Khóa luận Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử tương tác với từ trường đều

Nội dung text: Khóa luận Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử tương tác với từ trường đều

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAṂ THÀ NH PHỐ HỒ CHI ́ MINH  KHÓ A LUÂṆ TỐ T NGHIÊP̣ TÊN ĐỀ TÀ I: TÁ CH KHỐ I TÂM CHO BÀ I TOÁ N NGUYÊN TỬ TƯƠNG TÁ C VỚ I TỪ TRƯỜ NG ĐỀ U THE CENTER-OF-MASS SEPERATION FOR THE PROBLEM OF AN ATOM IN A UNIFORM MAGNETIC FIELD GVHD: GS.TSKH. LÊ VĂN HOÀ NG SVTH: NGUYỄN ANH TUẤ N – K40.102.105 Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2018
2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAṂ THÀ NH PHỐ HỒ CHI ́ MINH  KHÓ A LUÂṆ TỐ T NGHIÊP̣ TÊN ĐỀ TÀ I: TÁ CH KHỐ I TÂM CHO BÀ I TOÁ N NGUYÊN TỬ TƯƠNG TÁ C VỚ I TỪ TRƯỜ NG ĐỀ U THE CENTER-OF-MASS SEPERATION FOR THE PROBLEM OF AN ATOM IN A UNIFORM MAGNETIC FIELD GVHD: GS.TSKH. LÊ VĂN HOÀ NG SVTH: NGUYỄN ANH TUẤ N – K40.102.105 Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2018 2
3. LỜI CẢM ƠN Việc thực hiện đề tài này không thể không kể đến sự đóng góp của GS. Lê Văn Hoàng đã đề nghị đề tài này và luôn theo sát em trong suốt quá trình làm khóa luận. Hơn nữa, thông qua việc giảng dạy, Thầy Hoàng cũng đã là người truyền cảm hứng cho em trong việc nghiên cứu các vấn đề liên quan đến Cơ Học Lượng Tử, giúp em có khả năng và hứng thú tìm tòi các tài liệu liên quan đến bộ môn và đề tài này. Sự thành công của khóa luận cũng nhờ vào công ơn rất lớn của Thầy. Ngoài ra, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy Lê Đại Nam, người đã góp ý cho em sửa chữa và hoàn chỉnh khóa luận. Khóa luận của em sẽ không thể hoàn thiện nếu không có sự hướng dẫn và giúp đỡ của thầy. Em xin cảm ơn đến các thầy cô trong tổ Vật Lý Lý Thuyết vì đã tạo điều kiện cho em thực hiện đề tài này, tạo điều kiện cho em có cơ hội được nghiên cứu một vấn đề khoa học. Mặc dù kĩ năng phân tích vấn đề và trình bày vấn đề của em còn có rất nhiều thiếu sót nhưng các thầy cô đã rất nhiệt tình chỉ bảo và hướng dẫn em. Đây là một điều may mắn rất lớn đối với em. Lời cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè, những người đã luôn động viên và khích lệ tinh thần em trong suốt thời gian qua để em có thể tập trung hoàn thành khóa luận. TPHCM, ngày 26 tháng 04 năm 2018 Nguyễn Anh Tuấn 3
4. MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN 3 DANH MỤC CÁC HÌNH 5 Chương 1 5 Chương 2 5 MỞ ĐẦU 6 CHƯƠNG 1: KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA KHI CHƯA ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG 9 1.1. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro khi chưa đặt trong từ trường 9 1.2. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli khi chưa đặt trong từ trường 13 CHƯƠNG 2: TÁCH KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA TRONG TỪ TRƯỜNG 18 2.1. Ảnh hưởng của từ trường lên một hạt mang điện chuyển động 18 2.2. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro trung hòa trong từ trường 20 2.3. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli trung hòa trong từ trường 26 CHƯƠNG 3: ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÁCH CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM TRONG HAMILTONIAN CỦA MỘT NGUYÊN TỬ TRONG TỪ TRƯỜNG 34 CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 37 KẾT LUẬN 37 HƯỚNG PHÁT TRIỂN 37 PHỤ LỤC 38 A. Toán tử động lượng suy rộng của một hệ N hạt mang điện 38 B. Các biểu thức giải tích 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 Tiếng Việt 41 Tiếng Anh 41 4
5. DANH MỤC CÁC HÌNH Chương 1 Hình 1: Nguyên tử hydro trong hệ tọa độ Descartes 7 Hình 2: Nguyên tử heli trong hệ tọa độ Descartes 12 Chương 2 Hình 3: Nguyên tử hydro khi đặt trong từ trường trong tọa độ Descartes 19 Hình 4: Nguyên tử heli khi đặt trong từ trường trong tọa độ Descartes 25 5
6. MỞ ĐẦU 1. Đối với cơ học lượng tử, khi khảo sát chuyển động của các đối tượng vi mô (như các hạt cơ bản hay một hệ hạt chẳng hạn như nguyên tử), ta sẽ viết Hamiltonian cho hệ rồi đưa Hamiltonian vào phương trình sóng Schrodinger để giải ra nghiệm là hàm sóng 휓(풓) và năng lượng. Hàm sóng bản thân nó không có ý nghĩa vật lí. Tuy nhiên, theo Max Born, bình phương module hàm sóng lại cho ta biết xác suất tìm thấy một hạt trong một vi phân thể tích [1]. Tuy nhiên, đối với những bài toán nguyên tử (hệ gồm hai hoặc nhiều hạt), việc giải phương trình Schrodinger sẽ khá phức tạp do số bậc tự do trong bài toán nhiều. Giả sử khi xét chuyển động của một nguyên tử hydro trong từ trường, ta phải xét vector bán kính hạt nhân 풓풉 và vector bán kính electron 풓풆. Trong không gian Descartes, mỗi vector sẽ có ba thành phần, do đó Hamiltonian của hệ sẽ có đến sáu bậc tự do [18]. Điều này sẽ gây khó khăn khi giải phương trình Schrodinger. Để giảm số bậc tự do, ta sẽ đưa bài toán về hệ quy chiếu khối tâm. Lúc này, thay vì xét các vector bán kính hạt nhân 풓풉 và các electron 풓풆, ta sẽ đưa về các vector bán kính của khối tâm và của chuyển động tương đối giữa hạt nhân và electron (đối với các bài toán có nhiều electron sẽ xét thêm vector bán kính chuyển động tương đối giữa các electron). Sau đó, Hamiltonian sẽ được biến đổi qua hệ khối tâm. Lúc này, bằng các phép biến đổi giải tích, ta sẽ đưa Hamiltonian trong hệ khối tâm về dạng phân ly biến số, tức là chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối của các hạt nhân và electron trong nguyên tử được tách ra một cách rõ rệt. Việc giải phương trình Schrodinger lúc này sẽ đơn giản hơn do hai biến số hoàn toàn độc lập với nhau. Do đó, khi khảo sát chuyển động của các nguyên tử, ta luôn tìm cách đưa Hamiltonian của nguyên tử về hệ quy chiếu khối tâm và biểu diễn Hamiltonian dưới dạng phân ly biến số, từ đó việc giải phương trình Schrodinger để tìm hàm sóng sẽ đơn giản hơn rất nhiều. 2. Chưa xét đến việc giải phương trình Schrodinger, hiện nay, việc tách khối tâm trong bài toán nguyên tử khi không có điện từ trường đã được giải quyết và trình bày, điển hình là bài toán nguyên tử hydro khi không có điện từ trường [1]. Tiếp sau đó là bài toán nguyên tử heli với cách giải gần như tương tự mà đề tài này sẽ giải quyết. Còn đối 6
