›

Đề tài nghiên cứu khoa học Phân tích bài toán dao động bằng phương pháp phần tử hữu hạn

pdf 39 trang thiennha21 12/04/2022 6320
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề tài nghiên cứu khoa học Phân tích bài toán dao động bằng phương pháp phần tử hữu hạn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfde_tai_nghien_cuu_khoa_hoc_phan_tich_bai_toan_dao_dong_bang.pdf

Nội dung text: Đề tài nghiên cứu khoa học Phân tích bài toán dao động bằng phương pháp phần tử hữu hạn

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI VIỆT NAM VIỆN CƠ KHÍ THUYẾT MINH ĐỀ TÀI NCKH CẤP TRƯỜNG ĐỀ TÀI PHÂN TÍCH BÀI TOÁN DAO ĐỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN. Chủ nhiệm đề tài : LÊ THỊ THÙY DƯƠNG Hải Phòng, tháng 5 / 2016
  2. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 3 1. Tính cấp thiết của đề tài 3 2. Mục đích nghiên cứu 3 3. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu. 3 4. Phương pháp nghiên cứu 3 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 3 Chương 1. DAO ĐỘNG 4 1.1. Tổng quan 4 1.1.1. Dao động điều hòa 4 1.1.2. Dao động tuần hoàn 6 1.1.3. Dao động hầu tuần hoàn và không tuần hoàn 10 1.2. Dao động uốn của dầm 12 1.2.1 Thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của dầm 12 1.2.2. Dao động uốn tự do của dầm Euler-Bernoulli đồng chất thiết diện không đổi 15 1.2.3 Dao động uốn cưỡng bức của dầm Euler-Bernoulli đồng chất thiết diện không đổi 17 Chương 2. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 24 2.1. Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn. 24 2.1.1. Giới thiệu chung 24 2.1.2. Xấp xỉ bằng phương pháp phần tử hữu hạn. 24 2.1.3. Định nghĩa hình học và các phần tử hữu hạn. 24 2.2. Các phần mềm phân tích kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn. .27 2.2.1. Phần mềm tính toán kết cấu Sap 27 2.2.3. Phần mềm Catia 28 2.2.4. Phần mềm Unigraphics NX 29 2.2.5. Phần mềm Ansys 31 Chương 3. TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA DẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN. 33 3.1. Ứng dụng Ansys trong giải các bài toán dao động. 33 1
  3. 3.2. Bài toán. 33 3.3. Giải quyết bài toán 33 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 2
  4. MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài Dao động là một hiện tượng phổ biến trong tự nhiên và trong kỹ thuật. Các máy, các phương tiện giao thông vận tải, các tòa nhà cao tầng, những chiếc cầu bắc ngang qua các dòng sông, các mạch điện trong chiếc đài, chiếc đồng hồ đó là các hệ dao động kỹ thuật. Dao động có những ảnh hưởng nhất định đến con người và công trình. Với các công trình như nhà cửa, tàu bè, máy móc thiết bị khi bị dao động sẽ làm ảnh hưởng đến tâm lý của người sử dụng, nặng hơn là ảnh hưởng đến sức khỏe của người sử dụng. Với các công trình dao động sẽ gây ra hiện tượng mỏi ở các công trình, dẫn đến phá hủy công trình. Chính vì vậy, việc nghiên cứu dao động của các công trình là một vấn đề cần được nghiên cứu tỉ mỉ. Với sự phát triển của các phương pháp tính, các bài toán dao động đã được sử lý một cách hiệu quả, một trong những phương pháp giải các bài toán dao động đó là sử dụng phương pháp số, phương pháp này đã giúp các nhà kỹ thuật sử dụng công cụ máy tính vào quá trình tính toán, giúp thực hiện bài toán nhanh hơn, chính xác hơn. Với mục đích nghiên cứu và áp dụng phương pháp phần tửu hữu hạn, một phần tử được sử dụng rộng rãi trên thế giới trong các bài toán kỹ thuật nhưng còn nhiều hạn chế ở Việt Nam, tác giả đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán dao động của các dầm, từ đó tăng độ chính xác trong tinh toán, cũng như tăng cường viêc ứng dụng tin học trong tính toán thiết kế các công trình. 2. Mục đích nghiên cứu - Xác định chuyển vị của dầm khi biết trước tần số dao động bằng phương pháp phần tử hữu hạn. 3. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu. Đối tượng nghiên cứu: Các dầm chịu lực Phạm vi nghiên cứu: Xác định chuyển vị của dầm khi biết trước tần số 4. Phương pháp nghiên cứu Mô hình hóa, phân tích 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Nghiên cứu các bài toán dao động 3
  5. Chương 1. DAO ĐỘNG 1.1. Tổng quan 1.1.1. Dao động điều hòa 1.1.1.1. Các tham số động học của dao động điều hòa Dao động điều hòa được mô tả về phương diện động học bởi hệ thức y(t) Asin(t ) Asin (t) (1.1) Dao động điều hòa còn gọi là dao động hình sin. Đại lượng A được gọi là biên độ dao động. Như thế biên độ dao động là giá trị tuyệt đối của độ lệch lớn nhất của đại lượng dao động y(t) so với giá trị trung bình của nó. Đại lượng  (t) t được gọi là pha dao động. Góc được gọi là pha ban đầu. Đại lượng  được gọi là tần số vòng của dao động điều hòa, đơn vị là rad/s hoặc 1/s. Vì hàm sin có chu kỳ 2 nên dao động điều hòa có chu kỳ 2 T (1.2)  Tần số dao động, đơn vị là 1/s hoặc Hz 1 f (1.3) T Từ công thức (1.1) ta thấy: một dao động điều hòa được xác định khi biết ba đại lượng A,  và . Mặt khác, một dao động điều hòa cũng được xác định duy nhất khi biết tần số vòng  và các điều kiện đầu. Giả sử có dạng. t = 0: y(0)= y0; y(0) y0 Khi đó phương trình (1.1) có y0 Asin ; y0 Acos 2 2 y0 y0 Từ đó suy ra A y0 2 arctg (1.4)  y0 Để xác định pha ban đầu ta cũng cần chú ý đến cả hệ thức sau y arcsin 0 (1.5) A 4
