y là một ánh xạ nón đa trị. Ta nói rằng: i) F là (Q, C) - tựa lồi trên theo đường chéo đối với ba biến, nếu với mọi tập con hữu hạn {x1, x2, , xn} ⊆ D, x ∈ co {x1, x2, , xn}, có một chỉ số j ∈ {1, 2, , n} sao cho: F (y, x, xj) ⊆ F (y, x, x) + C(y, x), với mọi y ∈ Q(x, xj). ii) F là (Q, C) - tựa lồi dưới theo đường chéo đối với ba biến, nếu với mọi tập con hữu hạn {x1, x2, , xn} ⊆ D, x ∈ co {x1, x2, , xn}, có một chỉ số j ∈ {1, 2, , n} sao cho: F (y, x, x) ⊆ F (y, x, xj) − C(y, x), với mọi y ∈ Q(x, xj). Định nghĩa 3.2.4. Cho F : K × D × D → 2X,Q : D × D → 2K là các ánh xạ đa trị. Ta nói rằng F là Q - KKM nếu với mọi tập hữu hạn {t1, t2, , tn} ⊂ D và x ∈ co {t1, t2, , tn}, có tj ∈ {t1, t2, , tn} sao cho 0 ∈ F (y, x, tj), với mọi y ∈ Q(x, tj). Định nghĩa 3.2.5. Cho R là một quan hệ hai ngôi trên K × D. Ta nói rằng R là đóng nếu với mọi lưới (yα, xα) → (y, x) và R ((yα, xα)) xảy ra với mọi α thì R(y, x) xảy ra. Định nghĩa 3.2.6. Cho R là một quan hệ trên K × D × D. Ta nói rằng R là Q - KKM nếu với mọi tập hữu hạn {t1, t2, , tn} ⊂ D và x ∈ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
56. 53 co {t1, t2, , tn}, có tj ∈ {t1, t2, , tn} sao cho R(y, x, tj) xảy ra với mọi y ∈ Q(x, tj). Sau đây, ta xét một số điều kiện cần và đủ cho tính C - liên tục trên, dưới. Mệnh đề 3.2.7. Cho F : K × D × D → 2Y là một ánh xạ đa trị và C : K × D → 2Y là một ánh xạ nón đa trị, liên tục trên với giá trị đóng, lồi, khác rỗng. 1) Nếu F là C - liên tục trên tại (y0, x0, t0) ∈ domF và F (y0, x0, t0) + C(y0, x0) đóng, thì với mọi lưới (yβ, xβ, tβ) → (y0, x0, t0) , vβ ∈ F (yβ, xβ, tβ)+ C (yβ, xβ) , vβ → v0, kéo theo v0 ∈ F (y0, x0, t0) + C (y0, x0). Ngược lại, nếu F là compact và với mọi lưới (yβ, xβ, tβ) → (y0, x0, t0) , vβ ∈ F (yβ, xβ, tβ) + C (yβ, xβ) , vβ → v0 kéo theo v0 ∈ F (y0, x0, t0) + C (y0, x0) thì F là C - liên tục trên tại (y0, x0, t0). 2)Nếu F là compact và C - liên tục dưới tai (y0, x0, t0) ∈ domF thì với mọi lưới (yβ, xβ, tβ) → (y0, x0, t0) , v0 ∈ F (y0, x0, t0) + C (y0, x0), có một  lưới {vβ} , vβ ∈ F (yβ, xβ, tβ) mà nó có một lưới con hội tụ vβγ , vβγ − v0 → c ∈ C (y0, x0) (tức là vβγ − v0 + c ∈ v0 + C (y0, x0)). Đảo lại, nếu F (y0, x0, t0) là compact và với mọi lưới (yβ, xβ, tβ) → (y0, x0, t0) , v0 ∈ F (y0, x0, t0)+C (y0, x0), có một lưới {vβ} , vβ ∈ F (yβ, xβ, tβ)  mà nó có một lưới con hội tụ vβγ , vβγ − v0 → c ∈ C (y0, x0), thì F là C - liên tục dưới tại (y0, x0, t0). Chứng minh. Chứng minh tương tự Mệnh đề 2.3 trong ([15]), ta được điều phải chứng minh. Kết quả chính của chứng minh là cơ sở của Định lý sau ([21]). Định lý 3.2.8. Cho D là tập con compact, lồi, khác rỗng của X và F : D → 2D là một ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện sau: i) Với mọi x ∈ D, x∈ / F (x) và F(x) lồi; ii) Với mọi y ∈ D, F −1(y) mở trong D. Khi ấy, tồn tại x ∈ D sao cho F (x) = ∅. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