7. với nguyên tử trong từ trường, lời giải cho bài toán nguyên tử hydro, heli cũng đã được công bố [4, 5, 13, 14]. Tất cả sẽ được trình bày lại một cách hệ thống nhất trong đề tài này. Sau khi đạt được thành công trong việc tách khối tâm trong bài toán nguyên tử trung hòa khi không có điện từ trường và trong từ trường, các nhà khoa học bắt đầu chuyển đối tượng nghiên cứu các exciton không trung hòa trong bán dẫn, nghĩa là số electron và số lỗ trống không bằng nhau. Lúc này họ đã gặp phải một số khó khăn nhất định trong việc đưa Hamiltonian về dạng phân ly biến số [15, 16]. Vấn đề đặt ra ở đây đó chính là tại sao đối với exciton không trung hòa thì Hamiltonian của nó trong hệ quy chiếu khối tâm không thể đưa về dạng phân ly biến số một cách dễ dàng như các nguyên tử trung hòa. Và liệu có một điều kiện, hay một phép gần đúng nào giúp ta làm được điều này? Đây vẫn còn là một vấn đề khá nan giải mà các bài báo khoa học đang đặt ra. 3. Đề tài này sẽ nghiên cứu kĩ về các bước để có thể tách khối tâm cho bài toán nguyên tử. Đối tượng nghiên cứu ban đầu là nguyên tử hydro và heli khi chưa có từ trường. Khi đặt nguyên tử trung hòa trong từ trường, do có sự xuất hiện của thế vector nên toán tử xung lượng của các hạt sẽ bị biến đổi [1]. Lúc này việc tách khối tâm sẽ phức tạp hơn. Đề tài này sẽ chỉ ra sự khác biệt giữa Hamiltonian của một nguyên tử trong từ trường với Hamiltonian của một nguyên tử khi không có từ trường cũng như trình bày từng bước cách để tách khối tâm trong bài toán nguyên tử trong từ trường. Ban đầu, để đơn giản, ta cũng sẽ chọn đối tượng là nguyên tử hydro trong từ trường. Sau đó là heli và mở rộng ra đối với một ion có hạt nhân Z và một electron, kiểm chứng xem với các cách làm của các bài toán trên thì có thể tách khối tâm cho bài toán ion được không. Mặc dù phạm vi của đề tài chỉ đến bước thiết lập Hamiltonian của nguyên tử ở dạng phân ly biến số giữa chuyển động khối tâm và chuyển động tương đối của hạt nhân và electron, nhưng kết quả này sẽ làm tiền đề cho các nghiên cứu sâu hơn, nhất là exciton không trung hòa trong bán dẫn hai chiều. 7
8. 4. Ngoài phần Mở đầu và Kết luận và hướng phát triển, khóa luận sẽ gồm có hai chương: Chương 1: Khối tâm trong các bài toán nguyên tử trung hòa khi chưa đặt trong từ trường. Chương này sẽ trình bày chi tiết các bước tách khối tâm cho nguyên tử trung hòa khi chưa đặt trong từ trường. Đối tượng nghiên cứu ở đây chính là nguyên tử hydro và heli. Chương 1 bao gồm hai phần, mỗi nguyên tử sẽ được trình bày trong một phần. Chương 2: Khối tâm trong các bài toán nguyên tử trung hòa trong từ trường. Chương này cũng sẽ trình bày chi tiết các bước tách khối tâm cho nguyên tử trung hòa trong từ trường. Chương 2 bao gồm ba phần. Hai phần đầu sẽ trình bày việc tách khối tâm cho hydro và heli. Phần thứ ba, tôi sẽ chuyển đối tượng nghiên cứu sang ion với hạt nhân 푍 và một electron với 푍 ≠ 1 để kiểm chứng với các bước tách khối tâm đã thực hiện trong bài toán hydro và heli thì đối với ion có thành công hay không. 8
9. CHƯƠNG 1: KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA KHI CHƯA ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG 1.1. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro khi chưa đặt trong từ trường Nguyên tử hydro trung hòa bao gồm haṭ nhân là môṭ proton và môṭ electron chuyển đông̣ xung quanh haṭ nhân. Trong nguyên tử hydro khi chưa đặt trong từ trường thì lưc̣ tác dung̣ giữa proton và electron chính là lưc̣ Coulomb. Goị 풓풉 ≡ ( ℎ, ℎ, ℎ) và 풓풆 ≡ ( 푒, 푒, 푒) lần lươṭ là vector toạ đô ̣ của haṭ nhân và electron, ℎ và 푒 lần lươṭ là khối lương̣ của haṭ nhân và electron. z 풓풆 − 풓풉 풓풉 풓풆 y x Hình 1: Nguyên tử hydro trong hệ tọa độ Descartes. Hamiltonian của nguyên tử hydro đươc̣ viết như sau 2 1 1 1 푒 ̂(풓풉, 풓풆) = 풑̂풉 + 풑̂풆 − , (1.1) 2 ℎ 2 푒 4πεε0 |풓풆 − 풓풉| trong đó 풑̂풉, ̂풑풆 lần lươṭ là toán tử xung lương̣ của haṭ nhân và electron, có dạng 풑̂풉 = −푖ℏ∇풓풉, (1.2) 풑̂풆 = −푖ℏ∇풓풆 , (1.3) ∇ là toán tử Nabla, đươc̣ đinḥ nghiã như sau 9
10. 휕 휕 휕 ∇= 풊 + 풋 + 풌 . (1.4) 휕 휕 휕 Để đưa bài toán về hê ̣toạ đô ̣khối tâm, ta se ̃ sử dung̣ hai vector mới như sau 풓 = 풓풆 − 풓풉 , (1.5) ℎ풓풉 + 푒풓풆 (1.6) 푹 = , ℎ + 푒 trong đó r là vector mô tả chuyển đông̣ tương đối của electron so vớ i haṭ nhân; R là vector toạ đô ̣ khối tâm của nguyên tử hydro. Ta se ̃ biến đổi sang hệ quy chiếu khối tâm qua các công thứ c liên hê ̣như sau = 푒 − ℎ { = 푒 − ℎ, (1.7) = 푒 − ℎ ℎ ℎ + 푒 푒 = + ℎ 푒 ℎ ℎ + 푒 푒 푌 = , (1.8) ℎ + 푒 + 푍 = ℎ ℎ 푒 푒 { ℎ + 푒 1 푒2 (풓) = − . (1.9) 4πεε0 |풓| Các biểu thứ c đaọ hàm riêng phần cũng se ̃ đươc̣ biến đổi sang hê ̣quy chiếu khối tâm, cụ thể là đối với haṭ nhân, ta có 휕 휕 휕 휕 휕 휕 휕 = + = − + ℎ 휕 휕 휕 휕 휕 휕 + 휕 ℎ ℎ ℎ ℎ 푒 휕 휕 휕 휕 휕푌 휕 휕 = + = − + ℎ ; 휕 ℎ 휕 휕 ℎ 휕푌 휕 ℎ 휕 ℎ + 푒 휕푌 (1.10) 휕 휕 휕 휕 휕푍 휕 휕 = + = − + ℎ { 휕 ℎ 휕 휕 ℎ 휕푍 휕 ℎ 휕 ℎ + 푒 휕푍 đối với electron, ta có 10