  6. Người ta cũng hay biểu diễn dao động điều hòa (1.1) dưới dạng sau y(t) C1 cost C2 sint (1.6) So sánh biểu thức (1.6) và biểu thức (1.1) ta có C1 = Asin ; C2 = Acos (1.7) 2 2 C1 C1 Từ đó suy ra A C1 C2 ; arctg arcsin (1.8) C2 A Các hằng số C1 và C2 cũng có thể xác định được từ các điều kiện đầu y0 C1 = y0; C 2  1.1.1.2. Biểu diễn phức dao động điều hòa Hàm điều hòa y(t) có thể xem như phần ảo của véc tơ phức z quay với vận tốc góc  trong mặt phẳng số. z Aei(t ) Aei eit Aeit (1.9) y(t) = Im( z(t)) (1.10) Đại lượng A Aei được gọi là biên độ phức. Nhờ công thức Euler ei cos isin Ta có y(t) Im(z(t)) AIm(ei(t ) ) Asin(t ) 1.1.1.3. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương và cùng tần số Cho hai dao động điều hòa cùng phương và cùng tần số y1 (t) A1 sin(t 1 ); y2 (t) A2 sin(t 2 ) Tổng hợp hai dao động điều hòa trên được xác định bởi hệ thức sau y(t) A1 sin(t 1 ) A2 sin(t 2 ) Sử dụng định lý cộng đối với hàm số sin ta có y(t) A sin t cos A cost sin A sin t cos A cost sin 1 1 1 1 2 2 2 2 (A1cos 1 A 2cos 2 )sint (A1sin 1 A 2sin 2 )cost Ta đưa vào ký hiệu Acos A1 cos 1 A2 cos 2 Asin A1 sin A2 sin 2 Thì biểu thức trên có dạng y(t) Asint cos Acost sin Asin(t ) (1.11) Như vậy tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số là dao động điều hòa với tần số là tần số của các dao động điểu hòa thành phần, biên độ A và góc pha ban đầu được xác định bởi các hệ thức sau. 2 2 A (A1 cos 1 A2 cos 2 ) (A1 sin 1 A2 sin 2 ) 2 2 A1 A2 2A1 A2 cos( 1 2 ) (1.12) 5
  7. A sin A sin arctg 1 1 2 2 (1.13) A1 cos 1 A2 cos 2 A sin A sin Hoặc arcsin 1 1 2 2 (1.14) A 1.1.2. Dao động tuần hoàn 1.1.2.1. Các tham số động học của dao động tuần hoàn Một hàm số y(t) được gọi là hàm tuần hoàn, nếu tồn tại một hằng số T > 0, sao cho với mọi t ta có hệ thức y(t + T) = y(t) (2.1) Một quá trình dao động được mô tả về mặt động học bởi một hàm tuần hoàn y(t) được gọi là dao động tuần hoàn. Hằng số T nhỏ nhất để cho hệ thức (2.1) được thỏa mãn gọi là chu kỳ dao động. Chú ý rằng nếu hàm số y(t) có chu kỳ T thì hàm số u(t) = y(at) có chu kỳ T/a. Thực vậy T T u(t ) y a(t ) y(at T) y(at) u(t) a a Biên độ dao động tuần hoàn y(t) được định nghĩa bởi biểu thức sau 1 A max y(t) min y(t) (2.2) 2 Đối với dao động tuần hoàn, ngoài các tham số động học đặc trưng cho chu kỳ, tần số, biên độ người ta còn sử dụng các tham số giá trị trung bình theo thời gian của hàm y(t) trong một chu kỳ. Ba loại giá trị trung bình hay được sử dụng là giá trị trung bình tuyến tính 6
  8. T 1 2 y y(t)dt tt (2.3) T T 2 giá trị trung bình hiệu dụng T 1 2 y y 2 (t)dt hd (2.4) T T 2 Và giá trị trung bình hiệu chỉnh T 1 2 y y(t) dt hc (2.5) T T 2 Trong các công thức (2.3), (2.4), (2.5) khoảng lấy tích phân [-T/2, T/2] có thể thay bằng khoảng [t0, t0+T] 1.1.2.2. Tổng hợp hai dao động điều hòa có cùng phương khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số hữu tỷ Cho hai dao động điều hòa thành phần y1 (t) A1 sin(1t 1 ); y2 (t) A2 sin(2t 2 )  T p Với 1 2 1 (p, q = 1, 2, 3 ) 2 T1 q (2.6) Tổng hợp hai dao động điều hòa trên được xác định bởi hàm y(t) y1 (t) y2 (t) A1 sin(1t 1 ) A2 sin(2t 2 ) (2.7) Chu kỳ dao động T1 = 2 /1; T2 = 2 /2 Từ công thức (2.6) ta suy ra chu kỳ dao động tổng hợp y(t) là T= pT1=qT2 Vậy tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số hữu tỷ 1:2 = p:q là một dao động tuần hoàn chu kỳ T= pT1=qT2. Nếu p/q là phân số tối giản thì T là bội số chung nhỏ nhất của T1 và T2 1.1.2.3. Phân tích Fourier các hàm tuần hoàn Trong thực tế ta ít gặp các dao động điều hòa thuần túy mà thường hay gặp các dao động phức tạp biểu diễn bằng hàm tuần hoàn. Một hàm tuần hoàn chu kỳ T=2 / với một số giả thiết mà trong thực tế luôn chấp nhận được có thể phân tích thành chuỗi Fourier y(t) a0 (ak coskt bk sin kt) (2.8) k 1 Trong đó a0, ak, bk được gọi là các hệ số Fourier và được xác định bởi các công thức 7
  9. 1 T a y(t)dt 0 T 0 2 T b y(t)sin ktdt k , k = 1,2, (2.9) T 0 2 T a y(t)cosktdt k k= 1,2, T 0 Chuỗi Fourier (2.8) có thể viết dưới dạng chuẩn của dao động y(t) a0  Ak sin(kt k ) (2.10) k 1 2 2 ak Với Ak ak bk k arctg bk (2.11) Việc phân tích một hàm tuần hoàn thành chuỗi Fourier được gọi là phân tích điều hòa. Hằng số a0 được gọi là giá trị trung bình của dao động, số hạng A1sin(t+α1) được gọi là dao động cơ bản, số hạng Aksin(kωt+αk) được gọi là dao động bậc k-1(với k>1) hay gọi là các điều hòa. 1.1.2.4. Biểu diễn các hàm tuần hoàn trong miền tần số Ta chọn hệ tọa độ vuông góc, trục hoành biểu diễn tần số (hoặc tần số f), trục tung biểu diễn độ lớn các biên độ A của các điều hòa. Việc biểu diễn của hàm tuần hoàn y(t) trong mặt phẳng (, A) gọi là biểu diễn hàm tuần hoàn y(t) trong miền tần số. Tập hợp các biên độ Ak trong khai triển Fourier (2.10) của hàm tuần hoàn y(t) được gọi là phổ của hàm tuần hoàn y(t). Việc cho biết các biên độ Ak của các điều hòa chưa đủ thông tin về hàm y(t), bởi vì ta chưa biết được các pha ban đầu của các điều hòa đó. Tuy nhiên từ biên độ và tần số ta cũng có thể giải quyết được khá nhiều vấn đề của bài toán dao động cần nghiên cứu. 8
  10. 1.1.2.5. Biểu diễn dao động tuần hoàn trên mặt phẳng pha Giả sử y(t) là một đại lượng dao động. khi đó y(t) cũng là một đại lượng dao động. Ta có thể xem y(t), là cách biểu diễn dạng tham số của hàm y(y) . Ta chọn hệ trục tọa độ vuông góc với trục hoành là y, trục tung là y . Đồ thị của hàm trong hệ tọa độ vuông góc đó được gọi là quỹ đạo pha hay đường cong pha. Mặt phẳng (y, y) được gọi là mặt phẳng pha. Trong mặt phẳng pha, dao động được mô tả bởi sự dịch chuyển của điểm ảnh P(y, y). Nếu đại lượng dao động là tuần hoàn thì quĩ đạo pha là đường cong kín. Trường hợp đơn giản của dao động tuần hoàn là dao động điều hòa. Từ phương trình dao động y Asin(t ) y Acos(t ) Khử t ta được phương trình quỹ đạo pha dao động điều hòa A + A - A - + y A y A - A A - A 2 2 y y 1 (2.12) A A Phương trình (2.12) biểu diễn trên mặt phẳng pha một elip với các bán trục là A và A(Hình trên). Nếu chọn tỷ lệ xích trên các trục hoành và trục tung một cách thích hợp thì quỹ đạo pha của dao động điều hòa là đường tròn. Đối với một số quá trình dao động tuần hoàn ta rất khó biểu diễn phương trình quỹ đạo pha y f (y) dưới dạng giải tích. Trong trường hợp đó ta phải vẽ quỹ dạo pha bằng cách tính các y(t ) trị số y(tk) và k . Ngày nay với sự phát triển của tin học việc vẽ các quỹ đạo pha khá thuận tiện và đơn giản. 9
