Báo cáo Về một số lớp vành và môđun và ứng dụng vào đào tạo ngành Sư phạm Toán tại Trường Đại học Hà Tĩnh

61 trang thiennha21 12/04/2022 5430

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Báo cáo Về một số lớp vành và môđun và ứng dụng vào đào tạo ngành Sư phạm Toán tại Trường Đại học Hà Tĩnh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bao_cao_ve_mot_so_lop_vanh_va_modun_va_ung_dung_vao_dao_tao.pdf

Nội dung text: Báo cáo Về một số lớp vành và môđun và ứng dụng vào đào tạo ngành Sư phạm Toán tại Trường Đại học Hà Tĩnh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN ĐỀ TÀI CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM VỀ MỘT SỐ LỚP VÀNH VÀ MƠĐUN VÀ ỨNG DỤNG VÀO ĐÀO TẠO NGÀNH SƯ PHẠM TỐN TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH Chủ nhiệm đề tài: TS. LÊ VĂN AN Khoa Sư phạm tự nhiên HÀ TĨNH - 2014
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN ĐỀ TÀI CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM VỀ MỘT SỐ LỚP VÀNH VÀ MƠĐUN VÀ ỨNG DỤNG VÀO ĐÀO TẠO NGÀNH SƯ PHẠM TỐN TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH Chủ nhiệm đề tài: TS. LÊ VĂN AN Khoa Sư phạm tự nhiên Thư ký đề tài: ThS. NGUYỄN THỊ THANH TÂM Khoa Sư phạm tự nhiên Những thành viên tham gia nghiên cứu đề tài: TS. Trần Giang Nam - Viện Tốn học ThS. Nguyễn Thị Hải Anh - Khoa Sư phạm tự nhiên ThS. Nguyễn Khánh - Khoa Tiểu học mầm non CN. Nguyễn Đình Nam - Khoa Sư phạm tự nhiên HÀ TĨNH - 2014
MỤC LỤC Trang TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI 1 1. Tính cấp thiết của đề tài 1 2. Tình hình nghiên cứu 1 3. Mục đích nghiên cứu 2 4. Phương pháp nghiên cứu 2 5. Phạm vi nghiên cứu 2 6. Kết cấu đề tài 2 PHẦN A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐẠI SỐ KẾT HỢP 4 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 4 1.1. Cấu trúc nửa nhĩm và nhĩm 4 1.2. Cấu trúc vành và trường 4 1.3. Mơđun và đại số 6 CHƯƠNG 2. MƠ ĐUN (1 - C2) VÀ ỨNG DỤNG VÀO ĐẶC TRƯNG VÀNH 9 §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ 9 I. Mơđun cốt yếu - Mơđun đều - Chiều đều của mơđun. 9 1.1. Định nghĩa. 9 1.2. Ví dụ. 9 II. Mơđun nội xạ - Mơđun tựa nội xạ. 10 1.4. Tính chất. 10 III. Các điều kiện (Ci). 10 1.5. Định nghĩa. 10 IV. Đế của mơđun - Độ dài của mơđun - Vành các tự đồng cấu của mơđun. 11 V. Vành nửa Artin và V - vành. 11 §2. MƠĐUN (1 - C2) VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP VÀNH 12 I. MƠĐUN (1 - C2) 12 II. ĐẶC TRƯNG V-VÀNH BỞI ĐIỀU KIỆN (1 - C2) 16 CHƯƠNG 3. MƠ ĐUN TỰA CẤU XẠ, QF VÀNH VÀ ĐIỀU KIỆN BAER 19 §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ 19 §2. CÁC KẾT QUẢ 22 I. MƠ ĐUN TỰA CẤU XẠ 22 Trong mục này chúng tơi đưa ra định nghĩa lớp mơđun tựa cấu xạ là lớp mơđun mở rộng thực sự của lớp mơđun cấu xạ. 22
II. QF VÀNH 23 III. ĐIỀU KIỆN CẤU XẠ VÀ ĐIỀU KIỆN BAER 24 CHƯƠNG 4. MƠĐUN BAER VÀ CÁC SUY RỘNG CỦA NĨ 27 §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ 27 §2. CÁC KẾT QUẢ 30 I. VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MƠĐUN BAER VÀ MƠĐUN BAER ĐỐI NGẪU 30 II. MƠĐUN VỚI ĐỘ DÀI HỮU HẠN VÀ ĐIỀU KIỆN BAER SUY RỘNG 35 CHƯƠNG 5. MA TRẬN VUƠNG CẤP HAI TRÊN ĐẠI SỐ LEAVITT 40 PHẦN B. MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN GIẢNG DẠY NGÀNH SƯ PHẠM TỐN TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH 50 I. Ứng dụng trong NCKH và nâng cao chất lượng đội ngũ 50 II. Trong cơng tác giảng dạy ngành SP Tốn 51 KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ 53 CÁC CƠNG BỐ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55
TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI 1. Tính cấp thiết của đề tài Đây là một đề tài về khoa học cơ bản nhằm gĩp phần phát triển những tri thức và hiểu biết về Đại số kết hợp; cụ thể là các lớp mơđun (mơđun Baer, mơđun Baer đối ngẫu, mơđun morphic, ), các lớp vành (vành Noether, vành Artin, vành QF ) và các lớp đại số (đại số Leavitt). Đề tài cũng gĩp phần ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy của ngành Tốn khoa SPTN theo hướng hình thành các seminar khoa học dành cho giảng viên và sinh viên ngành SP Tốn. Qua đĩ nâng cao năng lực NCKH của đội ngũ giảng viên và năng lực tự học của SV. Đề tài gĩp phần hình thành những hướng nghiên cứu để đội ngũ giảng viên bộ mơn Tốn định hướng trong quá trình học tập nâng cao trình độ. Đề tài cũng hình thành những vấn đề khoa học giúp SV các hướng làm khĩa luận tốt nghiệp và các đề tài Sinh viên NCKH cấp Bộ. 2. Tình hình nghiên cứu Các tác giả đã nghiên cứu tính chất của các lớp mơđun nội xạ suy rộng như các lớp mơđun CS, liên tục, tựa liên tục. Sử dụng các lớp mơđun này để đặc trưng các lớp vành Noether, Artin, QF, Các tác giả đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc trên lĩnh vực này nhưng vẫn cịn nhiều hướng mở rộng của lớp mơđun nội xạ và ứng dụng của chúng trong bài tốn đặc trưng vành chưa được nghiên cứu và hồn thiện. Các chuyên gia trong lĩnh vực này là Đinh Văn Huỳnh, S. K. Jain, S. T. Rizvi, Các tác giả đã đưa ra các lớp vành cấu xạ, tựa cấu xạ, mơđun cấu xạ Nghiên cứu tính chất của các lớp vành và các lớp mơđun này. Sử dụng các lớp vành và mơđun để nghiên cứu các lớp vành chính quy, vành nhĩm Tuy nhiên lớp mơđun tựa cấu xạ và sử dụng điều kiện cấu xạ nghiên cứu lớp vành QF chưa được quan tâm nghiên cứu. Các chuyên gia trong lĩnh vực này là W. K. Nicholson, V. Camillo, Các tác giả đã phát triển các lớp vành Baer, vành tựa Baer để đưa ra định nghĩa các lớp mơđun Baer, mơđun tựa Baer, mơđun Baer đối ngẫu, mơđun tựa Baer đối ngẫu. Sử dụng các lớp mơđun và vành này để nghiên cứu các lớp vành và mơđun khác. Tuy nhiên các lớp mơđun Baer chỉ mới đạt được các kết quả bước đầu vẫn cịn nhiều vấn đề cần được quan tâm nghiên cứu. Kết hợp các điều kiện cấu xạ suy rộng và Baer suy rộng hứa hẹn sẽ đạt được nhiều kết quả hấp dẫn. Các chuyên gia trong lĩnh vực này là S. T. Rizvi, C. S. Roman, Các tác giả đã nghiên cứu tính chất của đại số Leavitt và sử dụng đại số Leavitt để nghiên cứu các graph cĩ hướng. Đây là vấn đề mới cĩ tính thời sự nhưng mới được nghiên cứu trong khoảng 5 - 7 năm gần đây. Các chuyên gia trong lĩnh vực này là G. Abrams, G. Aranda Pino, Phạm Ngọc Ánh, M. Tomforde 1
Trong nước các nhà nghiên cứu Đại số kết hợp chịu ảnh hưởng trực tiếp của GS. Đinh Văn Huỳnh đã quan tâm nghiên cứu các lớp mơđun nội xạ suy rộng và ứng dụng các lớp mơđun này để đặc trưng vành. Hướng nghiên cứu này được quan tâm tại Đại học Vinh dưới sự chủ trì của PGS. TS. Ngơ Sỹ Tùng và tại Đại học Huế dưới sự chủ trì của GS. TS. Lê Văn Thuyết. Lớp vành và mơđun cấu xạ cũng đã được hai nhĩm nghiên cứu này quan tâm và bước đầu đạt được một số kết quả. Điều kiện Baer và Baer suy rộng mới bắt đầu được quan tâm nghiên cứu tại seminar lý thuyết vành và mơđun tại Đại học Vinh. Đại số Leavitt và đại số quỹ đạo Leavitt là vấn đề mới tiếp cận ở Việt Nam. Tuy nhiên cĩ một nhà Tốn học Việt Nam ở Hungary là GS. Phạm Ngọc Ánh là chuyên gia trong lĩnh vực này. 3. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính chất của các lớp mơđun Baer, mơđun Baer đối ngẫu, mơđun morphic, mơđun nội xạ và các mở rộng. Từ đĩ sử dụng các lớp mơđun này để đặc trưng các lớp vành Noether, vành Artin, vành QF Nghiên cứu các tính chất của đại số ma trận trên đại số Leavitt. Hình thành một seminar về Đại số kết hợp quy tụ những giảng viên bộ mơn Tốn quan tâm về Đại số kết hợp và tập hợp những SV giỏi của ngành SP Tốn. 4. Phương pháp nghiên cứu Đây là một đề tài thuộc lĩnh vực nghiên cứu khoa học cơ bản chuyên ngành Tốn học. Phương pháp nghiên cứu đặc thù là suy luận logic thơng qua tính đúng đắn của các lập luận và chứng minh. 5. Phạm vi nghiên cứu Đề tài chỉ nghiên cứu các tính chất của lớp mơđun liên tục suy rộng (mơđun (1 - C2), mơđun 1 - liên tục) và ứng dụng chúng để đặc trưng các lớp vành Noether, vành Artin, vành QF, vành nửa đơn Artin, Đề tài chỉ quan tâm các tính chất của lớp mơđun tựa cấu xạ và ứng dụng lớp mơđun này để đặc trưng vành. Đề tài quan tâm các lớp vành Baer và các suy rộng, các lớp mơđun Baer và suy rộng. Mối liên quan giữa các lớp vành và mơđun Baer và cấu xạ. Đề tài chỉ quan tâm đến vành ma trận và vành đa thức trên đại số Leavitt 6. Kết cấu đề tài Ngồi phần tổng quan, kết luận và kiến nghị, tài liệu tham khảo, nội dung của đề tài được chia làm 3 chương như sau: Chương 1. Tổng quan về các cấu trúc đại số. Trong chương này chúng tơi giới thiệu ngắn gọn về các cấu trúc đại số là những đối tượng mà đề tài quan tâm nghiên cứu. 2
Chương 2. Mơđun (1 - C2) và ứng dụng vào đặc trưng vành. Trong chương này chúng tơi nghiên cứu tính chất của các lớp mơđun mở rộng của mơđun nội xạ như các lớp mơđun (1 – C2), CS, liên tục, tựa liên tục, 1- liên tục và ứng dụng vào đặc trưng các lớp vành Artin, vành Noether, vành QF. Chương này thuộc chuyên đề I và được viết bởi TS. Lê Văn An và ThS. Nguyễn Thị Hải Anh. Chương 3. Mơđun tựa cấu xạ, QF vành và điều kiện Baer. Trong chương này chúng tơi nghiên cứu tính chất của mơđun tựa cấu xạ là lớp mơđun mở rộng thực sự của mơđun cấu xạ. Chúng tơi sử dụng điều kiện cấu xạ suy rộng để đặc trưng QF vành. Chứng tơi cũng sử dụng điều kiện Baer suy rộng và điều kiện cấu xạ suy rộng để đưa ra các đặc trưng mới cho các lớp vành và mơđun. Chương này thuộc chuyên đề II và được viết bởi TS. Lê Văn An và TS. Trần Giang Nam. Một số nội dung của chương này là luận văn tốt nghiệp của học viên cao học Đặng Thị Thùy Linh. Chương 4. Mơđun Baer và các suy rộng của nĩ. Trong chương này chúng tơi nghiên cứu tính chất của các lớp mơđun Baer, mơđun tựa Baer, mơđun Baer đối ngẫu, mơđun tựa Baer đối ngẫu, vành Baer, vành tựa Baer. Chúng tơi đưa ra một số tính chất về vành các tự đồng cấu của mơđun Baer và các suy rộng của nĩ. Mối liên hệ giữa điều kiện Baer suy rộng và điều kiện độ dài hữu hạn của mơđun. Chương này thuộc chuyên đề III và được viết bởi TS. Lê Văn An, ThS. Nguyễn Thị Hải Anh, CN. Nguyễn Đình Nam. Một số nội dung của chương này là nội dung và khĩa luận tốt nghiệp của SV Đặng Thị Oanh, SV Nguyễn Đình Nam, SV Nguyễn Thị Lệ Hằng của các lớp K1 - SP Tốn, K2 - SP Tốn, K3 - SP Tốn. Chương 5. Ma trận vuơng cấp hai của Đại số Leavitt. Trong chương này chúng tơi nghiên cứu mối liên hệ giữa Đại số Leavitt với vành ma trận vuơng cấp hai trên đại số đĩ. Chúng tơi cũng nghiên cứu mối liên hệ giữa Đại số Leavitt và đại số đa thức và các khái niệm tổng trực tiếp, tích trực tiếp. Chương này thuộc chuyên đề IV và được viết bởi TS. Lê Văn An. Một số nội dung của chương này là nội dung của đề tài NCKH cấp bộ của SV Nguyễn Thanh Huyền, K51 - SP Tốn trường Đại học Vinh. Khi tiếp cận các vấn đề liên quan đến chuyên đề này TS. Lê Văn An đã hướng dẫn SV Nguyễn Thị Dung, K2 - SP Tốn viết khĩa luận tốt nghiệp về lớp vành hốn tử. Đề tài cịn cĩ phần trình bày về một số ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy ngành SP Tốn tại trường ĐH Hà Tĩnh trên hai nội dung NCKH và nâng cao chất lượng đội ngũ giảng viên và cơng tác giảng dạy ngành SP Tốn. Các nội dung của đề tài được cơng bố trong 03 bài báo đăng ở tạp chí KH Đại học Hà Tĩnh, 01 bài đăng ở Tạp chí khoa học Đại học Vinh và 01 bài nhận đăng trong tạp chí quốc tế. Các kết quả đề tài đã được báo cáo tại Đại hội Tốn học tồn quốc tại Nha Trang (2013), tại seminar ở Đại học Vinh và Đại học Hà Tĩnh. 3
PHẦN A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐẠI SỐ KẾT HỢP CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ Trong chương này chúng tơi giới thiệu ngắn gọn về các cấu trúc đại số. Các định nghĩa và tính chất của chương này chúng tơi chủ yếu dựa vào quyển sách Đại số Đại cương của Nguyễn Hữu Việt Hưng. 1.1. Cấu trúc nửa nhĩm và nhĩm 1.1.1. Nửa nhĩm 1. Tập hợp khác rỗng G cùng với phép tốn hai ngơi ”+” được gọi là một nửa nhĩm nếu ()ab++=++∀ c a (),, bc abcG ∈. 2. Nếu nửa nhĩm G thỏa mãn điều kiện abbaabG+ =+∀, ∈ thì ta nĩi G là nửa nhĩm giao hốn. 3. Nếu trong nửa nhĩm G tồn tại phần tử θ thỏa mãn điều kiện aaaaG+=+=∀∈θ θ thì ta nĩi G là một vị nhĩm. 1.1.2. Nhĩm 1. Tập hợp khác rỗng G cùng với phép tốn hai ngơi “.” được gọi là một nhĩm nếu thỏa mãn ba điều kiện sau: (i). (.).abc= a .(.) bc∀∈ abc ,, G (ii) Tồn tại phần tử θ ∈G sao cho aaaaG θ = θ =∀∈ ; (iii) Với mọi aG∈ tồn tại phần tử aG−1 ∈ sao cho aa −−11= a a= θ . 2. Nếu nhĩm G thỏa mãn điều kiện ab.= ba . ,∀∈ a , b G thì ta nĩi G là nhĩm Abel. 3. Cho nhĩm G và S là một tập con khác rỗng của G . Nếu S cùng nhĩm với phép tốn hai ngơi trong tập G lập thành một nhĩm thì S được gọi là một nhĩm con của G . 1.2. Cấu trúc vành và trường 1.2.1. Vành 1. Cho tập hợp khác rỗng R cùng với hai phép tốn hai ngơi “+” và “.” được gọi là một vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i). (R ,+ ) là một nhĩm Abel; (ii). Phép tốn . trong R cĩ tính chất kết hợp tức là (.).ab c= a .(.) bc∀∈ a ,, b c R; (iii). Phép tốn + và . cĩ tính chất phân phối tức là ab (+= c ) ab + ac và ()abcacbcabcR+=+∀ ,, ∈. 4