11. 휕 휕 휕 휕 휕 휕 휕 = + = + 푒 휕 휕 휕 휕 휕 휕 + 휕 푒 푒 푒 ℎ 푒 휕 휕 휕 휕 휕푌 휕 휕 = + = + 푒 . 휕 푒 휕 휕 푒 휕푌 휕 푒 휕 ℎ + 푒 휕푌 (1.11) 휕 휕 휕 휕 휕푍 휕 휕 = + = + 푒 { 휕 푒 휕 휕 푒 휕푍 휕 푒 휕 ℎ + 푒 휕푍 Bây giờ, ta sẽ lần lượt đưa các toán tử động lượng của hạt nhân và electron về hệ quy chiếu khối tâm. Viết toán tử xung lượng của hạt nhân dưới dạng tường minh ta thu được 휕 휕 휕 풑̂풉 = −푖ℏ (풊 + 풋 + 풌 ). 휕 ℎ 휕 ℎ 휕 ℎ Thay (1.10) vào biểu thức trên, ta thu được 휕 휕 휕 ℎ 휕 휕 휕 풑̂풉 = −푖ℏ [− (풊 + 풋 + 풌 ) + ( ) (풊 + 풋 + 풌 )] 휕 휕 휕 ℎ + 푒 휕 휕푌 휕푍 ℎ ⟹ 풑̂풉 = −푖ℏ(−∇퐫) + ( ) (−푖ℏ∇퐑) ℎ + 푒 ℎ ⟹ 풑̂풉 = −퐩̂ + ( ) 풑̂ , (1.12) ℎ + 푒 trong đó 퐩̂ = −푖ℏ∇퐫 là toán tử xung lương̣ đăc̣ trưng cho chuyển đông̣ tương đối giữa electron và haṭ nhân ứ ng với toạ đô ̣ (x,y,z); 풑̂ = −푖ℏ∇퐑 là toán tử xung lương̣ đăc̣ trưng cho chuyển đông̣ khối tâm của hê ̣ứ ng với toạ đô ̣(X,Y,Z). Thực hiện tương tự các bước biến đổi trên với toán tử động lượng của electron, ta cũng thu được 푒 풑̂풆 = 퐩̂ + ( ) 풑̂ . (1.13) ℎ + 푒 Bây giờ, ta se ̃ lần lươṭ thay các biểu thứ c toán tử đông̣ lương̣ và thế năng trên vào Hamiltonian ban đầu của nguyên tử hydro. Để đơn giản, ta se ̃ xét toán tử đông̣ năng của hê ̣trước 11
12. 2 2 1 1 1 ℎ 1 푒 풑̂풉 + 풑̂풆 = [−퐩̂ + ( ) 풑̂ ] + [퐩̂ + ( ) 풑̂ ] . 2 ℎ 2 푒 2 ℎ ℎ + 푒 2 푒 ℎ + 푒 Thực hiện các phép biến đổi toán học, ta thu được 1 1 1 ℎ + 푒 1 1 풑̂풉 + 풑̂풆 = ( ) 퐩̂ + ( ) 풑̂ . (1.14) 2 ℎ 2 푒 2 ℎ 푒 2 ℎ + 푒 Đến đây, ta đặt như sau ℎ 푒 = , (1.15) ℎ + 푒 = ℎ + 푒, (1.16) với là khối lượng của khối tâm, là khối lượng rút gọn của chuyển động tương đối giữa hạt nhân và electron. Khi đó, ta có Hamiltonian của nguyên tử hydro trong hệ quy chiếu khối tâm như sau 2 2 2 −ℏ 2 −ℏ 2 1 푒 ̂ = ∇퐑 + ∇퐫 − . (1.17) 2 2 4πεε0 |풓| Như vâỵ từ (1.17), ta thấy chuyển đông̣ của nguyên tử hydro khi chưa có từ trường có thể tách ra làm hai chuyển đông:̣ môṭ là chuyển đông̣ của môṭ haṭ có khối lương̣ rút gọn , hai là chuyển đông̣ của khối tâm có khối lương̣ [1]. Từ đây, Hamiltonian được tách thành hai thành phần như sau ̂ = ̂ + ̂ 푒푙, trong đó ta có −ℏ2 ̂ = ∇2 , 2 퐑 2 2 −ℏ 2 1 푒 ̂ 푒푙 = ∇퐫 − . 2 4πεε0 |풓| Lúc này hàm sóng sẽ có dạng phân ly biến số như sau 12
13. Ψ(푹, 풓, 풓 ) = 휓(푹)휙(풓, 풓 ). (1.18) Thay vào phương trình Schrodinger ̂Ψ = Ψ, ta có hai phương trình sau −ℏ2 ∇2 휓(푹) = 휓(푹), (1.19) 2 퐑 2 2 −ℏ 2 1 푒 ( ∇퐫 − ) 휙(풓) = 푒푙휙(풓). (1.20) 2 4πεε0 |풓| Việc giải phương trình Schrodinger lúc này sẽ đơn giản hơn rất nhiều do hai biến số đã phân ly hoàn toàn. Do khối lượng hạt nhân là proton lớn hơn nhiều (1836 lần) so với khối lượng của electron nên ≈ 푒, tuy nhiên trong các tính toán chính xác hơn, ta cần tính thêm hiệu ứng khối lượng hạt nhân. Phương trình (1.19) mô tả chuyển động tự do của hạt có khối lượng . Vì có sự tách biến giữa hai chuyển động này, khi khảo sát nguyên tử hydro, ta có thể xem như nó đứng yên và chỉ để lại thành phần chuyển động tương đối giữa electron và hạt nhân trong Hamiltonian [1]. 1.2. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli khi chưa đặt trong từ trường Nguyên tử heli bao gồm haṭ nhân là hai proton mang điện tích dương và hai electron mang điện tích âm chuyển đông̣ xung quanh haṭ nhân. Lưc̣ tác dung̣ giữa proton và electron và giữa các electron với nhau chính là lưc̣ điêṇ (lưc̣ Coulomb). Goị 풓풉 ≡ ( ℎ ℎ, ℎ) và 풓풆 ≡ ( 푒1 푒1, 푒1), 풓풆 ≡ ( 푒2 푒2, 푒2) lần lươṭ là vector toạ đô ̣của haṭ nhân và electron thứ nhất, thứ hai; ℎ và 푒 lần lươṭ là khối lương̣ của haṭ nhân và electron. 13
14. z 풓풆 − 풓풉 푒1 풓풆 풓풉 풓풆 − 풓풆 풓풆 − 풓풉 O y 풓풆 x 푒2 Hình 2: Nguyên tử heli trong hệ tọa độ Descartes. Hamiltonian của nguyên tử heli đươc̣ viết như sau 1 1 1 ̂ ̂ = 풑̂풉 + 풑̂풆 + 풑̂풆 + , (1.21) 2 ℎ 2 푒 2 푒 ̂ trong đó (풓풉, 풓풆 , 풓풆 ) là toán tử thế năng (có thể coi là hàm thế năng). Hàm thế năng là hàm thế năng tương tác Coulomb giữa từ ng electron vớ i haṭ nhân và giữa các electron với nhau được viết như sau 1 2푒2 2푒2 푒2 = (− − + ), (1.22) 4πεε 0 |풓풆 − 풓풉| |풓풆 − 풓풉| |풓풆 − 풓풆 | 풑̂풉, 풑̂풆 , 풑̂풆 lần lươṭ là toán tử xung lương̣ của haṭ nhân và từ ng electron. Để đưa bài toán về hê ̣toạ đô ̣khối tâm, ta se ̃ sử dung̣ các vector mới như sau 1 풓 = (풓 + 풓 ) − 풓 , (1.23) 2 풆 풆 풉 풓 = 풓풆 − 풓풆 , (1.24) ℎ풓풉 + 푒풓풆 + 푒풓풆 푹 = . (1.25) ℎ + 2 푒 14
15. Trong bài toán hydro, do chỉ có môṭ haṭ nhân và môṭ electron nên khi chuyển về hê ̣khối tâm, ta chỉ xét hai vector (môṭ thành phần chuyển đông̣ tương đối giữa electron với haṭ nhân và môṭ thành phần chuyển đông̣ của khối tâm). Đối với bài toán heli, do cũng có môṭ haṭ nhân nhưng có đến hai electron nên viêc̣ chuyển về hê ̣khối tâm se ̃ phứ c tap̣ hơn, nghiã là ta phải xét đến ba vector bao gồm 풓 = ( , , ) là vector mô tả chuyển đông̣ tương đối của hai electron so với haṭ nhân, 풓 = ( 0, 0, 0) là vector mô tả chuyển đông̣ tương đối của hai electron so với nhau, 푹 = ( , 푌, 푍) là vector mô tả chuyển đông̣ của khối tâm. Sau đó, từ (1.23), (1.24) và (1.25), ta cũng se ̃ tiến hành biến đổi từ hê ̣ toạ đô ̣ Descartes sang hê ̣toạ đô ̣khối tâm tương tư ̣ như bài toán hydro. Cụ thể ta có 휕 휕 휕풓 휕 휕풓 휕 휕푹 휕 1 휕 푒 휕 = + + = − + + , (1.26) 휕풓풆 휕풓 휕풓풆 휕풓 휕풓풆 휕푹 휕풓풆 휕풓 2 휕풓 ℎ + 2 푒 휕푹 휕 휕 휕풓 휕 휕풓 휕 휕푹 휕 1 휕 푒 휕 = + + = + + , (1.27) 휕풓풆 휕풓 휕풓풆 휕풓 휕풓풆 휕푹 휕풓풆 휕풓 2 휕풓 ℎ + 2 푒 휕푹 휕 휕 휕풓 휕 휕풓 휕 휕푹 휕 휕 = + + = − + ℎ . (1.28) 휕풓풉 휕풓 휕풓풉 휕풓 휕풓풉 휕푹 휕풓풉 휕풓 ℎ + 2 푒 휕푹 Từ kết quả trên, ta se ̃ biến đổi toán tử đông̣ lương̣ từ hê ̣ toạ đô ̣ Descartes qua hê ̣ toạ đô ̣ khối tâm như sau ℎ 풑̂풉 = −풑̂ + 풑̂ , (1.29) ℎ + 2 푒 1 푒 풑̂풆 = −풑̂ + 풑̂ + 풑̂ , (1.30) 2 ℎ + 2 푒 휕 1 푒 풑̂풆 = 푖ℏ = 풑̂ + 풑̂ + 풑̂ , (1.31) 휕풓풆 2 ℎ + 2 푒 trong đó 퐩̂ = −푖ℏ∇퐫 là toán tử xung lương̣ đăc̣ trưng cho chuyển đông̣ tương đối giữa hai electron vớ i nhau trong toạ đô ̣(x,y,z), 15