  11. 1.1.3. Dao động hầu tuần hoàn và không tuần hoàn 1.1.3.1. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số vô tỷ Trong phần trên ta thấy tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số hữu tỷ 1 :2 p : q là dao động tuần hoàn chu kỳ T = pT1 = qT2. Bây giờ ta xét bài toán y(t) y1 (t) y2 (t) A1 sin(1t 1 ) A2 sin(2t 2 ) (3.1) Trong đó tỷ số 1 :2 là một số vô tỷ. Dao động tổng hợp y(t) không phải là dao động tuần hoàn vì bội số chung nhỏ nhất của T1 2 /1 và T2 2 /2 không tồn tại. Tuy nhiên có thể biểu diễn  p 1  (3.2) 2 q Với  bé tùy ý. Khi đó ta chọn T pT1 qT2 , dao động tổng hợp là hàm hầu tuần hoàn. Chú ý rằng hàm y(t) gọi là hàm hầu tuần hoàn nếu với >0 cho trước bé tùy ý tồn tại một hằng số T* mà y(t T*) y(t)  . Vậy tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số vô tỷ ta được dao động hầu tuần hoàn. 1.1.3.2. Biểu diễn tích phân Fourier các hàm không tuần hoàn Như chúng ta đã biết một hàm tuần hoàn có thể biểu diễn qua các hàm điều hòa bằng chuỗi Fourier. Vấn đề ở đây là có thể biểu diễn hàm không tuần hoàn y(t) qua các hàm điều hòa với một số khái niệm suy rộng nào đó về chuỗi Fourier được hay không? Giả sử y(t) là một hàm xác định trên toàn bộ trục số, trong một đoạn hữu hạn hàm y(t) liên tục hoặc có thể có một số hữu hạn điểm gián đoạn và hàm y(t) tuyệt đối khả tích. Điều đó có nghĩa là tích phân suy rộng I y(t) dt (3.3) Tồn tại và có giá trị hữu hạn. Khi đó trong toán học đã chứng minh được rằng hàm y(t) có thể biểu diễn dưới dạng tích phân Fourier như sau. y(t) a()cost b()sintd (3.4) trong đó các hàm a() và b() được xác định bởi các hệ thức sau 1 a() y()cosd (3.5) 2 1 b() y()cosd 2 10
  12. Trong (3.5) các hàm a() và b() là các thành phần biên độ ứng với dải tần số vô cùng bé d. Các hàm a(), b() được gọi là mật độ phổ, hay gọi tắt là mật độ. A() a2 () b2 () (3.6) Được gọi là phổ mật độ biên độ hay gọi tắt là mật độ biên độ. Bình phương của mật độ biên độ được gọi là phổ mật độ công suất hay gọi tắt là mật độ công suất. A2 () a 2 () b2 () (3.7) Được gọi là phổ mật độ công suất hay gọi tắt là mật độ công suất. Có tài liệu gọi A() và A2() là phổ biên độ và phổ công suất. Nếu y(t) là hàm chẵn hoặc hàm lẻ, thì biểu diễn tích phân Fourier của y(t) sẽ đơn giản hơn nhiều. Nếu y(t) là hàm chẵn, do y(-t)=y(t) nên b()=0 và 1 a() y( )cosd (3.8) 0 Biểu thức (3.6) có dạng A() a() (3.9) Nếu y(t) là hàm lẻ, y(-t)=-y(t), ta có a()=0 và 1 b() y( )sind (3.10) 0 Từ đó suy ra A() b() 1.1.3.3. Dao động họ hình sin Dao động họ hình sin được mô tả vể phương diện động học bởi hệ thức y(t) A(t)sin(t)t (t) (3.11) Trong đó A(t), (t) và (t) là các đại lượng dao động thay đổi chậm theo thời gian. Giả sử ta có dao động mà A(t)=A0,  = 0 +g(t), = 0 +h(t). Khi đó áp dụng biến đổi lượng giác ta có y(t) A0 sin[0t 0 g(t)t h(t)] A0 sin(0t 0 )cos[g(t)t h(t)] sin[g(t)t h(t)]cos(0t 0 ) A1 (t)sin(0t 0 ) A2 (t)cos(0t 0 ) Như thế dao động với tần số hoặc pha biến đổi có thể xem như là tổng hợp của hai dao động với biên độ biến đổi. Dao động với biên độ biến đổi theo quy luật t A(t) A0e Có một vai trò quan trọng trong lý thuyết dao động. Nếu  0 dao động tăng dần. 11
  13. 1.2. Dao động uốn của dầm Khi nghiên cứu dao động uốn của dầm, ta giả thiết rằng mặt cắt của dầm đối xứng qua hai trục. Chẳng hạn mặt cắt của dầm có dạng hình tròn, hình chữ nhật, hình chữ I. Khi mặt cắt của dầm không đối xứng qua hai trục thì dầm sẽ thực hiện dao động uốn và xoắn đồng thời. Bài toán đó ta không xét ở đây. Khi bỏ qua lực quán tính quay và biến dạng trượt của trục dầm ta có dầm Euler-Bernoulli. Nếu quan tâm đến lực quán tính quay và biến dạng trượt của trục dầm ta có dầm Timoshenko. 1.2.1 Thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của dầm a. Dầm Timoshenko Giả sử các mặt cắt của dầm luôn luôn phẳng và vuông góc với trục võng của dầm. Trục hình học của dầm khi chưa biến dạng thì thẳng. Ta lấy đường thẳng này làm trục x, còn trục z chọn vuông góc với trục x(hình 4.13). Bỏ qua dao động xoắn và dao động dọc trục. Dầm chỉ thực hiện dao động uốn theo phương z. Khác với bài toán tĩnh, ở đây độ võng w, góc xoay , mômen uốn M và lực cắt Q là các hàm của tọa độ x và thời gian t w(x, t); (x, t); M(x, t); Q(x, t) Như đã biết trong các tài liệu về độ bền quan hệ giữa độ võng và góc xoay có dạng w(x,t) tg (x,t) (3.1) x Ta tưởng tượng tách một phân tố nhỏ của dầm có chiều dài dx như hình 4.14. Trong đó góc xoay bằng tổng góc xoay (do mômen uốn M gây nên) và góc trượt ( do lực cắt Q gây ra) w   (3.2) x 12
  14. Để thiết lập các phương trình vi phân dao động uốn của dầm, ta áp dụng nguyên lý d’Alembert. Từ điều kiện cân bằng các lực theo phương z ta có  2 w Q dm Q dx Q p(x,t)dx 0 (3.3) t 2 x Trong đó dm = (x)dx, với (x) là khối lượng một đơn vị dài của dầm. Từ điều kiện cân bằng mômen các lực, ta nhận được phương trình M dx Q dx  2 M dx M Q Q dx dJ 0 (3.4) x 2 x 2 t 2 Trong đó dJ là mômen quán tính khối của phân tố đối với trục y. dJ = z 2dm* nếu dầm là thanh đồng chất thì do dm*= dAdx, ta có hệ thức dJ dx z 2dA I(x)dx A Trong đó I(x)= z 2 dA là mômen quán tính mặt đối với trục y A Từ các phương trình (3.3) và (3.4) ta suy ra  2 w Q (x) p(x,t) (3.5) t 2 x  2 M I(x) Q (3.6) t 2 x Trong các giáo trình sức bền vật liệu ta có các hệ thức sau  M EI(x) (3.7) x * * w Q=k GA(x) = k GA(x)  (3.8) x Trong đó: G môđun trượt, k* là hệ số phân bố trượt. Thế các biểu thức (3.7) và (3.8) vào các phương trình (3.5) và (3.6) ta nhận được hệ hai phương trình đạo hàm riêng cấp hai đối với độ võng w(x,t) và góc xoay (x,t) mô tả dao động uốn của dầm Timoshenko. 2  w *  w (x) 2 k G A(x)  p(x,t) (3.9) t x x  2 w   I(x) k *GA(x)  E I(x) (3.10) t 2 x x x Để giải hệ hai phương trình này cần biết các điều kiện biên và các điều kiện đầu. b. Dầm Timoshenko đồng chất thiết diện không đổi Do A(x) và I(x) là các hằng số, từ hệ hai phương trình dao động của dầm Timoshenko ở trên ta suy ra các phương trình đơn giản. 13
