Tóm tắt luận văn Luật số lớn và ứng dụng

Nội dung text: Tóm tắt luận văn Luật số lớn và ứng dụng

1. 1 B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O ĐI H C ĐÀ N NG ĐNG TH THUÝ VÂN LU T S L N VÀ NG D NG Chuyên ngành: Ph ươ ng pháp tốn s ơ c p Mã s : 60.46.40 TĨM T T LU N V ĂN TH C S Ĩ KHOA H C Đà N ng - Năm 2011
2. 2 Cơng trình đưc hồn thành t i ĐI H C ĐÀ N NG Ng ưi h ưng d n khoa h c: TS. LÊ H I TRUNG Ph n bi n 1: PGS.TSKH. TR N QU C CHI N Ph n bi n 2: PGS.TS. HU ỲNH TH PHÙNG Lu n v ăn đưc b o v tr ưc H i đng ch m Lu n v ăn tt nghi p th c s ĩ khoa h c h p t i Đi h c Đà N ng vào ngày 26 tháng 11 năm 2011. Cĩ th tìm hi u lu n v ăn t i: - Trung tâm Thơng tin - H c li u, Đi h c Đà N ng - Th ư vi n tr ưng Đi h c S ư Ph m, Đi h c Đà N ng
3. 3 M ĐU 1. Lý do ch n đ tài. Lý thuy t xác su t th ng kê là m t b ph n c a tốn h c, nghiên cu các hi n t ưng ng u nhiên và ng d ng chúng vào th c t . Là hi n t ưng ng u nhiên nên khơng th nĩi tr ưc nĩ x y ra hay khơng xy ra khi th c hi n các quan sát. Tuy nhiên, n u ti n hành quan sát khá nhi u l n m t hi n t ưng ng u nhiên trong các phép th nh ư nhau, ta cĩ th rút ra đưc nh ng k t lu n khoa h c v hi n t ưng này. Lý thuy t xác su t c ũng là c ơ s đ nghiên c u Th ng kê – mơn hc nghiên c u các ph ưng pháp thu th p thơng tin ch n m u, x lý thơng tin, nh m rút ra các k t lu n ho c đư a ra các k t lu n c n thi t. Ngày nay, v i s h tr tích c c c a máy tính và cơng ngh thơng tin, lý thuy t xác su t – th ng kê đưc gi ng d y cho h u h t các nhĩm ngành b c cao đng, đi h c. Lu t s l n là m t ph n c a Lý thuy t xác su t và th ng kê. Trong th c t , nh ng hi n t ưng ng u nhiên do r t nhi u nguyên nhân ng u nhiên gây ra. Vi c tìm điu ki n đ nh ng hi n t ưng nh ư vy x y ra theo m t quy lu t nào đĩ là ý ngh ĩa c a n i dung “lu t s ln”. Vi c tìm hi u “Lu t s l n” là nhu c u c n thi t đ ph c v cho vi c gi ng d y sau này nên tơi ch n đ tài “Lu t s l n và ng d ng” làm đ tài lu n v ăn c a mình. 2. Mc đích nghiên c u. Nghiên cu s h i t trong khơng gian xác su t: h i t theo xác su t và h i t h u ch c ch n. Nghiên c u m t s ng d ng c a lu t s l n trong th c t .
4. 4 3. Đi t ưng và ph m vi nghiên c u. Đi t ưng nghiên c u là nghiên c u dãy bi n ng u nhiên và s hi t c a chúng. Ph m vi nghiên c u trong lu n v ăn này t p trung chính lu t s ln và m t s ng d ng c a chúng. 4. Ph ươ ng pháp nghiên c u. Nghiên c u tr c ti p t các tài li u v xác su t cĩ liên quan đn đ tài. S d ng ki n th c thu c các l ĩnh v c: Đi s , Gi i tích, Gi i tích hàm, Lý thuy t xác su t và th ng kê. 5. Ý ngh ĩa khoa h c và th c ti n c a đ tài. Tìm hi u v lu t s l n nh m ph c v t t cho vi c nghiên c u này. Là m t tài li u tham kh o ph c v cho vi c d y và h c mơn lý thuy t xác su t và th ng kê trong tr ưng cao đng, đi h c. 6. Cu trúc c a lu n v ăn. Ngồi ph n m đu, k t lu n và tài li u tham kh o lu n v ăn g m cĩ 3 ch ươ ng: Ch ươ ng 1. Khơng gian xác su t. Ch ươ ng 2. Lu t s l n. Ch ươ ng 3. M t s ng d ng c a lu t s l n.