16. 풑̂ = −푖ℏ∇퐫 là toán tử xung lương̣ đăc̣ trưng cho chuyển đông̣ tương đối giữa hai electron vớ i haṭ nhân trong toạ đô ̣(x0,y0,z0), 풑̂ = −푖ℏ∇퐑 là toán tử xung lương̣ đăc̣ trưng cho chuyển đông̣ khối tâm của hê ̣ ứ ng với toạ đô ̣(X,Y,Z). Thay (1.29), (1.30), (1.31) vào (1.21), ta có 2 1 1 ℎ 풑̂풉 = (−풑̂ + 풑̂ ) 2 ℎ 2 ℎ ℎ + 2 푒 2 1 1 1 푒 풑̂풆 = (−풑̂ + 풑̂ + 풑̂ ) 2 푒 2 푒 2 ℎ + 2 푒 2 1 1 1 푒 풑̂풆 = (풑̂ + 풑̂ + 풑̂ ) . 2 푒 2 푒 2 ℎ + 2 푒 Khai triển các biểu thức trên và thu gọn, ta thu được Hamiltonian của heli như sau 1 1 1 1 ̂ = 풑̂ + 풑̂ + ( + ) 풑̂ 2( ℎ + 2 푒) 푒 2 ℎ 4 푒 (1.32) 1 2푒2 2푒2 푒2 + (− 풓 − 풓 + ). 4πεε0 |− + 풓| | + 풓| |풓 | 2 2 Đến đây, ta đặt như sau 2 = 푒 ℎ , (1.33) 2 푒 + ℎ = ℎ + 2 푒. (1.34) Khi đó, thay (1.31), (1.32) và (1.20) vào (1.30), Hamiltonian của bài toán nguyên tử heli trung hòa trong trường xuyên tâm có dang̣ như sau −ℏ2 −ℏ2 −ℏ2 1 2푒2 2푒2 푒2 ̂ = ∇2 + ∇2 + ∇2 + (− − + ) . (1.35) 퐑 퐫 퐫 풓 풓 2 푒 2 4πεε0 |− + 풓| | + 풓| |풓 | 2 2 16
17. Khác với bài toán hydro, do nguyên tử heli có 2 electron tương tác với hạt nhân và còn tương tác với nhau nên ngoài hai chuyển động của một khối tâm có khối lượng , một hạt có khối lượng rút gọn đặc trưng cho chuyển động tương đối của electron với hạt nhân, Hamiltonian còn xuất hiện một toán tử đặc trưng cho chuyển động tương đối của 2 electron với nhau. Từ đây, Hamiltonian được tách thành hai thành phần như sau ̂ = ̂ + ̂ 푒푙, trong đó ta có −ℏ2 ̂ = ∇2 , 2 퐑 −ℏ2 −ℏ2 1 2푒2 2푒2 푒2 ̂ = ∇2 + ∇2 + (− − + ). 푒푙 퐫 퐫 풓 풓 푒 2 4πεε0 |− + 풓| | + 풓| |풓 | 2 2 Tương tự như nguyên tử hydro, sau khi thế vào phương trình Schrodinger, ta cũng thu được hai phương trình như sau −ℏ2 ∇2 휓(푹) = 휓(푹), (1.36) 2 퐑 −ℏ2 −ℏ2 1 2푒2 2푒2 푒2 [ ∇2 + ∇2 + (− − + )] 휙(풓, 풓 ) 퐫 퐫 풓 풓 푒 2 4πεε0 |− + 풓| | + 풓| |풓 | (1.37) 2 2 = 푒푙휙(풓, 풓 ). Do ℎ ≫ 푒 nên có thể xem ≈ 푒. Tuy nhiên trong một số tính toán khác, đặc biệt là trong bài toán exciton trong bán dẫn hai chiều, ta vẫn phải xét đến hiệu ứng khối lượng lỗ trống do lúc này khối lượng của lỗ trống xấp xỉ bằng khối lượng của electron. 17
18. CHƯƠNG 2: TÁCH KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA TRONG TỪ TRƯỜNG 2.1. Ảnh hưởng của từ trường lên một hạt mang điện chuyển động Để mô tả từ trường, người ta dùng vector từ trường . Ý nghĩa vật lý của vector này liên quan đến lực Lorentz tác dụng lên điện tích 푞 khi nó đặt trong từ trường. Khi một điện tích chuyển động trong vùng không gian có từ trường, điện tích đó sẽ bị chịu tác dụng bởi lực Lorentz có dạng [1] 푭 = 푞(풗 × ). (2.1) Ngoài cách mô tả từ trường theo cách tiếp cận lực như trên, người ta còn sử dụng cách mô tả theo tiếp cận năng lượng bằng cách sử dụng thế điện động lực bao gồm thế vector (ngoài ra còn có thế vô hướng 휑 nhưng trong trường hợp này ta chỉ xét từ trường mà không có điện trường nên không xét đến thế vô hướng). Hai cách tiếp cận đều tương đương nhau. Điều đó được thể hiện qua hệ thức = ∇ × . (2.2) Như vậy, nếu biết thế vector thì ta có thể suy ra vector . Tuy nhiên, từ vector từ trường ta không thể suy ra thế vector một cách đơn trị do phương trình = ∇ × thuộc dạng vi phân. Khi xây dựng phương trình ngược, thuộc dạng tích phân, sẽ xuất hiện các hằng số tùy ý. Do vậy, ta cần chọn một định chuẩn để áp đặt lên thế điện động. Theo Avron et. al (1978), sử dụng định chuẩn Lorentz [3], thế vector có dạng = × 풓. (2.3) Xét một hạt mang điện 푞 chuyển động trong từ trường. Để xem xét ảnh hưởng của từ trường lên hạt này, ta sẽ viết Hamiltonian của nó trong từ trường để xem có gì khác biệt so với khi không có từ trường hay không. Thật vậy, trước tiên ta sẽ viết Hamiltonian 18
19. cho hệ, sau đó chuyển thành Hamiltonian theo tiên đề tương ứng giữa toán tử và đại lượng vật lý. Ta bắt đầu bằng phương trình chuyển động Lagrange như sau 휕퐿 휕퐿 ( ) − = 0, (2.4) 푡 휕푞푗̇ 휕푞푗 với 푗 = 1,2,3, , hàm Lagrange cho hạt mang điện 푞 chuyển động trong từ trường có dạng 1 퐿 = 푣2 + 푞풗. , (2.5) 2 ở đây, ta có 푞1 ≡ , 푞2 ≡ , 푞3 ≡ , 푞1̇ ≡ 푣 , 푞2̇ ≡ 푣 , 푞3̇ ≡ 푣 . Đem hàm Lagrange với kí hiệu như trên thế vào phương trình chuyển động Lagrange (2.5), ta dễ dàng thu được (2.1). Từ đây ta sẽ sử dụng hàm Lagrange cho các tính toán cần thiết. Xung lượng suy rộng cho hệ được tính từ công thức 휕퐿 푗 = (2.6) 휕푞푗̇ ⟹ 풑 = 풗 + 푞 . (2.7) Biểu thức (2.7) cho ta ý nghĩa vật lý của thế vector . Nó chính là phần xung lượng của từ trường đóng góp vào xung lượng của một đơn vị điện tích chuyển động trong từ trường. Đây chính là sự khác biệt về toán tử xung lượng của hạt mang điện khi ở trong từ trường so với khi không có từ trường. Hàm Hamilton của hệ được tính từ công thức 19
20. 3 = ∑ 푗푞푗̇ − 퐿. (2.8) 푗=1 Thay (2.5), (2.7) vào (2.8) ta có 1 = 풗 + 푞풗. − ( 풗 + 푞풗. ). 2 Biến đổi biểu thức trên, ta thu được 1 = 풗 . 2 (2.9) Từ (2.7) suy ra 풑 − 푞 풗 = . (2.10) Thay (2.10) vào (2.9), ta suy ra Hamiltonian của một hạt mang điện chuyển động trong từ trường có dạng như sau 1 ̂ = (풑̂ − 푞 )2. (2.11) 2 Kết quả này khác với Hamiltonian của một hạt mang điện khi không có từ trường: 1 ̂ = 풑̂2. (2.12) 2 Ở các bài toán dưới đây, ta sẽ sử dụng Hamiltonian cho hạt chuyển động trong từ trường để giải và đưa Hamiltonian về hệ khối tâm. 2.2. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro trung hòa trong từ trường Goị rhhhh (,,)xyz và re (,,)x e y e z e lần lươṭ là vector toạ đô ̣ của haṭ nhân và electron, ℎ và 푒 lần lươṭ là khối lương̣ của haṭ nhân và electron. 20