  15.  w  2 w Gk * A   p(x,t) (3.11) x x t 2 w  2  2 Gk * A  EI I (3.12) x x 2 t 2 Đạo hàm phương trình (3.12) theo x rồi cộng vào phương trình (3.11) ta được  2 w 3w 3 0  p(x,t) EI I (3.13) t 2 x3 t 2x Mặt khác từ phương trình (3.11) ta suy ra   2 w   2 w 1 p(x,t) x x 2 Gk * A t 2 Gk * A Đạo hàm riêng phương trình trên theo x, rồi theo t hai lần ta được 3  4 w   4 w 1  2 p(x,t) x3 x 4 Gk * A t 2x 2 Gk * A x 2 3  4 w   4 w 1  2 p(x,t) (3.14) xt 2 x 2t 2 Gk * A t 4 Gk * A t 2 Thế các biểu thức trên vào phương trình (3.13) với chú ý  A, ta có phương trình đạo hàm riêng cấp 4, mô tả dao động uốn của dầm Timoshenko đồng chất thiết diện không đổi.  4 w E  4 w  2 w 2 I  4 w EI 4 I 1 * 2 2  2 * 4 x k G x t t k G t (3.15) EI  2 p(x,t) I  2 p(x,t) p(x,t) k *GA x 2 k *GA t 2 c. Dầm Euler-Bernoulli Đối với dầm Euler-Bernoulli, do bỏ qua lực quán tính quay( I(x)=0) và biến dạng trượt của trục dầm (=0), từ các công thức (3.2), (3.7), (3.6) ta suy ra. w  M  , M EI(x) , Q 0 (1) x x x Từ đó ta có Q  2  2 w 2 EI(x) 2 (2) x x x Thế (2) vào phương trình (3.5) ta được phương trình dao động uốn của dầm Euler-Bernoulli  2 w  2  2 w (x) 2 2 EI(x) 2 p(x,t) (3.16) t x x Đối với dầm Euler-Bernoulli đồng chất, thiết diện không đổi tử (3.16) ta suy ra  4 w  2 w EI  p(x,t) (3.17) x 4 t 2 14
  16. 1.2.2. Dao động uốn tự do của dầm Euler-Bernoulli đồng chất thiết diện không đổi Trước hết ta xét dao động uốn tự do của dầm đồng chất thiết diện không đổi theo mô hình Euler-Bernoulli. Từ phương trình vi phân (3.17) ta có phương trình dao động uốn tự do.  4 w   2 w 0 (3.18) x 4 EI t 2 Áp dụng phương pháp Bernoulli, ta tìm nghiệm của phương trình (3.19) dưới dạng w(x,t) X(x)T(t) (3.19) Thế biểu thức (3.19) vào phương trình (3.18) ta được  T (t)X (IV ) (x) T(t)X (x) 0 EI Từ đó suy ra T(t) EI X (IV ) (x) (3.20) T(t)  X (x) Do vế phải của phương trình (3.20) là hàm chỉ phụ thuộc vào x, còn vế trái là hàm chỉ phụ thuộc vào t, cho nên cả hai vế bằng một hằng số. Do có chủ định trước, ta gọi hằng số đó là 2. Từ đó suy ra T(t)  2T(t) 0 (3.21)  2 X (IV) (x) X (x) 0 (3.22) EI Nghiệm của (3.21) có dạng T(t) Acost Bsint (3.23) Trong phạm vi bài toán xác định các tần số dao động riêng, ta phải tìm nghiệm phương trình (3.22) . Để biểu diễn nghiệm một cách gọn gàng, ta đưa vào đại lượng không thứ nguyên   2 4 l 4 (3.24) EI Khi đó phương trình (3.22) có dạng 4  X (IV) (x) X (x) 0 (3.25) l Ta tìm nghiệm của phương trình (3.25) dưới dạng x x x x X (x) C1 cos  C2 sin  C3 cosh  C4 sinh  (3.26) l l l l ở đây ta nhắc lại một ít về định nghĩa và các tính chất sơ cấp của các hàm hyperbol 15
  17. e x e x e x e x sinh x coshx 2 2 e x e x e x e x tghx cot ghx e x e x e x e x Sinh0 = 0; cosh0 = 1; tgh0 = 0; cotgh0 = sinh x ' coshx (coshx)' sinh x Các hằng số C1, C2, C3, C4 trong biểu thức (3.26) được xác định từ các điều kiện biên. Ở đầu dầm có gối tựa bản lề, độ võng và mômen uốn đều bằng không, do đó ta có d 2 X X = 0, 0 (3.27a) dx 2 Ở đầu dầm bị ngàm chặt, độ võng và góc xoay đều bằng không, ta có dX X = 0, 0 (3.27b) dx Ở đầu dầm tự do, mômen uốn và lực cắt đều bằng không, do đó d 2 X d 3 X 0, 0 (3.27c) dx 2 dx 3 Ở hai đầu dầm, bao giờ cũng có bốn điều kiện biên. Từ các điều kiện biên, ta có thể xác định được các hằng số trong hệ thức (3.26). Trong quá trình đó, chúng ta sẽ nhận được phương trình đặc trưng. Giải phương trình đặc trưng ta nhận được các tần số riêng j. Ứng với mỗi tần số riêng j ta có một trị riêng j, và theo (3.26) ta có một hàm riêng Xj(x). Ta sẽ xét tính chất trực giao của các hàm riêng này. Giả sử Xj(x), Xk(x) là hai hàm riêng tương ứng với j, k. Từ phương tình (3.25) ta suy ra 4 d 4 X (x)  j j X (x) 4 j dx l 4 4 d X k (x) k X k (x) dx 4 l Nhân phương trình thứ nhất với Xk(x), phương trình thứ hai với Xj(x), trừ đi nhau rồi lấy tích phân theo x, ta được 4 4 l l d 4 X d 4 X j k X (x)X (x)dx X (x) k X (x) j dx 0 4 j k j 4 k 4 l 0 0 dx dx Bằng cách tích phân từng phần, ta có 4 4 l d 3 X d 3 X dX d 2 X dX d 2 X l k j X (x)X (x)dx X k X j k j j k 4 j k j 3 k 3 dx 2 dx 2 0 l 0 dx dx dx dx 16
  18. Chú ý đến các điều kiện biên (3.27a), (3.27b), (3.27c) ta có vế phải của phương trình trên luôn bằng không. Vậy ta có điều kiện trực giao l X (x)X (x)dx 0 j k Khi j k 0 Nghiệm tổng quát của phương trình (3.18) có dạng w(x,t)  X k (x) Ak cosk t Bk sink t (3.28) k 1 Các hằng số Ak, Bk được xác định từ các điều kiện đầu. 1.2.3 Dao động uốn cưỡng bức của dầm Euler-Bernoulli đồng chất thiết diện không đổi Đoạn này ta xét bài toán dao động uốn cưỡng bức dầm đồng chất thiết diện không đổi theo mô hình Euler-Bernoulli, chịu tác dụng của ngoại lực theo phương vuông góc với trục của dầm. Phương trình vi phân dao động uốn cưỡng bức của dầm Euler-Bernoulli có dạng  4 w  2 w EI  p(x,t) (3.40) x 4 t 2 a. Biến đổi phương trình đạo hàm riêng (3.40) về hệ phương trình vi phân thường Áp dụng phương pháp Bernoulli, tìm nghiệm phương trình (3.40) dưới dạng w(x,t)  X i (x)qi (t) (3.41) i 1 Trong đó Xi(x) là các hàm riêng Thế biểu thức (3.41) vào (3.40) ta được (IV )  EIXi (x)qi (x) X i (x)qi (t) p(x,t) i 1 Từ đó suy ra EI X (IV) (x) p(x,t)  i  qi (t) qi (t) X i (x) i 1  X i (x)  Chú ý đến các biểu thức (3.22) ta có (IV ) EI X i (x) 2 i (3.42)  X i (x) Thế (3.42) vào phương trình trên ta được p(x,t)  2 qi (t) i qi (t)X i (x) i 1  Nhân cả hai vế của phương trình này với hàm riêng Xk(x) rồi lấy tích phân dọc theo chiều dài của thanh 17
  19. l 1 l q (t)  2q (t) X (x)X (x)dx p(x,t)X (x)dx  i i i  i k k i 1 0  0 Do điều kiện trực giao của các hàm riêng ta suy ra l p(x,t)X (x)dx k  2 0 qk (t) k qk (t) l hk (t) (3.43)  X 2 (x)dx k 0 Như thế ta đưa việc giải phương trình đạo hàm riêng (3.40) về việc giải phương trình vi phân thường (3.43). b. Lực kích động tập trung điều hòa Xét dao động uốn của dầm chịu lực kích động tập trung điều hòa F0 cost như hình vẽ. Theo công thức (3.30) hàm riêng Xk(x) có dạng k x X (x) sin k l Trước hết ta tính tích phân l l k x 1 1 k x 1 k x l l X 2 (x)dx sin 2 dx sin 2 k 0 0 l k 2 l 4 l 0 2 a F=F0c F=F0cost y x F(t)=F0cost ost ,A,l=const l/2 wmax l l b) a) z l p(x,t)X (x)dx Để tích phân k trong trường hợp này ta sử dụng khái niệm hàm 0 Delta-Dirac. Theo định nghĩa hàm Delta-Dirac được xác định bởi hệ thức  (x a) 0 khi x a và  (x a)dx 1 (3.44) Hàm này có tính chất f (x) (x a)dx f (a) (3.45) Áp dụng vào bài toán của ta. Từ biểu thức p(x,t) F0 cost (x a) 18
  20. Ta suy ra l l F cost (x a)X (x)dx F cost X (x) (x a)dx 0 k 0 k 0 0 l k x k a F cost sin  (x a)dx F cost sin 0 0 0 l l Phương trình (3.43) bây giờ có dạng k a k a F0 cost sin 2F0 sin q (t)  2q (t) l l cost (3.46) k k k l l  2 Nghiệm dừng của phương trình (3.46) theo chương 2 có dạng k a 2F sin 0 l qk (t) 2 2 cost (3.47) l(k  ) Nghiệm tổng quát của phương trình (3.40) trong trường hợp này có dạng k a 2F sin 0 k x w(x,t) X (x)q (t) l sin cost  k k  2 2 k 1 k 1 l(k  ) l k a sin 2F cost k x w(x,t) 0 l sin  2 2 (3.48) l k 1 k  l Công thức (3.48) là biểu thức tính độ võng ở vị trí x bất kỳ của dầm tại thời điểm t. Khi a = l/2, ta có k sin 2F cost k x w(x,t) 0 2 sin  2 2 (3.49) l k 1 k  l Chú ý rằng 2 EI k 2 2 EI  k k l 2  l 2  Nếu ta đưa vào ký hiệu 2 2  l   k 2 k EI Thì công thức nghiệm (3.48) có dạng k a sin 2F l 3 cost k x w(x,t) 0 l sin 4  4 2 EI k 1 k  l 19
  21. l 2  Để minh họa ta lấy a = l/2 và  0,7 . Khi đó ta có thể tính độ võng ở 2 EI giữa dầm một cách tương đối đơn giản(Hình b). k sin 2 l 2F l 3 cost 2 w( ,t) 0 4  4 2 EI k 1 k 0,49 Chú ý rằng 1 1 1 1 1 1,975  4 k 1,3,5,7 k 0,49 0,51 80,51 624,51 1295,51 Do đó l F l 3 w( ,t) 0 cost 2 24,65EI Biên độ dao động ở giữa dầm là F l 3 w 0 max 24,65EI Nếu dầm chịu tác dụng của lực F(t)=F0=const ở giữa dầm, theo sức bền vật liệu độ võng tĩnh ở giữa dầm là F l 3 w 0 t 48EI Như thế độ võng động cực đại ở giữa dầm lớn gần gấp đôi độ võng tĩnh tại đó. 2 Ngoài ra chú ý rằng khi  k  k Thì xảy ra hiện tượng cộng hưởng. c. Lực di động có trị số không đổi F0 Xét bài toán dao động uốn của dầm hai v x đầu bản lề dưới tác dụng của lực F0 = const di chuyển với tốc độ v không đổi như hình vẽ. EI=const Ta đã biết các hàm riêng của dầm hai l đầu chịu liên kết bản lề z k x X (x) sin k l l l X 2 (x)dx Do đó k 0 2 Sử dụng hàm Delta-Dirac, tải trọng p(x,t) trong bài toán này có dạng p(x,t) F0 (x vt) Do tính chất của hàm Delta-Dirac(công thức 3.45) ta có l k x k v F sin  (x vt)dx F sin t 0 0 0 l l Phương trình (3.43) đối với bài toán này có dạng 20
  22. 2F q (t)  2q (t) 0 sin  t (3.50) k k k l k Trong đó ta đưa vào ký hiệu k v  (3.51) k l Nghiệm tổng quát của phương trình (3.50) đã được tính toán kỹ trong chương 2 có dạng 2F0 qk (t) Ak cosk t Bk sin k t 2 2 sin k t (3.52) l(k k ) Các hằng số Ak, Bk được xác định từ các điều kiện đầu. Giả sử cho biết điều kiện đầu w0 (x) w(x,0)  X i (x)qi (0) 0 i 1 w(x,0)  v0 (x)  X i (x)qi (0) 0 (3.53) t i 1 Do tính chất trực giao của các hàm riêng, từ các điều kiện đầu (3.53) ta suy ra qk (0) 0, q k (0) 0, k 1,2, (3.54) Với điều kiện đầu (3.54), từ (3.52) ta dễ dàng xác định được các hằng số Ak, Bk 2F0k Ak = 0, Bk 2 2 (3.55) lk (k k ) Thế (3.55) vào biểu thức (3.52) ta được 2F0k 2F0 qk (t) 2 2 sin k t 2 2 sin k t (3.56) lk (k k ) l(k k ) Theo công thức (3.41) biểu thức tính độ võng của dầm có dạng 2F 1  k x w(x,t) X (x)q (t) 0 sin  t k sin t sin  k k  2 2 k k (3.57) k 1 l k 1 k k k l Nếu ta đưa vào ký hiệu  k  k (3.58) k 3 2F0 1 2F0 1 2F0l 1 Thì 2 2 2 2 4 4 2 l k  k lk 1 k k EI 1 k Biểu thức (3.57) bây giờ có thể viết lại dưới dạng như sau 2F l 3 1 k x w(x,t) 0 sin  t  sin  t sin 4  4 2 k k k (3.59) EI k 1 k (1 k ) l Hiện tượng cộng hưởng xảy ra khi k k . Chú ý đến các biểu thức (3.29) và (3.51) ta dễ dàng xác định được vận tốc tới hạn vkth 21
  23. k EI   v (3.60) k k kth l  Ở vùng cộng hưởng, độ võng của dầm sẽ đạt giá trị lớn nhất. Ta xác định độ võng của dầm khi v = vth. Không giảm tính tổng quát ta giả sử 1 1 . Khi đó trong tổng (3.59) ta chỉ cần giữ lại số hạng ứng với k=1. Để đơn giản cách viết ta bỏ chỉ số 1 ở 1 và 1 đi. Vậy ta có  3 sin t sin t 2F0l x  wth (x,t) sin lim 4 EI l   2 1  2 0 ở đây biểu thức cần tính giới hạn có dạng . Áp dụng qui tắc Loopital ta tính 0 được 1 3 t cost sin t 3 2F0l x  F0l x wth (x,t) sin lim sin (sint t cost) 4 l    4 l EI 2 EI  2 Thay   v (biểu thức 3.51) vào biểu thức trên ta được l th 3 F0l vth vth vth x wth (x,t) 4 sin t t cos t sin (3.61) EI l l l l Tìm cực trị của hàm (3.61) theo t. Muốn vậy ta tính đạo hàm riêng theo t và cho bằng không w (x,t) 1 th 0 t t vth Từ đó ta có 1 F l 3 x w (x) 0 sin (3.62) th max 3 EI l Khi x=l/2, độ võng cực đại ở điểm giữa dầm là l 1 F l 3 w ( ) 0 (3.63) th max 2 3 EI Từ giáo trình sức bền vật liệu, người ta tính được độ võng tĩnh ở điểm giữa dầm khi có lực F0=const tác dụng ở giữa dầm là F l 3 w 0 t 48EI Như thế độ võng cực đại (3.63) lớn gần gấp rưỡi độ võng tĩnh. 1 Khi v<<v1th, tức là 1 1, từ biểu thức (3.59) ta suy ra công thức gần 1 đúng xác định độ võng 22
  24. 2F l 3 1 k x k w(x,t) 0 sin sin vt 4  4 (3.64) EI k 1 k l l Đó là biểu thức xác định độ võng tĩnh của dầm chịu tác dụng của lực F0 đặt ở điểm các xa đầu bên trái dầm một đoạn vt mà chúng ta đã biết trong giáo trình sức bền vật liệu. 23
  25. Chương 2. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 2.1. Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn. 2.1.1. Giới thiệu chung Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao. Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trường v.v. Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng. Hiện có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: ANSYS, ABAQAUS, SAP, v.v. Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựng lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các bước tính cơ bản của phương pháp. 2.1.2. Xấp xỉ bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền con ve có kích thước và bậc tự do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền ve. Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau: - Xấp xỉ nút trên mỗi miền con ve chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào nút của ve và biên của nó, - Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con ve được xây dựng sao cho chúng liên tục trên ve và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau. - Các miền con ve được gọi là các phần tử. 2.1.3. Định nghĩa hình học và các phần tử hữu hạn. 2.1.3.1. Nút hình học. Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các PTHH. Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử ve có dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử ve cần chọn sao cho nó được xác định giải tích duy nhất theo các 24
  26. toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong ve hoặc trên biên của nó. 2.1.3.2. Quy tắc chia miền thành cách phần tử. Việc chia miền V thành các phần tử ve phải thoả mãn hai qui tắc sau: - Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng. Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử. Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt (Hình 1.1). - Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần với miền V cho trước càng tốt. Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử. 2.1.3.4. Các dạng phần tử. Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều. Trong mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp. Phần tử một chiều Phần tử bậc Phần tử bậc hai Phần tử bậc nhất ba Phần tử hai chiều Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử ba chiều Phần tử tứ diện Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử bậc nhất 2.1.3.5. Sơ đồ tình toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau: Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả nút và phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ số 25
  27. dẫn nhiệt ), các thông tin về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết của kết cấu (điều kiện biên); Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f của mỗi phần tử; Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ (ghép nối phần tử); Khối 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên kết cấu, bằng cách biến đổi ma trận độ cứng K và vec tơ lực nút tổng thể F; Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ chuyển vị chung Q; Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên nhiệt độ, v.v.) ; Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của các đại lượng theo yêu cầu. Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau 26
  28. Đọc dữ liệu đầu vào - Các thông số cơ học của vật liệu - Các thông số hình học của kết cấu - Các thông số điều khiển lưới - Tải trọng tác dụng - Thông tin ghép nối các phần tử - Điều kiện biên Tính toán ma trận độ cứng phần tử k Tính toán véctơ lực nút phần tử f Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F Áp đặt điều kiện biên (Biến đổi các ma trận K và vec tơ F) Giải hệ phương trình KQ = F (Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q) Tính toán các đại lượng khác (Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v) In kết quả - In các kết quả mong muốn - Vẽ các biểu đồ, đồ thị Hình 2.2. Sơ đồ khối của chương trình PTHH 2.2. Các phần mềm phân tích kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Với sự phát triển của khoa học công nghệ, rất nhiều phần mềm tính toán theo phương pháp phần tửu hữu hạn được sử dụng để tính toán cac bài toán kỹ thuật. 2.2.1. Phần mềm tính toán kết cấu Sap là một trong những phần mềm tính toán kết cấu được sử dụng nhiều nhất hiện nay ở Việt Nam, ưu điểm của phần mềm là mạnh về tính toán các khung dàn không gian, tuy nhiên lại hạn chế trong tính toán khung dàn dạng tấm 27
  29. 2.2.3. Phần mềm Catia Phần mềm Catia là một phần mềm hỗ trợ cho công việc thiết kế các chi tiết máy của người kỹ sư thiết kế. Ngoài ra Catia còn cung cấp chức năng lắp ghép các chi tiết máy rời rạc thành một cụm chi tiết, một cơ cấu máy hay một máy cơ khí hoàn chỉnh. Và sau đó, người sử dụng phần mềm Catia có thể mô phỏng chuyển động của cụm chi tiết, cơ cấu hay máy cơ khí đã lắp ráp ở trên một cách sinh động. [3] Sự chuyển đổi giữa các môi trường làm việc trong Catia hết sức linh hoạt bằng cách sử dụng thanh công cụ Start giúp cho người thiết kế cảm thấy thoải mái và tiết kiệm được nhiều thời gian. [3] Các modul của phần mềm [3] Mechanical Deigsn: Modul này cho phép xây dựng các chi tiết, các sản phẩm lắp ghép trong cơ khí. Shape Design and Styling: Modul này cho phép thiết kế các bề mặt có biên dạng, kiểu dáng phức tạp trong lĩnh vực thiết kế vỏ ô tô, tàu biển, máy bay, Analysis: Module cho phép tính toán kiểm tra và mô phỏng chi tiết chịu tải trọng trong môi trường kết cấu liên tục hoặc trong môi trường nhiệt độ. Từ đó cho phép tối ưu kết cấu Manufacturing: Modul này cho phép mô phỏng quá trình gia công chế tạo chi tiết thông qua việc lựa chọn dao, chế độ cắt, gá đặt từ đó cho phép người thiết kế lựa chọn quá trình chế tạo hợp lý nâng cao chất lượng gia công và tiết kiệm vật liệu. Equipments and systems: Cho phép xây dựng các trang thiết bị, các hệ thống của một nhà máy theo tiêu chuẩn. Plant Engineering: Cho phép thiết kế mặt bằng xưởng, nhà máy, dây chuyền sản xuất. Đây là một phần mềm rất mạnh có khả năng giải quyết nhiều bài toán nên yêu cầu cấu hình máy tính phải đảm bảo.Các đối tượng mà CATIA có khả năng làm việc là: Thiết kế cơ khí: Thiết kế chi tiết và các cơ cấu tổ hợp các sản phẩm dập tấm, bề mặt và khung dây, thiết kế khuôn, thiết kế tàu thuỷ, ô tô, máy bay v.v Thiết kế các kiểu dáng hình học 3D với những mặt cong bất kỳ. Phân tích kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). Gia công CNC. Thiết kế nhà xưởng. Thiết kế hệ thống điện, điện tử, thủy lực. Mô phỏng động học. 28
  30. 2.2.4. Phần mềm Unigraphics NX NX là hệ thống CAD/CAM/CAE mạnh hiện nay để mô hình hoá ba chiều các sản phẩm cơ khí. Hệ thống này là công cụ hỗ trợ cho nhà thiết kế thực hiện công việc thiết kế sản phẩm một cách nhanh chóng và chính xác [4] Phục vụ thiết kế, mô phỏng, lập trình gia công , cho các ngành công nghiệp sản xuất hàng gia dụng và dân dụng (balo, dày dép), máy công cụ, máy công nghiệp, ôtô, xe máy, đóng tàu cho tới các các ngành công nghiệp hàng không thiết kế máy bay, công nghệp vũ trụ .Nhờ vào giải pháp tổng thể, linh hoạt và đồng bộ của mình mà NX được các tập đoàn lớn trên thế giới ( Boeing, Suzuki, nissan, Nasa ) sử dụng. Đặc biệt ở Nhật bản, Đức, Mỹ và Ấn Độ thì Unigraphics NX có thị phần lớn nhất so với tất cả các phần mền CAD/CAM khác . Với 51 triệu licensed đã được phát hành với hơn 51.000 khách hàng trên toàn thế giới . NX không chỉ đứng đầu về mặt công nghệ mà còn đứng đầu về lượng licensed đã được phát hành. [4] Các mô đun của phần mềm Bao gồm 7 mô đun Model Là mô đun giúp người sử dụng tạo các các khối hình học, các chi tiết máy dưới dạng 3D Mô đun này gồm 9 lựa chọn nhỏ cho người sử dụng Model: tạo các chi tiết riêng rẽ. Assembly: Tạo một thiết bị bằng các nối ghép các chi tiết riêng rẽ đã tạo ở phần Model hoặc tạo trực tiếp trên môi trường Assembly. Shape Studio: Tạo các chi tiết từ các mặt cong, mặt cong có thể là các mặt cong cơ bản hoặc mặt cong không cơ bản. NX Sheet metal: Tạo các chi tiết dạng tấm kim loại. Chuyên cung cấp giải pháp thiết kế các chi tiết dạng tấm tiêu chuẩn hóa với các góc bẻ, bán kính góc lượn hay các mép gấp theo tiêu chuẩn quốc tế hoặc do người thiết kế đặt ra. Phần mềm hỗ trợ đưa ra các tư vấn về kỹ thuật khi người thiết kế chọn nhầm chỉ tiêu kỹ thuật Aero Sheet Metal: Tạo các chi tiết dạng tấm nhưng có các mặt là các mặt cong. Routing Logical: Tạo các sơ đồ đi ống từ thư viện của phần mềm. Phần mềm tư vấn các đường đi tối ưu của đường ống trong các hệ thống, tính toán và đưa ra bảng thống kê về kích thước, khối lượng và các thông số kỹ thuật của đường ống và các thiết bị, phân tích định hướng và kiểm tra dòng chảy dựa trên hệ thống tổng thể của đường ống Routing Mechanical: Thiết kế đường ống cơ khí. 29
  31. Routing Electrical: Tạo các sơ đồ điện từ thư viện phần mềm. Cho phép tính toán thiết kế các hệ thống mạch điện, đường dây điện và các thiết bị điện một cách nhanh chóng. Phần mềm tự động tối ưu hoá đường đi của các dây dẫn, tiết kiệm thời gian và tăng tính khoa học, thẩm mỹ. Black: Tạo chi tiết từ một file thiết kế trắng Drawing Là mô đun giúp người thiết kế nhanh chóng tạo ra các bản vẽ kỹ thuật 2D từ khối vật thể đã được xây dựng ở mô đun Model Mô đun này không chỉ giúp tạo các hình chiếu cơ bản mà còn tạo các hình cắt, hình cắt trích, hình chiếu riêng phần, ghi kích thước, dung sai Mô đun này bao gồm 5 lựa chọn cho các khổ giấy vẽ từ A0 đến A4. Các khung bản vẽ được mặc định đi kèm với khổ giấy, tuy nhiên người dùng hoàn toàn có thể thay đổi khung bản vẽ cũng như các tiêu chuẩn bản vẽ. Simulation Là mô đun giúp người thiết kế mô phỏng và kiểm tra các tính toán của các bài toán thiết kế. Mô đun này được xây dựng để tính toán bài toán thiết kế trong nhiều lĩnh vực như Điện tử, sức bền, dòng chảy Manufacturing Mô đun giúp người thiết kế dễ ràng trong thiết lập chương trình, nhiều chiến lược giúp tối ưu đường chạy dao, hổ trợ Machine Tool Simulation giúp mô phỏng gia công bằng mô hình máy thực, giúp chúng ta kiểm soát tốt hơn và hạn chế được nguy cơ va đập xảy ra khi gia công. Đặc biệt NX hổ trợ lập trình gia công rất tốt cho máy phay 4 trục và 5 trục. Thư viện possproceser có nhiều poss của các hệ điều hành nổi tiếng và thông dụng. Inspection Mô đun này giúp người thiết kế kiểm duyệt lại các thiết kế theo các tiêu chuẩn Mechantronics Concept Design Ship Structures Mô đun này rành riêng cho thiết kế kết cấu tàu thủy, giúp người dùng nhanh chóng đưa ra các phương án thiết kế kết cấu và thử nghiệm qua mô phỏng. Chức năng của phần mềm Phục vụ thiết kế, mô phỏng, lập trình gia công , cho các ngành công nghiệp sản xuất hàng gia dụng và dân dụng (balo, dày dép), máy công cụ, máy công nghiệp, ôtô, xe máy, đóng tàu cho tới các các ngành công nghiệp hàng không thiết kế máy bay, công nghệp vũ trụ .Nhờ vào giải pháp tổng thể, linh hoạt và đồng bộ của mình mà NX được các tập đoàn lớn trên thế giới ( Boeing, Suzuki, nissan, Nasa ) sử dụng. Đặc biệt ở Nhật bản, Đức, Mỹ và Ấn Độ thì Unigraphics NX có thị phần lớn nhất so với tất cả các phần mền CAD/CAM khác . Với 51 triệu licensed đã được phát hành với hơn 51.000 khách hàng trên toàn thế giới . NX 30
  32. không chỉ đứng đầu về mặt công nghệ mà còn đứng đầu về lượng licensed đã được phát hành. NX là hệ thống CAD/CAM/CAE mạnh nhất hiện nay để mô hình hoá ba chiều các sản phẩm cơ khí. Hệ thống này là công cụ hỗ trợ cho nhà thiết kế thực hiện công việc thiết kế sản phẩm một cách nhanh chóng và chính xác. Hơn thế nữa, tính mở và tính tương thích của NX cho phép nhiều phần mềm ứng dụng khác có thể chạy trực tiếp trên môi trường của nó như Autodesk Inventor, Catia, Pro-E, Solid Edge, CADKEY, SoildWorks, Cimatron, kết xuất ra các file định dạng chuẩn để người sử dụng có thể khai thác mô hình trong môi trường các phần mềm phân tích khác. Quản lí vòng đời sản phẩm: NX là một phần của PLM, quản lí toản bộ vòng đời của sản phẩm từ yêu cầu ban đầu, thông qua thiết kế, chế tạo, bảo trì và tái chế. Thiết kế sản phẩm đáp ứng qua mọi giai đoạn: từ giai đoạn ý tưởng đến thành phẩm: Teamcenter được sử dụng để kiểm soát truy cập dữ liệu của các tập tin NX. Teamcenter cho phép người dùng làm việc trên thiết kế nhiệm vụ song song thay vì thiết kế theo quá trình tuần tự. Ví dụ, trong khi một số người dùng thiết kế các sản phẩm thì những người dùng khác có thể bắt đầu mô phỏng yếu tố phân tích hữu hạn hoặc các nghiên cứu gia công. Sản phẩm lắp ráp mới có thể chứa các bộ phận sử dụng lại từ mẫu thiết kế trước đó vì vậy bộ phận tiêu chuẩn và các bộ phận từ thiết kế trước cần được sửa đổi. Ngoài ra, các bộ phận mới cần được thiết kế từ đầu. NX sẽ giúp bạn thiết kế và chỉnh sửa các bộ phận trong bối cảnh lắp ráp để tạo ra bộ phận phù hợp thích hợp (thao tác.avi) 2.2.5. Phần mềm Ansys ANSYS là một phần mềm tính toán phân tích các bài toán kỹ thuật mạnh trong mọi lĩnh vực sản xuất, từ kết cấu đến thủy khí. [7] ANSYS có thể giải các lớp bài toán đứng riêng rẽ ( bài toán ứng suất tuyến tính, kết cấu phi tuyến hình học - vật liệu - phân tử, có thể phân tích các bài toán dao động với các phương pháp Modal, phổ, điều hòa, dao động ngẫu nhiên, giải các bài toán uốn tuyến tính và phi tuyến, bài toán nhiệt ổn định, truyền nhiệt, đối lưu, bức xạ nhiệt, dòng chảy thủy lực, điện từ ) cũng như như các lớp bài toán hỗn hợp ( âm - cấu trúc, điện từ, thủy lực - cấu trúc, từ - nhiệt, từ - cấu trúc ). [7] ANSYS có khả năng tối ưu hóa mô hình phần tử hữu hạn, đưa ra đầy đủ các dạng kết quả cần thiết cũng như kiểm tra độ tin cậy của kết quả theo chỉ tiêu năng lượng. [7] ANSYS cho phép thí nghiệm số và mô phỏng số, từ đó đưa ra các giải pháp nhằm hoàn thiện mô hình. [7] 31
  33. ANSYS còn có khả năng liên kết với phần mềm khác như : Pro/Eng, FLOTRAN để phân tích và thẩm định các thiết kế, có khả năng sử dụng các bản thiết kế của các chương trình cơ khí khác để phân tích thông qua kĩ thuật IGES. [7] Với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, việc áp dụng các ứng dụng của công nghệ thông tin vào tính toán phân tích các bài toán kỹ thuật sẽ giúp các kỹ sư giảm thời gian thiết kế, đảm bảo thiết kế chính xác và trực quan hơn. Với nhiệm vụ của đề tài, tác giả sử dụng phần mềm Ansys để thực hiện đề tài này. 32
  34. Chương 3. TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA DẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN. 3.1. Ứng dụng Ansys trong giải các bài toán dao động. Để phân tích bài toán dao động trong Ansys ta làm theo trình tự sau: - Sử dụng mô đun Modal - Chọn vật liệu - Mô hình hóa kết cấu dầm, có thể sử dụng mô đun Design Modeler của Ansys để môn hình hóa, hoặc dùng các phần mềm mô hình hóa như Solidwork, Inventor, Catia - Chia phần tử - Thực hiện giải bài toán. - Xuất kết quả. 3.2. Bài toán. Tìm tần số và dạng dao động riêng của dầm chữ nhật như hình 3.1. Dầm có kích thước L = 2,3 m; B = 0,04 m; H = 0,06 m. và được đặt trên hai gối đỡ tựa. Vật liệu của dâm là thép kết cấu có mô đun đàn hồi E = 200 Gpa và hệ số Poisson  = 0,3. Hình 3. 1. Bài toán 1 3.3. Giải quyết bài toán Mô hình và chia lưới (hình 3.2) Cài đặt bài toán (hình 3.3) 33
  35. Hình 3. 2. Mô hình tính và chia lưới Hình 3. 3. Cài đặt gối đỡ Kết quả bài toán: Dạng dao động thứ 1: Chuyển vị lớn nhất là 0,21421 ứng với tần số dao động là 17,298 Hz (hình 3.4) Hình 3. 4. Dạng dao động thứ 1 Dạng dao động thứ 2: Chuyển vị lớn nhất là 0,23979 ứng với tần số là 58,533 Hz (Hình 3.5). Hình 3. 5. Dạng dao động thứ 2 34
  36. Dạng dao động thứ 3: Chuyển vị lớn nhất là 0,21414 ứng với tần số dao động là 69,098 Hz (hình 3.6). Hình 3. 6. Dạng dao động thứ 3. Dạng dao động thứ 4: Chuyển vị lớn nhất là 0,20924 ứng với tần số dao động là 155,07 Hz (hình 3.7). Hình 3. 7. Dạng dao động thứ 4 Dạng dao động thứ 5: Chuyển vị lớn nhất là 0,22856 ứng với tần số dao động là 160,38 Hz (hình 3.8). Hình 3. 8. Dạng dao động thứ 5 35
  37. Dạng dao động thứ 6: Chuyển vị lớn nhất là 0,21389 ứng với tần số dao động là 274,76 Hz (hình 3.9). Hình 3. 9. Dạng dao động thứ 6 36
  38. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Tác giả đã nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn, và áp dụng phương pháp đó vào tính toán dao động của dầm đặt trên hai gối đỡ. Kết quả tính toán được trình bày trong bài là phù hợp với quy luật. Việc ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán dao động không những cho kết quả chính xác mà còn mang lại các lợi ích về kinh tế, vì phương pháp giúp ta tối ưu hóa dẫn đến tối ưu hóa về vật tư khi sản xuất Hướng nghiên cứu của đề tài là áp dụng phương pháp này vào tính toán các công trình thực tế. 37
  39. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Nguyễn Văn Khang, Dao đông kỹ thuật, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 2004 [2]. Ansys Inc, Ansys mechanical APDL Structure analysis guide, 2013 [3]. Trần Ích Thịnh, Ngô Như Khoa, Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Hà Nội, 2007. [4]. T. J. R. Hughes, The finite element method, Chicago: Dover Publication, 2000. 38