57. 54 Như một hệ quả của định lý trên, ta có định lý sau. Định lý 3.2.9. Cho F : D → 2D là một ánh xạ đa trị có F −1(y) mở trong D, với mọi y ∈ D và D = S intF −1(x); thì tồn tại x ∈ D sao cho x∈D x ∈ coF (x). Cho X, Y, Z là các không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con khác rỗng. Các ánh xạ đa trị Pi, i = 1, 2, Q và F như trong phần đầu. Ta xét định lý sau: Định lý 3.2.10. Điều kiện đủ để bài toán (GEP )II có nghiệm là: i) D là tập con lồi, compact, khác rỗng; D ii) P1 : D → 2 là ánh xạ đa trị với tập điểm bất động đóng và khác rỗng D0 = {x ∈ X |x ∈ P1(x)}; D −1 iii) P2 : D → 2 là ánh xạ đa trị với P2 (x) mở và bao lồi coP2(x) của P2(x) chứa trong P1(x), với mỗi x ∈ D; iv) Q : D × D → 2K là ánh xạ đa trị sao cho với mọi t cố định thuộc D, ánh xạ đa trị Q(., t): D → 2K là l.s.c; v) Với mọi t cố định thuộc D, tập B = {x ∈ D |0 ∈/ F (y, x, t) với mọi y ∈ Q(x, t)} là mở trong D; vi) F : K × D × D → 2Y là ánh xạ đa trị Q - KKM. Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : D → 2D bởi: M (x) = {t ∈ D |0 ∈/ F (y, x, t) , với mọi y ∈ Q (x, t)}. Chú ý rằng, nếu cho x ∈ D, x ∈ P1(x), xác định M(x) ∩ P2(x) = ∅ thì 0 ∈ F (y, x, t), với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). Do đó, định lý được chứng minh đầy đủ. Vì vậy. mục đích của ta là chứng tỏ tồn tại một điểm x như vậy. Thật vậy, ngược lại, giả sử với mọi x ∈ P1(x) thì M(x) ∩ P2(x) 6= ∅. Xét ánh xạ đa trị H : D → 2D được định nghĩa bởi:  co (M (x) ∩ P (x)) , x ∈ P (x); H (x) = 2 1 P2 (x) , x∈ / P1 (x) . Ta chứng tỏ rằng H thỏa mãn giả thiết của Định lý 3.2.8. Thật vậy, Vì Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
58. 55 H(x) 6= ∅, ta có D = S H−1 (x). Hơn nữa x∈D −1 −1 −1 −1
    H (x) = (coM) (x) ∩ (coP2) (x) ∪ P2 (x) \D0 . trong đó, D0 = {x ∈ D : x ∈ P1(x)} là một tập con đóng của D. Do đó, H−1(x) là tập mở trong D, với mọi x ∈ D. Hơn nữa, nếu có x ∈ D sao cho x ∈ H(x) = coM(x) ∩ coP2(x), thì có thể tìm được t1, , tn ∈ M(x) n n P P sao cho x = αiti,αi ≥ 0, αi = 1. Do định nghĩa của M, ta có: i=1 i=1 0 ∈/ F (y, x, ti), với y ∈ Q(x, ti), với mọi i = 1, ,n. Mặt khác, vì ánh xạ đa trị F là Q - KKM, nên có một chỉ số j = 1, , n sao cho: 0 ∈ F (y, x, tj), với mọi y ∈ Q(x, tj). Như vậy, ta có mâu thuẫn. Vì vậy, ta kết luận rằng: với mọi x ∈ D, x∈ / H(x). Theo Định lý 3.2.8, suy ra tồn tại x ∈ D với H(x) = ∅. Nếu x∈ / P1(x), thì H(x) = P2(x) = ∅, điều này không xảy ra. Vì thế, ta kết luận rằng x ∈ P1(x) và H(x) = coM(x) ∩ coP2(x) = ∅. Suy ra, ta có mâu thuẫn và định lý được chứng minh đầy đủ. Ta nghiên cứu một vài ứng dụng của định lý trên đối với sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng, bài toán bao hàm thức biến phân, Chúng được thể hiện qua các hệ quả sau: 3.3 Một số vấn đề liên quan 1. Bài toán tựa cân bằng vô hướng. Hệ quả 3.3.1. Cho D, K, P1,P2, Q như trong Định lý 3.2.10. Cho Φ: K × D × D → R là một hàm (Q, R+) - tựa lồi thực theo đường chéo với Φ(y, x, x) = 0, với mọi y ∈ K, x ∈ D. Trong phép cộng, giả sử rằng với mỗi chỉ số t ∈ D, hàm Φ(., ., t): K × D → R là nửa liên tục trên. Thì tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ P1(x) và Φ(y, x, t) ≥ 0, với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