21. z ⃗⃗ 풓풆 − 풓풉 풓풉 풓풆 y x Hình 3: Nguyên tử hydro khi đặt trong từ trường trong hệ tọa độ Descartes. Hamiltonian của nguyên tử hydro trong từ trường đươc̣ viết như sau 2 1 1 1 푒 ̂ = (풑̂풉 − 푒 풉) + (풑̂풆 + 푒 풆) − , (2.13) 2 ℎ 2 푒 4πεε0 |풓풆 − 풓풉| trong đó 풑̂풉, ̂풑풆 lần lươṭ là toán tử xung lương̣ của haṭ nhân và electron, là thế vector. Nó liên quan đến sự ảnh hưởng của trường điện từ lên xung lượng của hạt mang điện. Nó chính là phần xung lượng của trường điện từ đóng góp vào xung lượng của một đơn vị điện tích chuyển động trong từ trường [1]. Khai triển (2.13), ta đươc̣ 1 1 ̂ = (풑̂풉 − 2푒 풉풑̂풉 + 푒 풉 ) + (풑̂풆 + 2푒 풆풑̂풆 + 푒 풆 ) 2 ℎ 2 푒 1 푒2 − 4πεε0 |풓풆 − 풓풉| 풑̂ 푒 풑̂ 푒 풑̂ 푒 풑̂ 푒 1 푒2 ⟹ ̂ = 풉 − 풉 풉 + 풉 + 풆 + 풆 풆 + 풆 − . (2.14) 2 ℎ ℎ 2 ℎ 2 푒 푒 2 푒 4πεε0 |풓풆 − 풓풉| 21
22. Để đưa bài toán về hê ̣ toạ đô ̣ khối tâm, ta se ̃ sử dung̣ hai vector mới tương tự bài toán nguyên tử hydro khi không có từ trường như sau 풓 = 풓풆 − 풓풉, (2.15) ℎ풓풉 + 푒풓풆 (2.16) 푹 = . ℎ + 푒 Biến đổi (2.15) và (2.16) để biểu diễn các vector tọa độ của hạt nhân và electron trong hệ Descartes theo hệ khối tâm, ta được ℎ 풓풆 = 푹 + 풓 , (2.17) ℎ + 푒 푒 풓풉 = 푹 − 풓. (2.18) ℎ + 푒 Theo (2.3), ta sẽ chọn các thế vector như sau 1 = × 풓 , (2.19) 풆 2 풆 1 = × 풓 . (2.20) 풉 2 풉 Thay (2.17), (2.18) vào (2.19), (2.20), ta được các thế vector của hạt nhân và electron trong hệ quy chiếu khối tâm như sau 1 1 ℎ (2.21) 풆 = × 푹 + × 풓, 2 2 ℎ + 푒 1 1 푒 풉 = × 푹 − × 풓. (2.22) 2 2 ℎ + 푒 Sau khi đã chuyển các vector từ hệ Descartes về hệ khối tâm, ta sẽ tiếp tục biến đổi các toán tử có trong Hamiltonian về hệ khối tâm. Biến đổi tương tự như bài toán hydro khi không có từ trường, ta được toán tử đông̣ lương̣ trong hê ̣quy chiếu khối tâm như (1.12), (1.13). ℎ 풑̂풉 = −퐩̂ + ( ) 풑̂ , ℎ + 푒 22
23. 푒 풑̂풆 = 퐩̂ + ( ) 풑̂ . ℎ + 푒 Thay (1.12) và (1.13) vào (2.14), ta được 풑̂풉 풑̂풆 1 ℎ + 푒 풑̂ 풑̂ + = 풑̂ + 풑̂ = + , (2.23) 2 ℎ 2 푒 2( ℎ + 푒) 2 ℎ 푒 2 2 ℎ 푒 với = ℎ + 푒 là khối lượng của khối tâm và = là khối lượng rút gọn của ℎ+ 푒 chuyển động tương đối giữa hạt nhân và electron. Xét các số hạng có chứa tích thế vector và toán tử động lượng trong Hamiltonian, biến đổi về hê ̣toạ đô ̣khối tâm ta đươc̣ 푒 풆풑̂풆 푒 ℎ 푒 = { × (푹 + 풓)} {퐩̂ + ( ) 풑̂ }, (2.24) 푒 2 푒 ℎ + 푒 ℎ + 푒 푒 풉풑̂풉 푒 푒 ℎ = { × (푹 − 풓)} {−퐩̂ + ( ) 풑̂ }. (2.25) ℎ 2 ℎ ℎ + 푒 ℎ + 푒 Khai triển (2.24) và (2.25) rồi trừ vế theo vế, ta được 푒 풆풑̂풆 푒 풉풑̂풉 푒 푒 1 1 푒 − = ( × 푹). 퐩̂ + ( − ) ( × 풓). 퐩̂ + ( × 풓). 풑̂ . (2.26) 푒 ℎ 2 2 푒 ℎ 2 Xét các số hạng có chứa thành phần bình phương của thế vector, biến đổi về hệ quy chiếu khối tâm ta được 푒 푒 ( × 푹 − × 풓) 푒 풉 + (2.27) = ℎ 푒 , 2 ℎ 8 ℎ ℎ 푒 ( × 푹 + × 풓) 푒 + 풆 = ℎ 푒 . (2.28) 2 푒 8 푒 Khai triển (2.27) và (2.28) rồi cộng vế theo vế, ta được 23
24. 푒 푒 풉 + 풆 2 ℎ 2 푒 (2.29) 푒 푒 1 1 푒 3푒 = ( × 푹)2 + ( − ) ( × 푹). ( × 풓) + { − } ( × 풓) . 8 4 푒 ℎ 8 8 Thay (2.23), (2.26) và (2.29) vào (2.13), ta đươc̣ 풑̂ 풑̂ ̂(풓, 푹) = + 2 2 푒 푒 1 1 푒 + ( × 푹)퐩̂ + ( − ) ( × 풓)퐩̂ + ( × 풓)풑̂ 2 2 푒 ℎ 2 (2.30) 푒 푒 1 1 푒 3푒 + ( × 푹)2 + ( − ) ( × 푹)( × 풓) + { − } ( × 풓) 8 4 푒 ℎ 8 8 1 푒2 − . 4πεε0 |풓| Biểu thức Hamiltonian đã được đưa về hệ khối tâm. Để đưa về dạng phân ly biến số giữa chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối giữa proton và electron, ta xét toán tử động lượng suy rộng như sau [13] 1 푷̂ = ∑ (풑̂ + 푒 × 풓 ), (2.31) 풊 2 푖 풊 푖=1 với 푖 = 1,2, là các phần tử trong hệ. Trong bài toán hydro, ta có 푖 = (푒, ℎ). Biến đổi biểu thức trên, ta được 1 1 푷̂ = 풑̂ + (−푒) × 풓 + 풑̂ + 푒 × 풓 풆 2 풆 풉 2 풉 휕 1 ⟹ 푷̂ = −푖ℏ − 푒 × 풓. (2.32) 휕푹 2 Do [푷̂ ; 푯̂ ] = 0 (phụ lục A), ta sẽ giải phương trình hàm riêng trị của toán tử này có dạng 푷̂ Ψ = ℏ푲Ψ. (2.33) Giải phương trình (2.34), ta thu được hàm sóng Ψ(푹, 풓) có dạng 24
25. 1 푖 1 Ψ(퐑) = exp { [ℏ푲 + (푒 × 풓)] 푹} 휓(풓). √ ℏ 2 Chuẩn hóa hàm sóng, ta được = 1. Đặt 푖 1 푈 = 푒 { [ℏ푲 + (푒 × 풓)] 푹}. (2.34) ℏ 2 Lúc này hàm sóng có dạng như sau [13] Ψ(푹) = 푈(푹, 풓)휓(풓). (2.35) Thay (2.35) vào phương trình Schrodinger ̂Ψ = Ψ và biến đổi, ta có 푈−1 ̂푈휓 = 휓, Khi đó Hamiltonian được biến đổi trở thành [15, 16] ̂′ = 푈−1 ̂푈 . (2.36) Từ công thức (2.36) về biểu thức 푈 và các toán tử xung lượng trong hệ quy chiếu khối tâm, ta có các phép biến đổi như sau 푒 푈−1풑̂푈 = ℏ푲 + ( × 풓), (2.37) 2 푒 푈−1풑̂푈 = 풑̂ − ( × 푹). (2.38) 2 Bình phương hai vế của (2.37) và (2.38), ta được 풑̂ (ℏ푲)2 푒 푒2 푈−1 푈 = + ℏ푲( × 풓) + ( × 풓)2, (2.39) 2 2 2 8 풑̂ 풑̂2 푒 푒2 푈−1 푈 = − 풑̂( × 푹) + ( × 푹)2. (2.40) 2 2 2 8 Tiếp theo, từ các kết quả trên, ta sẽ biến đổi các các số hạng còn lại trong Hamiltonian như sau 25
26. 푒 푒 푒2 ( × 푹)푈−1풑̂푈 = ( × 푹)풑̂ − ( × 푹) , (2.41) 2 2 4 푒 1 1 푒 1 1 ( − ) ( × 풓)푈−1풑̂푈 = ( − ) ( × 풓)퐩̂ 2 푒 ℎ 2 푒 ℎ (2.42) 푒2 1 1 − ( − ) ( × 풓)( × 푹), 4 푒 ℎ 푒 푒 푒2 ( × 풓)푈−1풑̂푈 = ℏ푲( × 풓) + ( × 풓)2. (2.43) 2 2 4 Thay (2.39), (2.40), (2.41), (2.42), (2.43) vào (2.36) rồi khai triển và rút gọn, ta được (ℏ푲)2 풑̂2 푒 푒 1 1 푒2 ̂′ = + + ℏ푲( × 풓) + ( − ) ( × 풓)퐩̂ + ( × 풓)2 2 2 2 푒 ℎ 8 (2.44) 1 푒2 − . 4πεε0 |풓| Lúc này Hamiltonian đã được phân ly thành hai thành phần chuyển động như sau ′ ̂ = ̂ + ̂ 푒푙, (2.45) trong đó ̂ là thành phần chuyển động của khối tâm (ℏ푲)2 ̂ = , (2.46) 2 và ̂ 푒푙 là thành phần chuyển động tương đối của proton và electron 2 2 푒 푒 1 1 푒 2 1 푒 ̂ 푒푙 = ℏ푲. ( × 풓) + ( − ) ( × 풓). 퐩̂ + ( × 풓) − . (2.47) 2 푒 ℎ 8 4πεε0 |풓| 2.3. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli trung hòa trong từ trường Goị 풓풉 ≡ ( ℎ, ℎ, ℎ); 풓풆 ≡ ( 푒1, 푒1, 푒1) và 풓풆 ≡ ( 푒2, 푒2, 푒2) lần lươṭ là vector toạ đô ̣của haṭ nhân và các electron, ℎ và 푒 lần lươṭ là khối lương̣ của haṭ nhân và electron. 26