5. 5 Ch ươ ng 1 KHƠNG GIAN XÁC SU T 1.1 Bi n c. Đnh ngh ĩa 1.1.1. Gi s Ω là t p h p khác r ng. Mt l p A các tp con c a Ω đưc g i là m t σ - đi s n u nĩ th a mãn các điu ki n sau: 1) Ω ∈ A. 2) Nu A∈A thì Ac ∈A, (trong đĩ Ac = Ω \ A: ph n bù c a A trong Ω ). ∞ { ∈ } A ∈A. 3) Nu Ak ,k N là m t dãy các ph n t c a thì U Ak k =0 Mnh đ 1.1.1. Gi s A là m t σ - đi s các t p con c a Ω . Khi đĩ: 1) ∅∈A. ∞ ∈A ∈ ∈A. 2) Nu Bk , k N thì I Bk k =0 n n ∈A = ∈A ∈A. 3) Nu Dk , k ,0 n thì U Dk và I Dk k =0 k =0 Đnh ngh ĩa1.1.2. 1) Cp ( Ω , A) g m m t t p Ω ≠ ∅ và m t σ - đi s A các t p con ca Ω đưc g i là m t khơng gian đo đưc. 2) Các ph n t ω c a Ω đưc g i là các bi n c s ơ c p. 3) Các ph n t A∈A đưc g i là các bi n c , Ω đưc g i là bi n c ch c ch n, ∅ đưc g i là bi n c khơng th . 4) S xu t hi n đng th i hai bi n c A, B coi là s xu t hi n c a A ∩ B hay AB .
6. 6 5) S xu t hi n ít nh t m t trong hai bi n c A, B đưc coi là s xu t hi n c a A ∪ B ( A hp B ). Khi AB = ∅ ta vi t A + B thay cho A ∪ B . 6) Các bi n c A và B g i là xung kh c nhau n u A ∩ B = ∅. 7) Hai bi n c A và B g i là đi l p nhau n u B = Ac . 8) Bi n c A đưc g i là bi n c kéo theo c a bi n c B nu A ⊂ B . 1.2 Xác su t. Đnh ngh ĩa 1.2.1. Gi s ( Ω , A) là m t khơng gian đo đưc. Hàm t p P : A → R đưc g i là m t xác su t trên A n u: 1) P(A) ≥ 0 , ∀A∈A. σ { ∈ } A, 2) ( - c ng tính). V i m i dãy ph n t Ak ,k N c a tng đơi  ∞  ∞   = () xung kh c nhau, thì PU Ak  ∑ P Ak .  k =1  k =1 3) P(Ω) =1. Vi m i bi n c A∈A, P(A) đưc g i là xác su t c a bi n c A , ho c là xác su t đ A xu t hi n. B ba ( Ω, A, P ) đưc g i là m t khơng gian xác su t. Mnh đ 1.2.1. Nu P là m t xác su t trên A thì ta cĩ: 1) P (∅) = 0. { = }, 2) Vi m i dãy hu h n các bi n c Ak ,k ,0 n tng đơi xung  n  n   = () kh c nhau, thì PU Ak  ∑ P Ak (tính c ng tính).  k =1  k=1 Mnh đ 1.2.2. Gi s A, B là các bi n c ng u nhiên b t kì. Khi đĩ: 1) P(A ∪ B ) = P (A) + P (B) – P (AB ). 2) Nu A ⊂ B thì P(A) ≤ P (B).