59. 56 Chứng minh. Đặt F (y, x, t) = Φ(y, x, t)−R+, với mọi (y, x, t) ∈ K ×D × D. Ta có, với mọi chỉ số t ∈ D, tập B = {x ∈ D |0 ∈/ F (y, x, t) , với y ∈ Q (x, t)} = {x ∈ D |Φ(y, x, t) < 0} là mở trong D. Vì Φ là (Q, R+) - tựa lồi trên theo đường chéo đối với ba biến, nên với mọi tập hữu hạn {t1, t2, , tn} ⊆ D, x ∈ co {t1, t2, , tn}, có một chỉ số j ∈ {1, 2, , n} sao cho: Φ(y, x, tj) ∈ Φ(y, x, x) + R+, với mọi y ∈ Q(x, tj). Điều này kéo theo Φ(y, x, tj) ≥ 0 và do đó, 0 ∈ F (y, x, tj), với mọi y ∈ Q(x, tj). Điều đó cho thấy F là ánh xạ đa trị Q - KKM từ K × D × D R và 2 . Vì thế, P1,P2, Q và F thỏa mãn tất cả các điều kiện của định lý 3.2.10. Suy ra, có x ∈ D sao cho: x ∈ P1(x); và 0 ∈ F (y, x, t), với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t) . Điều này tương đương với Φ(y, x, t) ≥ 0, với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t) . 2. Bài toán quan hệ biến phân lý tưởng trên. Trong hệ quả sau, giả sử C : K × D → 2Y là ánh xạ nón đa trị, liên tục trên với giá trị lồi, đóng. Hệ quả 3.3.2. Cho D, K, P1,P2 và Q như trong định lý 3.2.10. Cho G, H : K × D × D → 2Y là các ánh xạ đa trị với giá trị compact và G(y, x, x) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x), với mọi (y, x) ∈ K × D. Cho C : K × D → 2Y là ánh xạ nón đa trị với giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Trong phép cộng, giả sử: i) Với mọi chỉ số t ∈ D, ánh xạ đa trị G(., ., t): K × D → 2Y là (-C) -liên tục dưới và ánh xạ đa trị N : K × D → 2Y được định nghĩa bởi N(y, x) = H(y, x, x) là C - liên tục trên; ii) G là (Q, C) - tựa lồi trên theo đường chéo đối với ba biến. Thì tồn tại x ∈ D sao cho : x ∈ P1(x) và G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x)+C(y, x), Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
60. 57 với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : K × D → 2X và F : K × D × D → 2D bởi M (y, x) = {t ∈ D |G (y, x, t) ⊆ H (y, x, x) + C (y, x)} , (y, x) ∈ K × D; và F (y, x, t) = t − M(y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D. Với mọi chỉ số t ∈ D, đặt A = {x ∈ D |0 ∈ F (y, x, t) , với mọi y ∈ Q (x, t)} = {x ∈ D |t ∈ M (y, x) , với mọi y ∈ Q (x, t)} = {x ∈ D |G (y, x, t) ⊆ H (y, x, x) + C (y, x) , với mọi y ∈ Q (x, t)}. Ta chứng minh A đóng trong D. Thật vậy, giả sử lưới {xα} ⊂ A và xα → x. Lấy y ∈ Q(x, t) tùy ý. Vì Q(., t) là ánh xạ nửa liên tục dưới và xα → x, nên tồn tại lưới {yα}, yα ∈ Q(xα, t) sao cho yα → y. Với mọi lân cận V của điểm gốc trong Y, có một chỉ số α0 sao cho với mọi α ≤ α0, bao hàm thức sau xác định: G(y, x, t) ⊆ G(yα, xα, t) + V + C(yα, xα) ⊆ H(yα, xα, xα) + V + C(yα, xα) ⊆ H(y, x, x) + 2V + C(y, x). Từ điều này kết hợp với giá trị compact của H, suy ra G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x) . Vì vậy, x ∈ A, do đó, A đóng trong D và tập B = D\A = {x ∈ D |0 ∈/ F (y, x, t) , với y ∈ Q(x, t) } mở trong D. Hơn nữa, vì G(y, x, x) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x), với mọi (y, x) ∈ K × D và G là (Q, C) - tựa lồi trên theo đường chéo đối với ba biến, nên ta kết luận rằng, với mọi tập hữu hạn {t1, , tn} ⊆ D, x ∈ co {t1, , tn}, có một chỉ số j ∈ {1, , n} sao cho G(y, x, tj) ⊆ G(y, x, x) + C(y, x) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x), với mọi y ∈ Q(x, tj). Điều đó chỉ ra rằng 0 ∈ F (y, x, tj) và F là một ánh xạ đa trị Q - KKM. Suy ra, hệ quả được chứng minh đầy đủ. Áp dụng định lý 3.2.10, ta kết luận rằng, có x ∈ D sao cho x ∈ P1(x) và 0 ∈ F (y, x, t), với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