27. ⃗⃗ z 풓 − 풓 풆 풉 푒 1 풓풆 풓풉 풓풆 − 풓풆 풓풆 − 풓풉 y O 풓풆 x 푒2 Hình 4: Nguyên tử heli khi đặt trong từ trường trong hệ tọa độ Descartes. Hamiltonian của nguyên tử heli trong từ trường đươc̣ viết như sau 1 1 1 ̂ = (풑̂풉 − 2푒 풉) + (풑̂풆 + 푒 풆 ) + (풑̂풆 + 푒 풆 ) 2 ℎ 2 푒 2 푒 (2.48) 1 2푒2 2푒2 푒2 + (− − + ), 4πεε 0 |풓풆 − 풓풉| |풓풆 − 풓풉| |풓풆 − 풓풆 | trong đó 풑̂풉, 풑̂풆 , 풑̂풆 là toán tử xung lượng của hạt nhân và các electron. Từ (2.3), Thế vector có thể được chọn như sau 1 = × 풓 , (2.49) 풆 2 풆 1 = × 풓 , (2.50) 풆 2 풆 1 = × 풓 . (2.51) 풉 2 풉 Biến đổi Hamiltonian (2.48) của hê,̣ ta đươc̣ 27
28. 풑̂ 풑̂풆 풑̂풆 2푒 풑̂ 푒 풆 풑̂풆 푒 풆 풑̂풆 2푒 ̂ = 풉 + + − 풉 풉 + + + 풉 2 ℎ 2 푒 2 푒 ℎ 푒 푒 ℎ 푒 풆 푒 풆 + + (2.52) 2 푒 2 푒 1 2푒2 2푒2 푒2 + (− − + ). 4πεε 0 |풓풆 − 풓풉| |풓풆 − 풓풉| |풓풆 − 풓풆 | Để đưa bài toán về hê ̣toạ đô ̣khối tâm, tương tự như bài toán heli khi không có từ trường, ta se ̃ sử dung̣ ba vector mới như (1.23), (1.24), (1.25) Biến đổi (1.23), (1.24), (1.25) để biểu diễn các vector tọa độ của hạt nhân và các electron trong hệ Descartes theo hệ khối tâm, ta được 풓 ℎ 풓풆 = 푹 − + 풓, (2.53) 2 ℎ + 2 푒 풓 ℎ 풓풆 = 푹 + + 풓, (2.54) 2 ℎ + 2 푒 2 푒 풓풉 = 푹 − 풓. (2.55) ℎ + 2 푒 Thay (2.53), (2.54), (2.55) vào (2.49), (2.50), (2.51), ta được các biểu thức thế vector của hạt nhân và các electron theo hệ quy chiếu khối tâm như sau 1 1 ℎ (2.56) 풆 = × 푹 − × 풓 + × 풓, 2 4 ℎ + 2 푒 1 1 ℎ (2.57) 풆 = × 푹 + × 풓 + × 풓, 2 4 ℎ + 2 푒 1 푒 풉 = × 푹 − × 풓. (2.58) 2 ℎ + 2 푒 Sau khi đã chuyển các vector từ hệ Descartes về hệ khối tâm, ta sẽ tiếp tục biến đổi các toán tử có trong Hamiltonian về hệ khối tâm. Biến đổi tương tự như bài toán heli khi không có từ trường, ta được toán tử đông̣ lương̣ trong hê ̣toạ đô ̣khối tâm như (1.29), (1.30), (1.31). Từ đó ta cũng thu được 28
29. 풑̂ 풑̂풆 풑̂풆 풑̂ 풑̂ 퐩̂ 풉 + + = + + , (2.59) 2 ℎ 2 푒 2 푒 2 2 푒 2 푒 ℎ với = ℎ + 2 푒 là khối lượng của khối tâm, = là khối lượng rút gọn của ℎ+2 푒 chuyển động tương đối giữa electron và hạt nhân. Xét các số hạng trong Hamiltonian có chứa tích số thế vector với toán tử động lượng để biến đổi về hệ quy chiếu khối tâm, ta được 푒 풆 풑̂풆 푒 1 1 ℎ 1 푒 = ( × 푹 − × 풓 + × 풓) ( 퐩̂ − 퐩̂ + 풑̂ ), (2.60) 푒 푒 2 4 2 푒 풆 풑̂풆 푒 1 1 ℎ 1 푒 = ( × 푹 + × 풓 + × 풓) ( 퐩̂ + 퐩̂ + 풑̂ ), (2.61) 푒 푒 2 4 2 2푒 풉풑̂풉 2푒 1 푒 ℎ = ( × 푹 − × 풓) (−퐩̂ + 풑̂ ). (2.62) ℎ ℎ 2 Cộng (2.60), (2.61), (2.62) vế theo vế, khai triển và rút gọn, ta được 푒 풆 풑̂풆 푒 풆 풑̂풆 2푒 풑̂ + − 풉 풉 푒 푒 ℎ 푒 푒 푒 = ( × 푹). 퐩̂ + ( × 풓 ). 퐩̂ + ( × 풓). 풑̂ (2.63) 2 푒 푒 푒 + ( − ) ( × 풓). 퐩̂. 2 푒 ℎ Xét các số hạng trong Hamiltonian có chứa thành phần bình phương của thế vector, biến đổi về hệ khối tâm, ta được 푒 풆 푒 1 1 ℎ = ( × 푹 − × 풓 + × 풓) , (2.64) 2 푒 2 푒 2 4 푒 풆 푒 1 1 ℎ = ( × 푹 + × 풓 + × 풓) , (2.65) 2 푒 2 푒 2 4 2푒 2푒 1 풉 = ( × 푹 − 푒 × 풓) . (2.66) ℎ ℎ 2 Cộng (2.64), (2.65), (2.66) vế theo vế, khai triển và thu gọn, ta được 29
30. 푒 풆 푒 풆 2푒 + + 풉 2 푒 2 푒 ℎ 2 2 푒 2 푒 2 = ( × 푹) + ( × 풓 ) (2.67) 2 16 푒 푒2 3푒2 푒2 푒2 + ( − ) ( × 풓)2 + ( − ) ( × 푹). ( × 풓). 2 2 2 푒 ℎ Thay (2.59), (2.63), (2.67) vào (2.52), ta đươc̣ 풑̂ 풑̂ 퐩̂ ̂ = + + 2 2 푒 푒 푒 + ( × 푹)퐩̂ + ( × 풓 )퐩̂ 2 푒 푒 푒 푒 + ( × 풓)풑̂ + ( − ) ( × 풓)퐩̂ 2 푒 ℎ 2 2 푒 2 푒 2 + ( × 푹) + ( × 풓 ) (2.68) 2 16 푒 푒2 3푒2 푒2 푒2 + ( − ) ( × 풓)2 + ( − ) ( × 푹)( × 풓) 2 2 2 푒 ℎ 1 2푒2 2푒2 푒2 + (− 풓 − 풓 + ) . 4πεε0 |− + 풓| | + 풓| |풓 | 2 2 Biểu thức Hamiltonian đã được đưa về hệ khối tâm. Để đưa về dạng phân ly biến số giữa chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối giữa proton và electron, ta xét toán tử động lượng suy rộng như (2.31). Trong bài toán heli, ta có 푖 = (푒, 푒, ℎ). Khai triển biểu thức trên, ta được 1 1 1 푷̂ = 풑̂ + × 2푒풓 + 풑̂ + × (−푒)풓 + 풑̂ + × (−푒)풓 . 풉 2 풉 풆 2 풆 풆 2 풆 Rút gọn ta được toán tử động lượng suy rộng theo hệ quy chiếu khối tâm như sau 휕 푷̂ = −푖ℏ − 푒 × 풓. (2.69) 휕푹 30
31. Tương tự như bài toán hydro trong từ trường, ta sẽ giải phương trình hàm riêng trị của toán tử này có dạng [13] 푷̂ 휓 = ℏ푲휓 . Giải phương trình trên, ta thu được hàm sóng Ψ(푹, 풓) có dạng 1 푖 Ψ(퐑) = 푒 { [ℏ푲 + (푒 × 풓)]푹} 휓(풓). √ ℏ Chuẩn hóa hàm sóng, ta được = 1 ( là hệ số chuẩn hóa [13]). Đặt 푖 푈 = 푒 { [ℏ푲 + (푒 × 풓)]푹}. (2.70) ℏ Lúc này hàm sóng có dạng như sau Ψ(푹) = 푈(푹, 풓)휓(풓). Thay hàm sóng vào phương trình Schrodinger, biến đổi tương tự như hydro trong từ trường, Hamiltonian được biến đổi trở thành ̂′ = 푈−1 ̂푈 . (2.71) Từ công thức (2.70) về biểu thức 푈 và các toán tử xung lượng trong hệ quy chiếu khối tâm, ta có các phép biến đổi như sau −1 푈 풑̂ 푈 = ℏ푲 + 푒( × 풓), (2.72) 푈−1풑̂푈 = 풑̂ − 푒( × 푹), (2.73) −1 푈 풑̂ 푈 = 풑̂ . (2.74) Bình phương hai vế của (2.72), (2.73), (2.74), ta được 31
32. 풑̂ (ℏ푲)2 푒 푒2 푈−1 푈 = + ℏ푲( × 풓) + ( × 풓)2, (2.75) 2 2 2 풑̂ 풑̂2 푒 푒2 푈−1 푈 = − 풑̂( × 푹) + ( × 푹)2, (2.76) 2 2 2 풑̂ 풑̂ 푈−1 푈 = . (2.77) 푒 푒 Tiếp theo, từ các kết quả trên, ta sẽ biến đổi các các số hạng còn lại trong Hamiltonian như sau 푒 푒 푒2 ( × 푹)푈−1풑̂푈 = ( × 푹)풑̂ − ( × 푹) , (2.78) 푒 푒 ( − ) ( × 풓)푈−1풑̂푈 2 푒 ℎ (2.79) 푒 푒 푒2 푒2 = ( − ) ( × 풓)퐩̂ − ( − ) ( × 풓)( × 푹), 2 푒 ℎ 2 푒 ℎ 푒 −1 푒 ( × 풓 )푈 풑̂ 푈 = ( × 풓 )퐩̂ , (2.80) 2 푒 2 푒 푒 푒 푒2 ( × 풓)푈−1풑̂푈 = ℏ푲( × 풓) + ( × 풓) . (2.81) Thay (2.75), (2.76), (2.77), (2.78), (2.79), (2.80), (2.81) vào (2.68), Hamiltonian cuối cùng sau khi biến đổi sẽ có dạng (ℏ푲)2 풑̂2 2푒 푒 푒 푒2 ̂′ = + + ℏ푲. ( × 풓) + ( − ) ( × 풓). 퐩̂ + ( × 풓)2 2 2 2 푒 ℎ 2 (2.82) 1 e 2 1 2푒2 2푒2 푒2 + (퐩̂ + × 풓 ) + (− 풓 − 풓 + ) . 푒 4 4πεε0 |− + 풓| | + 풓| |풓 | 2 2 Lúc này Hamiltonian đã được phân ly thành các thành phần chuyển động như sau ′ ̂ = ̂ + ̂ 푒푙, (2.83) trong đó ̂ là thành phần chuyển động của khối tâm 32
33. (ℏ푲)2 ̂ = , (2.84) 2 ̂ 푒푙 là thành phần chuyển động tương đối của proton và electron 2 2 풑̂ 2푒 푒 푒 푒 2 ̂ 푒푙 = + ℏ푲. ( × 풓) + ( − ) ( × 풓). 퐩̂ + ( × 풓) 2 2 푒 ℎ 2 1 e 2 + (퐩̂ + × 풓 ) 푒 4 (2.85) 1 2푒2 2푒2 푒2 + (− 풓 − 풓 + ). 4πεε0 |− + 풓| | + 풓| |풓 | 2 2 33
34. CHƯƠNG 3: ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÁCH CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM TRONG HAMILTONIAN CỦA MỘT NGUYÊN TỬ TRONG TỪ TRƯỜNG Trong phần này, ta sẽ xét một ion bao gồm hạt nhân 푍 (푍 ≠ 1) và một electron. Ta cũng sẽ đưa Hamiltonian của hệ này về hệ quy chiếu khối tâm tương tự như hydro, heli trong từ trường và kiểm chứng xem với các bước làm tương tự như trên có thể đưa Hamiltonian về dạng phân ly biến số giữa chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối của hai hạt trong hệ được hay không. Đây cũng có thể coi là bước đầu tiếp cận với bài toán exciton không trung hòa trong bán dẫn. Goị rhhhh ( ,x , )y z và reeee ( ,x , )y z lần lươṭ là vector toạ đô ̣ của haṭ nhân và electron, ℎ và 푒 lần lươṭ là khối lương̣ của haṭ nhân và electron. Hamiltonian của nguyên tử này trong từ trường đươc̣ viết như sau 1 1 1 푍푒 ̂(풓풉, 풓풆) = (풑̂풉 − 푍 풉) + (풑̂풆 + 푒 풆) − , (3.1) 2 ℎ 2 푒 4πεε0 |풓풆 − 풓풉| trong đó 풑̂풉, 풑̂풆 lần lượt là toán tử động lượng của hạt nhân và của electron. Từ (2.3), thế vector có thể được chọn như (2.19), (2.20). Từ (3.1), biến đổi Hamiltonian của hê,̣ ta đươc̣ 풑̂ 푍 풑̂ 푍 풑̂ 푒 풑̂ 푒 ̂(풓 , 풓 ) = 풉 − 풉 풉 + 풉 + 풆 + 풆 풆 + 풆 풉 풆 2 2 2 2 ℎ ℎ ℎ 푒 푒 푒 (3.2) 1 푍푒 − . 4πεε0 |풓풆 − 풓풉| Biến đổi theo các bước tương tự như bài toán hydro và heli trong từ trường, ta thu được Hamiltonian của ion trong hệ quy chiếu khối tâm trong từ trường như sau 34
35. 풑̂ 풑̂ ̂(푹, 풓) = + 2 2 1 푒 푍 1 푒 푍 + ( + ) ( × 푹)퐩̂ + ( ℎ − 푒) ( × 풓)퐩̂ 2 푒 ℎ 2 푒 ℎ 푒 + 푍 푒 − 푍 + ℎ 푒 ( × 풓)풑̂ + ( × 푹)풑̂ 2 2 2 (3.3) 푒2 푍2 1 푒2 푍2 + ( + ) ( × 푹)2 + ( ℎ − 푒) ( × 푹)( × 풓) 8 푒 8 ℎ 4 푒 ℎ 1 푍 푒 1 푍푒 푒 ℎ ( ) [ ] + 2 ( + ) × 풓 − . 11 8 ℎ 푒 4πεε0 |풓| Toán tử động lượng suy rộng 푃̂0 trong bài toán này có dạng 휕 푍 − 푒 푍 + 푒 푷̂ = −푖ℏ + × 푹 − 푒 ℎ × 풓. 휕푹 2 2 Ta sẽ biến đổi Hamiltonian trở thành ̂′ = 푈−1 ̂푈, (3.4) với 푈 trong phương trình hàm riêng trị riêng có dạng [11] 푖 푍 + 푒 푈 = exp { [ℏ푲 + ( 푒 ℎ) ( × 풓)] 푹}. (3.5) ℏ 2 trong đó ℏ푲 là thành phần trị riêng của phương trình hàm riêng trị riêng của 푷̂ [8] và 푍 +푒 ( 푒 ℎ) ( × 풓) là thành phần của phép biến đổi Power – Zienau – Wolley [6]. 2 Biến đối tương tự như bài toán hydro và heli trong từ trường, ta được Hamiltonian của ion có dạng 35
36. (ℏ푲)2 풑̂2 푒 − 푍 푒 + 푍 ̂′(푹, 풓) = + + ℏ푲( × 푹) + ℎ 푒 ℏ푲( × 풓) 2 2 2 2 1 푒 푍 (푒 − 푍) + ( ℎ − 푒) ( × 풓)퐩̂ + ( × 푹) 2 푒 ℎ 8 (3.6) (푒 + 푍 )(푒 − 푍) + ℎ 푒 ( × 푹)( × 풓) 2 2 3(푒 + 푍 )2 푍2 2 푒2 2 1 푍푒 ℎ 푒 푒 ℎ ( )2 + [ 3 + 2 + 2 ] × 풓 − . 8 8 ℎ 8 푒 4πεε0 |풓| Biểu thức Hamiltonian (3.5) vẫn còn chứa thành phần ( × 푹)( × 풓) khiến ta không thể tách riêng chuyển động khối tâm và chuyển động tương đối của electron và hạt nhân ra được. Tuy nhiên, ta có thể tìm điều kiện sao cho thành phần này triệt tiêu, khi đó ta có thể đưa Hamiltonian về dạng phân ly biến số. Thật vậy, để Hamiltonian đưa được về dạng phân ly biến số thì (푒 + 푍 )(푒 − 푍) ℎ 푒 ( × 푹)( × 풓) = 0. (3.7) 2 2 Mà 푍 > 0 và 푒 ℎ + 푄 푒 > 0 do hạt nhân luôn mang điện tích dương nên 푍 = 푒. (3.8) Trong trường hợp 푍 ≠ 푒, Hamiltonian sẽ không có dạng phân ly biến số. Tuy nhiên vẫn tồn tại một phép biến đổi Hamiltonian, khác với (3.22) giúp ta đưa Hamiltonian về dạng phân ly biến số trong trường hợp tổng quát 푄 ≠ 푒 [11]. 36
37. CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN KẾT LUẬN Trong đề tài này, tôi đã: • Trình bày các bước cần làm để tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro khi chưa có từ trường; • Trình bày các bước cần làm để tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli khi chưa có từ trường; • Trình bày các bước cần làm để tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro khi đặt trong từ trường; • Trình bày các bước cần làm để tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli khi đặt trong từ trường; • Kiểm chứng các bước tách khối tâm đã áp dụng cho bài toán ion (푍,푒) trong từ trường. HƯỚNG PHÁT TRIỂN Đề tài vẫn còn chưa đề cập đến cách tách khối tâm cho bài toán của các exciton trong bán dẫn. Việc giải bài toán hàm riêng trị riêng trong bài này sẽ không giống như các bài toán đã trình bày ở trên nữa. Khi đó, hàm sóng tìm được sẽ có dạng phức tạp hơn, dẫn đến việc đưa Hamiltonian của hệ về dạng phân ly biến số sẽ gặp khó khăn. Tuy nhiên, các bước tách khối tâm từ đầu cho đến bước giải phương trình hàm riêng trị riêng của bài toán exciton trong bán dẫn cũng giống như đối với bài toán nguyên tử hydro, heli trong từ trường [15, 16]. Do đó, đề tài này cũng chính là bước đệm cho các nghiên cứu sâu hơn, mà điển hình là chuyển động của exciton trong bán dẫn, do tính cấp thiết cũng như ứng dụng của chúng trong các vật liệu bán dẫn [10]. Tôi hi vọng qua đề tài này, người đọc sẽ có một cái nhìn tổng quan về việc tách khối tâm cho bài toán nguyên tử khi không có từ trường cũng như trong từ trường, hiểu được ý nghĩa của việc tách khối tâm và áp dụng nó vào các nghiên cứu tiếp theo. 37
38. PHỤ LỤC A. Toán tử động lượng suy rộng của một hệ N hạt mang điện Xét một hệ gồm N hạt mang điện, mỗi hạt có điện tích 푒푖 có khối lượng 푖 (푖 = 1,2,3, , ) trong không gian của từ trường . Giá trị của thế vector ở vị trí 풓풊 hạt thứ 푖 được thể hiện bởi 풊 = (풓풊). Lúc này, để tổng quát, ta chưa chọn một định chuẩn nào cho thế vector. Hamiltonian cho hệ sẽ có dạng 1 푯̂ = ∑ (풑̂풊 − 푒푖 풊) + ̂(풓 , 풓 , , 풓푵). (A.1) 2 푖 푖=1 Ta sẽ xét một đại lượng bảo toàn, đó chính là xung lượng suy rộng của hệ trên. Khi hệ ở trong từ trường, chính từ trường sẽ gây ra sự thay đổi giá trị của thế vector. Cụ thể là nếu biết , khi xây dựng phương trình ngược để tìm lại thế vector, thuộc dạng tích phân thì sẽ xuất hiện các hằng số tùy ý. Do đó, ta cần phải có một định chuẩn áp đặt lên thế vector. Dạng của xung lượng suy rộng là 𝑖 ℏ 휕 휕 푷 흁 = ∑ ( − 푒푖 ∫ 풓), (A.2) 푖 휕 푖휇 휕 휇 푖=1 với 휇 = 1,2,3 là ba bậc trong tọa độ Descartes. Lại có = 휵 × , thay vào biểu thức trên ta được 푷̂ = ∑(풑̂풊 − 푒푖 풊 + 푒푖 × 풓풊). (A.3) 푖=1 Và bằng cách xây dựng này, ta luôn có [푷̂ ; 푯̂ ] = 0. Ta sẽ sử dụng định chuẩn Lorentz = × 풓 [3], toán tử xung lượng suy rộng của hệ 푷̂ trở thành 38
39. 1 푷̂ = ∑ (풑̂ + 푒 × 풓 ). (A.4) 풊 2 푖 풊 푖=1 Xét giao hoán tử của xung lượng suy rộng trong các tọa độ của hệ Descartes như sau [푷 흁; 푷 휹] = 푖ℏ휀휇훿휗 휗 ∑ 푒푖, (A.5) 휀휇훿휗 là kí hiệu Levi-Civita. 휀휇훿휗 = 0 khi có bất kì hai chỉ số nào trùng nhau. Vậy trong trường hợp tổng quát, các thành phần của toán tử 푷̂ không giao hoán với nhau. Chúng chỉ giao hoán khi ∑ 푒푖 = 0, nghĩa là tổng đại số điện tích của hệ bằng không. Khi đó, các thành phần của 푷̂ sẽ cùng trị riêng xác định theo phương trình 푷̂ 휓 = ℏ푲휓. (A.6) Do [푷̂ ; 푯̂ ] = 0 [13] nên chúng sẽ có cùng trị riêng. Thay 휓(푹, 풓) vào phương trình hàm riêng trị riêng 푯̂휓 = 휓, ta sẽ tìm được trị riêng E của toán tử 푯̂. B. Các biểu thức giải tích Xét một hạt có vector bán kính 풓 ≡ ( , , ) đang chuyển động trong hệ tọa độ Descartes. Toán tử động lượng của hạt trong cơ học lượng tử có dạng 풑̂ = −푖ℏ훁퐫, (B.1) 훁퐫 là ký hiệu của toán tử Nabla được viết tường minh dưới dạng 휕 휕 휕 (B.2) 훁 = 풊 + 풋 + 풌 . 휕 휕 휕 Vậy toán tử động lượng của hạt sẽ được viết dưới dạng tường minh như sau 휕 휕 휕 (B.3) 풑̂ = −푖ℏ (풊 + 풋 + 풌 ). 휕 휕 휕 Đối với một nguyên tử chuyển động trong hệ tọa độ Descartes, ta sẽ có toán tử động lượng của hạt nhân với vector bán kính 풓풉 ≡ ( ℎ, ℎ, ℎ) và electron với vector bán kính 풓풆 ≡ ( 푒, 푒, 푒) được viết như sau 39
40. ∂ ∂ ∂ (B.4) 풑̂풉 = −푖ℏ훁퐫퐡 = −푖ℏ (퐢 + 퐣 + 퐤 ) ∂xh ∂yh ∂zh ∂ ∂ ∂ (B.5) 풑̂풆 = −푖ℏ훁퐫퐞 = −푖ℏ (퐢 + 퐣 + 퐤 ). ∂xe ∂ye ∂ze Thế vector được sử dụng trong đề tài theo Avron et al. 1978 [15], có dạng 1 (B.6) = × 풓. 2 Hàm thế năng cho một nguyên tử gồm hạt nhân mang điện tích Q và N electron có dạng −푒푄 푒2 ̂ = ∑ + ∑ . (B.7) |풓풆 − 풓풉| 푖=1 풊 푖=1,푗=2,푖<푗 |풓풆풊 − 풓풆풋 | 40
41. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Văn Hoàng (2015), Bài giảng Cơ học Lượng tử, NXB Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh, TP. Hồ Chí Minh. Tiếng Anh [2] Avron E. J., Herbst W. I. and Simon B. (1977), “Separation of Center of Mass in Homogenerous Magnetic Fields”, Ann. Phys. 114, pp. 431 – 451. [3] Avron E. J., Herbst W. I. and Simon B. (1978), “Schrodinger Operators with Magnetic Fields I. General interactions”, Duke Math. J. 45, pp. 847 – 883. [4] Becken W., Schmelcher P. and Diakonos K. F. (1999), “The Helium Atom in a Strong Magnetic Field”, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 32, pp. 1557 – 1578. [5] Brandi S. H. (1975), “Hydrogen Atoms in Strong Magnetic Fields”, Phys. Rev. A 11, pp. 1835 – 1839. [6] Cuvelliez C., Baye D. and Vincke M. (1992), “Center-of-mass corrections to the electromagnetic transitions of hydrogen atoms in strong magnetic fields”, Phys. Rev. A 46, pp. 4055 – 4059. [7] Johnson R. B., Hirschfelder O. J. and Yang K-H. (1983), “Interaction of Atoms, Molecules, and Ions with Constant Electric and Magnetic Fields”. Rev. Mod. Phys. 55, pp. 109 – 153. [8] Lai D. (1995), “Motion and Ionization Equilibrium of Hydrogen Atoms in Superstrong Magnetic Field”, Phys. Rev. A. 52, pp. 2611 – 2623. [9] Lai D. (2001), “Matter in Strong Magnetic Fields”, Rev. Mod. Phys. 73, pp. 629 – 658. 41
42. [10] Lozovik E. Y., Ovchinnikov V. I., Volkov Y. S., Butov V. L. and Chemla S. D. (2001), “Quasi-two-dimensional Excitons in Finite Magnetic Fields”, Phys. Rev. B. 65, pp. 235304 – 11. [11] Palmer F. W. and Taylor J. R. (1980), “Separability of Center of Mass and Relative Motion of Hydrogen in Very Strong Magnetic Fields”, Master thesis, The Ohio State University, Columbus, Ohio 43210. [12] Pinheiro D. and Mackay S. R. (2008), “Interaction of Two Charges In a Uniform Magnetic Field: II. Spacial Problem”, Nonlinearity 18, pp. 615 – 661. [13] Ruder H., Wunner G., Herold H., Geyer F. (1994), Atoms in Strong Magnetic Fields, Springer-Verlag, Berlin. [14] Schmelcher P., Schweizer W. (1997), Atoms and Molecules in Strong External Fields, Springer, Boston. [15] Stébé B., Feddi E. and Munschy G. (1987), “Excitonic Trions In A Low Magnetic Field”, Phys. Rev. B 35, pp. 4331 – 4337. [16] Stébé B., Ainane A. and Dujardin F. (1996), “Landau Levels of Two-dimensional Negatively Charged Three-particle Coulomb States”, J. Phys.: Condens. Matter 8, pp. 5383 – 5392. [17] Schimeczek C. (2014), “2D calculations for atoms and ions in strong magnetic fields of white dwarfs and neutron stars”, Doctor Thesis, University of Stuttgart, Germany. [18] Thirumalai A. (2007), “Hydrogen and Helium Atom In Strong Magnetic Fields”, Master thesis, The University of British Columbia, Canada. [19] Vincke M., Baye D. (1988), “Centre-of-mass Effects on the Hydrogen Atom in a Magnetic Field”, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 21, pp. 2407 - 2424. 42
43. Chữ ký của Chủ tịch Chữ ký của GVHD Chữ ký của SVTH Hội đồng 43