2. Ví dụ. (i). Tập hợp các nguyên Z , tập hợp các số hữu tỉ Q và tập hợp các số thực R cùng với phép cộng và phép nhân thơng thường là các vành. (ii). Cho vành R , tập hợp các ma trận vuơng cấp n trên R được ký hiệu là Mn(R) cùng với các phép tốn cộng và nhân các ma trận lập thành một vành và gọi là vành ma trận vuơng cấp n . (iii). Cho vành R , tập hợp các đa thức hệ số trên R được ký hiệu là R[x] cùng với các phép tốn cộng và nhân các đa thức lập thành một vành và gọi là vành đa thức. 3. Nếu phép tốn trong vành R giao hốn tức là ab= ba∀∈ a , b R thì ta nĩi R là vành giao hốn. 4. Nếu trong vành R tồn tại phần tử 1R sao cho aaaaR.1RR= 1 . =∀∈ thì ta nĩi R là vành cĩ đơn vị. 5. Cho R và S là hai vành. Ánh xạ f :RS→ được gọi là một đồng cấu vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i). f (ab+= ) fa ( ) + fb ( ) ∀ abR , ∈; (ii). f ()ab=∀∈ f ()(), a f b a b R , Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, tồn cấu và đẳng cấu nếu f lần lượt là đơn ánh, tồn ánh và song ánh, một cách tương ứng. Nếu tồn tại một đẳng cấu giữa các nửa vành R và S , thì chúng ta nĩi R và S là đẳng cấu, và ký hiệu là R ≅ S . 6. Cho R là một vành. Tập con S khác rỗng của R được gọi là một vành con của R nếu (,)S + là một nhĩm con của (R ,+ ) và xySxyS∈ ∀∈ , . Cho vành R và S là một vành con của R. Nếu rx.,∈ S∀∈ r R x ∈ S thì S được gọi là iđêan trái của vành R. Định nghĩa tương tự cho khái niệm iđêan phải. Cho vành R và S là iđêan trái và phải của vành R. Khi đĩ S được gọi là iđêan của vành R. 1.2.2. Trường và thể 1. Cho (,,.,0,1)D + là một vành cĩ đơn vị 1 với 0 là đơn vị của nhĩm ()D,+ . Nếu D \0{ } lập thành một nhĩm thì ta nĩi D là một thể. 2. Nếu (F ,+ ,.,1,0) là một thể với phép tốn “.” giao hốn thì ta nĩi F là một trường. 3. Ví dụ. (i). Gọi H là một khơng gian vectơ thực 4 chiều với cơ sở 1,ijk , , . Trang bị cho H một phép tốn “.” xác định bởi các hệ thức sau ijk222===−1, ij=− ji = k, ki =− ik = j và jk= −= kj i . Khi đĩ (H,,.+ ) lập thành một thể gọi là thể quaternion. 5
(ii). Tập hợp các số hữu tỉ Q , tập hợp các số thực R và tập hợp các số phức C cùng với phép cộng và phép nhân thơng thường là các trường. 1.3. Mơđun và đại số 1.3.1. Mơđun 1. Cho R là một vành cĩ đơn vị 1. Tập hợp M khác rỗng cùng với các phép tốn cộng +×→: M MM và phép nhân với vơ hướng .:R× MM→ được gọi là một R - mơđun trái nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i). (,)M + là một nhĩm Abel; (ii). ax()+=+∀∈ y axay a R ,, xy ∈ M; (iii). (abxaxbxabRxM+=+∀∈∈ ) , , ; (iv). (ab ) x=∀∈∈ a ( bx ) a , b R , x M ; (v). 1x =∀∈xxM. Định nghĩa tương tự cho phía phải. 2. Ví dụ. (i). Mọi nhĩm Abel đều là Z - mơđun trái và phải. (ii). Cho K là một trường và V là một khơng gian vectơ trên K . Khi đĩ V là một K - mơđun trái và phải. (iii). Cho R là một vành giao hốn. Vành đa thức R[x] và Mn(R) là các R - mơđun trái và phải. (v). Cho R là một vành. Khi đĩ R là một R - mơđun trái trên chính nĩ. Tương tự cho phía phải. (vi). Cho R là một vành và M là một iđêan trái trên chính nĩ khi đĩ M là một R - mơđun trái. Tương tự cho phía phải. 3. Cho M là một R - mơđun trái và N là một tập con khác rỗng của M . Khi đĩ N được gọi là mơđun con của M nếu N là nhĩm con của nhĩm Abel M và N khép kín đối với phép nhân với vơ hướng, tức là rx∈ N∀∈ r R , x ∈ N . Giao của một họ bất kỳ các mơđun con của một R - mơđun trái M cũng là một mơđun con của M . Đặc biệt, nếu A là một tập con của R - mơđun trái M , thì giao của tất cả các mơđun con của M chứa A , là một mơđun con của M , gọi là mơđun con được sinh bởi A và ký hiệu là <>S . Nếu A sinh ra tồn bộ M , thì A được gọi là một tập sinh của M . Một R - mơđun trái M là hữu hạn sinh nếu nĩ chứa một tập sinh hữu hạn. 4. Cho vành R và M là một R - mơđun trái. Giả sử S là tập con khác rỗng của M . Khi đĩ một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S là một tổng ∑ s∈Ssas. , trong đĩ aRs ∈ và hầu hết (trừ một số hữu hạn) hệ số as = 0. Một tổng như vậy gọi là cĩ giá hữu hạn. 6
Nhận xét rằng . Mơđun M được gọi là tự do nếu nĩ cĩ một cơ sở hoặc nĩ là mơđun 0. 5. Cho M và N là các R - mơđun trái trên vành R . Khi đĩ xạ ảnh f : MN→ , được gọi là R - đồng cấu (hoặc đồng cấu) nếu f bảo tồn phép cộng và phép nhân với vơ hướng. Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, tồn cấu và đẳng cấu nếu f lần lượt là đơn ánh, tồn ánh và song ánh, một cách tương ứng. Nếu tồn tại một đẳng cấu giữa các R - mơđun M và N , thì chúng ta nĩi M và N là đẳng cấu và ký hiệu M ≅ N . Cho M là một R - mơđun trái trên vành R . Tập hợp End( M ) các R - tự đồng cấu của M với các phép tốn như sau: (+). (f +g )( x ) =+∀∈ fx ( ) gx ( ) fg , EndV ( ), x ∈ V; (+). gfx ( )= gfx ( ( ))∀∈ gx , EndV ( ), x ∈ V. Khi đĩ End( M ) là một vành và được gọi là vành các tự đồng cấu. 6. Cho vành R và {M i iI∈ } là một họ những R - mơđun trái M i . Khi đĩ ∏ iI∈ M i cũng là một R - mơđun trái với phép cộng và nhân từng thành phần, và được gọi là tích trực tiếp của các R - mơđun M i . Tương tự ⊕=iI∈∈Mmm i{() i iI i = 0hầu hết trừ một số hữu hạn chỉ số i} là một mơđun con của R - mơđun trái ∏ iI∈ M i và được gọi là tổng trực tiếp của các R - mơđun M i . 7. Cho vành R và M là một R - mơđun trái. Giả sử N là mơđun con của M . Xét tập hợp M / NxNxM=+{ ∈} và trên đĩ xác định các phép tốn như sau: (i). (x +++=++∀∈NyNxyNxyM ) ( ) ( ) , ; 7
(ii). rx()+=+∀∈∈ N rxN r R , x M. Khi đĩ M / N là một R - mơđun và gọi là mơđun thương của mơđun M theo mơđun N. 1.3.2. Đại số 1. Cho trường K và A là một tập hợp khác rỗng cùng với 3 phép tốn, gồm phép cộng +×⎯⎯: A AA→ , phép nhân .: A× AA⎯⎯→ và nhân với vơ hướng K ×⎯⎯AA→ được gọi là một K - đại số nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i). (,,.)A + lập thành một vành; (ii), (,,A + nhân với vơ hướng) lập thành một khơng gian vectơ trên K ; (iii), kxy()()== kxy xky () ∀∈∈ k K ,, xy A. 2. Ví dụ. (i). Cho K và E là các trường sao cho K là trường con của E . Khi đĩ E là một K - đại số. (ii). Cho K là một trường và K [x] là vành đa thức trên K . Khi đĩ K []x là một K - đại số. (iii). Cho K là một trường và Mn(K) là vành các ma trận vuơng cấp n trên K . Khi đĩ Mn(K) là một K - đại số. (iv). Cho V là một khơng gian vectơ trên trường K . Tập hợp End() V các K - tự đồng cấu của V với các phép tốn sau: (+). (f +=+∀∈gx )() fx () gx () fg , EndVxV ( ), ∈; (+). (kf )( x )=∀∈∈∈ k ( f ( x )) k K , f End ( V ), x V ; (+). gfx ( )=∀∈∈ gfx ( ( )) gf , EndV ( ), x V. Khi đĩ End( V ) là K - đại số. (v). Xét khơng gian vectơ thực 4 chiều HR= ⊕⊕⊕ Rijk R R , với cơ sở {1,ijk , , } . Ta định nghĩa phép nhân trên H bằng cách thác triển những đẳng thức sau đây ijk222===−1, ij=− ji = k, ki =− ik và jkkji=− = . Khi đĩ H là một - đại số và gọi là đại số qua quaternion. 8
CHƯƠNG 2. MƠ ĐUN (1 - C2) VÀ ỨNG DỤNG VÀO ĐẶC TRƯNG VÀNH §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ Trong suốt đề tài này khái niệm vành được nhắc đến như là vành kết hợp cĩ đơn vị và các mơđun là R - mơđun phải unitar nếu khơng cĩ giải thích gì thêm. Trong chương này chúng tơi giới thiệu ngắn gọn về các khái niệm cơ bản cần dùng cho đề tài. Các định nghĩa và tính chất của chương này chúng tơi chủ yếu dựa vào các tài liệu [14], [22], [25], [31], [32] . I. Mơđun cốt yếu - Mơđun đều - Chiều đều của mơđun. 1.1. Định nghĩa. a) Cho mơđun M và N là mơđun con của nĩ. Mơđun N được gọi là mơđun con cốt yếu (và ký hiệu là NM⊂e ) nếu với mọi mơđun con K khác khơng của M thì NK∩≠0 . Khi đĩ ta nĩi M là mở rộng cốt yếu của N. b) Mơđun con N được gọi là đĩng trong M nếu N khơng cĩ một mở rộng cốt yếu thực sự trong M; nĩi cách khác N đĩng trong M nếu với mọi mơđun con K của M mà NK⊂e thì K = N. c) Mơđun con K của M được gọi là bao đĩng của mơđun con N nếu K là mơđun con đĩng trong M nhỏ nhất chứa N. d) Mơđun U được gọi là mơđun đều nếu U0≠ và với mọi mơđun con khác khơng V của U thì V⊂e U. e) Mơđun M được gọi là cĩ chiều đều hữu hạn nếu M khơng chứa tổng trực tiếp gồm vơ hạn hạng tử khác khơng. Nếu mơđun M cĩ chiều đều hữu hạn thì tồn tại n (n∈≥ ,n 1) ne mơđun con đều U1n , , U của M sao cho ⊕⊂i=1iUM. Hơn nữa nếu tồn tại m mơđun con đều U'' , , U của M sao cho ⊕⊂meUM' thì nm.= Khi đĩ ta nĩi chiều đều của mơđun M 1n i=1 i bằng n và ký hiệu u−= dim(M ) n. f) Cho vành R, ta nĩi R cĩ chiều đều phải (trái) hữu hạn nếu mơđun RR cĩ chiều đều hữu hạn (tương ứng mơđun RR cĩ chiều đều hữu hạn). 1.2. Ví dụ. a) Xét là − mơđun. Khi đĩ các mơđun con khác khơng của là cốt yếu trong , chẳng hạn như 2,5 ⊂⊂ee Do đĩ là − mơđun đều. b) Nếu N là hạng tử trực tiếp của M thì N là mơđun con đĩng của M. Chú ý rằng bao đĩng của mơđun luơn tồn tại nhưng cĩ thể khơng duy nhất. 9
II. Mơđun nội xạ - Mơđun tựa nội xạ. 1.3. Định nghĩa. a) Cho các mơđun M và N. Mơđun N được gọi là M - nội xạ nếu với mọi mơđun con X của M, mỗi đồng cấu ϕ :X→ N cĩ thể mở rộng tới đồng cấu ψ :M→ N. b) Mơđun N được gọi nội xạ nếu N là M - nội xạ với mọi mơđun M. c) Mơđun N được gọi là tựa nội xạ nếu N là N - nội xạ. d) Đối với mơđun M, mơđun nội xạ nhỏ nhất chứa M được gọi là bao nội xạ của M và ký hiệu là E(M). 1.4. Tính chất. Bao nội xạ E(M) của mơđun M là luơn luơn tồn tại và là mở rộng cốt yếu tối đại của M. III. Các điều kiện (Ci). Đối với mơđun M trên vành R, chúng ta xét các điều kiện: ()C1 Mọi mơđun con của M thì phải cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp nào đĩ của M. ()C2 Mọi mơđun con đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp nào đĩ của M cũng là hạng tử trực tiếp. ()C3 Với bất kỳ hai hạng tử trực tiếp nào đĩ A, B của M sao cho AB∩=0 thì A ⊕ B cũng là hạng tử trực tiếp của M. (1− C1 ) Mọi mơđun con đều của M thì phải cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp nào đĩ của M. 1.5. Định nghĩa. a) Mơđun M được gọi là CS - mơđun nếu M thỏa mãn điều kiện ().C1 b) Mơđun M được gọi là ()Cmơ2 − đun nếu nĩ thỏa mãn điều kiện ().C2 c) Mơđun M được gọi là (1− Cmơ1 ) − đun nếu nĩ thỏa mãn điều kiện (1− C1 ). d) Mơđun M được gọi là mơđun liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện ()C1 và ().C2 e) Mơđun M được gọi là mơđun tựa liên tục nếu nĩ thỏa mãn các điều kiện ()C1 và ().C3 1.6. Định nghĩa. a) Vành R được gọi là vành CS phải (trái) nếu RR (tương ứng RR) là CS - mơđun. b) Vành R được gọi là liên tục phải (trái) nếu RR (tương ứng RR) là mơđun liên tục. c) Vành R được gọi là tựa liên tục phải (trái) nếu RR (tương ứng RR) là mơđun tựa liên tục. d) Vành R được gọi là ()Cph2 ải (trái) nếu RR (tương ứng RR) là mơđun ().C2 1.7. Tính chất. Đối với một mơđun M phép kéo theo sau đây là đúng: Nội xạ ⇒ tựa nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1-C1), và (C2) ⇒ (C3). 10
IV. Đế của mơđun - Độ dài của mơđun - Vành các tự đồng cấu của mơđun. 1.8. Định nghĩa. Cho mơđun M, ta nĩi đế của mơđun M và ký hiệu Soc(M) là tổng của tất cả các mơđun con đơn của M. 1.9. Tính chất. Soc(M)= ∩ X . XM⊂e 1.10. Định nghĩa. Cho mơđun M, một dãy gồm n + 1 mơđun con của M: MM=⊇⊇01 M M 2 ⊇= Mn 0 được gọi là một dãy hợp thành độ dài n của mơđun M nếu M ii−1 / M là mơđun đơn với mọi in=1,2, , . Khi đĩ độ dài của dãy hợp thành được gọi là độ dài của mơđun M và ký hiệu là l(M) = n. 1.11. Định nghĩa. Cho mơđun M. Tập hợp End(M) các tự đồng cấu của M với các phép tốn như sau: (+). (f +g )() x =+∀∈ f () x gx () f , g EndM ( ), x ∈ M ; (+). gfx( )= gfx ( ( ))∀∈ gf , EndM ( ), x ∈ M . . Khi đĩ End() M là một vành và được gọi là vành các tự đồng cấu của mơđun M. V. Vành nửa Artin và V - vành. 1.12. Định nghĩa. Vành R được gọi là vành nửa Artin phải (trái) nếu với mọi R - mơđun phải (tương ứng trái) M thì Soc( M ) ≠ 0. 1.13. Định nghĩa. Vành R được gọi là V - vành phải (trái) nếu mọi R - mơđun phải (tương ứng trái) đơn là nội xạ. 11
§2. MƠĐUN (1 - C2) VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP VÀNH Các lớp mơđun thỏa mãn điều kiện (),C1 (),C2 ()C3 và (1− C1 ) được nhiều chuyên gia về Đại số kết hợp quan tâm nghiên cứu. Các tác giả cĩ nhiều kết quả về hướng nghiên cứu này là D. V. Huỳnh, D. Q. Hải, N. V. Dũng, P. F. Smith, S. K. Jain, S. R. Lopez - Permouth, S. T. Rizvi, R. Wisbauer Các tác giả thường quan tâm theo hai nội dung; hướng thứ nhất nghiên cứu những tính chất về mơđun đặc biệt là quan tâm những điều kiện để chiều ngược lại của dãy kéo theo sau đây là đúng: Nội xạ ⇒ tựa nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1-C1), và (C2) ⇒ (C3). Hướng nghiên cứu thứ hai là sử dụng các lớp mơđun này để nghiên cứu các lớp vành, đặc biệt là các lớp vành Artin, vành Noether, vành QF và các lớp vành tổng quát của chúng. Hai quyển sách đề cập rất nhiều về vấn đề này là: “Extending modules” (xem [22]) và “Continuous and Discrete modules” (xem [37]). Một số bài báo gần đây đề cập đến nội dung này cĩ thể xem trong [10], [11], [12], [21], [28], Trong định nghĩa điều kiện (1 - C1) ta nhận thấy thực chất đây là điều kiện (C1) nhưng được thu hẹp khi xét lớp mơđun con đều. Chúng tơi đặt ra vấn đề nếu ta xét điều kiện (C2) nhưng chỉ quan tâm lớp mơđun con đều, khi đĩ điều kiện được xét sẽ yếu hơn điều kiện (C2). Trong tiết 1 chúng tơi sẽ đưa ra định nghĩa lớp mơđun (1 - C2) là lớp mơđun mở rộng của lớp mơđun (C2). Chúng tơi sẽ sử dụng lớp mơđun này để nghiên cứu tính chất của các lớp mơđun đã biết. Sau đĩ chúng tơi sử dụng các kết quả đã biết về mơđun để tìm ra các đặc trưng mới của lớp V - vành. Kết quả này mở rộng một kết quả của D. Q. Hải và P. F. Smith cĩ trong [21]. I. MƠĐUN (1 - C2) Trong ục này chúng tơi đưa ra định nghĩa lớp mơđun (1 – C2) và nghiên cứu tổng trục tiếp hữu hạn các mơđun. Đối với mơđun M chúng ta xét điều kiện: (1 - C2) Mọi mơđun con đều đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp nào đĩ của M cũng là hạng tử trực tiếp. 2.1.1. Định nghĩa. a) Mơđun M được gọi là (1 - C2) nếu nĩ thỏa mãn điều kiện (1 - C2). b) Mơđun M thỏa mãn (1 - C1) và (1 - C2) thì M được gọi là 1 - liên tục. c) Mơđun M được gọi là 1 - liên tục mạnh nếu nĩ thỏa mãn (C1) và (1 - C2). d) Vành R được gọi là 1 - liên tục phải (trái) nếu RR (tương ứng RR) là 1 - liên tục. 12