61. 58 Điều này tương đương với G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x), với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). Tương tự, ta có hệ quả sau. 3. Bài toán quan hệ biến phân lý tưởng dưới. Hệ quả 3.3.3. Cho D, K, P1,P2 và Q như trong định lý 3.2.10. Cho G, H : K × D × D → 2Y là các ánh xạ đa trị với giá trị compact và H(y, x, x) ⊆ G(y, x, x) − C(y, x), với mọi (y, x) ∈ K × D. Cho C : K × D → 2Y là ánh xạ nón đa trị với giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Ta giả thiết: i) Với mọi t ∈ D, ánh xạ đa trị G(., ., t): K × D → 2Y là (-C) - liên tục trên và ánh xạ đa trị N : K × D → 2Y được định nghĩa bởi N(y, x) = H(y, x, x) là C - liên tục dưới; ii) G là (Q, C) - tựa lồi theo đường chéo đối với ba biến Thì tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ P1(x) và H(y, x, x) ⊆ G(y, x, t) − C(y, x), với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). Chứng minh. Chứng minh tương tự Hệ quả 3.3.2 4. Bài toán tựa cân bằng trên yếu. Hệ quả 3.3.4. Cho D, K, P1,P2 và Q như trong Định lý 3.2.10. Cho G, H : K × D × D → 2Y là các ánh xạ đa trị với giá trị compact. Cho C : K × D → 2Y là ánh xạ nón đa trị liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Ta giả thiết: i) Với mọi t ∈ D, ánh xạ đa trị G(., ., t): K × D → 2Y là (-C) - liên tục trên. Ánh xạ đa trị N : K × D → 2Y được định nghĩa bởi N(y, x) = H(y, x, x), với mọi (y, x) ∈ K × D là C - liên tục trên. ii) Với mọi tập hữu hạn {t1, , tn} ⊂ D và x ∈ co {t1, , tn}, có một chỉ số j ∈ {1, , n} sao cho: G (y, x, tj) 6⊆ H (y, x, x) + intC (y, x), với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). Thì tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ P1(x) và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
62. 59 G (y, x, t) 6⊆ H (y, x, x) + intC (y, x), với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : K × D → 2X và F : K × D × D → 2D bởi M (y, x) = {t ∈ D |G (y, x, t) 6⊆ H (y, x, x) + intC (y, x)} , (y, x) ∈ K×D ; và F (y, x, t) = t − M (y, x) , (y, x, t) ∈ K × D × D. Với mọi chỉ số t ∈ D, ta đặt A = {x ∈ D |0 ∈ F (y, x, t) , với mọi y ∈ Q (x, t)} = {x ∈ D |t ∈ M (y, x) , với mọi y ∈ Q (x, t)} = {x ∈ D |G (y, x, t) 6⊆ H (y, x, x) +intC (y, x), với mọi y ∈ Q (x, t)}. Ta chứng minh rằng tập con này đóng trong D. Thật vậy, giả sử có lưới {xα} ⊂ D và xα → x. Lấy tùy ý y ∈ Q(x, t). Vì Q(., t) là ánh xạ nửa liên tục dưới và xα → x, nên tồn tại một lưới {yα} , yα ∈ Q(xα, t) sao cho yα → y. Với mọi lân cận V của điểm gốc trong Y, có một chỉ số α0 sao cho với mọi α ≤ α0, bao hàm thức sau không đổi: G(yα, xα, t) ⊆ G(y, x, t) + V − C(y, x); H(y, x, x) ⊆ H(yα, xα, xα) + V + C(yα, xα). Cho xα ∈ A, ta có: G(yα, xα, t) 6⊆ H(yα, xα, xα) + intC(yα, xα); và do đó G(y, x, t)+V −C(y, x) 6⊆ H(yα, xα, xα)+C(yα, xα)+intC(yα, xα). Vì vậy, ta kết luận: G(y, x, t) + V − C(y, x) 6⊆ H(y, x, x) + V + intC(y, x). nên G(y, x, t) + V 6⊆ H(y, x, x) + intC(y, x), với lân cận V tùy ý của điểm gốc trong Y. Bây giờ, giả sử G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + intC(y, x). Với lân cận Vα tùy ý của điểm gốc trong Y, tồn tại aα ∈ G(y, x, t), vα ∈ Vα và aα + vα ∈/ H(y, x, t) + intC(y, x). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