7. 7 3) ∀A∈A cĩ 0 ≤ P(A) ≤ 1 và P(Ac) = 1 – P (A). Mnh đ 1.2.3. Trong khơng gian xác su t ( Ω, A, P) cho h bi n c { ≥ } ng u nhiên An ,n 1 th a điu ki n: (i) A1 ⊃ A2 ⊃ ⊃ An ⊃ ∞ = ∅ (ii) I Ak . k =1 Khi đĩ, P(An) → 0 (n → ∞). H qu 1.2.1. 1) Nu { Bn, n ≥ 1} là h các bi n c th a Bn ⊂ Bn+1 ⊂ và = ( ) → ( ) ( → ∞) U Bn B thì P Bn P B n . n≥1 2) Nu { Cn, n ≥ 1} là h các bi n c th a Cn ⊃ Cn+1 ⊃ và = ( ) → ( ) ( → ∞) ICn C thì P Cn P C n . n≥1 1.3 Bi n ng u nhiên. Gi s (Ω, A, P) là m t khơng gian xác su t. R = (− ∞,+∞ ) là đưng th ng s th c v i σ - đi s Borel B ta cĩ khơng gian đo ( R, B). Đnh ngh ĩa 1.3.1. Mt ánh x X : Ω → R đưc g i là đo đưc theo − (A, B) (hay ( A, B) – đo đưc) nu ∀B ∈B thì X 1(B)∈A. Ánh x X đo đưc nh ư trên đưc g i là m t bi n ng u nhiên trên R hay m t đi l ưng ng u nhiên. Đ đơ n gi n ta kí hi u [ X ∈ B] = { ω ∈ Ω: X(ω) ∈ B}. Ta th ưng kí hi u bi n ng u nhiên b i các ch in hoa X, Y, 1.4 Hàm phân ph i xác su t. Đnh ngh ĩa 1.4.1. Cho khơng gian xác su t ( Ω, A, P) và bin ngu nhiên X. Ta g i hàm th c F(x) đưc xác đnh b i h th c: ( ) = ( ) = [ < ] ∀ ∈ F x FX x P X x , x R là hàm phân ph i xác su t c a X. Chú ý 1.4.1. P[X < x] = P{ω ∈ Ω: X(ω) < x}.
8. 8 Rõ ràng khi X là bi n ng u nhiên thì [X < x]∈A nên hàm phân ph i xác đnh v i m i x ∈ R . Mnh đ 1.4.1. Hàm phân ph i F(x) c a X trên ( Ω, A, P) cĩ tính ch t: 1) 0 ≤ F(x) ≤ ,1 ∀x ∈ R . ≤ ( ) ≤ ( ) 2) Nu x1 x2 thì F x1 F x2 . 3) limF ( x )= 1 , limF ( x )= 0 . x→+∞ x→−∞ 4) F(x) liên t c trái trên R . Đnh ngh ĩa 1.4.2. Bin ng u nhiên X đưc g i là cĩ phân ph i r i rc hay bi n ng u nhiên r i r c n u hàm phân ph i xác su t c a nĩ cĩ d ng: ∞ ()()= α ∈ A ∀ ∩ ∅ ≠ α ∈ ∀ FX x ∑ i1 A x , Ai , i, Ai Aj = , i j, i R, i. i i=1 Mnh đ 1.4.2. Nu X là bi n ng u nhiên r i r c v i mi n giá tr { ∈ } ( ⊂ ) = [ = ] ∈ xi , i I I N , ta g i pk P X xk , k I là hàm kh i lưng c a X. Hàm kh i l ưng cĩ các tính ch t: = 1) ∑ pi 1 . i∈ I ∀ ∈ ( ) = 2) V i x R, F x ∑ pi . ∈ < i I: xi x ∀ ∈ < [ ≤ < ] = 3) V i a,b R, a b, P a X b ∑ pi . ∈ ≤ < i I: a xi b Đnh ngh ĩa 1.4.3. Bi n ngu nhiên X đưc g i là cĩ phân ph i liên tc tuy t đi hay bi n ng u nhiên liên t c tuy t đi n u tn t i hàm ( ) khơng âm f X x sao cho hàm phân ph i xác su t ca X cĩ d ng: x = () FX( x ) ∫ f X t dt . −∞ ( ) Hàm f X x đưc g i là hàm m t đ xác su t c a X.
9. 9 Chú ý 1.4.2. Nu khơng cĩ s nh m l n ta ký hi u hàm m t đ xác su t c a X là f( x) cho g n. T tính ch t các hàm phân ph i (m nh đ 1.4.1) suy ra n u f( x) +∞ là hàm m t đ thì f( x) ≥ 0 và ∫ f() x dx = 1. N u f( x) là hàm s −∞ +∞ khơng âm trên R và ∫ f() x dx = 1 thì f( x) là hàm m t đ c a m t −∞ bin ng u nhiên X nào đĩ. Mnh đ 1.4.3. Nu X là bin ng u nhiên cĩ phân ph i liên t c tuy t đi v i hàm m t đ f( x) thì: 1) Vi ∀x ∈ R, P[X = x]= 0 . 2) Vi ∀a,b ∈ R, a < b : b []≤ < = ()()()= − P a X b ∫ f x dx FX b FX a . a 1.5 Kỳ v ng tốn h c. Đnh ngh ĩa 1.5.1 . Gi s X là bi n ng u nhiên r i r c v i mi n giá { ∈ } ( ⊂ ) [ = ] tr xi , i I I N , n u ∑ xi P X xi h i t thì đi l ưng i∈ I ( ) = [ = ] E X ∑ xi P X xi đưc g i là kì v ng tốn c a X. i∈ I Gi s X là bi n ng u nhiên liên t c tuy t đi v i hàm m t đ +∞ +∞ ( ) () < ∞ ( ) = () f X x , n u ∫ x f X x dx thì đi l ưng E X ∫ xf X x dx −∞ −∞ đưc g i là kì v ng tốn c a X. Ng ưi ta kí hi u kì v ng tốn ca X là E(X ) , EX hay M (X ). Mnh đ 1.5.1. Gi s X, Y là 2 bi n ng u nhiên cĩ k ỳ v ng 1) N u c là h ng s thì E(cX ) = cEX . 2) E(X + Y ) = EX + EY .
10. 10 3) EX ≤ E X . 4) N u X ≤ Y thì EX ≤ EY . Mnh đ 1.5.2. Cho hàm s g(x) liên t c, khi đĩ: ()()= N u X là bi n ng u nhiên r i r c thì Eg X ∑ g xi pi . i∈ I +∞ ()()()= N u X là bi n ng u nhiên liên t c thì Eg X ∫ g x dFX x . −∞ Ý ngh ĩa c a kì v ng tốn. Xét ví d sau: M t đt x s phát hành n vé, trong đĩ cĩ ni vé k = ≥ = trúng th ưng si đng, ∑ ni n, si ,0 i ,1 k . M t ng ưi mua i=1 mt vé s . G i X là s ti n trúng th ưng c a ng ưi đĩ. Khi đĩ X là bi n ng u nhiên r i r c v i các giá tr s1, s2 , , sk và n k []= = i = = ni P X si , i ,1 k . Ta cĩ EX ∑ si . V y kì v ng c a s n i=1 n ti n trúng th ưng là trung bình (cĩ tr ng l ưng) c a các giá tr c a si . Ngh ĩa là kì v ng EX là đi l ưng đc tr ưng cho giá tr trung bình ca các giá tr c a X. 1.6 Ph ươ ng sai. Đnh ngh ĩa 1.6.1. Gi s X là bi n ng u nhiên cĩ kì v ng EX , n u tn t i E(X − EX )2 thì ta nĩi đi l ưng này là ph ươ ng sai c a X, kí hi u D(X) , đơi khi ta c ũng dùng kí hi u Var( X) đ ch ph ươ ng sai c a X. σ(X) = D( X ) đưc g i là đ l ch chu n c a X. k k Vi k ∈ N n u t n t i E(X ) thì ta g i mk = E(X ) là moment bc k c a X. k µk = E(X – EX) đưc g i là moment trung tâm b c k c a X.
11. 11 Mnh đ 1.6.1. Gi s X là bi n ng u nhiên, k, l là các s t nhiên sao cho l ≤ k , khi đĩ: 1) Nu mk t n t i thì ml c ũng t n t i. 2) Nu mk t n t i thì µk c ũng t n t i và ng ưc l i. Mnh đ 1.6.2. Trong điu ki n t n t i ph ươ ng sai cĩ tính ch t: 1) DX = EX 2 – E 2X (kí hi u E2X = (EX )2). 2) D(c) = 0 (c = const). 3) D(cX ) = c 2D(X). 4) Nu { X1, X2, , Xn} đc l p t ng đơi m t và cĩ các ph ươ ng sai D(Xi) v i i = ,1 n thì: n n = D∑ X i ∑ DX i . i=1 i=1
12. 12 Ch ươ ng 2 LU T S L N 2.1 H i t theo xác su t. Đnh ngh ĩa 2.1.1. Dãy bi n ng u nhiên { Xn, n ≥ 1} đưc g i là h i t →P theo xác su t đn bi n ng u nhiên X (và vi t X n X ) nu: {ω (ω)− (ω) ≥ ε}= ∀ε > lim P : X n X 0, 0 . n→∞ 2.2 Lu t s l n. 2.2.1 Khái ni ệm t ổng quát. Cho dãy các bi n ng u nhiên X1, X2, , Xn, (2.1) Xét bi n ng u nhiên Yn là m t hàm đi x ng nào đĩ c a n bi n ng u nhiên đu tiên c a dãy (2.1): = ( ) Yn fn X1, X 2 , , X n . Nu t n t i m t dãy các h ng s a1, a 2, , a n, sao cho v i m i ε d ươ ng: [ − 0:  n n  1 − 1 < ε = lim P ∑ X k ∑ EX k  1. n→∞  n k =1 n k =1 
13. 13 Bt đng th c Chebyshev. Nu bi n ng u nhiên X cĩ ph ươ ng sai h u h n, thì b t đng th c sau đây đưc th a mãn v i m i ε > 0 : D(X ) P[]X − EX ≥ ε ≤ . ε 2 Đnh lí Chebyshev . Nu X1, X2, , Xn, là mt dãy các bi n ng u nhiên đc l p t ng đơi m t cĩ ph ươ ng sai hu h n và b ch n bi cùng m t h ng s DX k ≤ C , ∀k thì v i m i h ng s ε > 0 , ta luơn cĩ:  n n  1 − 1 0 ta luơn cĩ:  n  1 − 0 ta luơn luơn cĩ:  S  lim P n − p < ε  = 1. n→∞  n  Đnh lý Poisson. N u m t dãy các phép th đc l p, cĩ xác su t x y ra c a bi n c A trong phép th th k b ng pk,thì:  S p + p + + p  lim  n − 1 2 n < ε  = 1. n→∞ n n  trong đĩ Sn là s l n x y ra bi n c A trong n phép th đu tiên.
14. 14 Đnh lý Khinchine. Nu các bi n ng u nhiên X1, X 2, , X n, đc = 0 , ta cĩ:  n n  1 − 1 lim P ∑ X k ∑ EX k  1, v i 0 là: n→∞  n k =1 n k =1   n 2 ()− ∑ X k EX k   =  lim E k 1 = 0 . n→∞  n 2 2 + ()− n ∑ X k EX k   k =1 
15. 15 2.4 Lu t m nh s l n. Đnh ngh ĩa 2.4.1. Dãy bi n ng u nhiên { Xn} đưc g i là h i t h u →hcc ch c ch n đn bi n ng u nhiên X (vi t Xn X ), n u: {ω (ω) = (ω)}= P : lim X n X 1. n→∞ Lu t m nh s l n nghiên c u s h i t h u ch c ch n c a trung n 1 ()− bình c ng: ∑ X kEX k , ho c t ng quát h ơn: n k =1 n 1 ()− ↑ ∞ ∑ X kEX k v i bn . bn k=1 { ≥ } B đ Kronecker. Gi s xn ,n 1 là dãy các s th c và ∞ x { ≥ } ∞ n bn ,n 1 là dãy các s d ươ ng t ăng đn . Khi đĩ, n u ∑ h i n=1 bn ∞ 1 → → ∞ t, thì ∑ xk 0 , khi n . bn k=1 Đnh lý Kolmogorov. Nu { Xn, n ≥ 1} là dãy bi n ng u nhiên đc ∞ DX n < ∞ < → ∞ lp, ∑ 2 , v i 0 bn thì: n=1 bn n 1 ()− →hcc ∑ X k EX k 0 . bn k =1 H qu 2.4.1. Nu { Xn, n ≥ 1} là dãy đi l ưng ng u nhiên đc l p n < ∞ 1 ()− →hcc và sup DX n thì: ∑ X k EX k 0 . n n k =1
16. 16 H qu 2.4.2. N u dãy các bi n ng u nhiên đc l p X1, X 2, , X n, ∞ DX n < ∞ th a điu ki n: ∑ 2 thì nĩ tuân theo lu t m nh s l n. n=1 n
17. 17 Ch ươ ng 3 MT S NG D NG C A LU T S L N 3.1 Đnh ngh ĩa th ng kê v xác su t. Đnh ngh ĩa 3.1.1. Tn su t xu t hi n bi n c trong n phép th là t s gi a s phép th trong đĩ bi n c xu t hi n và t ng s phép th đưc th c hi n. N u ký hi u s phép th là n, s l n xu t hi n bi n n( A ) c A là n(A), t n su t xu t hi n bi n c A là f( A ) = . n Đnh ngh ĩa 3.1.2. Khi s phép th t ăng lên vơ h n, t n su t xu t hi n bi n c ti n d n đn m t s xác đnh, s đĩ đưc g i là xác su t ca bi n c đĩ. Hay nĩi cách khác, xác su t là gi i h n c a t n su t khi s phép th t ăng lên vơ h n: n(A) P()A = lim . n→∞ n Tuy nhiên trong th c t khơng th ti n hành vơ h n phép th , nh ưng đi v i s phép th đ l n ta cĩ th xem xác su t x p x b ng tn su t: n(A) P(A) ≈ . n 3.2 Dùng lu t s l n đ đánh giá trung bình c a các bi n ng u nhiên. H qu 2.2.1 kh ng đnh v i h đc l p, cùng phân ph i cĩ cùng n 1 →P kì v ng là a, cĩ ph ươ ng sai h u h n thì: ∑ Xk a ( n n k =1 →∞). Điu đĩ cĩ ngh ĩa là: ∀ε > 0, ∀δ > 0, ∃Nδ sao cho ∀n ≥ Nδ: n  1 − <ε ≥− δ P∑ Xk a  1 . n k=1 
18. 18 Nu ε, δ đưc ch n nh đn m c: s khác bi t nh thua ε đưc coi nh ư đng nh t, bi n c cĩ xác su t l n h ơn 1 – δ coi là luơn xu t n = 1 hi n thì m c dù Xn∑ X k cĩ tính ch t ng u nhiên, ta cĩ th n k =1 xem nĩ là h ng s a khi n khá l n. Điu đĩ th hi n s “ n đnh” c a trung bình s h c c a các bi n ng u nhiên đc l p cùng phân ph i cĩ ph ươ ng sai h u h n. 3.3 M t s bài tốn v lu t s l n. Bài tốn 3.3.1. Ti n hành 10000 phép th đc l p, nh ư nhau. m i phép th , A xu t hi n v i xác su t 0,3. Tìm xác su t đ đ l ch tuy t đi gi a t n su t xu t hi n A trong 10000 phép th trên so v i xác su t c a A khơng quá 0,01. Bài tốn 3.3.2. Cho X1, X 2, , X 12 là dãy các bi n ng u nhiên đc l p = = = vi EX i 16 , DX i 1, ( i 1,12 ). S d ng b t đng th c Chebyshev đ tìm các h ng s a và b sao cho:  12  ≤ ≤ ≥ Pa ∑ X i b 0,99 .  i=1  Bài t p 3.3.3. Cho X1, X 2, , X 10000 là dãy các bi n ng u nhiên đc  1 1 lp cĩ phân b đu trên đon − , . Ch ng minh r ng:  2 2  10 4  ≥ ≤ 1 P ∑ X i 500  .  i=1  300 Bài tốn 3.3.4. Gi s ti n đin c a m t gia đình ph i tr trong m t tháng là m t bi n ng u nhiên v i trung bình 16USD và đ l ch chu n 1USD. S d ng b t đng th c Chebyshev, hãy xác đnh s M nh
19. 19 nh t đ v i xác su t 0,99 s ti n đin ph i tr trong 1 n ăm (12 tháng) khơng v ưt quá M. Bài tốn 3.3.5. Gi s X là bi n ng u nhiên v i EX = 5 và DX = 0,16. Ch ng minh r ng: a) P[3 < X < 7]≥ 0,96 ; b) P[2 < X < 8] ≥ 0,982 ; + + +  X 1 X 2 X 9  c) P3 < < 7 ≥ 0,995 ;  9  trong đĩ X1, X 2, , X 9 là các bi n ng u nhiên đc l p cĩ cùng phân b v i X. ( )∞ Bài t p 3.3.6. Cho ak k =1 là dãy các s d ươ ng th a mãn điu ki n n 2 ∑ak lim k =1 = 0 . n→∞ n2 Xét dãy ( Xn) xác đnh nh ư sau: v i m i k, Xk nh n các giá tr : ,0 a 2a ka 1 ± k , ± k , , ± k vi cùng xác su t . 2k +1 2k +1 k +1 2k +1 Ch ng minh r ng dãy ( Xk) tuân theo lu t s l n. Bài tốn 3.3.7. Cho dãy các bi n ng u nhiên đc l p ( Xn) xác đnh bi 1 P[X = ± ln k ]= . k 2 Dãy đĩ cĩ tuân theo lu t s l n hay khơng?
20. 20 KT LU N Trong lu n v ăn này, tác gi đã t p trung vào vi c nghiên c u lu t s l n và m t s ng d ng c a nĩ trong lý thuy t xác su t và đt đưc nh ng k t qu sau: 1. Nh m m c đích t ng quan v m t s v n đ c ơ b n nh t c a lý thuy t xác su t: trình bày các đnh ngh ĩa c ơ b n, các mnh đ, các h qu , các ví d minh h a v lý thuy t xác su t. 2. Nghiên c u khái ni m t ng quát c a lu t s l n, m i quan h ca h i t theo xác su t và lu t s l n, d ng Chebyshev c a lu t s ln, bt đng th c Chebyshev, Đnh lý Chebyshev, Đnh lý Bernoulli, đnh lý poisson, đnh lý Khinchine, đnh lý Markov, điu ki n c n và đ cho lu t s l n, lu t m nh s l n, đnh lý Kolmogorov. 3. Nghiên c u m t s ng d ng c a lu t s l n: đnh ngh ĩa th ng kê v xác su t, dùng lu t s l n đ đánh giá trung bình c a các bi n ng u nhiên, m t s bài tốn v lu t s l n. Mc dù tác gi đã c g ng n l c và nghiêm túc trong vi c nghiên cu và h c h i các v n đ liên quan trong lu n án, tuy nhiên do h n ch v m c th i gian c ũng nh ư chuyên mơn và lu n v ăn c ũng là b ưc đu cho vi c nghiên c u khoa h c đi v i b n thân tác gi , cho nên các k t qu đt đưc cịn r t khiêm t n và cĩ m t s khía c nh ch ưa cĩ điu ki n đ đi sâu h ơn. Đĩ c ũng là m c tiêu đt ra cho tác gi trong th i gian t i.