Chúng tơi đặt vấn đề khi nào các điều kiện 1 - liên tục, 1 - liên tục mạnh và liên tục là tương đương. Trong các kết quả chính là Định lý 2.1.5 và Định lý 2.1.6, chúng tơi chỉ quan tâm đến các mơđun U cĩ dạng UU= 1 ⊕⊕ Un trong đĩ U1, UU2 , , n là các mơđun đều. 2.1.2. Nhận xét. a) Đối với mơđun M chúng ta cĩ phép kéo theo sau đây: liên tục ⇒ 1 - liên tục mạnh ⇒ 1 - liên tục, và (C2) ⇒ (1 - C2) b) Từ Hệ quả 7.8 trong [22], nếu M là R - mơđun phải cĩ chiều đều hữu hạn thì các khẳng định sau tương đương: (i). M là mơđun (1 - C1); (ii). M là CS - mơđun. 2.1.3. Mệnh đề. Nếu M là R - mơđun phải cĩ chiều đều hữu hạn thì các khẳng định sau tương đương: (i). M là 1 - liên tục; (ii). M là 1 - liên tục mạnh. 2.1.4. Bổ đề. Nếu M là R - mơđun và N là một hạng tử trực tiếp của M. Khi đĩ nếu M là (1 - C2) (tương ứng 1 - liên tục, 1- liên tục mạnh) thì N cũng là mơđun (1 - C2) - (tương ứng 1- liên tục, 1 - liên tục mạnh). Chứng minh. (i) Nếu M là mơđun (1 - C2) ta chứng minh N cũng là mơđun (1 - C2). Thật vậy, xét U là mơđun con đều của N và U đẳng cấu với hạng tử trực tiếp V của N, ta cần chứng minh U cũng là hạng tử trực tiếp của N. Nhận xét rằng U cũng là mơđun con đều của M và V là hạng tử trực tiếp của M. Từ tính chất của M, suy ra U là hạng tử trực tiếp của M. Đặt M =⊕UU1. Theo luật Mơđula ta cĩ: NUU=⊕2 với UNU21= ∩ . Do đĩ U là hạng tử trực tiếp của N. Điều này dẫn đến N là mơđun (1 - C2). (ii). Tương tự cho các trường hợp M là mơđun 1- liên tục hoặc 1- liên tục mạnh. n 2.1.5. Định lý. Nếu UU=⊕ii=1 trong đĩ Ui là mơđun con đều với i = 1, 2, , n, thì các khẳng định sau là tương đương: (i). U là mơđun (C2); (ii). U là mơđun (1 - C2) và U thỏa mãn điều kiện (C3). Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Điều này là hiển nhiên 13
(ii) ⇒ (i). Giả sử U là mơđun (1 - C2) và U thỏa mãn điều kiện (C3), chúng ta chứng minh U là mơđun (C2). Xét X, Y là các mơđun con của U với XY≅ và Y là hạng tử trực tiếp của U chúng ta sẽ chứng minh X cũng là hạng tử trực tiếp của U. Chú ý rằng Y là mơđun con đĩng của U, do đĩ tồn tại tập con F của tập {1, ,n} sao cho YU⊕⊕ (iF∈ i ) là mơđun cốt yếu của U (xem [43, Lemma 1]). Mặt khác YU,⊕iF∈ i là hạng tử trực tiếp của U và nĩ thỏa mãn điều kiện (C3), chúng ta suy ra YUU⊕ (⊕=iF∈ i ) . Nếu Fn= {1, , } thì XY==0, ta cĩ (i). Nếu Fn≠ {1, , } ta đặt J = {1, ,nF} \ thì UY=⊕⊕ ()()()iF∈∈∈ U i =⊕ iJ U i ⊕⊕ iF U i . Do đĩ XYU≅≅/ ⊕iF∈∈ U i ≅⊕ iJ U i = Z Khơng mất tính tổng quát già sử rằng J = {1, ,k} trong đĩ 1≤≤kn tức là Z =⊕⊕UU1 k . Xét đẳng cấu ϕ : Z → X và đặt XUii= ϕ( ) ta cĩ XUii≅ với bất kỳ ik=1, , Chúng ta suy ra XZ==⊕⊕=⊕⊕=⊕⊕ϕ( )ϕϕϕ ( U11 Ukkk ) ( U ) ( UX ) 1 X . Nhận xét rằng X i là mơđun con đều của U và XUii≅ với Ui là hạng tử trực tiếp của mơđun U, từ tính chất (1 - C2) của U điều này dẫn đến X i là hạng tử trực tiếp của U với ik=1, , . Mặt khác U thỏa mãn điều kiện (C3) suy ra X = XX1 ⊕⊕ k là hạng tử trực tiếp của U. Do đĩ U là mơđun (C2). Ta cĩ (i). n 2.1.6. Định lý. Nếu UU=⊕ii=1 trong đĩ Ui là mơđun con đều với i = 1, 2, ,n, thì các khẳng định sau là tương đương. (i). U là mơđun liên tục; (ii). U là mơđun 1 - liên tục. Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Điều này là hiển nhiên (ii) ⇒ (i). Giả sử U là mơđun 1 - liên tục, chúng ta chứng minh U là mơđun liên tục. Bước đầu tiên chúng ta chứng minh vành các tự đồng cấu Si = End (Ui) là vành địa phương với bất kỳ i = 1, ,n. Chúng ta sẽ chứng minh Ui khơng nhúng được trong một mơđun con thực sự của Ui. Xét f :UUii→ là một đơn cấu với f (Ui ) là một mơđun con thực sự của Ui. Đặt f (UVi )= , suy ra VVU≠≠0, i và VU≅ i . Từ giả thiết và Bổ đề 2.1.4, Ui là mơđun (1 - C2) chúng ta cĩ V là 14
một hạng tử trực tiếp của Ui, điều này dẫn đến Ui khơng là mơđun đều (mâu thuẫn giả thiết). Do đĩ Ui khơng nhúng được trong mơđun con thực sự của Ui. Xét g ∈ Si và giả sử rằng g khơng là đẳng cấu. Chúng ta chứng minh rằng 1 - g là một đẳng cấu. Vì Ui khơng nhúng được trong một mơđun con thực sự của Ui nên g khơng là đơn cấu, suy ra Ker(g) là mơđun con khác khơng của Ui. Điều này dẫn đến Ker(g) là mơđun cốt yếu trong mơđun đều Ui. Chú ý rằng Ker( g )∩ Ker (1−= g ) 0, chúng ta suy ra Ker(1 - g) = 0, tức là 1 - g là một đơn cấu. Nhưng Ui khơng nhúng được trong một mơđun con thực sự Ui suy ra 1 - g phải là ánh xạ lên, và do đĩ 1 - g phải là đẳng cấu. Điều này chứng minh được Si là vành địa phương với bất kỳ i = 1, ,n. Đặt UUUij=⊕ i j với ij,∈{ 1, , n} và ij≠ . Chúng ta sẽ chứng minh Uij thỏa mãn điều kiện (C3), tức là với hai hạng tử trực tiếp S1, S2 của Uij sao cho SS12∩=0, chúng ta cĩ SS12⊕ cũng là hạng tử trực tiếp của Uij . Chú ý rằng u - dim (Uij) = 2 nên chứng minh là tầm thường trong các trường hợp : 1) Một trong hai hạng tử trực tiếp S1, S2 cĩ chiều đều bằng 2, khi đĩ hạng tử cịn lại là mơđun khơng 2) Hai hạng tử trực tiếp S1, S2 là mơđun khơng. Chúng ta xét trường hợp khơng tầm thường S1, S2 là các mơđun đều. Chúng ta chứng minh rằng Ui khơng nhúng được trong mơđun con thực sự của Uj. Giả sử rằng hU: ij→ U là một đơn cấu và hU (i ) là một mơđun con thực sự của Uj. Đặt h(Ui) = L. Vì Uij là hạng tử trực tiếp của U nên theo Bổ đề 2.1.4, chúng ta suy ra Uij cũng là mơđun (1 - C2). Chú ý rằng L là một mơđun con đều của Uij và LU≅ i với Ui là một hạng tử trực tiếp của Uij, điều này dẫn đến L cũng là một hạng tử trực tiếp của Uij. Đặt ULLij =⊕', theo luật Mơđula chúng ta cĩ ULLj =⊕'' với LU''=∩j L '. Nhận xét rằng L '' cũng là mơđun thực sự của Uj và L ''≠ 0, do đĩ Uj khơng là mơđun đều (điều này mâu thuẫn với giả thiết). Từ đĩ chúng ta cĩ Ui khơng nhúng được trong một mơđun con thực sự của Uj. Tương tự Uj khơng nhúng được trong một mơđun thực sự của Ui. Chú ý rằng Ui (và Uj) khơng nhúng được trong một mơđun con thực sự của Ui (tương ứng Uj). Từ giả thiết vành các tự đồng cấu Si = End (Ui) và Sj = End (Uj) là vành địa phương; sử dụng Bổ đề Azumaya [14, 12.6, 12.7], chúng ta cĩ USKSUij= 22⊕=⊕ i hoặc USKSUij=⊕=⊕22 j . Vì vai trị i và j bình đẳng, chúng ta chỉ cần xét duy nhất một trường hợp: USKSUUUij=⊕=⊕=⊕22 i i j . Từ đĩ chúng ta cĩ SU2 ≅ j . 15
Tương tự USHSUij=⊕=⊕11 i hoặc USHSUij= 11⊕=⊕ j . Nếu USHSUij=⊕=⊕11 i , thì theo luật Mơđula chúng ta cĩ SSS121⊕ =⊕W trong đĩ WSS=⊕∩().12 Ui Điều này dẫn đến W,≅ S2 nghĩa là Ui chứa một copy của SU2 ≅ j . Nhưng U j khơng nhúng được trong một mơđun con thực sự của Ui, chúng ta phải cĩ W = Ui và do đĩ SSUUU12⊕=⊕ijij =. Nếu USHSUij=⊕=⊕11 j , thì theo luật Mơđula chúng ta cĩ SSS121⊕=⊕W' trong đĩ W'=⊕∩ (SS12 ) Uj . Điều này dẫn đến WS',≅ 2 nghĩa là Uj chứa một copy của SU2 ≅ j . Nhưng Uj khơng nhúng được trong một mơđun con thực sự của Uj, chúng ta phải cĩ WU '= j , và do đĩ SSU12⊕=ij . Vậy Uij thỏa mãn điều kiện (C3). Nhận xét rằng Uij là một hạng tử trực tiếp của U và U là một CS - mơđun (vì U cĩ chiều đều hữu hạn và U là mơđun (1 - C1), suy ra U là CS - mơđun), chúng ta suy ra Uij cũng là CS - mơđun, và do đĩ Uij là một mơđun tựa liên tục. Theo [26], U là mơđun tựa liên tục. Sử dụng Định lý 2.1.5, U là mơđun (C2). Vậy U là mơđun liên tục. Ta cĩ (i). 2.1.7. Hệ quả. Cho M cĩ chiều đều hữu hạn thì các khẳng định sau tương đương: (i). M là mơđun liên tục; (ii). M là mơđun 1 - liên tục mạnh; (iii). M là mơđun 1 - liên tục. Chứng minh. (i) ⇒ (iii). Điều này là hiển nhiên. (iii) ⇒ (i). Giả sử M là mơđun 1 - liên tục chúng ta chứng minh M là mơđun liên tục. Vì M là mơđun (1 - C1) và cĩ chiều đều hữu hạn nên M = UU1 ⊕⊕ n trong đĩ UU12, , , Un là mơđun đều. Theo Định lý 2.1.6 chúng ta cĩ M là mơđun liên tục. (ii) ⇔ (iii).Theo Mệnh đề 2.1.3. II. ĐẶC TRƯNG V-VÀNH BỞI ĐIỀU KIỆN (1 - C2) Trong mục này chúng tơi sẽ sử dụng lớp các mơđun thỏa mãn điều kiện (1 - C2) để đặc trưng các lớp vành. Cụ thể chúng tơi quan tâm đến điều kiện để một vành nửa Artin là V vành phải. Dĩ nhiên các kết quả mục này đều sử dụng lớp mơđun thỏa mãn điều kiện (1 - C2) để đặc trưng vành. Định lý 2.2.1. Đối với một vành nửa Artin R, các khẳng định sau là tương đương: (i). R là V vành phải; 16
(ii). Mọi R - mơđun phải hữu hạn sinh CS là nội xạ; (iii). Mọi R - mơđun phải hữu hạn sinh CS là 1- liên tục mạnh. Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Theo [21, Theorem 1]. (ii) ⇒ (iii). Vì mơđun nội xạ là mơđun 1 - liên tục mạnh nên chúng ta cĩ (iii). (iii) ⇒ (i). Gọi S là R - mơđun phải đơn với bao nội xạ SES* = (). Chúng ta sẽ chứng minh S = S*. Giả sử ngược lại SS* ≠ . Bởi vì R là vành nửa Artin phải cho nên tồn tại mơđun con X của S* với SX⊆ sao cho XS/ là mơđun đơn. Từ dãy hợp thành XS⊃⊃0 chúng ta suy ra lX()2.= Chúng ta sẽ chứng minh X là mơđun đều. Giả sử X là mơđun phân tích được chúng ta đặt XAB= ⊕ trong đĩ A, B là các mơđun đơn. Xét SAS1 =∩ và SBS2 =∩ chúng ta cĩ S1, S2 hoặc bằng S hoặc bằng 0 vì S là mơđun đơn. Nếu SSS12== thì A ===SSB12 suy ra AB∩ ≠ 0, đây là điều mâu thuẫn với tính chất của A và B. Do đĩ ít nhất một trong hai mơđun con S1, S2 phải bằng 0. Khơng mất tính * tổng quát giả sử rằng S1 = 0 suy ra SA∩ = 0. Nhận xét rằng S là mơđun cốt yếu của S chúng ta suy ra AS∩≠0, điều này mâu thuẫn với chứng minh trên. Điều này dẫn đến X là mơđun khơng phân tích được. Giả sử X khơng là mơđun đều khi đĩ tồn tại hai mơđun khác khơng của X là C và D sao cho CD∩ = 0. Chúng ta cĩ một dãy lồng nhau như sau XCDC⊃⊕⊃⊃0 và XCDC≠⊕≠≠0, suy ra lX()2.> Điều này mâu thuẫn với tính chất của X do đĩ chúng ta cĩ X là mơđun đều. Đặt YSX=⊕ suy ra u - dim (Y) = 2 chúng ta sẽ chứng minh Y là CS - mơđun. Xét W là một mơđun con đĩng của Y, chúng ta sẽ chứng minh W là hạng tử trực tiếp của Y. Nếu u - dim (W) = 2 thì W = Y (suy từ tính chất cốt yếu tối đại của mơđun con đĩng W). Xét trường hợp u - dim (W) = 1, suy ra W là mơđun con đĩng đều của Y. Nếu W(0)0,∩⊕X = xét tính chất về độ dài nhận thấy 3≤ lXlY (W⊕≤ ) ( ) = 3, suy ra YX= W.⊕ Xét trường hợp W(0)0,∩⊕X ≠ chúng ta quan tâm độ dài l(W) của mơđun W. Từ tính chất 3()(W),=>lY l suy ra l (W)= 1 hoặc l(W)= 2. Nếu l(W)= 1 thì W=⊕ Soc(0 X ), suy ra W là mơđun con thực sự 0 ⊕ X và W cốt yếu trong 0.⊕ X Điều này mâu thuẫn với tính chất W là mơđun con đĩng trong Y. Do đĩ l(W)= 2. Vì S là mơđun đơn nên WS∩(0)0⊕=⊕ S hoặc WS∩⊕=(0)0. Nếu WS∩⊕=⊕(0)0 S thì (0)W.S ⊕ ⊂ Từ tính chất W là mơđun đều, suy ra 0≠ (SXSX ⊕∩⊕ 0) (0 ) ⊆ ( ⊕∩⊕ 0) (0 ) = 0, đây là điều mâu thuẫn. Từ đĩ chúng ta cĩ 17
WS∩⊕=(0)0, suy ra lS(W)()3⊕= lY = và được SY⊕ W.= Tất cả những điều trên chứng minh W là hạng tử trực tiếp của Y, suy ra Y là CS - mơđun. Chú ý rằng Y là mơđun sinh bởi 3 phần tử, do đĩ Y là mơđun 1 - liên tục mạnh theo giả thiết (iii). Nhận xét rằng, 0 ⊕ S là mơđun con đều của Y, 00⊕ SS≅⊕ và S ⊕ 0 là một hạng tử trực tiếp của Y, chúng ta cĩ 0 ⊕ S cũng là hạng tử trực tiếp của Y. Đặt YSL=⊕⊕(0 ) . Sử dụng luật Mơđula suy ra 0(0)(0)⊕=⊕⊕⊕XS K trong đĩ 0(0),⊕=⊕K XL ∩ tức là XSK= ⊕ . Chú ý rằng 0,≠≠K X suy ra X khơng là mơđun đều, điều này mâu thuẫn với tính chất của X. Chúng ta phải cĩ S = S*, suy ra R là V vành phải. 18
CHƯƠNG 3. MƠ ĐUN TỰA CẤU XẠ, QF VÀNH VÀ ĐIỀU KIỆN BAER Lý thuyết vành là một trong những trọng tâm của Đại số kết hợp và vấn đề đặc trưng các lớp vành là bài tốn quan trọng đã được nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu. Cĩ hai hướng chính để đặc trưng cho các lớp vành. Hướng thứ nhất là đặc trưng vành thơng qua tính chất nội tại của nĩ như tính chất của các phần tử hoặc các iđêan. Hướng thứ hai là đặc trưng vành thơng qua tính chất của các lớp mơđun trên vành đĩ. Hướng thứ nhất ra đời sớm hơn và hiện tại vẫn được một số nhà tốn học quan tâm nghiên cứu. Chúng ta biết rằng đối với vành R bất kỳ theo định lý đồng cấu R/l(a)≅ Ra,∀∈ a Rtrong đĩ l(a) là linh hĩa tử trái của phần tử a. Tuy nhiên tính chất R/Ra≅ l(a) khơng phải bao giờ cũng đúng chẳng hạn /2 khơng đẳng cấu với l(2)= 0. Năm 1976 G. Erlich đã đưa ra lớp vành cấu xạ là lớp vành thỏa mãn điều kiện R/Ra≅ l(a), tuy nhiên việc nghiên cứu vành cấu xạ qua điều kiện này tỏ ra khơng thật sự hiệu quả. Năm 2004, W. K. Nicholson và E. Sanchez - Campos đã đưa ra điều kiện tương đương của vành cấu xạ với tính chất về linh hĩa tử của các phần tử. Nhờ sử dụng điều kiện mới này việc nghiên cứu lớp vành cấu xạ tỏ ra cĩ hiệu quả hơn và đạt được nhiều kết quả thú vị. Đặc biệt năm 2007, V. Camillo và W. K. Nicholson đã mở rộng điều kiện trên và đưa ra lớp vành tựa cấu xạ và đã đạt được một số kết quả. Trước đĩ năm 2005, W. K. Nicholson và E. Sanchez - Campos mở rộng khái niệm cấu xạ sang cấu trúc mơđun và đưa ra lớp mơđun cấu xạ. Trong chương này, dựa vào ý tưởng của V. Camillo và W. K. Nicholson chúng tơi mở rộng lớp mơđun cấu xạ và đưa ra lớp mơđun tựa cấu xạ. Chúng tơi cũng sử dụng điều kiện cấu xạ để đặc trưng QF vành. Phần cuối chương là các kết quả về lớp vành thỏa mãn điều kiện cấu xạ và điều kiện Baer. §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ 3.1.1. Định nghĩa. a) Phần tử e của vành R được gọi là lũy đẳng (idempotent) nếu ee2 = . b) Cho vành R và e là một phần tử lũy đẳng của nĩ, khi đĩ lIR ()=∈{ r RrI : = 0} được gọi là linh hĩa tử trái (left annihilator) của I trong R. c) Vành R được gọi là vành Baer (Baer ring) nếu với mỗi tập con I của R, tồn tại lũy đẳng e của R sao cho lR(I) = Re. 3.1.2. Định nghĩa. Cho vành R và a là một phần tử của R. a) Phần tử a được gọi là phần tử cấu xạ trái (left morphic element) trong R nếu R/Ra≅ l(a). 19
b) Định nghĩa tương tự cho khái niệm phần tử cấu xạ phải. c) Vành R được gọi là vành cấu xạ trái (left morphic ring) nếu mọi phần tử của nĩ đều là phần tử cấu xạ trái. d) Định nghĩa tương tự cho khái niệm vành cấu xạ phải. e) Vành R được gọi là vành cấu xạ (morphic ring) nếu nĩ là vành cấu xạ trái và phải. 3.1.3. Định nghĩa. Cho vành R và a là một phần tử của R. a) Phần tử a được gọi là phần tử tựa cấu xạ trái (left quasi - morphic element) trong R nếu tồn tại các phần tử b, c của R sao cho Ra= l(b);Rc= l(a). b) Định nghĩa tương tự cho khái niệm phần tử tựa cấu xạ phải. c) Vành R được gọi là vành tựa cấu xạ trái (left quasi - morphic ring) nếu mọi phần tử của nĩ đều là phần tử tựa cấu xạ trái. d) Định nghĩa tương tự cho khái niệm vành tựa cấu xạ phải. e) Vành R được gọi là vành tựa cấu xạ (quasi - morphic ring) nếu nĩ là vành tựa cấu xạ trái và phải. 3.1.4. Định nghĩa. Cho vành R và a là một phần tử của R. a) Phần tử a được gọi là cấu xạ tổng quát trái (left generalized morphic element) trong R nếu tồn tại các phần tử b của R sao cho R/Rb ≅ l(a). b) Định nghĩa tương tự cho khái niệm phần tử cấu xạ tổng quát phải. c) Vành R được gọi là vành cấu xạ tổng quát trái (left generalized morphic ring) nếu mọi phần tử của nĩ đều là phần tử cấu xạ tổng quát trái. d) Định nghĩa tương tự cho khái niệm vành cấu xạ tổng quát phải. e) Vành R được gọi là vành cấu xạ tổng quát (generalized morphic ring) nếu nĩ là vành cấu xạ tổng quát trái và phải. 3.1.5. Định nghĩa. Cho vành R và a là một phần tử của R. a) Phần tử a của vành R được gọi là phần tử π - cấu xạ trái (left π - morphic element) nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho R/Ran ≅ l(an). b) Định nghĩa tương tự cho khái niệm phần tử π - cấu xạ phải. c) Vành R được gọi là vành π - cấu xạ trái (left π - morphic ring) nếu mọi phần tử của nĩ là π - cấu xạ trái. d) Định nghĩa tương tự cho khái niệm vành π - cấu xạ phải. e) Vành R được gọi là vành π - cấu xạ (π - morphic ring) nếu nĩ là vành π - cấu xạ trái và phải. 20
3.1.6. Định nghĩa. Cho R - mơđun trái M. Mơđun M được gọi là cấu xạ (morphic module) nếu M/Im(α≅) Ker( α) với mọi đồng cấu α∈End(M). (A) 3.1.7. Định nghĩa. Cho mơđun M, ký hiệu MM= với Mi = M. Khi đĩ: ⊕ i iA∈ −−1C (A) a) M được gọi là mơđun ∑ ( 1 )(tương ứng đếm được ∑−−(1C1 )) nếu M () (tương ứng M ) là mơđun (1 - C1). b) M được gọi là mơđun ∑− tựa nội xạ (tương ứng đếm được ∑− tựa nội xạ) nếu () M(A) (tương ứng M ) là mơđun tựa nội xạ. 3.1.8. Định nghĩa. Vành R được gọi là QF vành nếu nĩ là vành Artin hai phía và tựa nội xạ hai phía. 3.1.9. Bổ đề. (xem [25]) Vành R là QF khi và chỉ khi RR là mơđun ∑− tựa nội xạ (đếm được ∑− tựa nội xạ) khi và chỉ khi RR là mơđun ∑− tựa nội xạ (đếm được ∑− tựa nội xạ). 21
§2. CÁC KẾT QUẢ I. MƠ ĐUN TỰA CẤU XẠ Trong mục này chúng tơi đưa ra định nghĩa lớp mơđun tựa cấu xạ là lớp mơđun mở rộng thực sự của lớp mơđun cấu xạ. 3.2.1. Định nghĩa. a) Đồng cấu α∈End(M) gọi là tựa cấu xạ (quasi - morphic) nếu tồn tại các đồng cấu β, γ ∈End(M) sao cho Im()β= K er α và Ker(γ=) Im( α) . b) Mơ đun M được gọi là tựa cấu xạ nếu mọi đồng cấu của End(M) là tựa cấu xạ. 3.2.2. Định lý. Cho R - mơ đun trái M, các khẳng định sau là tương đương: (a) M là mơ đun tựa cấu xạ (b) Nếu M/K≅ N, trong đĩ K, N là các mơ đun con của M thì tồn tại các đồng cấu βγ∈,End(M) sao cho Im(β=) K và Ker(γ=) N . Chứng minh. ab⇒ . Nếu ϕ:Μ/Κ→Νlà một tự đồng cấu, đặt α→:M M sao cho ( ) ( ) α=ϕ+(m)( m K). Ta cĩ α là một tự đồng cấu của M. Do M là mơ đun tựa cấu xạ nên tồn tại các tự đồng cấu βα∈,End(M) sao cho Im()β= Ker( α=) K, Im( α=) Ker( γ=) N b ⇒ a . Xét α∈End(M) ta cĩ Imα ≅α M / Ker . () () Đặt Kerα= K, Im α=Ν. Tìm điều kiện (b) tồn tại các đồng cấu βγ∈,End(M) sao cho Im(β=) K = Ker α , Ker( γ=) N = Im α. Do đĩ α là tự đồng cấu tựa cấu xạ. Vậy M là mơ đun tựa cấu xạ. 3.2.3. Ví dụ. Sử dụng định lý 3.2.2 ta cĩ 24⊕ là mơđun tựa cấu xạ. Nhưng 24⊕ khơng là mơ đun cấu xạ (xem [40, trang 2631]). Do đĩ mơđun tựa cấu xạ là mở rộng thực sự của mơđun cấu xạ. 3.2.4. Định nghĩa. a) Mơđun M gọi là ảnh - xạ ảnh (image - projective) nếu ∀γ,α ∈EEndM = () sao cho Im()γ⊆ Im ( α ) thì γ∈E α. b) Mơđun M gọi là sinh ra (generate) một mơđun con K của M nếu KImX|EndM,ImK.=λ∈λ⊆∑{ ()( ()) } 22
c) Mơ đun M gọi là sinh ra hạt nhân (generates its kernels) nếu M sinh ra Ker (β) với mọi β∈End( M). 3.2.5. Bổ đề. Cho M là R - mơ đun trái và EEndM.= ( ) a) Nếu M là mơ đun tựa cấu xạ là ảnh - xạ ảnh thì E là vành cấu xạ trái. b) Nếu M là mơ đun tựa cấu xạ thì M sinh ra hạt nhân. c) Nếu M là vành tựa cấu xạ trái và M sinh ra hạt nhân thì M là mơ đun tựa cấu xạ. Chứng minh. Xem [13]. 3.2.6. Định lý. Cho R là một vành, các khẳng định sau là tương đương: n a) R R là mơ đun tựa cấu xạ; b) MRn ( ) là vành tựa cấu xạ trái. n Chứng minh. Sử dụng Bổ đề 3.2.5 và tính chất MRnR( ) ≅ EndR( ) ta suy ra Định lý 3.2.6. 3.2.7. Định lý: Cho R là một vành và e là một lũy đẳng của nĩ, các khẳng định sau là tương đương: a) eRe là vành tựa cấu xạ trái và Re là R - mơ đun trái sinh ra hạt nhân b) Re là mơ đun tựa cấu xạ Chứng minh. Chúng ta cĩ eRe≅ End( Re) và Re là R - mơ đun trái xạ ảnh. Sử dụng Bổ đề 3.2.5. ta cĩ điều phải chứng minh. II. QF VÀNH Trong mục này chúng tơi sẽ sử dụng điều kiện cấu xạ và cấu xạ suy rộng để đặc trưng QF vành. U, i I MU= 3.2.8. Bổ đề. Cho { i ∀∈}là họ các mơ đun đến. Đặt ⊕ i và A là mơ đun con iI∈ đĩng của M, khi đĩ tồn tại tập con FI⊆ sao cho ⎛⎞ AUM.⊕⊆e ⎜⎟⊕ i ⎝⎠iF∈ Chứng minh. Xem [43, Lemma 1]. 3 2.9. Định nghĩa. Vành R được gọi là QF - 2 phải nếu RRRi= ⊕ với Ri là các iđêan iI∈ phải đều. 3.2.10. Định lý. Cho R là vành tựa cấu xạ trái và QF - 2 phải, các khẳng định sau là tương đương: 23
a) RR đếm được ∑−−(1C1 ) b) R là vành QF Chứng minh: ()ab⇒ (). Từ giả thiết R là vành tựa cấu xạ trái, RR thỏa mãn điều kiện (C2) (xem [17, Lemma 3]). Vì R là vành QF - 2 phải nên RRRi= ⊕ với Ri là các iđêan phải đều. iI∈ Từ RR là mơ đun đếm được ∑−−(1C1 )thỏa mãn điều kiện (C2), sử dụng Bổ đề 3.2.8 và dùng kỹ thuật chứng minh tương tự như trong các bài báo [11], [43] suy ra RR là mơ đun ∑− tựa nội xạ. Do đĩ R là vành QF b ⇒ a.Hiển nhiên. () () 3.2.11. Nhận xét. Nếu R là vành tựa cấu xạ trái, QF- 2 phải khơng thể kết luận R là vành QF. 3.2.12. Ví dụ. Cho R =⊕ với p là số nguyên tố. Ta cĩ R là vành tựa cấu xạ trái p p3 (phải) và QF - 2 phải nhưng R khơng là vành QF. 3.2.13. Định lý. Nếu R là vành tựa cấu xạ trái sao cho RR⊕ là CS - mơ đun và R thỏa ( )R mãn ACC. Cho các linh hĩa tử phải (hoặc trái) thì R là QF vành. Chứng minh. Ta cĩ R thỏa mãn (C ). Mặt khác RR⊕ là CS - mơ đun nên R là vành 2 ( )R liên tụcphải. Do đĩ từ điều kiện thỏa mãn ACC cho các linh hĩa tử phải (hoặc trái) ta cĩ R là QF vành. III. ĐIỀU KIỆN CẤU XẠ VÀ ĐIỀU KIỆN BAER Như chúng ta đã biết, lớp vành Baer và lớp vành cấu xạ đã dành được rất nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các tác giả, và cũng cĩ rất nhiều tài liệu nghiên cứu về hai lớp vành này. Tuy nhiên câu hỏi đặt ra là liệu hai lớp vành này cĩ mối liên hệ nào với nhau hay khơng? Trong mục này chúng tơi sẽ trả lời một phần cho câu hỏi này. Kết quả chính của mục này là Định lý 3.2.16 và Định lý 3.2.17. 3.2.14. Bổ đề. Đối với một phần tử a trong vành R thì các điều kiện sau đây là tương đương: (a) a là cấu xạ trái, tức là R/Ra ≅ l(a) (b) Tồn tại b ∈R sao cho Ra = l(b) và l(a) = Rb (c) Tồn tại b ∈R sao cho Ra = l(b) và l(a) ≅ Rb Chứng minh. 24
(a) ⇒ (b). Giả sử a là phần tử cấu xạ trái. Khi đĩ tồn tại đẳng cấu α: R/Ra →l(a). Đặt b = α(1+Ra). Chúng ta sẽ chứng minh Rb = l(a) = Imaα và Ra = l(b) Thật vậy, với x ∈Rb thì x = x1b = x1α(1+Ra) = α(x1 +Ra) ∈Imaα. Ngược lại, nếu x ∈ Imα thì tồn tại x1∈ R sao cho x = α(x1 +Ra) = x1α(x1 +Ra) = x1b ∈Rb. Do đĩ Rb = l(a). Với x ∈Ra thì xb = xα(1+Ra) =α(x+Ra) = 0 nên x ∈l(b), ngược lại nếu x ∈l(b) thì 0 = xb = xα(1+Ra) = α(x+Ra). Suy ra x∈Ra. Do đĩ Ra = l(b). (b) ⇒ (c). Hiển nhiên. (c) ⇒ (a). Xét đồng cấu f: R → Rb xác định bởi f(x) = xb. Chúng ta cĩ f là tồn cấu và Kerf = {x ∈R⎪xb=0} = l(b) = Ra. Theo định lý đồng cấu ta cĩ R/Kref ≅ Rb ≅ l(a). Do đĩ R/Ra ≅ l(a). 3.2.15. Bổ đề. Nếu a ∈R là cấu xạ trái thì ba điều kiện sau là tương đương: (a) l(a) = 0; (b) Ra = R; (c) a là phần tử khả nghịch trong R. Chứng minh. (a) ⇒ (b). Vì a là phần tử cấu xạ trái trong vành R nên tồn tại phần tử b ∈R sao cho Ra=l(b) và l(a) = Rb Giả sử l(a) = 0, suy ra Rb = 0, nên 0, nên b = 0. Khi đĩ l(b) = {x∈R⎪bx=0} =R. Do vậy ta cĩ Ra = R. Nếu Ra = R = l(b) thì b = 0. Do đĩ l(a) = Rb = 0 (b) ⇒(c). Vì Ra = R nên tồn tại phần tử x ∈R sao cho xa = 1. Khi đĩ axa = a suy ra (ax - 1) a = 0. Cho nên ax - 1 ∈l(a) = 0. Suy ra ax = xa = 1. Vậy a khả nghịch trong R. (c) ⇒ (a). Giả sử a khả nghịch trong R, ta cần chứng minh l(a) = 0. Xét y ∈l(a) ta cĩ ya = 0. Do đĩ y = yaa-1 = 0. Vậy l(a) = 0. 3.2.16. Định lý. Nếu R là vành Baer thì R là vành cấu xạ tổng quát. Chứng minh. Với e là phần tử lũy đẳng của R ta cĩ 1 = e+(1-e) nên R = Re ⊕ R(1-e). Suy ra Re ≅ R/R(1-e). Khi đĩ tồn tại b ∈R sao cho b = 1 - e. Lại vì R là vành Baer nên theo định nghĩa ta cĩ Re = l(a). Do đĩ ta cĩ l(a) ≅ R/Rb, hay R là vành cấu xạ tổng quát trái. Chứng minh hồn tồn tương tự cho trường hợp vành cấu xạ tổng quát phải. Vậy nếu R là vành Baer thì R là vành cấu xạ tổng quát 3.2. 17. Định lý. Cho R là vành Baer và π - cấu xạ trái khơng phân tích được. Khi đĩ R là một thể. 25
Chứng minh. Để chứng minh R là một thể, ta cần chứng minh với mọi 0 ≠ a ∈R đều cĩ phần tử khả nghịch. Vì R là vành π - cấu xạ trái nên với bất kỳ phần tử a của R, tồn tại số nnaa nguyên dương na sao cho RRa/.≅ la( ) Ta cĩ l(a) = Re (vì R là vành Baer) là một hạng tử trực tiếp của vành R. Do R khơng phân tích được nên hoặc l(a) = 0 hoặc l(a) = Re =R. Xét trường hợp 1: l(a) = Re=R Ta cĩ l(a) = {x ∈R⎪=0} = R nên theo Bổ đề 3.2. 15 suy ra x = 0 hay R = {0} mâu thuẫn với 0 ≠ a ∈R. Do đĩ trường hợp này loại. Xét trường hợp 1: l(a) = 0. Chúng ta sẽ chứng minh la( na ) = 0. Thật vậy, xét phần tử b của la( na ) ta cĩ bana = 0, suy ra bana −1 là phần tử của l(a) = 0. Lý luận tương tự như vậy, chúng ta được ba = 0 và dẫn đến b là phần tử của l(a) = 0. Từ đĩ ta cĩ b = 0, túc là la( na ) = 0. Diều này dẫn đến RRa= na . Khi đĩ tồn tại phần tử r của R sao cho rana =1. Đặt s = rana −1 ta cĩ sa = 1. Mặt khác (as - 1)a = asa - a = 0, tức là as - 1 là phần tử của l(a) = 0 suy ra as =1. Điều này dẫn đến a khả nghịch. Vậy R là một thể. 26
CHƯƠNG 4. MƠĐUN BAER VÀ CÁC SUY RỘNG CỦA NĨ Khái niệm vành Baer và tựa Baer xuất hiện từ sự kết hợp giữa các chuyên ngành giải tích hàm, C * - đại số và đại số von - Neumann. Năm 1955, I. Kaplansky và S.K. Berberian đưa ra khái niệm vành Baer. Năm 1967, J. Clack đã mở rộng khái niệm vành Baer và đưa ra khái niệm vành tựa Baer. Lớp vành Baer và tựa Baer đĩng vai trị quan trọng trong lý thuyết vành và được sử dụng để đặc trưng vành. Những năm gần đây, các tác giả G.F. Birkenmeier, A.W. Chatters, S.M. Khuri, J.Y. Kim, J.K. Park, (xem [9], [41], [42], [44]) tiếp tục quan tâm, tìm kiếm các mở rộng của hai lớp vành này và đạt được nhiều kết quả sâu sắc. Năm 2004, S. T. Rizvi và C. S. Roman đã đưa ra khái niệm mơđun Baer và tựa Baer (xem [41]), đặt nền mĩng cho việc chuyển hướng nghiên cứu từ cấu trúc vành sang cấu trúc mơđun. Nhờ đĩ, các tác giả đã đạt được nhiều kết quả hấp dẫn về mơđun và tạo ra những hướng tiếp cận khác cĩ hiệu quả trên vành trong bài tốn đặc trưng vành. Năm 2010, hai tác giả D. K. Tutuncu và R. Tribak sử dụng tư tưởng đối ngẫu để đi đến định nghĩa iđêan phải DN( ) của vành các tự đồng cấu SEndM= ( ) (trong đĩ N là mơđun con của mơđun M ). Trong lý thuyết vành và mơđun khái niệm linh hĩa tử trái lNS ( ) đĩng vai trị quan trọng để định nghĩa các lớp mơđun và các lớp vành. Hai tác giả đã định nghĩa iđêan DN( ) đối ngẫu hình thức với khái niệm linh hĩa tử trái lNS ( ). Từ đĩ hai tác giả đã đưa ra khái niệm mơđun Baer đối ngẫu (xem [44]) và bước đầu thu được một số kết quả thú vị về lớp mơđun này. Năm 2013, T. Amouzegar và Y. Talebi đưa ra lớp mơđun tựa Baer đối ngẫu là lớp mơđun mở rộng hơn lớp mơđun Baer đối ngẫu (xem [9]). Trong chương này chúng tơi quan tâm đến tính chất của vành các tự đồng cấu của mơđun Baer, mơ đun tựa Baer, mơđun Baer đối ngẫu, mơđun tựa Baer đối ngẫu với điều kiện độ dài hữu hạn. §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ Trong tồn bộ chương này vành các tự đồng cấu của mơđun M được ký hiệu là SEndM= ( ). 4.1.1. Định ngĩa. a) Phần tử e của vành R được gọi là lũy đẳng (idempotent) nếu ee2 = . b) Cho e là một phần tử lũy đẳng của vành R, khi đĩ vành con eRe được gọi là gĩc (corner) của vành R. 27
c) Vành con Z (RaRarrarR) =∈{ :, = ∀∈} của vành R được gọi là tâm (central) của vành R. d) Phần tử a của vành R được gọi là phần tử chính quy (regular element) nếu tồn tại phần tử b của vành R sao cho a= aba. e) Vành R được gọi là vành chính quy (regular ring) nếu mọi phần tử của vành R đều là phần tử chính quy. 4.1.2. Định nghĩa. a) Cho vành R và e là một phần tử lũy đẳng của nĩ, khi đĩ lIR ()=∈{ r RrI : = 0} được gọi là linh hĩa tử trái (left annihilator) của I trong R. b) Cho vành R và e là một phần tử lũy đẳng của nĩ, khi đĩ rIR ()=∈{ r RIr : = 0} được gọi là linh hĩa tử phải (right annihilator) của I trong R. c) Cho N là mơđun con của M , linh hĩa tử trái của N trong S , kí hiệu lNS ( ) được xác định như sau lNS ()=∈{ϕ SNK ⊂erϕ} . d) Ký hiệu DN( ) =∈{ϕϕ SIm ⊆ N} là một iđêan phải của vành S với N là mơđun con của M. 4.1.3. Định nghĩa. a) Mơđun M được gọi là đơn (simple module) nếu M chỉ cĩ hai mơđun con là 0 và chính nĩ. b) Mơđun M được gọi là nửa đơn (semisimple module) nếu với mọi mơđun con A của M thì A là hạng tử trực tiếp của M . c) Mơđun con N của M được gọi là bất biến đầy đủ (fully invariant submodule), nếu với mọi tự đồng cấu ϕ ∈ S thì ϕ ( N ) là mơđun con của N. d) Mơđun M được gọi là cĩ SSSP (strong summand sum property) nếu tổng của một họ bất kỳ những hạng tử trực tiếp của M cũng là hạng tử trực tiếp của M. e) Vành R được gọi là nửa đơn (semisimple ring) nếu RR là mơđun nửa đơn. 4.1.4. Nhận xét. Trong [14, Proposition 13.5] hoặc [48, 20.7], vành R là nửa đơn khi và chỉ khi R R là mơđun nửa đơn. Như vậy khái niệm vành nửa đơn tính chất trái và phải là tương đương. 4.1.5. Định nghĩa. Cho vành R. a) Vành R được gọi là vành Baer (Baer ring) nếu với mọi tập con I của R thì lIR ()= Re với e là một phần tử lũy đẳng của vành R. 28
b) Vành R được gọi là vành tựa Baer (quasi - Baer ring) nếu với mọi iđêan I của R thì lIR ()= Re với e là một phần tử lũy đẳng của vành R. 4.1.6. Nhận xét. a) Vành R là vành Baer khi và chỉ khi với mọi tập con I của vành R thì rIR ( )= eR với e là một phần tử lũy đẳng của vành R. Như vậy khái niệm vành Baer tính chất trái và phải là tương đương. b) Vành R là vành tựa Baer khi và chỉ khi với mọi iđêan I của vành R thì rIR ()= eRvới e là một phần tử lũy đẳng của vành R. Như vậy khái niệm vành tựa Baer) tính chất trái và phải là tương đương. 4.1.7. Định nghĩa. Cho mơđun M. a) Mơđun M được gọi là Baer (Baer module) nếu với mỗi mơđun con N của M tồn tại lũy đẳng e của S sao cho lNS ( ) = Se. b) Mơđun M được gọi là tựa Baer (quasi - Baer module) nếu với mỗi mơđun con bất biến đầy đủ N của M tồn tại lũy đẳng e của S sao cho lNS ( ) = Se. c) Mơđun M được gọi là Baer đối ngẫu (dual Baer module) nếu với mỗi mơđun con N của M tồn tại lũy đẳng e của S sao cho DN( ) = eS. d) Mơđun M được gọi là tựa Baer đối ngẫu (quasi - dual Baer module) nếu với mỗi mơđun con bất biến đầy đủ N của M tồn tại lũy đẳng e của S sao cho DN()= eS. 4.1.7. Định nghĩa. Vành R được gọi là CS - nửa đơn (CS - semisimple ring) nếu mọi R − mơđun phải (trái) là CS. 29
§2. CÁC KẾT QUẢ I. VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MƠĐUN BAER VÀ MƠĐUN BAER ĐỐI NGẪU Trong phần này chúng tơi nghiên cứu tính chất của vành các tự đồng cấu của mơđun Baer và mơđun Baer đối ngẫu. Chúng ta cần Bổ đề sau: 4.2.1. Bổ đề. Cho M là một R − mơđun với vành các tự đồng cấu S. Khi đĩ các khẳng định sau tương đương: (a) S là vành chính quy; (b) Với bất kỳ đồng cấu ϕ :,M ⎯⎯→ M Imϕ và Kerϕ là hạng tử trực tiếp của M. Chứng minh. Xem [47, Lemma 3.1]. 4.2.2. Định lý. (a). Nếu M là mơđun Baer đối ngẫu sao cho Kerf là hạng tử trực tiếp của M , với mọi tự đồng cấu f , thì vành các tự đồng cấu S là vành chính quy. (b). Nếu M là mơđun SSSP sao cho vành các tự đồng cấu S là vành chính quy, thì M là mơđun Baer đối ngẫu. Chứng minh. (a) Vì M là mơđun Baer đối ngẫu nên Im f là hạng tử trực tiếp của M (xem [44, Theorem 2.1]) với mọi tự đồng cấu f . Khi đĩ Im f và Kerf đều là hạng tử trực tiếp của M. Theo Bổ đề 4.2.1, vành các tự đồng cấu S là vành chính quy. (b) Vì S là vành chính quy nên Im f là hạng tử trực tiếp của M , với mọi tự đồng cấu f . Vì M cĩ SSSP nên M là mơđun Baer đối ngẫu. 4.2.3. Định lý. Nếu M là mơđun Baer đối ngẫu thì vành tự đồng cấu S là vành Baer. Chứng minh. Lấy bất kỳ ϕ của S, tồn tại lũy đẳng e của S sao cho ϕ (M ) = eM( ). Bây giờ ta sẽ chứng minh lSeS (ϕ) =−(1.) Giả sử f là phần tử của lS (ϕ), ta chứng minh f cũng là phần tử của Se(1.− ) Với mỗi phần tử f của S được phân tích một cách duy nhất thành f =+se12 s(1, − e) trong đĩ s12, s là phần tử của S. Vì f là phần tử của lS ()ϕ nên f ϕ = 0, hay (se12+− s(10. e))ϕ = Nghĩa là, (se12+ s(10,−= e)) e() M hay seeM12()+− s (10. eeM )() = Mặt khác, do e là phần tử lũy đẳng nên se1 ( M) = 0, tức là 30
se1 = 0. Vì vậy f =−se2 ()1 là phần tử của Se(1,− ) điều này dẫn đến lS ()ϕ là tập con của Se(1.− ) Ngược lại, giả sử f là phần tử Se(1,− ) khi đĩ tồn tại phần tử s của S sao cho f =−se(1.) Như vậy fMϕ ( ) = s(10,−= eeM) ( ) suy ra f là phần tử của lS (ϕ ). Hay Se(1− ) là tập con của lS (ϕ ). Vậy lSeS (ϕ) =−(1,) với mọi ϕ của S. Vậy S là vành Baer. 4.2.4. Định lý. Cho M là mơđun Baer với SEndM= ( ) là vành tự đồng cấu. Khi đĩ vành gĩc eSe là vành Baer với e là một phần tử luỹ đẳng nào đĩ của S. Chứng minh. Lấy I là tập con của eSe chúng ta sẽ chứng minh rIeSe ( ) = geSe( ) với g là luỹ đẳng nào đĩ của eSe. Thật vậy, xét ϕ là một phần tử của I, cĩ ϕ = ese, suy ra ϕ (110− eesee) =−=( ) hay 1− e là một phần tử của rIS ( ). Do đĩ Ie(10,− ) = suy ra Iem(10,− )( ) = với bất kỳ phần tử m của mơđun M. Điều này dẫn đến (1− e)(m) là phần tử của rIM ( ). Vì M là mơđun Baer, suy ra rM ()I = f (M ) với f là luỹ đẳng nào đĩ của S. Từ đĩ (1− e)(m)()= f m' với m là một phần tử bất kỳ của mơđun M và m' là phần tử thuộc M tương ứng. Nhận thấy rằng f (1''1,−=em)( ) ffm( ( )) = fm( ) =−( em)( ) suy ra f (11.− ee) =− Lại cĩ ef(110−= e) e( −= e) dẫn đến ef= efe là một phần tử của eSe. Đặt g = ef , ta cĩ g 2 ===(ef)( ef) ( efe) f( ef) f ef g . Do đĩ g là luỹ đẳng của eSe. Ta chứng minh rIeSe ( ) = geSe( ). Với mọi phần tử m của mơđun M chúng ta cĩ f (m) là phần tử của f (MrI) = M ( ), suy ra Ifm()()= 0, từ đĩ If = 0. Lại thấy ϕ là một phần tử của eSe, ϕ = ese suy ra ϕe===() ese e ese ϕ và do đĩ IeI= . Ta cĩ Ig= Ief===( Ie) f If 0 . Từ đĩ nếu x là một phần tử của g()eSe thì x = gese(), Ix= Igese = 0. Điều này dẫn đến x là phần tử của rIeSe ( ) và suy ra g (eSe) là tập con của rIeSe ( ). Với mọi x là phần tử của rIeSe ( ) , x là phần tử của eSe và Ix = 0.Vì Ix( m) = 0 với m là phần tử bất kỳ của M , suy ra x(m) là phần tử của rIM ()= fM ( ). Do đĩ x(mfm) = ( ') với m' là phần tử nào đĩ của M. Điều này dẫn đến fxm( ) ===ff( (m '')) f (mxm) ( ) với phần tử m bất kỳ của mơđun M. Suy ra fxx= . 31
Mặt khác x là phần tử của eSe, x = es1 e suy ra ex= e( es11 e) == es e x. Do đĩ x ==ex efx =gx là phần tử của g().eSe Điều này dẫn đến rIeSe ( ) là tập con của g (eSe). Vậy rIeSe ()= geSe ( ), tức là eSe là vành Baer. 4.2.5. Định lý. Cho M là mơđun Baer đối ngẫu với SEndM= ( ) là vành tự đồng cấu. Khi đĩ eSe là vành Baer với e là một phần tử luỹ đẳng của S. Chứng minh. Xét ϕ là một phần tử bất kỳ của eSe, khi đĩ ta cĩ ϕ là một phần tử của S. Vì M là mơđun Bear đối ngẫu nên Imϕ là hạng tử trực tiếp của M suy ra tồn tại luỹ đẳng f của S sao cho ϕ (M ) = fM( ). Vì ϕ = ese với s là phần tử nào đĩ của S nên (11−=−=eeese)ϕ ( ) 0 suy ra (1− e)ϕ(M ) = (1− e) f (M ) = 0 . Nên (10−=ef) dẫn đến f()10,−=−= e f f fef suy ra ( f − fef )e = fe − ( fe)2 = 0 . Điều này suy ra fe là phần tử luỹ đẳng của S. Mặt khác (10,−=ef) suy ra (10,.−=efe) feefe = Từ đĩ fe là phần tử luỹ đẳng của eSe. Đặt g = fe, chúng ta sẽ chứng minh leSegeSe (ϕ) =−(1.) Thật vậy, xét phần tử x của leSe (ϕ), ta cĩ x là phần tử của eSe=⊕ eSeg eSe(1, − g) suy ra x = es1eg + es2e()1− g và xesegesegϕϕ= ⎣⎦⎡⎤12+−=(10.) Ta nhận thấy ⎣⎦⎡⎤es12 eg+−= es e(10, g) f suy ra es12 egf+−= es e(110. g) f es 1 e( fe) f +−= es 2 e( fe) f Do đĩ es1 ef = 0, tức là es1 eg = 0. Điều này dẫn đến x =−es2 e(1 g ) là phần tử của eSe(1,− g ) hay leSe (ϕ) là tập con của eSe(1.− g ) Ngược lại, giả sử x là phần tử của eSe(1,−=− g) x ese( 1. g ) Ta cĩ xϕ =−ese()1 g ϕ =−=−=−esegfesefefesefesefefesefesef(11) ( ) =−= 0, suy ra x là phần tử của leSe ()ϕ . Điều này dẫn đến eSe(1− g ) là tập con của leSe (ϕ). Tĩm lại, leSegeSe (ϕ) =−(1 ) và suy ra eSe là vành Baer. 4.2.6. Định lý. Cho M là mơđun Baer với SEndM= ( ) là vành tự đồng cấu. Khi đĩ tâm Z của S là vành Baer. 32
Chứng minh. +) Ta sẽ chứng minh với mọi tập con I của S thì rIS ( ) = eS, với e là phần tử lũy đẳng của S. Ta cĩ, với mọi tự đồng cấu ϕ của S và với mọi phần tử m của M thì ϕ (m) là phần tử của M , điều này dẫn đến emϕ ( ) là phần tử của eM( ). Do M là mơđun Baer nên rIM ()= eM ( ), dẫn đến emϕ ( ) là phần tử của rIM ( ), suy ra Ieϕ ( m) = 0, tức là Ieϕ = 0 hay eϕ là phần tử của rIS ( ), điều này dẫn đến eS là tập con rIS ( ). Ngược lại, ϕ là phần tử của rIIS ( ),0ϕ = suy ra Iϕϕ(MM)()= 0, là phần tử của rIM ()= eM ( ), suy ra với mọi phần tử m của M thì ϕ (mem) = ('), tức là eϕ () m= eem' ==em',ϕ () m nên ϕ =∈eeSϕ hay rIS ( ) là tập con của eS. Tĩm lại, rIS ()= eS. 2 +) Tiếp theo ta chứng minh được với mọi tập con I của S thì lIS ( ) = Sfvới f = f là 2 lũy đẳng của S. Ta cĩ lIS ( ) là tập con của S. nên theo trên suy ra rlSS( ( I)) == iSi,, i với I là lũy đẳng của S. Ta sẽ chứng minh lrlISSS( ( ( )) = lI S( ) và liSSS ( ) =−(1. i) • Thật vậy: lIS ( ) =∈{ sSs|0,,ϕϕ =∀∈ I} và rlSS( ( I)) =∈{ s'|'0, Sss =∀∈ sl S( I)} . Ta cĩ s là phần tử của lrlISSS( ( ( ))),'0, ss= với mọi phần tử s ' của rlSS( ( I)). Suy ra s ∈lIS ( ), điều đĩ dẫn đến rlSSS( ( rI( ))) là tập con của lIS ( ). Ngược lại, s là phần tử của lIS (),0, sϕ = với mọi tự đồng cấu ϕ của S, sϕ = 0, với mọi tự đồng cấu ϕ của rlSS( () I). Suy ra s là phần tử của lrlISSS( ( ( ))), điều này dẫn đến lIS ( ) cũng là tập con của lrlISSS( ( ( ))). Do đĩ lrlISSS( ( ( )) = lI S( ) . • Lấy s là phần tử của Sissi(1,− ) =− '1( ) với mọi phần tử s ' của S. Khi đĩ s '1()−=iiS 0, s '1 () − i là phần tử của liSS ( ) hay s là phần tử của liSS ( ), điều này dẫn đến Si(1− ) là tập con của liSS ( ). Ngược lại, s là phần tử của liSsisS ( ),'= 0, với mọi phần tử s ' của S. Chọn siisis',===2 0, suy ra s = siss−=(1 − i) là phần tử của Si()1,− điều này dẫn đến liSS ( ) là tập con của Si(1.− ) Do đĩ liSSS ( ) = (1,− i) với i là lũy đẳng của S. Ứng dụng hai bổ đề trên ta được: lISSSSS( ) = lrlI( ( ( ))) ==− liSS( ) (1. i) Vì i là lũy 2 đẳng của S nên (11−=−ii) là lũy đẳng của S. Đặt 1,− if= suy ra lIS ( ) = Sf, với f 2 = f là lũy đẳng của S. 33
+) Ta sẽ chứng minh Z là vành Baer. Ta cĩ, với mọi tập con F của Z (tức là F cũng là tập con của S ) suy ra rFS ()= eS và lFS ( ) = Sfvới ef, là lũy đẳng của S. Vì F là tập con của Z nên rFSS( ) = lF( ), điều này dẫn đến eS= Sf , suy ra e là phần tử của Sf và f là phần tử của Se hay ee= ff= , suy ra eS(110− e) =−= Se( e) và (1− eSe) =−()10.eeS =Do đĩ với mọi phần tử s của S, es(11− e) =−( e) se = 0 hay es== ese se, nên e là phần tử của Z. Vì rFZS( ) =∩ Z( rF( )) =∩ Z eSeZ = nên Z là vành Baer. 4.2.7. Định lý. Cho M là mơđun Baer đối ngẫu với SEndM= ( ) là vành tự đồng cấu. Khi đĩ tâm Z của S là vành Baer. Chứng minh. +) Chúng ta sẽ chứng minh lSeS (ϕ ) =−(1,) với e là lũy đẳng của S. Xét ϕ là một phần tử bất kỳ của S. Vì M là mơđun Bear đối ngẫu nên Imϕ là hạng tử trực tiếp của M suy ra tồn tại luỹ đẳng e của S sao cho ϕ (M ) = eM( ). Thật vậy, xét phần tử x thuộc lS (ϕ), ta cĩ x là phần tử của SSeS=⊕(1, − e) suy ra x = s1e + s2 ()1− e và xϕ =+−⎣⎦⎡⎤se12 s(10. e) ϕ =Ta nhận thấy ⎡⎤⎣⎦se12+ s(10,−= e) e suy ra s12ee+− s()1 e e ==se1 0. Điều này dẫn đến x =−se2 (1 ) là phần tử của Se(1,− ) hay lS (ϕ ) là tập con của Se(1.− ) Ngược lại, giả sử x là phần tử của S(1− e), x = s(1− e). Ta cĩ xseϕϕ= (110,−=−=)() see suy ra x là phần tử của lS ()ϕ . Điều này dẫn đến S(1− e) là tập con của lS ()ϕ . Tĩm lại, lSeS (ϕ ) =−(1.) +) Tiếp theo ta cũng chứng minh được với mọi phần tử ϕ của S thì rfSS ()ϕ = , với f là phần tử lũy đẳng của S. Thật vậy, ta cĩ rS (ϕ) là tập con của S, suy ra lrSS( (ϕ )) = iS, với i là lũy đẳng của S. Ta cĩ bổ đề sau: rlrSSS( ( (ϕ )) = r S(ϕ ) . Thật vậy: rS (ϕ ) = {sS∈=|0ϕ s } suy ra lrSS( (ϕ )) =∈{ s'|'0, Sss =∀∈ sr S(ϕ )}. Ta cĩ s là phần tử của rlrSSS( ( (ϕ ))), ss'0,= với mọi phần tử s ' của lrSS( (ϕ )), suy ra sr∈ S (ϕ ), rlrSSS( ( (ϕ ))) là tập con của rS (ϕ). Ngược lại, s là phần tử của rsS (ϕϕ),0.= Mặt khác ϕ là phần tử của lrSS()()ϕ , suy ra s là phần tử của rlrSSS( ( (ϕ ))), điều này dẫn đến rS (ϕ) là tập con của rlrSSS()()()ϕ . Do đĩ rlrSSS( ( (ϕ )) = r S(ϕ ) . 34
Ta cũng chứng minh bổ đề sau rSiS ( ) =−(1. iS) Thật vậy, xét s là phần tử của (1,− iS) suy ra s =−()1'is với s ' là phần tử của S. Khi đĩ Si(1'0,1'−=− i) s( i) s là phần tử của rSiS ( ) , hay s là phần tử của rSiS ( ), điều này dẫn đến (1− iS) là tập con của rSiS ( ). Ngược lại, xét s là phần tử của rSisisS ( ),'= 0, với mọi s ' là phần tử của S. Chọn 2 s ',= i is== is 0, suy ra s =−sis =(11, − is) ∈( − iS) điều này dẫn đến rSiS ( ) là tập con của (1.− iS) Suy ra rSiS ( ) =−(1. iS) Ứng dụng hai bổ đề trên ta được: rrlrrSiiSSSSSS(ϕϕ) ===−( ( ( ))) ( ) (1,) với i là 2 2 phần tử lũy đẳng của S. Vì ii= nên (11,− ii) =− đặt 1,− i = f suy ra rfSS ()ϕ = , với f là lũy đẳng của S. +) Ta sẽ chứng minh Z là vành Baer. Xét ϕ là phần tử của Z (tức là ϕ cũng là phần tử của S ) suy ra rfSS (ϕ ) = và lSeS (ϕ ) = . Vì ϕ là phần tử của Z, nên rlSS(ϕ ) = (ϕ ) điều này dẫn đến fSSe= , suy ra f là phần tử của Se và e là phần tử fS hay e ==fe f . Từ đĩ ta cĩ eS(110−= e) Se( −= e) và (110,− eSe) =−( eeS) = suy ra với mọi phần tử s của S thì es()()1− e = 1− e se = 0 hay es= ese= se. Do đĩ e là phần tử của Z. Vì lZ (ϕ) =∩Z ()lZSeZeS ()ϕ =∩ = nên Z là vành Baer. II. MƠĐUN VỚI ĐỘ DÀI HỮU HẠN VÀ ĐIỀU KIỆN BAER SUY RỘNG Trong mục này chúng tơi quan tâm tính chất của vành các tự đồng cấu của mơđun M với độ dài hữu hạn và thỏa mãn các điều kiện Baer suy rộng. 4.2.8. Định lý. Nếu M là mơđun Baer khơng phân tích được với độ dài hữu hạn thì vành các tự đồng cấu SEndM= () là một thể. Chứng minh. Muốn chứng minh S thể thì ta phải chứng minh được với mọi tự đồng cấu ϕ của S thì ϕ = 0 hoặc ϕ là tự đẳng cấu. Vì M là mơđun Baer nên theo [41, Proposition 2.22], Kerϕ là hạng tử trực tiếp của M. Đồng thời do M khơng phân tích được nên Kerϕ = 0 hoặc Kerϕ = M . Nếu Kerϕ = M thì ϕ = 0. Nếu Kerϕ = 0, thì ϕ là đơn cấu. Mặt khác, M cĩ độ dài hữu hạn khơng phân tích được nên theo [14, Corollary 11.8], ϕ là tự đẳng cấu. Vậy S là một thể. 4.2.9. Hệ quả. Nếu M là mơđun Baer với độ dài hữu hạn thì vành các tự đồng cấu SEndM= () là vành nửa đơn. 35
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp M là mơđun phân tích được. Khi k đĩ đặt M = M với M là mơđun khơng phân tích được với độ dài hữu hạn sao cho ⊕ i i i=1 k lM()= ∑ l() Mi . Theo [41, Proposition 1.8], các mơđun con M i là mơđun Baer. Theo Định i=1 lý 4.2.8, vành các tự đồng cấu SEndMii= () là một thể với mọi in=1,2, , . Khi đĩ ta cĩ k SEndM=≅()⊕ Si , và sử dụng Định lý Wedderburn - Artin (xem [48, 4.4]), suy ra S là i=1 vành nửa đơn. n 4.2.10. Hệ quả. Nếu M là mơđun Baer và cĩ sự phân tích M = M trong đĩ các ⊕ i i=1 mơđun Mi với độ dài hữu hạn thì vành các tự đồng cấu SEndM= () là vành nửa đơn. k Chứng minh. Đặt M = X với X là mơđun khơng phân tích được cĩ độ dài hữu hạn ⊕ i i i=1 (ở đây kn≥ ). Chứng minh tương tự Hệ quả 4.2.9, ta cĩ S là vành nửa đơn. 4.2.11. Hệ quả. Nếu R là vành Baer, Artin phải thì R là vành nửa đơn. Chứng minh. Vì R là vành Artin phải nên cũng là vành Noether phải. Khi đĩ R cĩ sự n phân tích R = R trong đĩ các iđêan phải R khơng phân tích được. Vì R là mơđun Artin R ⊕ i i i i=1 và cũng là mơđun Noether, nên Ri là mơđun cĩ độ dài hữu hạn. Theo Hệ quả 4.2.10, vành các n tự đồng cấu S=≅ End() R End R là vành nửa đơn. Mặt khác SEndR=≅ ( ) R , nên R ⊕ ()i R i=1 R là vành nửa đơn. 4.2.12. Bổ đề. Nếu M là mơđun khơng phân tích được với độ dài lM()2,= và N là mơđun con của M thì N là mơđun con bất biến đầy đủ. Chứng minh. Vì lM()2,= ta cĩ chuỗi hợp thành 0 ⊂⊂XM trong đĩ X là mơđun đơn và M cũng là mơđun đơn. Ta chứng minh chuỗi hợp thành đĩ là duy nhất. Giả sử tồn tại X một chuỗi hợp thành khác là 0⊂⊂FM , với F là mơđun đơn. Ta cĩ XF∩ là mơđun con của X và F. Nhưng do X và F là các mơđun đơn nên XF∩ = 0 hoặc XFXF∩= =. Nếu XF∩=0, khi đĩ tồn tại XF⊕ là mơđun con của M. Ta cĩ chuỗi sau 0.⊂⊂⊕⊂XXFM Từ điều kiện lM()2,= ta cĩ XFM⊕ = . Điều này mâu thuẫn với tính chất khơng phân tích được của M. Do đĩ XFXF∩ ==, tức là chỉ tồn tại duy nhất 36
chuỗi hợp thành 0.⊂⊂XM Từ điều này suy ra nếu N là mơđun của M thì N = 0hoặc NX= hoặc NM= . Với mỗi tự đồng cấu ϕ : M ⎯⎯→ M ta chứng minh ϕ (NN )⊂ . • Với N = 0, hiển nhiên ta cĩ ϕ (0)= 0. • Với NM= , ta cũng cĩ ϕ()M ⊂ M . • Với NX= , áp dụng Định lý đồng cấu ta cĩ X ≅ Imϕ . Vì X là mơđun đơn nên kerϕ Kerϕ =0 hoặc Kerϕ =X. Nếu Kerϕ =X, thì ϕ=0, khi đĩ ϕ (X=0) ⊂ X. Nếu Kerϕ =0, thì ϕ()X là mơđun con đơn của M. Mà chuỗi 0 ⊂⊂XM là duy nhất nên ϕ (XX )= . Vậy với mọi mơđun con N của M , ta luơn cĩ ϕ()NN⊂ với mọi tự đồng cấu ϕ ∈ End( M ), điều này dẫn đến N là mơđun con bất biến đầy đủ. 4.2.13. Định lý. Nếu M là mơđun tựa Baer khơng phân tích được với độ dài lM()2,≤ thì vành các tự đồng cấu SEndM= () là một thể. Chứng minh. Vì lM()2,≤ nên lM()1= hoặc lM()2.= • Với lM( )= 1, ta cĩ M là mơđun đơn. Xét tự đồng cấu ϕ, ta cĩ Kerϕ là mơđun con của M, suy ra K erϕ = 0 hoặc Kerϕ = M . Nếu Kerϕ = M thì ϕ = 0. Nếu Kerϕ = 0, thì ϕ là đơn cấu. Mặt khác, M cĩ độ dài hữu hạn khơng phân tích được nên theo [14, Corollary 11.8], ϕ là tự đẳng cấu. Vậy S là một thể. • Với lM()2,= ta chứng minh M là mơđun Baer. Xét N là mơđun con bất kỳ của M , ta cĩ N là mơđun con bất biến đầy đủ của M (theo Bổ đề 4.2.12). Vì M là mơđun tựa Baer, nên lNS ( )= Se . Điều này dẫn đến M là mơđun Baer. Áp dụng Định lý 4.2.8, ta suy ra S là một thể. Vậy S là một thể với 2 trường hợp về độ dài của M. 4.2.14. Hệ quả. Nếu M là mơđun tựa Baer với độ dài lM()2,≤ thì vành các tự đồng cấu S= End() M là vành nửa đơn. Chứng minh. • Với lM()1,= hoặc với lM()2= khơng phân tích được, theo Định lý 4.2.13, ta cĩ S là vành nửa đơn (thể là trường hợp đặc biệt của vành nửa đơn). • Với lM ( )= 2 phân tích được, đặt M = MM12⊕ trong đĩ M1 và M 2 là các mơđun đơn. Khi đĩ SEndM11= ( ) và SEndM22= ( ) là các thể. Do đĩ SS≅ 12⊕ S và theo Định lý Wedderburn - Artin, S là vành nửa đơn. n 4.2.15. Hệ quả. Nếu M là mơđun tựa Baer và cĩ sự phân tích M = M trong đĩ các ⊕ i i=1 37
mơđun M i cĩ độ dài khơng vượt quá 2 thì vành các tự đồng cấu S= End() M là vành nửa đơn. k Chứng minh. Đặt M = X với X là mơđun khơng phân tích được cĩ độ dài khơng ⊕ i i i=1 vượt quá 2. Sử dụng Định lý 4.2.12, ta cĩ S là vành nửa đơn. 4.2.16. Hệ quả. Nếu R là vành tựa Baer, CS - nửa đơn thì R là vành nửa đơn. Chứng minh. Vì R là vành CS - nửa đơn, nên theo [22, Theorem 13.5], R cĩ sự phân n tích R = R trong đĩ các iđêan phải R khơng phân tích được và cĩ độ dài lR ≤ 2 với R ⊕ i i ()i i=1 in=1,2, , .Theo Hệ quả 4.2.15, R ≅ SEndR= (R ) là vành nửa đơn. 4.2.17. Định lý. Nếu M là mơđun Baer đối ngẫu khơng phân tích được với độ dài hữu hạn thì vành các tự đồng cấu S= End() M là một thể. Chứng minh. Muốn chứng minh S thể thì ta phải chứng minh được với mọi tự đồng cấu ϕ của S thì ϕ = 0 hoặc ϕ là tự đẳng cấu. Vì M là mơđun Baer đối ngẫu nên theo [44, Theorem 2.1], Imϕ là hạng tử trực tiếp của M . Đồng thời do M khơng phân tích được nên Imϕ = 0 hoặc Imϕ = M . Nếu Imϕ = 0 thì ϕ = 0. Nếu Imϕ = M , thì ϕ là tồn cấu. Mặt khác, M cĩ độ dài hữu hạn khơng phân tích được nên ϕ là tự đẳng cấu. Vậy S là một thể. 4.2.18. Hệ quả. M là mơđun Baer đối ngẫu với độ dài hữu hạn thì vành các tự đồng cấu SEndM= () là vành nửa đơn. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp M là mơđun phân tích được. Khi k đĩ đặt M = M với M là mơđun khơng phân tích được với độ dài hữu hạn sao cho ⊕ i i i=1 k lM()= ∑ l() Mi . Theo [44, Corollary 2.5], các mơđun con M i là mơđun Baer đối ngẫu. Theo i=1 Định lý 4.2.17, vành các tự đồng cấu SEndMii= ( ) là một thể với mọi in=1,2, , . Khi đĩ ta cĩ k SEndM=≅()⊕ Si , và sử dụng Định lý Wedderburn - Artin, suy ra S là vành nửa đơn. i=1 n 4.2.19. Hệ quả. Nếu M là mơđun Baer đối ngẫu và cĩ sự phân tích M M trong = ⊕ i i=1 đĩ các mơđun M i với độ dài hữu hạn thì vành các tự đồng cấu SEndM= () là vành nửa đơn. k Chứng minh. Đặt M = X với X là mơđun khơng phân tích được cĩ độ dài hữu ⊕ i i i=1 hạn. Sử dụng Định lý 4.2.17, ta cĩ S là vành nửa đơn. 38
4.2.20 Định lý. Nếu M là mơđun tựa Baer đối ngẫu khơng phân tích được với độ dài lM()2,≤ thì vành các tự đồng cấu SEndM= () là một thể. Chứng minh. • Với lM()1,= chứng minh tương tự Định lý 4.2.17, ta cĩ S là một thể. • Với lM ( )= 2, ta phải chứng minh được với mọi tự đồng cấu ϕ của S thì ϕ = 0 hoặc ϕ là tự đẳng cấu. Vì ϕ :M ⎯⎯→ M , nên Imϕ là mơ đun con của M. Do đĩ theo Bổ đề 4.2.12, Imϕ là mơđun con bất biến đầy đủ của M.Theo [9, Lemma 2.1], Imϕ là hạng tử trực tiếp của M. Từ giả thiết M khơng phân tích được, suy ra Imϕ = 0 hoặc Imϕ = M . từ đĩ chứng minh tương tự Định lý 4.2.17, ta cĩ S là một thể. 4.2.21. Hệ quả. Nếu M là mơđun tựa Baer đối ngẫu với độ dài lM()2,≤ thì vành các tự đồng cấu SEndM= () là vành nửa đơn. Chứng minh. Tương tự Hệ quả 4.2.15, sử dụng Định lý 4.2.20 ta cĩ điều phải chứng minh. n 4.2.22. Hệ quả. Nếu M là mơđun tựa Baer và cĩ sự phân tích M M trong đĩ = ⊕ i i=1 các mơđun M i cĩ độ dài khơng vượt quá 2 thì vành các tự đồng cấu SEndM= () là vành nửa đơn. Chứng minh. Tương tự Hệ quả 4.2.16, sử dụng Định lý 4.2.20 ta cĩ điều phải chứng minh. 39
CHƯƠNG 5. MA TRẬN VUƠNG CẤP HAI TRÊN ĐẠI SỐ LEAVITT Các đại số trên trường là đối tượng nghiên cứu của nhiều chuyên ngành khác nhau như: Đại số kết hợp, Đại số giao hốn, Hình học đại số, Tơ pơ Đại số, Đại số Lie, Lý thuyết biểu diễn Đại số Leavitt Ln được Leavitt đưa ra trong một bài báo của ơng năm 1962 (xem [33]) và sau đĩ được ơng và một số tác giả khác quan tâm nghiên cứu. Hiện nay một hướng nghiên cứu về Đại số Leavitt đang được nhiều tác giả quan tâm là sử dụng đại số này để nghiên cứu các graph cĩ hướng (xem [6], [7], [8], [15], [24]). Những nghiên cứu này tạo ra một sự liên hệ chặt chẽ giữa Đại số kết hợp, Hình học tổ hợp, C*- đại số và Đại số Lie (xem [15], [24]). Năm 2008. G. Abrams, P. N. Ánh và E. Pardo đã quan tâm đến điều kiện để vành ma trận vuơng Md(Ln) đẳng cấu với Ln và các tác giả này đã chứng minh được rằng M(L)dn≅ L nkhi và chỉ khi gcd(d,n− 1)= 1, ở đây ký hiệu gcd(a,b) để chỉ ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương a và b (xem [5]). Sử dụng kết quả này, trong [5] các tác giả đã giải quyết được một giả thuyết về đại số Cuntz là vấn đề đang được quan tâm về C* - đại số. Trong [6, Theorem 5.9], G. Abrams, P. N. Ánh, A. Louly và E. Pardo đã chứng minh được kết quả tương tự với đại số quỹ đạo Leavitt (Leavitt path algebra): Nếu Ln là đại số quỹ đạo . Leavitt và gcd(d,n−= 1) 1thì vành ma trận vuơng M(L)dn≅ L n Tuy nhiên, chứng minh M(L)dn≅ L n khi và chỉ khi gcd(d,n− 1)= 1(xem [5, Theorem 4.14]) rất dài (gần 20 trang) và khĩ. Các tác giả đã sử dụng nhiều cơng cụ của Đại số kết hợp, Đại số tổ hợp và Lý thuyết số. Chúng tơi cho rằng việc diễn đạt lại chứng minh này cho một số trường hợp cụ thể cũng là điều rất thú vị và để hiểu rõ hơn chứng minh Định lý 4.14 trong bài báo của G. Abrams, P. N. Ánh và E. Pardo. Trong chương này chúng tơi diễn đạt lại Định lý 4.14 ([5]) cho trường hợp n là số nguyên dương chẵn và d = 2 (rõ ràng khi đĩ gcd(d,n− 1)= 1. Nội dung này được nêu ra trong Định lý 5.2. Sau đĩ chúng tơi sử dụng kết quả này để tìm hiểu những tính chất tương tự với đại số đa thức, tổng và tích trực tiếp, Các kết quả này được trình bày trong Định lý 5.5, Định lý 5.8, 5.1. Định nghĩa. a) Cho trường K, ký hiệu δ với δ =δ=≠10ijnếu i = j và nếu là ký hiệu ij ( ij ij ) Kronecker b) Đại số Leavitt Ln trên trường K là đại số tự do được sinh bởi 2n phần tử n x , x , , x , y , y , , y sao cho xy= δ 1 , với mọi i, j∈ {1,2, ,n}; y x= 1 ở đây 12 n12 n ij ijK ∑ j1= jj K 40
và 1K là phần tử đơn vị của trường K. 5.2. Định lý. Cho n là số nguyên dương chẵn và Ln là đại số Leavitt sinh bởi các phần tử x12 , x , , x n12 , y , y , , y n. Khi đĩ M(L)2n≅ L n. Chứng minh. Vì Ln là đại số Leavitt sinh bởi 2n phần tử x12 , x , , x n12 , y , y , , y n nên n ta cĩ xy=δ 1 với 1i,jn≤≤ và yx= 1 . Gọi ij ijK ∑ j1= jj K ⎛⎞10 I = ⎜⎟ ⎝⎠01 là ma trận đơn vị trong M(L)2n ở đây 1 là phần tử đơn vị trong Ln. Để chứng minh M(L)2n≅ L nchúng ta chỉ cần ra một tập S=⊆{ a12 ,a , ,a n12 ,b ,b , ,b n} M 2 (L n ) thỏa mãn n ab=δ I với 1i,jn≤≤và b aI= sao cho S sinh ra M(L)như là một K - đại số. ij ij ∑ j1= jj 2n Cho trường K, ta xét phép gán xyx,yxyiiiiii= = với 1in≤≤ và từ đĩ cảm * sinh được một K - tự đẳng cấu : LLnn sao cho nn* nn n n α=*kxknykxkykykx,L + + = + = + ∀α∈ ở (∑∑i1==ii i1 i i) ∑∑ i1 == ii i1 ini++ ∑∑ i1 = ii i1 = ini n * đây k12 ,k , ,k n ,k n1+ , ,k 2n∈ K. Ta xây dựng phép đối hợp trong M(L)2n như sau * *: M(L)→ M(L) sao cho Xx ==⎡⎤ ⎡ x.⎤ Ta thấy phép đối hợp này cũng là 2n 2n (⎣⎦ij22××) ⎣ ij ⎦ 22 K - tự đẳng cấu trong M(L).2n Đặt n2q2=+ với q là số tự nhiên, chúng ta xét 2n ma trận sau đây: ⎛⎞x02(i−+ 1) 1 Xi = ⎜⎟ ⎝⎠x02(i−+ 1) 2 với 1i11,≤≤+ ⎛⎞0xi −+ (q1) Xi = ⎜⎟ ⎝⎠0xqi − * với q2in+≤≤ và YXii= với 1i≤ ≤ n. n Ta cĩ XY=δ I với 1i,jn≤ ≤ thỏa mãn và YX= I. Gọi A là K - đại số con ij ij ∑ j1= jj của M(L)sinh2n bởi các ma trận {X,Y|1ii≤≤ i n} . Chúng ta sẽ chứng minh ⎛⎞10 ⎛⎞ 01 ⎛⎞ 00 ⎛⎞ 00 e,e,e,e11===⎜⎟ 12 ⎜⎟ 21 ⎜⎟ 22 ⎜⎟ ⎝⎠00 ⎝⎠ 00 ⎝⎠ 10 ⎝⎠ 01 41
q1+ chúng ta cĩ ee+= I. Tính tốn trực tiếp chúng ta cĩ YX=∈ e A và 11 22 ∑ i1= jj 11 n YX=∈ e A. ∑iq2=+ jj 22 Xét ω∈{1,2, ,n} và đặt ω =+a.2rω ω với r{1,2}.ω ∈ Chúng ta ký hiệu ω ∼ rω theo quan hệ tương đương mơđulơ 2. Chúng ta lần lượt chứng minh các bước: Bước 1: Nếu 1n≤ω≤ thì x.e∈ Avớiω∼ r. ω r1ω ω Thật vậy, xuất phát từ ω=a.2rω + ω với rω ∈ {1,2} chúng ta cĩ eA∈ và eA11 ∈ , suy rrωω ra eXe∈ A. Từ đĩ x.e∈ A. rrωω a ω 11 ω r1ω Bước 2: Nếu 1n≤ω≤ thì y.e∈ Avớiω∼ r. ω 1rω ω Thật vậy, xuất phát từ ω=a.2rω + ω với rω ∈ {1,2} chúng ta cĩ eA∈ và eA11 ∈ , suy rrωω ra eYe∈ A. Từ đĩ y.e∈ A. 11 aωωω r r ω 1rω Bước 3: Các ma trận e12 và e21 nằm trong đại số A. Thật vậy, eX11 q+ 2 e 22=∈ xe 1 12 A suy ra eA12 ∈ . Tương tự eA21 ∈ . Từ các nhận xét trên chúng ta cĩ eAij ∈ với i, j∈ {1,2} và xe,yeωωij ij ∈ A với 1n≤ω≤ . Do đĩ AM(L)= 2n. Xét đẳng cấu K - đại số tương ứng xXii và yYii chúng ta cĩ M(L)2n≅ L n. 5.3. Ví dụ. Với n4= , đại số Leavitt L4 với hệ sinh {x,x,x,x,y,y,y,y12341234} . Ta xây dựng hệ sinh của M(L)24 như sau: ⎛⎞x013 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ x0 0x 13 0x X,X,X,X1234===⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠x024 ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ x0 0x 24 0x và ⎛⎞yy12 ⎛⎞ yy 34 ⎛⎞00 ⎛⎞ 00 YX11==⎜⎟ ,YX 22 == ⎜⎟ ,YX 33 ==⎜⎟ ,YX 44 == ⎜⎟ ⎝⎠00 ⎝⎠ 00 ⎝⎠yy12 ⎝⎠ yy 24 Khi đĩ X,X,X,X,Y,Y,Y,Y12341234 cũng là hệ sinh của M(L)th24 ỏa mãn điều kiện của đại số Leavitt. Ta cĩ hệ 8 ma trận sau đây cũng là hệ sinh của M(L):24 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞x13 0 x 0 0x 13 0x X,X,X,X12===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟ 34 ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠0x2424 0x x 0 x 0 và ⎛⎞y013 ⎛⎞ y0 ⎛⎞ 0y 1⎛⎞0y4 YX11==⎜⎟ ,YX 22 == ⎜⎟ ,YX 33 == ⎜⎟ ,YX 44 ==⎜⎟ ⎝⎠0y242 ⎝⎠ 0y ⎝⎠ y 0 ⎝⎠y03 42
Tương tự ta cĩ hệ sau đây cũng là hệ sinh của M(L)24: ⎛⎞x014 ⎛ x 0 ⎞⎛⎞⎛ 0x 33 x 0 ⎞ X,X,X,X12==⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟⎜ 34 == ⎟ ⎝⎠x02241 ⎝ 0x ⎠⎝⎠⎝ 0x 0x ⎠ và ⎛⎞yy12 ⎛⎞y043 ⎛⎞00 ⎛⎞ y0 YX11==⎜⎟ ,YX 2 == 2⎜⎟ ,YX 33 ==⎜⎟ ,YX 4 == 4 ⎜⎟ ⎝⎠00 ⎝⎠0y21⎝⎠yy34 ⎝⎠ 0y Để xây dựng các bộ hệ sinh chúng ta chỉ cần sử dụng những tính chất sau đây: (+) Từ bộ hệ sinh nào đĩ chúng ta hốn vị các phần tử xi (Tương ứng yj) lại được một bộ hệ sinh mới. (+) Nếu xXji∈ thì yYji∈ (+) Các ma trận XiYj chỉ cĩ nhiều nhất hai phần tử khác khơng bởi vì nếu Xi cĩ ba phần tử khác khơng thì Yi cũng vậy và khi đĩ trong tích YiXi sẽ xuất hiện phần tử yjxk với jk≠ mà tính chất của phần tử này chưa xác định trong định nghĩa của Đại số Leavitt L4. Chú ý rằng nĩi phần tử x thuộc ma trận ⎛⎞aa11 12 A = ⎜⎟ ⎝⎠aa21 22 nghĩa là tồn tại i, j∈ {1,2} sao cho xa= ij . Do đĩ cĩ nhiều đẳng cấu khác nhau từ L4 đến M(L)24. Tổng quát hơn, với số nguyên dương n tùy ý sao cho gcd(n− 1,d)= 1 cĩ nhiều bộ gồm 2n ma trận {X12 ,X , ,X n12 ,Y ,Y , ,Y n} là hệ sinh của M(L)vàd4 thỏa mãn điều kiện của đại số Leavitt. Do đĩ cĩ nhiều đẳng cấu khác nhau từ Ln đến Md4 (L ) . Tuy nhiên khơng phải bất cứ bộ 2n ma trận thỏa mãn điều kiện của đại số Leavitt cũng là hệ sinh của M(L).d4 5.4. Ví dụ. Với d3,n5== khi đĩ gcd(n− 1,d)== gcd(4,3) 1 chúng ta cĩ M(L)35≅ L 5 và tồn tại nhiều đẳng cấu khác nhau từ Ln đến Md4 (L ) . Tuy nhiên khơng phải bất cứ bộ 2n ma trận thỏa mãn điều kiện của đại số Leavitt cũng là hệ sinh của M(L).d4 Gọi x,x,x,x,x,y,y,y,y,ylà1234512355 hệ sinh của L5, chúng ta xét 10 ma trận sau đây: ⎛⎞⎛⎞⎛⎞x0014 x 00 0x0 2 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ Xx00,Xx00,X0x0,== = 12⎜⎟⎜⎟⎜⎟ 25 3 3 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠x00314 0x0 0x0 43
⎛⎞⎛⎞0x53 0 00x ⎜⎟⎜⎟ X00x,X00x,== 4154⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠00x25 00x và ⎛⎞⎛⎞⎛⎞yyy123 yy 45 0 000 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ YX== 0 0 0,YX == 0 0y,YX == y y y, 1 1⎜⎟⎜⎟⎜⎟ 2 2 1 3 3 234 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠000 000 000 ⎛⎞⎛⎞000 000 ⎜⎟⎜⎟ YX== y 00,YX == 000. 44⎜⎟⎜⎟ 5 55 ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠0yy12 y 345 y y Khi đĩ {X,X,X,X,X,Y,Y,Y,Y,Y1 2 3 4 512345} thỏa mãn điều kiện của đại số Leavitt nhưng khơng phải là hệ sinh của M35 (L ) vì 10 ma trận đĩ khơng sinh ra ma trận. ⎛⎞001 ⎜⎟ e000= 13 ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠000 Trong phần tiếp theo của bài báo chúng tơi sẽ sử dụng Định lý 5.2 để tìm hiểu tính chất đẳng cấu giữa đại số M2(A)với đại số A trong đĩ A là đại số đa thức tren đại số Leavitt Ln hoặc là các mở rộng tầm thường, tổng trực tiếp của Ln 5.5. Định lý. Cho n là số nguyên dương chẵn và Ln là đại số Leavitt. Khi đĩ MLx2n( [ ]) ≅ Lx n[ ] với Lxn [] là vành đa thức trên vành M(L)2n. Chứng minh. Trước hết chúng ta sẽ chứng minh MLx2n( [ ]) ≅ ML 2n( )[ x] trong đĩ ML2n()[] x là vành đa thức cĩ các phần tử lấy trên vành M(L).2n Thật vậy, xét một ma trận XM(L[x])∈ bất kỳ, khi đĩ X cĩ dạng XX= ⎡ ⎤ 2n ⎣ ij ⎦22× trong đĩ (0)(1)(2)2(m11 ) m (0)(1)(2)2 (m22 ) m X11=+ a 11 a 11 x + a 11 x ++ a 11 x ;X 12 =+ a 12 a 12 x + a 12 x ++ a 12 x ; (0)(1)(2)2(m33 ) m (0)(1)(2)2 (m44 ) m X21=+ a 21 a 21 x + a 21 x ++ a 21 x ;X 22 =+ a 22 a 22 x + a 22 x ++ a 22 x ; với m1, m2, m3, m4 là các số nguyên dương và là bậc của các đa thức Xi,j{1,2}ij ()∈ ; Các phần tử aL(t) ∈ là hệ số của đa thức. Đặt mmaxm,m,m,m= và đặt ij n ( 1234) m Xax= (t) t với lưu ý rằng với các đơn thức mới bổ sung thêm đến bậc m cĩ hệ số bằng ij∑t0= ij 44
m 0. Xét đồng cấu ϕ→:M L [x] M (L )[x]xác định bởi ϕ=[X ]⎡⎤ a(t) x t . 2n( ) 2n ( ij 2× 2) ∑t0= ⎣⎦ 22 22× Chúng ta cĩ thể kiểm tra được ϕ là đẳng cấu K - đại số. Do đĩ ML[x]ML[x]2n( )≅ 2n( ) . Theo Định lý 5.2, M(L)≅ L nên tồn tại đẳng cấu K - đại số f:M(L)→ L .Xây 2n n 2n n dựng đồng cấu Ψ→:M2n() L[] x L n[ x] xác định bởi mm Ψ=⎡⎤ax(t) t fax ⎡⎤ (t) t . Kiểm tra được rằng Ψ là đẳng cấu K - đại số. (∑∑t0==⎣⎦ij22××) t0 ( ⎣⎦ ij 22) Do đĩ M(L)x2n[]≅ L n [] x. Vậy MLx2n( [ ]) ≅ M(L)x 2n[ ]. Trong [19], J. Chen and Y. Zhou đã định nghĩa khái niệm vành mở rộng tầm thường (trivial extension) như sau: 5.6. Định nghĩa. Cho vành R và M là một song mơ đun trên R, mở rộng tầm thường của vành R và mơ đun M, là một vành được ký hiệu là RM∝={( a,m:aR,mM) ∈ ∈}với các phép tốn được định nghĩa. (a,m) +=++( b,n) ( a b,m n) , a,m b,n=+ ab,an mb . ()()( ) 5.7. Nhận xét. Chúng ta cĩ thể kiểm tra được RM∝ là một vành. Trong trường hợp M = R ta cĩ vành mở rộng tầm thường RR∝ . Nếu A là một đại số trên trường K thì AA∝ cũng cĩ cấu trúc của một K - đại số. 5.8. Định lý. Cho n là số nguyên dương chẵn và Ln là đại số Leavitt. Khi đĩ ML2n( ∝≅∝ L n) L n L n. Chứng minh: Chúng ta xét XML∈∝ L, khi đĩ X cĩ dạng XX= ⎡⎤ trong 2n( n) ⎣⎦ij 22× đĩ XLij∈∝ n L n với i, j∈ {1,2}. Nhận xét rằng Xu,vij= ( ij ij ) với u,vij ij∈ L n . Chúng ta cĩ thể viết ⎛⎞(u,v11 11) ( u,v 12 12 ) X = ⎜⎟ ⎝⎠()()u,v21 21 u,v 22 22 Xét đồng cấu ϕ:Μ2n(LL ∝ n) →Μ 2n( L) ∝ ML 2n( ) xác định bởi ⎛⎞⎛⎞()u,v11 11( u,v 12 12) ( u,u 11 12) ( v,v 11 12 ) ϕ=ϕ(X) ⎜⎟⎜⎟ = ⎝⎠⎝⎠()()u,v21 21 u,v 22 22()() u,u 21 22 v,v 21 22 Tính tốn trực tiếp chúng ta cĩ ϕ là đẳng cấu K - đại số. Do đĩ Μ∝≅Μ∝2n(LL n) 2n( L) ML 2n( ) . 45
Theo Định lý 5.2, ML2n( ) ≅ L n nên tồn tại đẳng cấu K - đại số f:M2n( L) → L n. Xây dựng đồng cấu ψ∝→∝:M2n( L) M 2n( L) L n L nxác định bởi ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞uu11 12 vv 11 12⎛⎞ uu 11 12 vv 11 12 Ψ=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟,f,f⎜⎟. uu vv⎜⎟ uu vv ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠21 22 21 22⎝⎠ 21 22 21 22 Kiểm tra được rằng Ψ là đẳng cấu K - đại số. Do đĩ ML2n( ) ∝≅∝ ML 2n( ) L n L n. Vậy ML2n( ∝≅∝ L n) L n L n. 5.9. Mệnh đề. Cho n là số nguyên dương và Ln là đại sốLeavitt trên trường K cĩ đặc số char(K) = 2 sinh bởi các phần tử x12 , x , , x n12 , y , y , , y n. Gọi A là đại số con của đại số LLnn∝ sinh bởi phần tử {Xiiiiii===( x ,x) ,Y( y ,y) |i 1,2, ,n}. Khi đĩ AL≅ n . Chứng minh. Nhận xét rằng XYi j=( x,xy,y i i)( j j) =( xy,xyxy ij ij + ij) =δ( ijK 1,1 δ ijK +δ ijK 1) =δ( ijK 1, δ ijK( 11 + K)) =δ( ijK 1,0) (vì char(K) = 2 nên 1K + 1K = 0 và nn n nn YX==+=+ y y x,x yx,yx yx yx, yx ∑∑j1==jj j1() j,j( j j) ∑ j1 =( jjjj jj) ∑∑ j1 == jj j1 jj n yx=+= 1,1 1 1,0. ∑ j1= jj) ()() K K K K Do đĩ A là một K - đại số leavitt. Xét phép tương ứng xXii và yYii với mọi i= 1,2, , n ; từ đĩ cảm sinh một K - đẳng cấu đại số f:Ln → Avới f(x)iiii== X ,f(y) Y trong đĩ i= 1,2, , n . Vậy AL≅ n . 5.10. Hệ quả. Cho n là số nguyên dương chẵn và Ln là đại số Leavitt trên trường K cĩ đặc số char (K) = 2. Khi đĩ ⎧⎫⎛⎞aa M2(Ln) ≅=A ⎨⎬⎜⎟aL ∈n . ⎩⎭⎝⎠0 a Chứng minh. Theo Định lý 5.2, M2(L2) ≅ Ln. Theo Mệnh đề 5.9, Ln ≅ B với B là đại số con của Ln α Ln sinh bởi các phần tử sinh của đại số Leavitt Ln. Mặt khác. ⎧⎛⎞aa ⎫ B ≅=A ⎨⎜⎟aL ∈n ⎬ ⎩⎭⎝⎠0 a Do đĩ M2(L2) ≅ A. Điều thú vị của kết quả này là đại số các ma trận vuơng cấp 2 trên đại số Leavitt Ln(với n nguyên dương chẵn và trường K cĩ char (K) = 2) lại đẳng cấu với một đại số con của chính nĩ với dạng ma trận đặc biệt. 46
⎧⎫⎧⎫⎛⎞aa ⎛⎞ aa M2(Ln) =∈≅=∈⎨⎬⎨⎬⎜⎟abcd,,, Lnn A ⎜⎟ a L . ⎩⎭⎩⎭⎝⎠00aa ⎝⎠ I (I) Cho vành R và I là một tập hợp bất kỳ. Chúng ta ký hiệu R = R và R = ⊕i∈I Ri với ∏ iI∈ i I (I) Ri = R. Khi I = {1,2, ,k} trong đĩ k là một số nguyên dương chúng ta nhận thấy R = R và viết gọn lại là Rk. Khi I là tập vơ hạn R(I) là vành con của tập RI. Lưu ý rằng nếu A là một đại số trên trường K thì AI và A(I) đều cĩ cáu trúc của K - đại số. 5.11. Định lý. Cho n là số nguyên dương chẵn và Ln là đại số Leavitt. Khi đĩ M2 kk (Lnn) ≅ L với k là một số nguyên dương bất kỳ. k Chứng minh. Chúng ta xét X ∈ M2 (Ln ) , khi đĩ X cĩ dạng X = [Xij]2x2 trong đĩ Xị ∈ k u()t (t ) Ln với I,j ∈ {1,2}. Nhận xét rằng Xij = ( ij ) trong đĩ uLij ∈ n với bất kỳ t ∈ {1,2, ,k}. Chúng ta cĩ thể viết ⎛⎞()12 ( ) (kk ) () 12 ( ) ( ) (uu11, 11 , , u 11) ( uu 12 , 12 , , u 12 ) X = ⎜⎟. ⎜⎟uu()12, ( ) , , u (kk ) uu() 12 , ( ) , , u ( ) ⎝⎠()21 21 21() 22 22 22 k k Xét đồng cấu ϕ: M2 (Ln ) → M2 (Ln ) xác định bởi ⎛⎞()12 ( ) (kk ) () 12 ( ) ( ) (uu11, 11 , , u 11) ( uu 12 , 12 , , u 12 ) ϕ(X) = ϕ ⎜⎟ ⎜⎟uu()12, ( ) , , u (kk ) uu() 12 , ( ) , , u ( ) ⎝⎠()21 21 21() 22 22 22 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞uu()11 () uu() 2 () 2 vv()kk () = ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟11 12, 11 12 , , 11 12 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟()11 () () 2 () 2 ()kk () ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠uu21 22 uu 21 22 vv 21 22 k k Tính tốn trực tiếp chúng ta cĩ ϕ là đẳng cấu K - đại số. Do đĩ M2 (Ln ) ≅ M2 ()Ln . Theo Định lý 5.2, M2(Ln) ≅ Ln nên tồn tại đẳng cấu K - đại số f: M2(L2) →Ln. k k Xây dựng đồng cấu ψ : M 22()LL→ n xác định bởi ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞uu()11 () uu() 2 () 2 vv()kk () = ⎜⎟ff⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟11 12,f 11 12 , , 11 12 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟uu()11 () uu() 2 () 2 vv()kk () ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠21 22 21 22 21 22 k k Kiểm tra được rằng ψ là đẳng cấu K - đại số. Do đĩ M2(Ln) ≅ Ln . 4.12. Định lý. Cho n là số nguyên dương chẵn và Ln là đại số Leavitt. Khi đĩ ()II() M2 ()LLnn≅ với I là một tập hợp bất kỳ. 47
Chứng minh. Nhận xét rằng Lu(I) = trong đĩ u ∈ L và u ≠ 0 tại hữu hạn phần tử. ni( )iI∈ i n i ()I (I ) ()t Xét X ∈ M2 ()Ln , X cĩ dạng X = [Xij]2x2 trong đĩ Xij ∈ Ln với i,j ∈ {1,2}. Đặt Xij = (uij ) , t ()t ()t (t) (t) ∈I, ở đây uij ∈Ln và uij ≠ 0 tại hữu hạn phần tử. Giả sử u11 khác khơng tại h1 phần tử, u12 (t) (t) khác khơng tại h2, phần tử, u21 khác khơng tại h3 phần tử và u22 khác khơng tại h4 phần tử, ⎡⎤()t I với h1, h2, h3, h4 là các số tự nhiên. Xét phần tử Y = uML,ij∈ 2() n ta sẽ chứng minh (⎣⎦2x2 ) (I) Y ∈M2(Ln) . ⎡ ()t ⎤ Thật vậy, xét các ma trận dạng uij ∈M2(Ln), chúng ta nhận thấy số ma trận khác ⎣ ⎦2x2 ma trận khơng ứng với các trường hợp cĩ một vị trí của ma trận 2x2 khác khơng, tương ứng cĩ hai, ba, bốn vị trí khác khơng. Số ma trận khác ma trận khơng tối đa là S = 4 hhhhhhhhhh++ +. Do đĩ S là một đại lượng hữu hạn tức ∑∑s1=≤<≤≤<<≤s 1sp4 sp ∑ 1spq 4 spq 1234 ⎡⎤()t I ⎡ ()t ⎤ là Y = uML,ij∈ 2() n với uij khác ma trận khơng tại hữu hạn vị trí. Chúng ta (⎣⎦2x2 ) ⎣ ⎦2x2 (1) suy ra Y ∈M2(Ln) ()I (I) Xét đồng cấu ϕ: M2 ()Ln → M2(Ln) xác định bởi ()tt() ⎛⎞⎛⎞()tt () uu11 12 ⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟( )tI∈∈( ) tI uu11 12 ϕ(X) = ϕ ⎜⎟= ⎜⎟⎜⎟tIY∈= ⎜⎟tt ⎜⎟()tt() ⎜⎟⎜⎟uu() () ⎜⎟⎜⎟uu21 22 ⎝⎠⎝⎠21 22 ⎝⎠⎝⎠()tI∈∈() tI ()I (I) Tính tốn trực tiếp chúng ta cĩ ϕ là đẳng cấu K - đại số. Do đĩ M2 (Ln ) ≅ M2(Ln) . Theo Định lý 5.2, M2(Ln) ≅ Ln nên tồn tại đẳng cấu K- đại số f: M2(Ln) →Ln. (I) (I ) Xây dựng đồng cấu ψ : M2(Ln) → Ln xác định bởi ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞uu()tt () ⎛⎞ uu() tt () ψ=ψ()YtIftI⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟11 12 ∈= ⎜⎟ 11 12 ∈ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟uu()tt () ⎜⎟ uu() tt () ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠21 22 ⎝⎠ 21 22 ⎛⎞()tt () uu11 12 ⎛⎞00 Vì ⎜⎟≠ ⎜⎟ ⎜⎟()tt () 00 ⎝⎠uu21 22 ⎝⎠ tại hữu hạn vị trí, suy ra ⎛⎞⎛⎞uu()tt () f⎜⎟⎜⎟11 12 ≠ 0 ⎜⎟⎜⎟()tt () ⎝⎠⎝⎠uu21 22 48
(I ) tại hữu hạn vị trí. Do đĩ ψ (Y)∈ Ln . Chúng ta suy ra ψ là K - đồng cấu thỏa mãn ψ (I) (I ) (I) (I ) : M2(Ln) → Ln . Kiểm tra được rằng ψ là đẳng cấu K- đại số. Do đĩ M2(Ln) ≅ Ln . (I ) (I ) Vậy M2( Ln ) ≅ Ln . 49
PHẦN B. MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN GIẢNG DẠY NGÀNH SƯ PHẠM TỐN TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH I. Ứng dụng trong NCKH và nâng cao chất lượng đội ngũ Đây là đề tài về khoa học cơ bản nhằm gĩp phần phát triển những tri thức hiểu biết về Đại số kết hợp. Do đĩ với đặc thù của tổ Tốn, khoa SP Tự nhiên đề tài cĩ thể gĩp một phần vào việc nâng cao chất lượng đội ngũ theo những hướng sau: +) Nâng cao khả năng chuyên mơn nghiệp vụ, nghiên cứu khoa học của đội ngũ giảng viên Tốn của khoa. Cụ thể là: - Hình thành seminar khoa học, trao đổi khoa học trong tập thể tổ Tốn. Qua các buổi seminar các thành viên trong tổ cĩ thể cùng thảo luận một số vấn đề cụ thể về Đại số kết hợp. Hình thành các vấn đề cùng quan tâm, cập nhật những vấn đề thời sự của Đại số kết hợp. Qua đĩ cùng quan tâm trên những bài tốn cụ thể của chuyên ngành. Từng bước hình thành nhĩm nghiên cứu Đại số tại tổ Tốn. - Việc quan tâm các vấn đề khoa học chuyên sâu của chuyên ngành sẽ giúp các giảng viên trong tổ cập nhật những thơng tin khoa học. Nâng cao kiến thức, cập nhật những tri thức mới, hiện đại cĩ tính thời sự trong chuyên ngành Đại số. Do đĩ năng lực chuyên mơn, kiến thức chuyên ngành sâu của đội ngũ giảng viên sẽ từng bước được nâng lên đáp ứng được yêu cầu của nhà trường về chất lượng dạy và học. +) Tăng cường khả năng cơng bố các kết quả của các giảng viên trong tổ. Các vấn đề của đề tài là những hướng đang được quan tâm, cĩ tính thời sự của chuyên ngành Đại số kết hợp. Do đĩ việc quan tâm nghiên cứu các nội dung của đề tài sẽ hình thành các bài báo khoa học cĩ thể cơng bố của các giảng viên trong tổ. Trong quá trình thực hiện đề tài TS. Lê Văn An đã cơng bố được 05 bài báo trong đĩ cĩ 01 bài báo quốc tế. ThS. Nguyễn Thị Hải Anh cơng bố được 04 bài báo và ThS. Nguyễn Thanh Tâm cơng bố được 01 bài báo. +) Gĩp phần hình thành những ý tưởng định hướng các đề tài NCS cho đội ngũ giảng viên trường Đại học Hà Tĩnh. Một số vấn đề của đề tài này cĩ thể mở ra những hướng lựa chọn cho các giảng viên trong tổ làm đề tài NCS. Các vấn đề về Đại số quỹ đạo Leavitt hiện đang cĩ tính thời sự sẽ là một đề tài thú vị cho các NCS chọn lựa. Trong chuyên ngành Đại số kết hợp cũng cĩ nhiều chuyên gia giỏi cĩ thể giúp đỡ hướng dẫn NCS như GS. Đinh Văn Huỳnh, GS. Phạm Ngọc Ánh, GS. Lê Văn Thuyết, PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang, Trong quá trình thực hiện đề tài, TS. Lê Văn An đã thực hiện một số báo cáo chuyên đề tại tổ Tốn nhằm gĩp phần triển khai những nội dung ứng dụng trên. 50
II. Trong cơng tác giảng dạy ngành SP Tốn +) Trong cơng tác giảng dạy, đào tạo ngành SP Tốn. TS. Lê Văn An đã hướng dẫn các SV Đặng Thị Oanh (K1 - SP Tốn), SV Nguyễn Đình Nam (K2 - SP Tốn), SV Nguyễn Thị Dung (K2 - SP Tốn), SV Nguyễn Thị Lệ Hằng (K3 - SP Tốn), SV Võ Thị Thu Hiền (K3 - SP Tốn), SV Đặng Thị Hĩa (K3 - SP Tốn) viết khĩa luận tốt nghiệp về các vấn đề liên quan hoặc lân cận vấn đề nghiên cứu. ThS. Nguyễn Thị Thanh Tâm đã hướng dẫn SV Trần Thị Anh (K3 - SP Tốn) viết khĩa luận tốt nghiệp về một vấn đề liên quan đến đề tài này. Cụ thể là: - Các sinh viên Đặng Thị Oanh, Nguyễn Đình Nam, Nguyễn Thị Lệ Hằng đã được yêu cầu tiếp cận các nội dung về mơđun Baer và các suy rộng của nĩ. Trong quá trình tiếp cận các nội dung đĩ các sinh viên trên đã viết khĩa luận về mơđun Baer và các suy rộng. Các sinh viên đã hồn thành tốt yêu cầu. Các khĩa luận về nội dung này đều đạt được một số kết quả mới. Sinh viên Đặng Thị Oanh đã cĩ một bài báo viết chung với TS. Lê Văn An trong Thơng báo khoa học Đại học Hà Tĩnh. Sinh viên Nguyễn Đình Nam đã cĩ một bài báo viết chung với TS. Lê Văn An nhận đăng trong Tạp chí khoa học Đại học Hà Tĩnh. Đặc biệt tại Đại hội Tốn học Tồn quốc, Nha Trang - tháng 08/2013 SV Nguyễn Đình Nam đã tham gia báo cáo tại tiểu ban Đại số và lý thuyết số. Nguyễn Đình Nam nằm trong số ít các sinh viên tham gia báo cáo tại Đại hội. Sinh viên Nguyễn Thị Lệ Hằng theo gợi ý của TS. Văn An đã sử dụng điều kiện Baer suy rộng kết hợp với điều kiện mơđun cĩ độ dài hữu hạn và đã đạt được một số kết quả thú vị. SV Nguyễn Thị Lệ Hằng đã viết chung với TS. Lê Văn An, ThS. Nguyễn Thị Thanh Tâm, ThS. Nguyễn Thị Hải Anh một bài báo đã được đăng trong Tạp chí khoa học Đại học Hà Tĩnh. - SV Võ Thị Thu Hiền dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Văn An đã tiếp cận các vấn đề về vành cấu xạ. Sinh viên Võ Thị Thu Hiền đã hồn thành vấn đề được giao, bước đầu đã năm vững được các khái niệm về vành cấu xạ và các suy rộng của nĩ. Sinh viên Võ Thị Thu Hiền sau đĩ viết khĩa luận về một khái niệm mở rộng của vành cấu xạ và đã hồn thành tốt khĩa luận tốt nghiệp. - SV Đặng Thị Hĩa đã viết khĩa luận về các mơđun giả nội xạ và giả xạ ảnh. Đây là một trong những lớp mơđun được các tác giả trên thế giới đưa ra nhằm mở rộng các lớp mơđun cổ điển là lớp mơđun nội xạ và mơđun xạ ảnh. Lớp mơđun giả nội xạ và lớp mơđun (1 - C2) đều là những lớp mơđun mở rộng của mơđun nội xạ. SV Đặng Thị Hĩa đã hồn thành tốt khĩa luận tốt nghiệp về vấn đề này. - SV Trần Thị Anh đã viết khĩa luận về lớp vành khớp (exac ring) dưới sự hướng 51
dẫn của ThS. Nguyễn Thị Thanh Tâm. Lớp vành khớp ra đời từ cấu trúc nửa vành và hình học tropical nhưng sau đĩ khi xem xét các ví dụ về vành khớp các tác giả nhận thấy vành tựa nội xạ cũng là vành khớp nhưng cĩ những vành khớp khơng tựa nội xạ. Do đĩ cũng cĩ thể xem vành khớp là một hướng mở rộng của lớp vành tựa nội xạ. SV Trần Thị Anh đã hồn thành tốt khĩa luận về vấn đề này. - Sinh viên Nguyễn Thị Dung đã viết khĩa luận về vành hốn tử. Trong các nghiên cứu về Đại số Leavitt các vấn đề về vành hốn tử của Đại số Leavitt là khá thú vị. Do đĩ TS. Lê Văn An đã hướng dẫn SV Nguyễn Thị Dung tiếp cận các kiến thức về vành hốn tử và viết khĩa luận về nội dung này. SV Nguyễn Thị Dung đã hồn thành tốt khĩa luận tốt nghiệp về vấn đề này. +) Bên cạnh đĩ, TS. Lê Văn An phối hợp với PGS. TS. Ngơ Sỹ Tùng hướng dẫn SV Nguyễn Thanh Huyền tại Đại học Vinh tham gia đề tài NCKH cấp Bộ và đạt giả khuyến khích. Các kết quả nghiên cứu chung giữa TS. Lê Văn An, PGS. TS. Ngơ Sỹ Tùng và SV Nguyễn Thanh Huyền đã được viết thành 01 bài báo đăng trong Tạp chí khoa học Đại học Vinh. +) TS. Lê Văn An cũng tham gia hướng dẫn cho học viên cao học Đặng Thị Thùy Linh tại Đại học Vinh viết luận văn về một số nội dung liên quan đến đề tài. Cụ thể luận văn thạc sĩ của học viên Đặng Thị Thùy Linh đã xem xét mối liên quan giữa hai điều kiện cấu xạ suy rộng và điều kiện Baer. Trong luận văn của SV Đặng Thị Thùy Linh đã đạt được một số kết quả mới và được hội đồng chấm luận văn tại Đại học Vinh đánh giá tốt. 52
KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ Trong đề tài chúng tơi đã giải quyết được: a) Nghiên cứu điều kiện (1 - C2) cho tổng trực tiếp hữu hạn các mơđun con đều. Sử dụng lớp mơđun (1 - C2) để đưa ra một đặc trưng mới của V - vành. Kết quả này đã tiếp tục một Định lý của Đinh Quang Hải và P. F. Smith cĩ trong [21]. b) Nghiên cứu tính chất của lớp mơđun tựa cấu xạ. Sử dụng điều kiện cấu xạ để đặc trưng QF vành. Xác lập mối liên hệ giữa điều kiện cấu xạ và tính chất vành Baer. c) Nghiên cứu một số tính chất của vành các tự đồng cấu của mơđun Baer và các suy rộng của nĩ. Mối liên hệ giữa điều kiện Baer suy rộng và điều kiện độ dài hữu hạn của mơđun. d) Nghiên cứu tính chất của vành ma trận vuơng cấp hai trên Đại số Leavitt. Mối liên hệ giữa Đại số Leavitt và các đại số đa thức, tổng và tích trực tiếp. e) Đề tài được ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy ngành SP Tốn tại trường ĐH Hà Tĩnh trên hai nội dung NCKH và nâng cao chất lượng đội ngũ giảng viên và cơng tác giảng dạy ngành SP Tốn. Cụ thể gĩp phần nâng cao năng lực cơng bố của đội ngũ giảng viên và gợi mở những hướng đào tạo nâng cao trình độ của đội ngũ giảng viên. Đề tài gĩp phần vào cơng việc hướng dẫn luận văn tốt nghiệp cao học thạc sĩ, khĩa luận tốt nghiệp của sinh viên và đề tài NCKH của sinh viên. Kiến nghị Ban Giám hiệu và phịng Khoa học tạo điều kiện phê duyệt các đề tài cấp trường về những hướng nghiên cứu cơ bản trong Tốn học nhằm hỗ trợ kinh phí và gĩp phần nâng cao năng lực cơng bố khoa học của đội ngũ giảng viên trong tơt Tốn. 53
CÁC CƠNG BỐ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI [1]. L. V. An, N. T. H. Anh (2013), Mơđun (1 - C2), Tạp chí khoa học Đại học Hà Tĩnh, số 1, 10 - 17. [2]. L. V. An, N. S. Tung, N. T. Huyen, N. T. H. Anh (2013), Về ma trận vuơng cấp 2 trên Đại số Leavitt, Tạp chí khoa học Đại học Vinh, tập 42, số 1A, 5 -14. [3]. L. V. An, N. T. H. Anh, N. T. T. Tâm, N. T. L. Hằng (2014), Mơđun với độ dài hữu hạn và điều kiện Baer suy rộng,), Tạp chí khoa học Đại học Hà Tĩnh, số 3, 3 - 8. [4]. L. V. An, N. T. H. Anh, D. T. Oanh, N. D. Nam, Vành các tự đồng cấu của mơđun Baer và mơđun Baer đối ngẫu, Nhận đăng trong Tạp chí khoa học Đại học Hà Tĩnh. [5]. L. V. An, T. G. Nam, N. S. Tung, On quasi - morphic rings and related problems, to apper in Southeast Asian Bull. Math. 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO I. Tiếng Việt [1]. L. V. An, N. T. H. Anh (2013), Mơđun (1 - C2), Tạp chí khoa học Đại học Hà Tĩnh, số 1, 10 - 17. [2]. L. V. An, N. S. Tung, N. T. Huyen, N. T. H. Anh (2013), Về ma trận vuơng cấp 2 trên Đại số Leavitt, Tạp chí khoa học Đại học Vinh, tập 42, số 1A, 5 -14. [3]. L. V. An, N. T. H. Anh, N. T. T. Tâm, N. T. L. Hằng (2014), Mơđun với độ dài hữu hạn và điều kiện Baer suy rộng,), Tạp chí khoa học Đại học Hà Tĩnh, số 3, 3 - 8. [4]. L. V. An, N. T. H. Anh, D. T. Oanh, N. D. Nam, Vành các tự đồng cấu của mơđun Baer và mơđun Baer đối ngẫu, Nhận đăng trong Tạp chí khoa học Đại học Hà Tĩnh. II. Tiếng Anh [5]. G.Abrams, P. N. Anh, E. Pardo (2008), Isomorphisms between Leavitt algebras and their matrix rings, J. Reine Angew. Math., 624, 103 - 132. [6]. G.Abrams, P. N. Anh, A.Louly, E. Pardo (2008), The classification question for Leavitt path algebras, J. Algebra, 320, 1983 - 2026. [7]. G.Abrams, M. Tomforde (2011), Isomorphisms and Morita equivalence of graph algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 363, 3733 - 3763. [8]. G.Abrams, G. Aranda Pino, M. Siles Molina (2008), Locally finite Leavitt path algebra, Israel J. Math, 165, 329 - 348. [9]. T. Amouzegar, Y. Talebi (2013), On quasi - dual Baer modules, TWMS J. Pure Appl. Math., Vol. 4, No. 1, 78 - 86. [10]. L. V. An, N. S. Tung (2007), Some results on (IEZ) - modules, Journal of Science, VNU, Vol. 23, 189 - 193. [11]. L. V. An, N. S. Tung (2009), Some results on countably ∑− uniform - extending modules, Journal of Science, VNU, Vol. 25, 9 - 14. [12]. L. V. An, N. S. Tung (2009), On direct sums of uniform modules and QF - rings, East - West J. of Math. Vol. 11, No 2, 241 - 251. [13]. L. V. An, T. G. Nam, N. S. Tung, On quasi - morphic rings and related problems, to apper in Southeast Asian Bull. Math. [14]. F. W. Anderson, K. R. Fuller (1974), Ring and Categories of Modules, Springer - Verlag, New York - Heidelberg - Berlin. 55