63. 60 Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng aα → a và vα → 0 và do đó aα + vα → a ∈ G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + intC(y, x). Nhưng, H(y, x, x) + intC(y, x) là một tập mở, nên tồn tại α0 sao cho với mọi α ≤ α0, thì aα + vα ∈ H(y, x, t) + intC(y, x), suy ra ta có mâu thuẫn. Vì vậy, ta kết luận rằng: G(y, x, t) 6⊆ H(y, x, x) + intC(y, x). Điều này chứng tỏ rằng x ∈ A và A là một tập con đóng trong D. Do đó, với mọi chỉ số t ∈ D, tập B = D\A = {x ∈ D |0 ∈/ F (y, x, t) , với y ∈ Q (x, t)} là mở Hơn nữa, điều kiện ii) suy ra ánh xạ đa trị F là Q - KKM. Vì vậy, hệ quả được chứng minh đầy đủ. Áp dụng định lý 3.2.10, kết luận rằng: có x ∈ D sao cho x ∈ P1(x) và 0 ∈ F (y, x, t), với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). Điều này tương đương với G(y, x, t) 6⊆ H(y, x, x) + intC(y, x), với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). Tương tự, ta thu được hệ quả sau: 5. Bài toán tựa cân bằng dưới yếu. Hệ quả 3.3.5. Cho D, K, P1,P2 và Q như trong định lý 3.2.10. Cho G, H : K × D × D → 2Y là các ánh xạ đa trị. Cho C : K × D → 2Y là ánh xạ nón đa trị liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Trong phép cộng, giả sử: i) Với mọi t ∈ D, ánh xạ đa trị G(., ., t): K × D → 2Y là C - liên tục dưới và ánh xạ đa trị N : K × D → 2Y được định nghĩa bởi N(y, x) = H(y, x, x) là (-C) - liên tục trên và có giá trị compact; ii) Với mọi tập hữu hạn {t1, , tn} ⊂ D và x ∈ co {t1, , tn}, có một chỉ số j ∈ {1, , n} sao cho: H (y, x, x) 6⊆ G (y, x, tj) − intC (y, x) xác định,với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(x, t). Thì tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ P1(x) và H (y, x,¯ x¯) 6⊆ G (y, x,¯ t) −intC (y, x¯), với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
64. 61 Chứng minh. chứng minh tương tự Hệ quả 3.3.4. 6. Bài toán tựa quan hệ biến phân. Hệ quả 3.3.6. Cho D, K, P1,P2 và Q như trong Định lý 3.2.10. Cho R là một quan hệ giữa y ∈ K, x ∈ D, t ∈ D. Giả thiết: i) Với mọi chỉ số t ∈ D, quan hệ R(., ., t)liên kết phần tử y ∈ K, x ∈ D là đóng; ii) R là Q - KKM; thì tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ P1(x) và R(y, x, t) xác định, với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : K × D → 2X và F : K × D × D → 2D bởi: M (y, x) = {t ∈ D |R (y, x, t) xác định }; và F (y, x, t) = t − M(y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D. Với mọi chỉ số t ∈ D, ta đặt: A = {x ∈ D |R (y, x, t) xác định, với mọi y ∈ Q(x, t) } = {x ∈ D |0 ∈ F (y, x, t) , với mọi y ∈ Q(x, t) }. Lí luận tương tự chứng minh hệ quả 3.3.2, ta kêt luận rằng đây là tập con đóng trong D., do đó tập B = D\A = {x ∈ D |0 ∈/ F (y, x, t) , với mọi y ∈ Q(x, t) } là mở trong D. Hơn nữa, dễ dàng kiểm tra được R là Q - KKM, nên ánh xạ đa trị F cũng là ánh xạ Q - KKM. Vì vậy, hệ quả được chứng minh đầy đủ. Áp dụng Định lý 3.2.10, kết luận rằng có x ∈ D sao cho x ∈ P1(x) và R(y, x, t) không đổi, với mọi t ∈ P2(x) và y ∈ Q(x, t). 7. Bài toán tương giao. Hệ quả 3.3.7. Cho D, K, P1,P2 và Q như trong định lý 3.2.10. Cho G : K × D → 2Y là một ánh xạ đa trị. Trong phép cộng, giả sử: i) Với mọi chỉ số t ∈ D, ánh xạ đa trị G(., t): K → 2Y là đóng; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên